Examkin

Question

Difficulty: HardKartezyen Çarpım

Gerçel sayılar kümesi (R\mathbb{R}) üzerinde AA ve BB kümeleri aşağıdaki gibi tanımlanıyor:

A={x∈R:∣x−1∣≤3}A = \{x \in \mathbb{R} : |x - 1| \le 3\}

B={y∈R:∣y∣≤2}B = \{y \in \mathbb{R} : |y| \le 2\}

Kartezyen çarpım kümesi üzerinde, β={(x,y)∈A×B∣y≤x}\beta = \{(x,y) \in A \times B \mid y \le x\} bağıntısı tanımlanıyor.

Buna göre, analitik düzlemde β\beta bağıntısının grafiğinin oluşturduğu kapalı bölgenin alanı kaç birimkaredir?

  1. A
    8
  2. B
    12
  3. 16Answer
  4. D
    20
  5. E
    24

Answer

Bölgenin alanı 16 birimkaredir.
Verilen eşitsizlikler çözüldüğünde A kümesi [-2, 4], B kümesi [-2, 2] aralığındadır. A x B kümesi 6x4 boyutlarında bir dikdörtgendir. y ≤ x koşulu incelendiğinde, x'in [-2, 2] aralığında olduğu kısımda alan karenin yarısı (8 br²), x'in [2, 4] aralığında olduğu kısımda ise alanın tamamı (8 br²) koşulu sağlar. Toplam alan 16 birimkaredir.

Step-by-Step Solution

1
A kümesinin aralığını belirle.
∣x−1∣≤3  ⟹  −3≤x−1≤3  ⟹  −2≤x≤4|x - 1| \le 3 \implies -3 \le x - 1 \le 3 \implies -2 \le x \le 4. Yani A=[−2,4]A = [-2, 4].
Mutlak değer eşitsizliğini açarak x'in tanım aralığını bulmak gerekir.
2
B kümesinin aralığını belirle.
∣y∣≤2  ⟹  −2≤y≤2|y| \le 2 \implies -2 \le y \le 2. Yani B=[−2,2]B = [-2, 2].
y'nin tanım aralığını belirlemek için.
3
A×BA \times B bölgesini ve y≤xy \le x koşulunu analiz et.
Bölge, x∈[−2,4]x \in [-2, 4] ve y∈[−2,2]y \in [-2, 2] olan dikdörtgendir. y≤xy \le x koşulu, y=xy=x doğrusunun altını ifade eder. Bölgeyi x=2x=2 noktasından ikiye ayıralım.
Geometrik şekli parçalayarak alan hesabını kolaylaştırmak için.
4
Birinci parça (x∈[−2,2]x \in [-2, 2]) alanını hesapla.
Bu aralıkta y∈[−2,2]y \in [-2, 2] ile bir kare oluşur. y=xy=x doğrusu kareyi (köşegen) iki eşit üçgene böler. Alt kısım (y≤xy \le x) alanı: 4×42=8\frac{4 \times 4}{2} = 8 birimkare.
Kare şeklindeki bölgede köşegen alanı ortadan ikiye böler.
5
İkinci parça (x∈[2,4]x \in [2, 4]) alanını hesapla.
Bu aralıkta x≥2x \ge 2 ve y≤2y \le 2 olduğu için, y≤2≤xy \le 2 \le x eşitsizliği her zaman sağlanır (y≤xy \le x). Yani bu dikdörtgenin tamamı taralıdır. Alan: (4−2)×(2−(−2))=2×4=8(4-2) \times (2 - (-2)) = 2 \times 4 = 8 birimkare.
x değerleri y'nin maksimum değerinden büyük olduğu için tüm bölge koşulu sağlar.
6
Toplam alanı bul.
Toplam Alan = 8+8=168 + 8 = 16 birimkare.
Parçaların alanları toplanır.

Key Concept

Kartezyen çarpım kümelerinin analitik düzlemde oluşturduğu bölgelerin alan hesabı ve eşitsizlik grafikleri.

Hints

1
Önce mutlak değer eşitsizliklerini çözerek A ve B kümelerinin sayı doğrusundaki aralıklarını bulunuz.
2
Analitik düzlemde x ekseninde A aralığını, y ekseninde B aralığını işaretleyerek oluşan dikdörtgeni çizin ve y = x doğrusunu ekleyin.
3
Bölgeyi x = 2 doğrusu ile ikiye ayırın. Sol tarafta bir kare ve köşegen, sağ tarafta ise bir dikdörtgen oluşacaktır. y ≤ x koşulunun nereleri taradığını bu parçalarda inceleyin.

Practice More

Benzer bir soruyu 'y ≥ x + 1' koşulu veya dairesel bir bölge (x2+y2≤r2x^2 + y^2 \le r^2) ile deneyin.

Alternative Method

Toplam alandan (24), koşulu SAĞLAMAYAN (y > x) bölgenin alanını çıkararak da bulunabilir. y > x sadece x ∈ [-2, 2] aralığındaki karenin üst üçgeninde (Alan=8) sağlanır. 24 - 8 = 16.
Estimated Time:2m 30s
Rate this question

Topics

Kartezyen Çarpım

More questions from this topic