Examkin

Question

Difficulty: HardKüme Kavramı ve Gösterimi
Tam sayılar kümesi (Z\mathbb{Z}) üzerinde tanımlı AA kümesi,
A={x∈Z∣−2≤x<5} A = \{ x \in \mathbb{Z} \mid -2 \le x < 5 \}

biçiminde verilmiştir. AA kümesinin elemanları kullanılarak oluşturulan BB kümesi ise ortak özellik yöntemiyle aşağıdaki gibi tanımlanmıştır:
B={k∈N∣k=∣x2−2x−3∣, x∈A} B = \{ k \in \mathbb{N} \mid k = |x^2 - 2x - 3|, \ x \in A \}

Buna göre, BB kümesinin eleman sayısı kaçtır?
  1. A
    3
  2. 4Answer
  3. C
    5
  4. D
    6
  5. E
    7

Answer

BB kümesinin eleman sayısı 4'tür.
Doğru cevap, AA kümesindeki elemanların fonksiyonda yerine konulması ve elde edilen sonuçların küme mantığıyla (tekrarsız) sayılmasıyla bulunur. Parabolik fonksiyon simetrik olduğundan farklı xx değerleri aynı sonuçları üretmiştir.

Step-by-Step Solution

1
AA kümesinin elemanlarını liste yöntemi ile belirle.
A={−2,−1,0,1,2,3,4}A = \{-2, -1, 0, 1, 2, 3, 4\} (Toplam 7 eleman)
−2≤x<5-2 \le x < 5 aralığındaki tam sayılar tespit edilmelidir.
2
AA kümesindeki her bir xx değeri için k=∣x2−2x−3∣k = |x^2 - 2x - 3| ifadesini hesapla.
Değerler: x=−2→5x=-2 \to 5, x=−1→0x=-1 \to 0, x=0→3x=0 \to 3, x=1→4x=1 \to 4, x=2→3x=2 \to 3, x=3→0x=3 \to 0, x=4→5x=4 \to 5.
BB kümesini oluşturacak aday elemanların bulunması gerekir.
3
Bulunan değerlerden tekrar edenleri eleyerek BB kümesini yaz ve eleman sayısını bul.
B={0,3,4,5}B = \{0, 3, 4, 5\}, s(B)=4s(B) = 4.
Kümelerde her eleman yalnızca bir kez yazılır.

Key Concept

Bir küme tanımlanırken, aynı değere sahip elemanlar küme içine birden fazla kez yazılmaz (Tekrarlı elemanların tek sayılması ilkesi).

Hints

1
Öncelikle AA kümesinin elemanlarını tek tek listeleyiniz.
2
Her bir elemanı ∣x2−2x−3∣|x^2 - 2x - 3| ifadesinde yerine koyarak sonuçları bulunuz.
3
Bulduğunuz sonuçlarda aynı olan sayıları küme içinde sadece bir kez saymanız gerektiğini unutmayınız.

Practice More

Benzer bir soruyu f(x)=x3f(x) = x^3 gibi birebir bir fonksiyonla deneyerek küme eleman sayısının değişip değişmediğini inceleyiniz.

Alternative Method

Fonksiyonun tepe noktasının x=1x=1 olduğu ve grafiğin x=1x=1 doğrusuna göre simetrik olduğu fark edilirse, x=1x=1'e eşit uzaklıktaki sayıların (00 ve 22, −1-1 ve 33 gibi) aynı sonucu vereceği doğrudan görülebilir.
Estimated Time:2m 30s
Rate this question

Topics

Küme Kavramı ve Gösterimi

More questions from this topic