Examkin

Question

Difficulty: HardKartezyen Çarpım

Tam sayılar kümesi üzerinde A={x:∣x−2∣≤1}A = \{x : |x - 2| \le 1\} ve B={y:∣y+1∣≤2}B = \{y : |y + 1| \le 2\} kümeleri tanımlanıyor.

Analitik düzlemde A×BA \times B kartezyen çarpımının grafiğini oluşturan tüm noktaları içine alan en küçük çemberin yarıçapı kaç birimdir?

  1. A
    2
  2. 5\sqrt{5}Answer
  3. C
    3
  4. D
    252\sqrt{5}
  5. E
    5

Answer

En küçük çemberin yarıçapı 5\sqrt{5} birimdir.
Doğru cevap, A×BA \times B kümesinin oluşturduğu dikdörtgenin köşegen uzunluğunun yarısıdır. A kümesi x ekseninde 2 birim, B kümesi y ekseninde 4 birim uzunluğunda bir aralık belirtir. Pisagor bağıntısı ile köşegen 22+42=20=25\sqrt{2^2 + 4^2} = \sqrt{20} = 2\sqrt{5} bulunur. Yarıçap bunun yarısı olan 5\sqrt{5}'tir.

Step-by-Step Solution

1
A kümesinin elemanlarını ve analitik düzlemdeki sınırlarını belirle.
∣x−2∣≤1⇒−1≤x−2≤1⇒1≤x≤3|x - 2| \le 1 \Rightarrow -1 \le x - 2 \le 1 \Rightarrow 1 \le x \le 3. A kümesinin uç noktaları x=1x=1 ve x=3x=3'tür.
Mutlak değer eşitsizliğini çözerek x koordinatlarının aralığını bulmak gerekir.
2
B kümesinin elemanlarını ve analitik düzlemdeki sınırlarını belirle.
∣y+1∣≤2⇒−2≤y+1≤2⇒−3≤y≤1|y + 1| \le 2 \Rightarrow -2 \le y + 1 \le 2 \Rightarrow -3 \le y \le 1. B kümesinin uç noktaları y=−3y=-3 ve y=1y=1'dir.
Mutlak değer eşitsizliğini çözerek y koordinatlarının aralığını bulmak gerekir.
3
A×BA \times B kümesinin oluşturduğu geometrik şekli ve boyutlarını analiz et.
Noktalar x∈[1,3]x \in [1, 3] ve y∈[−3,1]y \in [-3, 1] aralığında bir dikdörtgensel bölge oluşturur. Genişlik =3−1=2= 3-1=2 birim, Yükseklik =1−(−3)=4= 1-(-3)=4 birimdir.
Kartezyen çarpım grafiği, belirtilen aralıklardaki tam sayı noktalarından oluşan bir ızgaradır.
4
Bu noktaları kapsayan en küçük çemberin yarıçapını hesapla.
Çemberin çapı, dikdörtgenin köşegenine eşittir. Köşegen d=22+42=20=25d = \sqrt{2^2 + 4^2} = \sqrt{20} = 2\sqrt{5} birimdir. Yarıçap r=d2=5r = \frac{d}{2} = \sqrt{5} birimdir.
Bir dikdörtgeni içine alan en küçük çember, o dikdörtgenin çevrel çemberidir ve çapı dikdörtgenin köşegenidir.

Key Concept

Kartezyen çarpım grafiğinin geometrik yorumu ve çevrel çember hesabı.

Hints

1
Önce A ve B kümelerinin elemanlarını listeleyerek analitik düzlemde hangi aralıklara karşılık geldiklerini bulunuz.
2
A×BA \times B kümesinin elemanları analitik düzlemde bir dikdörtgenin köşeleri ve içindeki tam sayı noktalarıdır. Bu dikdörtgenin boyutlarını (en ve boy) hesaplayınız.
3
Noktaları içine alan en küçük çember, bu dikdörtgenin köşelerinden geçen çemberdir. Bu çemberin çapı, dikdörtgenin köşegen uzunluğuna eşittir.

Practice More

Benzer bir soruda kümelerin kesişim bölgesinin alanı veya eleman sayısı sorulabilir.

Alternative Method

Çemberin merkezi dikdörtgenin ağırlık merkezidir. x orta noktası (1+3)/2=2(1+3)/2 = 2, y orta noktası (−3+1)/2=−1(-3+1)/2 = -1. Merkez M(2,−1)M(2, -1) ile en uzak nokta olan (3,1)(3, 1) arasındaki uzaklık formülüyle r=(3−2)2+(1−(−1))2=1+4=5r = \sqrt{(3-2)^2 + (1-(-1))^2} = \sqrt{1+4} = \sqrt{5} bulunur.
Estimated Time:2m 30s
Rate this question

Topics

Kartezyen Çarpım

More questions from this topic