Examkin

Question

Difficulty: Very hardFonksiyon Çeşitleri (Birebir, Örten, Sabit, Birim)

A={1,2,3,4,5,6}A = \{1, 2, 3, 4, 5, 6\} kümesi üzerinde tanımlı, birebir ve örten bir ff fonksiyonu veriliyor.

Her x∈Ax \in A için (f∘f)(x)=x(f \circ f)(x) = x eşitliği sağlanmaktadır.

f(1)=2f(1) = 2 ve f(3)≠3f(3) \neq 3 olduğuna göre, bu koşulları sağlayan kaç farklı ff fonksiyonu tanımlanabilir?

  1. A
    4
  2. 6Answer
  3. C
    8
  4. D
    10
  5. E
    12

Answer

6 farklı fonksiyon tanımlanabilir
Verilen (f∘f)(x)=x(f \circ f)(x) = x koşulu, fonksiyonun elemanları ya sabit bıraktığını ya da ikili gruplar halinde birbirine dönüştürdüğünü gösterir. f(1)=2f(1)=2 olduğundan 1↔21 \leftrightarrow 2 eşleşmesi kesindir. f(3)≠3f(3) \neq 3 olduğundan 3 sayısı 4, 5 veya 6'dan biriyle eşleşmelidir (3 seçenek). 3'ün eşleşmesi yapıldıktan sonra geriye kalan 2 eleman, ya oldukları gibi kalır (1 durum) ya da kendi aralarında yer değiştirirler (1 durum), toplamda 2 alt durum oluşur. Çarpma kuralı ile 3×2=63 \times 2 = 6 bulunur.

Step-by-Step Solution

1
Fonksiyonun genel yapısını analiz et
(f∘f)(x)=x(f \circ f)(x) = x şartı, fonksiyonun tersinin kendisine eşit olduğunu (f=f−1f = f^{-1}) gösterir. Bu durumda elemanlar ya sabit kalmalı (f(a)=af(a)=a) ya da ikili olarak birbirine dönüşmelidir (f(a)=bf(a)=b ise f(b)=af(b)=a).
Birim fonksiyon özelliği ve ters fonksiyon tanımı gereği.
2
Verilen kısıtlamaları uygula (f(1)=2f(1)=2)
f(1)=2f(1)=2 ise, involüsyon özelliği gereği f(2)=1f(2)=1 olmak zorundadır. Böylece {1,2}\{1, 2\} elemanları kendi aralarında bir grup oluşturur ve diğer elemanlarla eşleşemezler.
f(f(1))=1  ⟹  f(2)=1f(f(1)) = 1 \implies f(2) = 1.
3
Kalan elemanlar ve f(3)≠3f(3) \neq 3 kısıtlamasını incele
Geriye {3,4,5,6}\{3, 4, 5, 6\} kümesi kalır. f(3)≠3f(3) \neq 3 olduğundan, 3 sayısı sabit kalamaz; bu kümedeki başka bir elemanla eşleşmek zorundadır (yani 4, 5 veya 6 ile).
Tanım kümesindeki her elemanın bir görüntüsü olmalıdır ve şartlar sağlanmalıdır.
4
Olası durumları say (Kombinatorik analiz)
Durum 1: 3, 4 ile eşleşirse (f(3)=4,f(4)=3f(3)=4, f(4)=3): Kalan {5,6}\{5, 6\} ya sabit kalır (f(5)=5,f(6)=6f(5)=5, f(6)=6) ya da yer değiştirir (f(5)=6,f(6)=5f(5)=6, f(6)=5). (2 durum)
Durum 2: 3, 5 ile eşleşirse: Kalan {4,6}\{4, 6\} için yine 2 durum vardır.
Durum 3: 3, 6 ile eşleşirse: Kalan {4,5}\{4, 5\} için yine 2 durum vardır.
3'ün seçebileceği 3 farklı partner vardır ve her seçimden sonra kalan 2 eleman için 2 olasılık bulunur.
5
Toplam fonksiyon sayısını hesapla
3 (partner sec¸imi)×2 (kalanların durumu)=63 \text{ (partner seçimi)} \times 2 \text{ (kalanların durumu)} = 6 farklı fonksiyon.
Saymanın çarpma kuralı.

Key Concept

İnvolüsyon (Tersi Kendisine Eşit) Fonksiyonlar

Hints

1
(f∘f)(x)=x(f \circ f)(x) = x olması, ff fonksiyonunun tersinin kendisine eşit olduğunu gösterir. Yani f(a)=bf(a)=b ise mutlaka f(b)=af(b)=a olmalıdır.
2
f(1)=2f(1)=2 olduğu için 1 ve 2 birbirine kilitlenmiştir. Geriye kalan {3,4,5,6}\{3, 4, 5, 6\} kümesini düşünün. 3 sayısı kendisine gidemediğine göre, başka bir elemanla 'partner' olmalıdır.
3
3'ün partneri olarak 4, 5 veya 6'yı seçin. Örneğin 3 ile 4 eşleşirse, geriye kalan 5 ve 6 için kaç farklı durum oluşur? (İkisi de sabit kalabilir veya ikisi yer değiştirebilir).
Estimated Time:3m 0s
Rate this question

Topics

Fonksiyon Çeşitleri (Birebir, Örten, Sabit, Birim)

More questions from this topic