Examkin

Question

Difficulty: Hardİşlem
Gerçel sayılar kümesi üzerinde tanımlı △\triangle ve ⋆\star işlemleri,
x△y=x+y−3x \triangle y = x + y - 3

x⋆y=x⋅y+m(x+y)+12x \star y = x \cdot y + m(x + y) + 12

biçiminde veriliyor.

△\triangle işleminin etkisiz elemanı, ⋆\star işleminin yutan elemanına eşit olduğuna göre, mm gerçel sayısı kaçtır?

  1. A
    -4
  2. -3Answer
  3. C
    3
  4. D
    4
  5. E
    6

Answer

m değeri -3 olarak bulunur.
Sorunun çözümü iki aşamalıdır. İlk olarak △\triangle işleminin etkisiz elemanı bulunur (e=3e=3). İkinci olarak bu değerin ⋆\star işleminin yutan elemanı olduğu bilgisi kullanılır. Yutan eleman tanımı (x⋆y=yx \star y = y) uygulandığında yt=−my_t = -m bağıntısı elde edilir. yt=3y_t = 3 olduğu için m=−3m = -3 sonucuna ulaşılır.

Step-by-Step Solution

1
△\triangle işleminin etkisiz elemanını (ee) bul.
e=3e = 3
Etkisiz eleman tanımı gereği x△e=xx \triangle e = x olmalıdır. x+e−3=x⇒e−3=0⇒e=3x + e - 3 = x \Rightarrow e - 3 = 0 \Rightarrow e = 3.
2
⋆\star işleminin yutan elemanını (yty_t) bulmak için tanımı uygula.
x(yt+m)+m⋅yt+12−yt=0x(y_t + m) + m \cdot y_t + 12 - y_t = 0
Yutan eleman tanımı gereği her xx için x⋆yt=ytx \star y_t = y_t olmalıdır. x⋅yt+m(x+yt)+12=ytx \cdot y_t + m(x + y_t) + 12 = y_t denklemi düzenlenir.
3
Elde edilen eşitliğin her xx için sağlanması şartını kullan.
yt=−my_t = -m
xx'in katsayısı sıfır olmalıdır: yt+m=0⇒yt=−my_t + m = 0 \Rightarrow y_t = -m.
4
Soruda verilen 'etkisiz eleman yutan elemana eşittir' bilgisini kullanarak mm değerini hesapla.
m=−3m = -3
Bulunan e=3e = 3 değeri yty_t'ye eşittir. yt=−my_t = -m olduğuna göre, 3=−m⇒m=−33 = -m \Rightarrow m = -3.
5
Bulunan değeri sabit terim eşitliğinde doğrulama (sağlama).
Doğrulandı.
Sabit kısım m⋅yt+12−yt=0m \cdot y_t + 12 - y_t = 0 olmalıdır. (−3)(3)+12−3=−9+12−3=0(-3)(3) + 12 - 3 = -9 + 12 - 3 = 0. Denklem sağlanır.

Key Concept

İşlem konusunda etkisiz (birim) eleman ve yutan eleman tanımlarının cebirsel denklemler içinde uygulanması.

Hints

1
Öncelikle x△e=xx \triangle e = x eşitliğini kullanarak △\triangle işleminin etkisiz elemanını bulun.
2
Bulduğunuz etkisiz eleman değeri, aynı zamanda ⋆\star işleminin yutan elemanıdır (yty_t). Yutan eleman kuralı gereği, her xx için x⋆yt=ytx \star y_t = y_t olmalıdır.
3
x⋆yt=x⋅yt+m(x+yt)+12=ytx \star y_t = x \cdot y_t + m(x + y_t) + 12 = y_t eşitliğinde xx parantezine alırsanız, x(yt+m)+...=0x(y_t + m) + ... = 0 elde edersiniz. Bu eşitliğin her xx için sağlanması için parantez içi 0 olmalıdır.

Practice More

Yutan elemanı olmayan ancak ters eleman özelliği sorulan işlem sorularını inceleyiniz.
Estimated Time:2m 30s
Rate this question

Topics

İşlem

More questions from this topic