Examkin

Question

Difficulty: MediumKombinasyonun Geometrik Uygulamaları

Bir yarım çember üzerinde 9 farklı nokta işaretlenmiştir. Bu noktalardan 5 tanesi çap (doğru parçası) üzerinde, geri kalan 4 tanesi ise yay üzerindedir. Buna göre, köşeleri bu 9 noktadan herhangi üçü olan en fazla kaç farklı üçgen çizilebilir?

  1. A
    84
  2. B
    80
  3. C
    78
  4. 74Answer
  5. E
    64

Answer

Verilen 9 noktadan toplam 74 farklı üçgen çizilebilir.
Toplam 9 nokta arasından seçilebilecek tüm üçlü grupların sayısı 84'tür. Ancak çap üzerinde bulunan 5 nokta doğrusal olduğu için bu noktalardan seçilen herhangi üçlü grup bir üçgen oluşturmaz. Bu geçersiz durumların sayısı 10 olduğu için, toplamdan çıkarıldığında 74 adet geçerli üçgen kalır.

Step-by-Step Solution

1
Toplam nokta sayısını ve seçilmesi gereken nokta sayısını belirleme.
n=9n = 9 nokta ve bir üçgen için 3 nokta gereklidir.
Üçgen oluşturmak için düzlemde herhangi üçü doğrusal olmayan 3 nokta seçilmelidir.
2
Hiçbir kısıtlama olmaksızın yapılabilecek tüm 3'lü seçimleri hesaplama.
(93)=9×8×73×2×1=84\binom{9}{3} = \frac{9 \times 8 \times 7}{3 \times 2 \times 1} = 84
Kombinasyon formülü kullanılarak toplam durum sayısı bulunur.
3
Aynı doğru (çap) üzerinde bulunan ve üçgen oluşturmayan noktaları belirleme.
Çap üzerinde 5 nokta bulunmaktadır.
Doğrusal noktalar kendi aralarında üçgen oluşturamazlar.
4
Doğrusal olan bu noktalardan yapılan 3'lü seçimleri hesaplama.
(53)=5×4×33×2×1=10\binom{5}{3} = \frac{5 \times 4 \times 3}{3 \times 2 \times 1} = 10
Bu 10 durum üçgen oluşturmadığı için toplamdan çıkarılmalıdır.
5
Toplam durumdan geçersiz durumları çıkarma.
84−10=7484 - 10 = 74
Oluşabilecek maksimum üçgen sayısına ulaşılır.

Key Concept

Kombinasyonun geometrik uygulamalarında, üçgen sayısı 'Tüm Durumlar - Doğrusal Durumlar' formülü ile hesaplanır.

Hints

1
Üçgen oluşturmak için seçilen 3 noktanın aynı doğru üzerinde olmaması gerektiğini hatırla.
2
Önce tüm 9 noktadan kaç farklı 3'lü grup seçebileceğini bul, sonra çap üzerindeki 5 noktadan oluşan 3'lü grupları çıkar.
3
(93)\binom{9}{3} değerinden (53)\binom{5}{3} değerini çıkararak sonuca ulaşabilirsin.

Practice More

Benzer mantığı kullanarak, bu noktalarla kaç farklı doğru çizilebileceğini hesaplamayı deneyin.

Alternative Method

Üçgenleri gruplandırarak da sayabilirsiniz: (Yaydan 1 nokta, Çaptan 2 nokta) + (Yaydan 2 nokta, Çaptan 1 nokta) + (Yaydan 3 nokta). Yani: (41)⋅(52)+(42)⋅(51)+(43)=4⋅10+6⋅5+4=40+30+4=74\binom{4}{1} \cdot \binom{5}{2} + \binom{4}{2} \cdot \binom{5}{1} + \binom{4}{3} = 4 \cdot 10 + 6 \cdot 5 + 4 = 40 + 30 + 4 = 74.
Estimated Time:1m 30s
Rate this question

Topics

Kombinasyonun Geometrik Uygulamaları

More questions from this topic