Reel sayılar kümesinde A = (-2, 6] ve B = [1, 9) aralıkları veriliyor. Buna göre, (A \time… — KPSS Genel Yetenek - Genel Kültür

Reel sayılar kümesinde $A = (-2, 6]$ ve $B = [1, 9)$ aralıkları veriliyor.

Buna göre, $(A \times B) \cap (B \times A)$ kümesinin elemanlarından kaç tanesinin her iki bileşeni de tam sayıdır?

A
16
B
20
25Answer
D
36
E
64

Answer

Her iki bileşeni de tam sayı olan 25 farklı nokta vardır.

İstenen küme

(A \cap B) \times (A \cap B)

şeklinde ifade edilebilir.

A \cap B

kümesi

[1, 6)

aralığıdır ve bu aralıkta 5 adet tam sayı (1, 2, 3, 4, 5) bulunur. Bu nedenle oluşan kartezyen çarpım kümesinde

5 \times 5 = 25

adet tam sayı ikilisi vardır.

Step-by-Step Solution

Kartezyen çarpımın kesişim özelliğini uygula.

(A \times B) \cap (B \times A) = (A \cap B) \times (B \cap A)

eşitliği kullanılır.

Kartezyen çarpım işleminin kesişim işlemi üzerine dağılma özelliği vardır ve bu özellik işlemi basitleştirir.

A ve B kümelerinin kesişimini bul.

A \cap B = (-2, 6] \cap [1, 9) = [1, 6)

aralığıdır. (Alt sınırların büyüğü, üst sınırların küçüğü alınır).

Kesişim işlemi, her iki kümede de ortak olan elemanları belirler.

Kesişim kümesindeki tam sayıları belirle.

[1, 6)

aralığındaki tam sayılar:

\{1, 2, 3, 4, 5\}

. Bu kümenin eleman sayısı

s(A \cap B) = 5

tir.

Soruda bileşenlerin tam sayı olması istendiği için aralıktaki tam sayı değerleri sayılır.

Kartezyen çarpımın eleman sayısını hesapla.

s((A \cap B) \times (A \cap B)) = s(A \cap B) \cdot s(A \cap B) = 5 \cdot 5 = 25

Sonlu kümeler için kartezyen çarpımın eleman sayısı, kümelerin eleman sayılarının çarpımına eşittir.

Key Concept

Kartezyen çarpımın kesişim özelliği:

(A \times B) \cap (C \times D) = (A \cap C) \times (B \cap D)

Hints

Kartezyen çarpımın kesişim özelliğini hatırlayınız:

(A \times B) \cap (B \times A)

ifadesini

(A \cap B) \times (B \cap A)

olarak yazabilirsiniz.

Kesişim işleminin değişme özelliği olduğundan, ifade

(A \cap B) \times (A \cap B)

haline gelir. Öncelikle

A

B

aralıklarının kesişimini bulunuz.

A \cap B = [1, 6)

aralığıdır. Bu aralıktaki tam sayıların kaç tane olduğunu bulup, kendisiyle çarpınız.

Practice More

Benzer mantıkla,

(A \cup B) \times (A \cap B)

kümesinin eleman sayısını soran bir soru çözülebilir.

Alternative Method

Grafik çizerek çözüm: Koordinat düzleminde x ekseninde A, y ekseninde B aralığını çizip dikdörtgen oluşturun. Aynısını B ve A için yapın. İki dikdörtgenin kesiştiği kare bölgeyi bulun ve içindeki tam sayı noktalarını sayın.

Estimated Time:1m 30s

Question

Answer

Step-by-Step Solution

Key Concept

Common Mistakes

Hints

Practice More

Alternative Method

Topics

More questions from this topic