Examkin

Question

Difficulty: HardÇember ve Daire

Merkezleri çakışık (eş merkezli) iki daireden oluşan bir sistemde, iki daire arasında kalan halkanın alanı, içteki küçük dairenin alanına eşittir. Büyük dairenin, küçük daireye teğet olan kirişinin uzunluğu 1212 cm olduğuna göre, küçük dairenin yarıçapı kaç cm'dir?

  1. A
    323\sqrt{2}
  2. B
    44
  3. 66Answer
  4. D
    626\sqrt{2}
  5. E
    1212

Answer

Küçük dairenin yarıçapı 6 cm'dir.
Merkezden kirişe indirilen dikme kirişi ikiye böler (6 cm). Pisagor teoreminden R2−r2=36R^2 - r^2 = 36 bulunur. Soruda halka alanının (π(R2−r2)\pi(R^2 - r^2)) iç daire alanına (πr2\pi r^2) eşit olduğu verilmiştir. Buradan 36π=πr236\pi = \pi r^2 eşitliği ile r=6r=6 elde edilir.

Step-by-Step Solution

1
Verilen geometrik yapıyı ve değişkenleri tanımla.
Büyük dairenin yarıçapı RR, küçük dairenin yarıçapı rr olsun. Kiriş uzunluğu 1212 cm verildiğinden, teğet noktasında kiriş iki eşit parçaya bölünür: 66 cm ve 66 cm.
Merkezden teğet noktasına çizilen yarıçap, kirişi dik ortalar.
2
Pisagor bağıntısını kullanarak RR ve rr arasındaki ilişkiyi kur.
Oluşan dik üçgende hipotenüs RR, dik kenarlar rr ve 66 cm'dir. Bağıntı: R2=r2+62⇒R2−r2=36R^2 = r^2 + 6^2 \Rightarrow R^2 - r^2 = 36.
Halka alanı formülü için R2−r2R^2 - r^2 ifadesine ihtiyaç vardır.
3
Problemde verilen alan eşitliğini matematiksel denkleme dök.
Halka Alanı = Küçük Daire Alanı ⇒π(R2−r2)=πr2\Rightarrow \pi(R^2 - r^2) = \pi r^2.
Soruda verilen temel koşul budur.
4
Bulunan eşitlikleri birleştirerek rr değerini hesapla.
İkinci denklemde R2−r2R^2 - r^2 yerine 36 yazılır: 36π=πr2⇒r2=36⇒r=636\pi = \pi r^2 \Rightarrow r^2 = 36 \Rightarrow r = 6 cm.
İki bilinmeyenli denklem sistemini çözerek sonuca ulaşılır.

Key Concept

Halka Alanı ve Pisagor Bağıntısı

Hints

1
Şekli çiziniz: İç içe iki çember ve büyük çemberin kirişi küçük çembere teğet. Merkez ile teğet noktasını birleştiren yarıçapı çizin.
2
Merkezden kirişe indirilen dikme, kirişi iki eşit parçaya böler. Burada oluşan dik üçgende Pisagor bağıntısını yazın (RR, rr ve 66 arasında).
3
Halka alanı π(R2−r2)\pi(R^2 - r^2) formülü ile bulunur. Bu ifadeyi Pisagor'dan bulduğunuz değerle (3636) eşleştirip, soruda verilen 'halka alanı = iç daire alanı' eşitliğinde kullanın.

Practice More

Benzer bir soruda, halkanın alanı verilip kiriş uzunluğunun sorulduğu durumu inceleyiniz.

Alternative Method

Pratik Kural: Bir halkada, iç çembere teğet olan kirişin uzunluğu 2x2x ise, halkanın alanı yarıçapı xx olan bir dairenin alanına eşittir (πx2\pi x^2). Burada 2x=12⇒x=62x=12 \Rightarrow x=6. Halka alanı 36π36\pi olur. 36π=πr236\pi = \pi r^2 eşitliğinden r=6r=6 bulunur.
Estimated Time:2m 30s
Rate this question

Topics

Çember ve Daire

More questions from this topic