Examkin

Question

Difficulty: Mediumİşlem
Gerçel sayılar kümesinde tanımlanan ∗\ast işlemi, her xx ve yy gerçel sayısı için
x∗y=2xy−2x−2y+3x \ast y = 2xy - 2x - 2y + 3

biçiminde tanımlanıyor.

Bu işlemin birim (etkisiz) elemanı ee olduğuna göre, 22 sayısının bu işleme göre tersi kaçtır?

  1. A
    1
  2. 54\frac{5}{4}Answer
  3. C
    32\frac{3}{2}
  4. D
    74\frac{7}{4}
  5. E
    2

Answer

İşlemin tanımına göre 2 sayısının tersi 5/4'tür.
Verilen işlem tanımında önce birim eleman ee değeri x∗e=xx \ast e = x bağıntısıyla 3/23/2 olarak hesaplanır. Ardından 2 sayısının tersi olan yy değeri, 2∗y=e2 \ast y = e (yani 2∗y=3/22 \ast y = 3/2) eşitliğiyle aranır. Denklemin çözümü sonucunda 2y=2,52y = 2,5 ve buradan y=5/4y = 5/4 elde edilir.

Step-by-Step Solution

1
Birim elemanı (ee) bulmak için x∗e=xx \ast e = x eşitliğini kurun.
2xe−2x−2e+3=x2xe - 2x - 2e + 3 = x
Birim eleman, işleme girdiği her elemanı kendisine götüren elemandır.
2
Eşitliği ee parantezine alarak çözün.
2e(x−1)=3x−3⇒2e(x−1)=3(x−1)⇒e=322e(x - 1) = 3x - 3 \Rightarrow 2e(x - 1) = 3(x - 1) \Rightarrow e = \frac{3}{2}
Birim eleman değişkenlerden bağımsız bir sabit sayı olmalıdır.
3
2 sayısının tersini (yy) bulmak için 2∗y=e2 \ast y = e eşitliğini kurun.
2(2)y−2(2)−2y+3=322(2)y - 2(2) - 2y + 3 = \frac{3}{2}
Bir eleman ile tersinin işleme girmesi sonucu birim eleman elde edilir.
4
Oluşan denklemi yy için çözün.
4y−4−2y+3=1,5⇒2y−1=1,5⇒2y=2,5⇒y=544y - 4 - 2y + 3 = 1,5 \Rightarrow 2y - 1 = 1,5 \Rightarrow 2y = 2,5 \Rightarrow y = \frac{5}{4}
Cebirsel sadeleştirme yapılarak ters eleman değeri bulunur.

Key Concept

İşlem konusundaki birim (etkisiz) eleman ve ters eleman kavramlarının cebirsel olarak hesaplanması.

Hints

1
Önce işlemin etkisiz elemanını (ee) bulmalısın. Bunun için x∗e=xx \ast e = x eşitliğini kullanabilirsin.
2
Etkisiz elemanı 3/23/2 olarak bulduktan sonra, 22 ile tersinin (örneğin yy) işleme girmesi durumunda sonucun 3/23/2 olması gerektiğini unutma.
3
2∗y=3/22 \ast y = 3/2 denklemini 2(2)y−2(2)−2y+3=1,52(2)y - 2(2) - 2y + 3 = 1,5 şeklinde açarak yy değerini çekebilirsin.

Practice More

Birim elemanı olmayan bir işlem tanımlanabilir mi? Eğer işlem tanımındaki katsayılar bağımsız değişkenleri yok edemezse birim eleman bulunamaz.
Estimated Time:1m 30s
Rate this question

Topics

İşlem

More questions from this topic