Examkin

Question

Difficulty: Very hardAralarında Asal Sayılar
aa ve bb aralarında asal pozitif tam sayılar olmak üzere,
6ab+4a−9b=1466ab + 4a - 9b = 146

eşitliği veriliyor. Buna göre, a+ba + b toplamı kaçtır?
  1. 11Answer
  2. B
    13
  3. C
    23
  4. D
    34
  5. E
    48

Answer

a ve b sayılarının toplamı 11'dir.
Verilen eşitlik (2a−3)(3b+2)=140(2a - 3)(3b + 2) = 140 şeklinde çarpanlarına ayrılır. 2a−32a-3 terimi tek sayı olmak zorundadır. 140'ın tek bölenleri denendiğinde a=2,b=46a=2, b=46 ve a=5,b=6a=5, b=6 çözümleri bulunur. Soruda sayıların 'aralarında asal' olduğu belirtildiği için (2, 46) elenir. Geriye kalan (5, 6) çifti için toplam 11'dir.

Step-by-Step Solution

1
Verilen ifadeyi çarpanlarına ayırabilmek için gruplandırma yöntemi uygula.
2a(3b+2)−3(3b)=1462a(3b + 2) - 3(3b) = 146 formuna benzetmeye çalış.
aa ve bb bilinmeyenlerini çarpım durumuna getirerek tam sayı çarpanlarını inceleyebilmek için.
2
Eşitliğin her iki tarafından 6 çıkararak tam çarpanlara ayırma işlemini tamamla.
6ab+4a−9b−6=146−6⇒2a(3b+2)−3(3b+2)=140⇒(2a−3)(3b+2)=1406ab + 4a - 9b - 6 = 146 - 6 \Rightarrow 2a(3b + 2) - 3(3b + 2) = 140 \Rightarrow (2a - 3)(3b + 2) = 140
Ortak paranteze alarak ifadeyi iki tam sayının çarpımı haline getirmek için.
3
140 sayısının çarpanlarını, 2a−32a-3 ifadesinin tek sayı olması şartına göre analiz et.
2a2a çift olduğu için 2a−32a-3 tek sayı olmalıdır. 140'ın tek çarpanları: 1, 5, 7, 35.
Olası durum sayısını azaltmak ve tam sayı şartını sağlamak için.
4
Olası çarpan çiftlerini (2, 46) ve (5, 6) bul ve 'aralarında asal' şartını kontrol et.
1. Durum: 2a−3=1⇒a=22a-3=1 \Rightarrow a=2, 3b+2=140⇒b=463b+2=140 \Rightarrow b=46. (2 ve 46 aralarında asal DEĞİL).
2. Durum: 2a−3=7⇒a=52a-3=7 \Rightarrow a=5, 3b+2=20⇒b=63b+2=20 \Rightarrow b=6. (5 ve 6 aralarında asal, EBOB=1).
Soruda verilen 'aralarında asal' kısıtlamasını sağlayan tek doğru çifti belirlemek için.
5
Bulunan doğru aa ve bb değerlerini topla.
a=5a = 5 ve b=6b = 6 ise a+b=11a + b = 11.
Sonuca ulaşmak için.

Key Concept

Bu soru, cebirsel ifadelerin çarpanlara ayrılması (gruplandırma tekniği) ile aralarında asal sayıların özelliklerinin sentezini gerektirir.

Hints

1
İfadeyi çarpanlarına ayırabilmek için aa parantezine almayı dene ve bb'li terimin katsayısına dikkat et.
2
2a(3b+2)2a(3b + 2) ifadesini oluşturmak için eşitliğin her iki tarafından bir sayı çıkarman gerekebilir. (2a−3)(3b+2)(2a - 3)(3b + 2) yapısına ulaşmaya çalış.
3
Elde ettiğin çarpım 140'a eşittir. 2a−32a - 3 ifadesinin mutlaka tek sayı olması gerektiğini unutma ve buna uygun çarpanları dene.

Practice More

x2−y2=60x^2 - y^2 = 60 ve x,yx,y aralarında asal ise xx kaçtır? gibi çarpanlara ayırma ve sayı teorisi içeren sorular çözülebilir.

Alternative Method

Değer verme yöntemi ile, aa'nın küçük asal değerleri (2, 3, 5...) için denklemde bb'nin tam sayı ve aralarında asal olup olmadığı test edilebilir, ancak bu yöntem zaman alıcıdır.
Estimated Time:4m 0s
Rate this question

Topics

Aralarında Asal Sayılar

More questions from this topic