Examkin

Question

Difficulty: HardBirinci Dereceden Denklemler
aa bir tam sayı olmak üzere,
x(2a−1)=7a+1 x(2a - 1) = 7a + 1

eşitliğini sağlayan xx değeri bir tam sayı olduğuna göre, aa'nın alabileceği farklı değerlerin toplamı kaçtır?
  1. A
    0
  2. B
    2
  3. 3Answer
  4. D
    5
  5. E
    8

Answer

a'nın alabileceği değerlerin toplamı 3'tür.
Verilen denklemde xx yalnız bırakıldığında x=7a+12a−1x = \frac{7a+1}{2a-1} elde edilir. Bu ifadenin tam sayı olması için payın paydaya bölünmesi gerekir. İşlemi kolaylaştırmak adına ifade 2 ile genişletilip polimom bölmesi yapıldığında 2x=7+92a−12x = 7 + \frac{9}{2a-1} bulunur. Buradan 2a−12a-1'in 9'un tam sayı bölenleri (−9,−3,−1,1,3,9-9, -3, -1, 1, 3, 9) olması gerektiği görülür. Bu denklemler çözüldüğünde aa değerleri −4,−1,0,1,2,5-4, -1, 0, 1, 2, 5 olarak bulunur ve toplamları 3'tür.

Step-by-Step Solution

1
x değişkenini a cinsinden ifade et
x=7a+12a−1 x = \frac{7a + 1}{2a - 1}
Denklem çözümünde istenen değişken yalnız bırakılarak analize hazırlanır.
2
Kesri tam sayılı kesre dönüştür veya payı paydanın katı şeklinde yaz (2 ile genişleterek bölmeyi kolaylaştır)
2x=14a+22a−1=7(2a−1)+92a−1=7+92a−1 2x = \frac{14a + 2}{2a - 1} = \frac{7(2a - 1) + 9}{2a - 1} = 7 + \frac{9}{2a - 1}
Değişkeni paydadan kurtararak tam sayı olma koşulunu (bölen analizi) daha kolay incelemek için.
3
Tam sayı olma koşulunu sağlayan bölenleri belirle
9 sayısının tam sayı bölenleri: {−9,−3,−1,1,3,9}\{-9, -3, -1, 1, 3, 9\}. 2a−12a-1 bu değerlere eşit olmalıdır.
İfadenin tam sayı olması için paydanın payı tam bölmesi gerekir.
4
Her bölen için a değerini hesapla
2a−1=−9⇒a=−42a-1 = -9 \Rightarrow a=-4
2a−1=−3⇒a=−12a-1 = -3 \Rightarrow a=-1
2a−1=−1⇒a=02a-1 = -1 \Rightarrow a=0
2a−1=1⇒a=12a-1 = 1 \Rightarrow a=1
2a−1=3⇒a=22a-1 = 3 \Rightarrow a=2
2a−1=9⇒a=52a-1 = 9 \Rightarrow a=5
Olası tüm a tam sayı değerlerini bulmak için.
5
Bulunan değerleri topla
(−4)+(−1)+0+1+2+5=3(-4) + (-1) + 0 + 1 + 2 + 5 = 3
Soruda istenen nihai sonuca ulaşmak için.

Key Concept

Parametreli denklemlerde tam sayı çözüm analizi ve polinom bölmesi.

Hints

1
Önce denklemde x'i yalnız bırakın ve a cinsinden bir kesir elde edin.
2
Kesirli ifadenin tam sayı olması için paydanın payı tam bölmesi gerekir. Payı paydaya benzeterek (polinom bölmesi yaparak) ifadeyi tam sayı ve basit kesir toplamı şeklinde yazmayı deneyin.

Alternative Method

Polinom bölmesi yerine 7a+1=k(2a−1)7a+1 = k(2a-1) diyerek a(7−2k)=−k−1a(7-2k) = -k-1 şeklinde aa'yı çekip kk değerlerini analiz etmek mümkündür ancak daha karmaşıktır.
Estimated Time:2m 0s
Rate this question

Topics

Birinci Dereceden Denklemler

More questions from this topic