Examkin

Question

Difficulty: Very hardArdışık Sayılar ve Sonlu Toplamlar

Bir ihale komisyonuna teslim edilen teklif dosyalarına, teslim sırasına göre belli bir pozitif tam sayıdan başlayarak ardışık tam sayılarla kayıt numarası verilmiştir. Dosya sayısının 25'ten az olduğu bilinmektedir. Dosyalardan biri, eksik evrak nedeniyle değerlendirme dışı bırakılmış ve bu dosyanın kayıt numarası hesaplamadan çıkarılmıştır. Kalan dosyaların kayıt numaralarının aritmetik ortalaması 3571935 \frac{7}{19} olarak hesaplandığına göre, değerlendirme dışı bırakılan dosyanın kayıt numarası kaçtır?

  1. A
    36
  2. B
    37
  3. 38Answer
  4. D
    39
  5. E
    40

Answer

Değerlendirme dışı bırakılan dosyanın numarası 38'dir.
Soruda verilen ortalama 3571935 \frac{7}{19} sayısı, kalan dosya sayısının 19 (veya 19'un katı) olduğunu işaret eder. Dosya sayısı 25'ten az olduğu için kalan dosya sayısı kesinlikle 19, başlangıçtaki dosya sayısı 20'dir. Kalanların toplamı 19×(672/19)=67219 \times (672/19) = 672'dir. 20 ardışık sayının toplam formülü kullanılarak 20x+190−y=67220x + 190 - y = 672 denklemi kurulur. Buradan yy (çıkarılan sayı) ile xx (başlangıç sayısı) arasındaki ilişki tamsayı bölünebilme kuralıyla çözüldüğünde, çıkarılan sayının 38 olduğu bulunur.

Step-by-Step Solution

1
Kalan dosya sayısını belirle.
Ortalama 35719=6721935 \frac{7}{19} = \frac{672}{19} olduğundan, kalan dosya sayısı 19'un katı olmalıdır. Dosya sayısı < 25 olduğundan, kalan dosya sayısı 19, toplam dosya sayısı n=20n=20'dir.
Kesirli ortalamanın paydası, terim sayısı hakkında bilgi verir.
2
Kalan dosyaların numara toplamını hesapla.
Toplam = 19×67219=67219 \times \frac{672}{19} = 672.
Toplam = Terim Sayısı × Ortalama formülü kullanılır.
3
Tüm dosyaların (çıkarılan dahil) toplamı için genel denklem kur.
Başlangıç numarası xx olsun. Dosyalar x,x+1,…,x+19x, x+1, \dots, x+19 şeklindedir. Tüm toplam 20x+19×202=20x+19020x + \frac{19 \times 20}{2} = 20x + 190.
Ardışık sayıların toplam formülü: TerimSayısı×(I˙lkTerim+SonTerim)/2Terim Sayısı \times (İlk Terim + Son Terim)/2 veya n⋅x+n(n−1)/2n \cdot x + n(n-1)/2.
4
Çıkarılan sayı (yy) ile kalan toplam arasındaki ilişkiyi kur ve çöz.
Tüm Toplam - yy = Kalan Toplam ⇒(20x+190)−y=672\Rightarrow (20x + 190) - y = 672. Buradan 20x−y=48220x - y = 482 bulunur.
Bütünün toplamından eksilen parça çıkarıldığında kalan parça elde edilir.
5
yy sayısını xx cinsinden ifade et ve xx'i bul.
yy, dizinin içinde (x≤y≤x+19x \le y \le x+19) olduğundan y=x+ky = x + k (0≤k≤190 \le k \le 19) diyebiliriz. 20x−(x+k)=482⇒19x−k=48220x - (x+k) = 482 \Rightarrow 19x - k = 482. 19x=482+k19x = 482 + k. 482=19×25+7482 = 19 \times 25 + 7. 19x=19(25)+7+k19x = 19(25) + 7 + k. xx tam sayı olmalı, bu yüzden 7+k7+k 19'a bölünmeli. k=12k=12 bulunur. x=26x=26.
Diophantine denklemi çözülerek bilinmeyenler bulunur.
6
Çıkarılan dosya numarasını (yy) hesapla.
y=x+k=26+12=38y = x + k = 26 + 12 = 38.
Bulunan başlangıç değeri ve fark yerine konur.

Key Concept

Ardışık sayı dizilerinde bir terim çıkarıldığında ortalamadaki değişim, terim sayısı ve toplam arasındaki ilişki.

Hints

1
Ortalamanın kesirli kısmı (719\frac{7}{19}), kalan dosya sayısı hakkında size çok önemli bir ipucu verir. Paydaya dikkat edin.
2
Kalan dosya sayısı 19'un bir katı olmalıdır. Toplam dosya sayısı 25'ten az olduğuna göre, kalan dosya sayısı kaçtır? Buradan kalan sayıların toplamını hesaplayın.
3
Kalan sayıların toplamı 672'dir. Başlangıçtaki n=20n=20 sayının formülü 20x+19020x + 190'dır. Çıkarılan sayı yy ise, 20x+190−y=67220x + 190 - y = 672 denklemini, yy'nin xx ile x+19x+19 arasında olduğu şartını kullanarak çözün.

Practice More

Benzer bir soruyu 'ardışık çift sayılar' veya '3'ün katı olan ardışık sayılar' kuralıyla çözmeyi deneyin.

Alternative Method

Ortalama Yöntemi: 20 ardışık sayının ortalaması, dizinin tam ortasındaki değerdir. Kalanların ortalaması 35,3635,36 civarındadır. Çıkarılan sayı ortalamadan büyükse kalanların ortalaması düşer, küçükse artar. Bu mantıkla deneme-yanılma aralığı daraltılabilir.
Estimated Time:4m 0s
Rate this question

Topics

Ardışık Sayılar ve Sonlu Toplamlar

More questions from this topic