Examkin

Question

Difficulty: EasyKombinasyonun Geometrik Uygulamaları

Aşağıdaki şekilde birbirine paralel olan d1d_1 ve d2d_2 doğruları verilmiştir. d1d_1 doğrusu üzerinde 4 nokta, d2d_2 doğrusu üzerinde ise 3 nokta işaretlenmiştir.

Buna göre, köşeleri bu 7 noktadan herhangi üçü olan kaç farklı üçgen çizilebilir?

  1. 30Answer
  2. B
    35
  3. C
    12
  4. D
    5
  5. E
    34

Answer

Köşeleri bu noktalardan seçilen toplam 30 farklı üçgen çizilebilir.
Toplam 7 noktadan seçilebilecek tüm 3'lü grupların sayısı 35'tir. Ancak bu seçimlerden bazıları aynı doğru üzerinde (doğrusal) olduğu için üçgen belirtmez. Üstteki 4 noktadan seçilen 4 grup ve alttaki 3 noktadan seçilen 1 grup üçgen oluşturmadığı için, toplam 35 durumdan bu 5 durum çıkarıldığında 30 farklı üçgen elde edilir.

Step-by-Step Solution

1
Toplam nokta sayısını ve tüm seçimleri belirle.
Toplam 4+3=74 + 3 = 7 nokta vardır. Hiçbiri doğrusal olmasaydı (73)=7×6×53×2×1=35\binom{7}{3} = \frac{7 \times 6 \times 5}{3 \times 2 \times 1} = 35 üçgen oluşurdu.
Üçgen oluşturmak için düzlemde doğrusal olmayan 3 nokta seçilmelidir.
2
Aynı doğru üzerinde oldukları için üçgen oluşturmayan durumları hesapla.
d1d_1 doğrusundaki 4 noktadan seçilen 3'lüler: (43)=4\binom{4}{3} = 4. d2d_2 doğrusundaki 3 noktadan seçilen 3'lüler: (33)=1\binom{3}{3} = 1.
Aynı doğru üzerindeki noktalar seçildiğinde bir üçgen değil, bir doğru parçası oluşur.
3
Tüm durumlardan üçgen oluşturmayanları çıkar.
35−(4+1)=35−5=3035 - (4 + 1) = 35 - 5 = 30.
Geometrik kombinasyon problemlerinde 'Tüm Durumlar - İstenmeyen Durumlar' yöntemi en güvenilir yoldur.

Key Concept

Kombinasyon Kullanarak Geometrik Şekil Sayma

Hints

1
Üçgen oluşturmak için 7 noktadan 3 tanesini seçmelisin.
2
Aynı doğru üzerinde bulunan noktalar (örneğin d1 üzerindeki 4 noktadan herhangi 3'ü) seçildiğinde bir üçgen oluşmaz.
3
Hesaplamanı şu şekilde yapabilirsin: (Toplam 3'lü seçimler) - (d1 üzerindeki 3'lü seçimler) - (d2 üzerindeki 3'lü seçimler).

Practice More

Noktalar paralel doğrular yerine bir çember üzerinde olsaydı hesaplama nasıl değişirdi?

Alternative Method

Veya şu şekilde düşünebilirsin: (d1'den 1, d2'den 2 nokta seçimi) + (d1'den 2, d2'den 1 nokta seçimi). Yani; C(4,1)*C(3,2) + C(4,2)*C(3,1) = 4*3 + 6*3 = 12 + 18 = 30.
Estimated Time:50s
Rate this question

Topics

Kombinasyonun Geometrik Uygulamaları

More questions from this topic