Examkin

Question

Difficulty: Very hardİşlem
Gerçel sayılar kümesi üzerinde tanımlı △\triangle işlemi, her xx ve yy gerçel sayısı için
x△y=xy−3x−3y+kx \triangle y = xy - 3x - 3y + k

eşitliği ile veriliyor. Bu işlemin etkisiz (birim) elemanı bulunduğuna göre, işlemin yutan elemanı kaçtır?
  1. A
    1
  2. 3Answer
  3. C
    4
  4. D
    9
  5. E
    12

Answer

İşlemin yutan elemanı 3'tür.
Verilen işlemde yutan eleman tanımı (x△z=zx \triangle z = z) uygulandığında, her xx değeri için denklemi sağlayan tek değerin 3 olduğu görülür.

Step-by-Step Solution

1
Etkisiz (birim) eleman ee için x△e=xx \triangle e = x eşitliğini kur.
xe−3x−3e+k=xxe - 3x - 3e + k = x
Birim eleman tanımı gereği sonucu değiştirmemelidir.
2
Denklemi ee parantezine alıp düzenleyerek kk değerini bul.
e(x−3)=4x−k⇒e=4(x−3)+12−kx−3e(x-3) = 4x - k \Rightarrow e = \frac{4(x-3) + 12 - k}{x-3}. ee'nin sabit olması için 12−k=0⇒k=1212-k=0 \Rightarrow k=12.
Etkisiz eleman xx'e bağlı olmayan sabit bir sayı olmalıdır.
3
Bulunan k=12k=12 değeri ile yutan eleman zz için x△z=zx \triangle z = z eşitliğini kur.
xz−3x−3z+12=zxz - 3x - 3z + 12 = z
Yutan eleman tanımı gereği işlem sonucu her zaman yutan elemana eşit olmalıdır.
4
Denklemi xx parantezine alıp her xx değeri için sağlanması gereken koşulu bul.
x(z−3)−4z+12=0x(z-3) - 4z + 12 = 0. Her xx için sağlanması için xx'in katsayısı sıfır olmalıdır: z−3=0⇒z=3z-3=0 \Rightarrow z=3.
Eşitliğin her gerçel sayı için sağlanması, değişkenin katsayısının ve sabit terimin sıfır olmasını gerektirir.

Key Concept

İşlemde Yutan Eleman

Hints

1
Önce işlemin birim (etkisiz) elemanı olabilmesi için kk sayısının kaç olması gerektiğini bulunuz.
2
Etkisiz eleman ee için x△e=xx \triangle e = x eşitliğinden ee'yi yalnız bırakın ve paydanın sadeleşmesi gerektiğini düşünün.
3
k=12k=12 bulunduktan sonra, yutan eleman zz için x△z=zx \triangle z = z eşitliğini her xx için sağlayan zz değerini arayın.

Practice More

Aynı işlem için tersi kendisine eşit olan elemanları bulunuz.

Alternative Method

Pratik Yol: x△y=a(x+m)+b(y+m)+cxy+kx \triangle y = a(x+m) + b(y+m) + cxy + k formatındaki sorularda yutan eleman genellikle değişkenin katsayısını sıfırlayan değerdir.
Estimated Time:3m 0s
Rate this question

Topics

İşlem

More questions from this topic