Examkin

Question

Difficulty: HardKartezyen Çarpım

A ve B, boş kümeden farklı ve ayrık iki kümedir.

s((A∪B)×A)=40s((A \cup B) \times A) = 40

olduğuna göre, s(B) ifadesinin alabileceği farklı değerlerin toplamı kaçtır?

  1. A
    27
  2. B
    57
  3. C
    63
  4. 66Answer
  5. E
    90

Answer

s(B) değerlerinin toplamı 66'dır.
Verilen eşitlik s(A)⋅(s(A)+s(B))=40s(A) \cdot (s(A) + s(B)) = 40 şeklinde düzenlendiğinde, s(A)s(A) sayısı 40'ın çarpanı olmalıdır. Ancak s(B)≥1s(B) \ge 1 olduğu için s(A)<s(A)+s(B)s(A) < s(A)+s(B) eşitsizliği, yani s(A)2<40s(A)^2 < 40 şartı sağlanmalıdır. Bu şartı sağlayan s(A)s(A) değerleri 1, 2, 4 ve 5'tir. Bu değerlere karşılık gelen s(B)s(B) değerleri sırasıyla 39, 18, 6 ve 3 bulunur. Toplamları 66 eder.

Step-by-Step Solution

1
Kartezyen çarpım eleman sayısı formülünü ve ayrık küme özelliğini denkleme uygula.
s((A∪B)×A)=s(A∪B)⋅s(A)=40s((A \cup B) \times A) = s(A \cup B) \cdot s(A) = 40

A ve B ayrık olduğu için s(A∪B)=s(A)+s(B)s(A \cup B) = s(A) + s(B) olur. Denklem
(s(A)+s(B))⋅s(A)=40(s(A) + s(B)) \cdot s(A) = 40
halini alır.
Kartezyen çarpımın eleman sayısı, kümelerin eleman sayılarının çarpımına eşittir.
2
Değişken ataması yaparak s(A) için olası tam sayı değerlerini belirle.
s(A)=as(A) = a ve s(B)=bs(B) = b olsun. a⋅(a+b)=40a \cdot (a+b) = 40 denkleminde, kümeler boş kümeden farklı olduğu için b≥1b \ge 1 olmalıdır. Bu durumda a+b>aa+b > a şartı sağlanmalıdır. aa, 40'ın a2<40a^2 < 40 şartını sağlayan pozitif çarpanları olmalıdır.
Kümelerin eleman sayıları doğal sayı olmak zorundadır ve b'nin varlığı a çarpanını sınırlar.
3
Olası 'a' değerleri için 'b' değerlerini hesapla.
- a=1a=1 için: 1⋅(1+b)=40⇒1+b=40⇒b=391 \cdot (1+b) = 40 \Rightarrow 1+b=40 \Rightarrow b=39
- a=2a=2 için: 2⋅(2+b)=40⇒2+b=20⇒b=182 \cdot (2+b) = 40 \Rightarrow 2+b=20 \Rightarrow b=18
- a=4a=4 için: 4⋅(4+b)=40⇒4+b=10⇒b=64 \cdot (4+b) = 40 \Rightarrow 4+b=10 \Rightarrow b=6
- a=5a=5 için: 5⋅(5+b)=40⇒5+b=8⇒b=35 \cdot (5+b) = 40 \Rightarrow 5+b=8 \Rightarrow b=3
(Not: a=8a=8 denenirse 8(8+b)=40⇒8+b=5⇒b=−38(8+b)=40 \Rightarrow 8+b=5 \Rightarrow b=-3 olur, bu imkansızdır.)
Her bir geçerli s(A) değeri için s(B)'yi tek tek bulmak gerekir.
4
Bulunan farklı s(B) değerlerini topla.
39+18+6+3=6639 + 18 + 6 + 3 = 66
Soruda alabileceği değerlerin toplamı istenmektedir.

Key Concept

Kartezyen Çarpım ve Küme Problemleri

Hints

1
Kartezyen çarpımın eleman sayısı kuralı olan s(X×Y)=s(X)⋅s(Y)s(X \times Y) = s(X) \cdot s(Y) eşitliğini kullanın.
2
A ve B ayrık kümeler olduğu için s(A∪B)s(A \cup B) yerine s(A)+s(B)s(A) + s(B) yazarak denklemi s(A)s(A) ve s(B)s(B) cinsinden ifade edin.
3
a⋅(a+b)=40a \cdot (a+b) = 40 denkleminde aa (yani s(A)s(A)), 40'ın bir çarpanıdır ve b≥1b \ge 1 olduğu için a<40a < \sqrt{40} olmalıdır.

Practice More

Benzer mantıkla s(A∩B)≠0s(A \cap B) \neq 0 olan durumları inceleyen sorular çözülebilir.
Estimated Time:2m 30s
Rate this question

Topics

Kartezyen Çarpım

More questions from this topic