Examkin

Question

Difficulty: HardBirinci Dereceden Denklemler
xx değişkenine bağlı
a(x−1)3+12=4x−b6+x \frac{a(x-1)}{3} + \frac{1}{2} = \frac{4x - b}{6} + x

denkleminin çözüm kümesi tüm gerçel sayılar (R\mathbb{R}) olduğuna göre, a+ba + b toplamı kaçtır?
  1. A
    -8
  2. B
    -2
  3. C
    3
  4. 12Answer
  5. E
    14

Answer

Doğru cevap 12'dir.
Denklemin tüm gerçel sayılar için sağlanması, eşitliğin her iki tarafındaki x'li terimlerin katsayılarının birbirine ve sabit sayıların birbirine eşit olması demektir. İşlemler doğru yapıldığında a=5a=5 ve b=7b=7 bulunur, toplamları 12'dir.

Step-by-Step Solution

1
Denklemdeki paydaları eşitlemek için eşitliğin her iki tarafını 6 ile çarp.
2⋅[a(x−1)]+3⋅[1]=1⋅[4x−b]+6⋅[x] 2 \cdot [a(x-1)] + 3 \cdot [1] = 1 \cdot [4x - b] + 6 \cdot [x]
Kesirli ifadelerden kurtularak işlemi basitleştirmek için en küçük ortak kat (EKOK) kullanılır.
2
Parantezleri dağıt ve benzer terimleri düzenle.
2ax−2a+3=4x−b+6x 2ax - 2a + 3 = 4x - b + 6x

2ax+(3−2a)=10x−b 2ax + (3 - 2a) = 10x - b
x'li terimler ve sabit terimler gruplandırılarak katsayı eşitliği için hazırlanır.
3
Çözüm kümesinin tüm gerçel sayılar olması için x'in katsayılarını ve sabit terimleri eşitle.
x katsayıları:
2a=10⇒a=5 2a = 10 \Rightarrow a = 5

Sabit terimler:
3−2a=−b 3 - 2a = -b
Her x değeri için sağlanan denklemlerde (özdeşlik), eşitliğin iki tarafı tıpatıp aynı olmalıdır (0x=00x=0 durumu).
4
Bulunan a değerini yerine koyarak b'yi bul ve toplamı hesapla.
3−2(5)=−b⇒3−10=−b⇒−7=−b⇒b=7 3 - 2(5) = -b \Rightarrow 3 - 10 = -b \Rightarrow -7 = -b \Rightarrow b = 7

a+b=5+7=12 a + b = 5 + 7 = 12
a ve b değerleri bulunduktan sonra istenen toplam hesaplanır.

Key Concept

Bir denklemin çözüm kümesinin tüm gerçel sayılar olması için, düzenlenmiş halinin 0=00=0 (özdeşlik) biçiminde olması gerekir.

Hints

1
Denklemdeki kesirlerden kurtulmak için tüm terimleri paydaların en küçük ortak katı olan 6 ile çarpın.
2
Bir denklemin çözüm kümesinin 'tüm gerçel sayılar' olması, o denklemin bir özdeşlik olduğu anlamına gelir. Yani sol taraftaki x'in katsayısı sağ taraftakine, sabit terim de sabit terime eşit olmalıdır.
3
Düzenlenmiş denklem 2ax+(3−2a)=10x−b2ax + (3-2a) = 10x - b şeklindedir. Burada 2a=102a=10 eşitliğini kullanarak a'yı bulun.

Practice More

Çözüm kümesi boş küme olan parametreli denklemler (örneğin katsayılar eşit, sabitler farklı) üzerine çalışın.
Estimated Time:2m 30s
Rate this question

Topics

Birinci Dereceden Denklemler

More questions from this topic