Examkin

Question

Difficulty: HardKombinasyonun Geometrik Uygulamaları

Bir ABCABC üçgeninin kenarları üzerinde, köşeler de dahil olmak üzere; [AB][AB] kenarında 5, [BC][BC] kenarında 6 ve [AC][AC] kenarında 4 farklı nokta işaretlenmiştir. Buna göre, köşeleri bu noktalardan seçilen kaç farklı üçgen çizilebilir?

  1. 186Answer
  2. B
    190
  3. C
    206
  4. D
    210
  5. E
    220

Answer

186
Toplam 12 nokta vardır. Tüm 3'lü seçimlerden (220220), aynı kenar üzerinde bulunan ve üçgen oluşturmayan 3'lü seçimler (10+20+4=3410+20+4=34) çıkarıldığında geriye 186186 üçgen kalır.

Step-by-Step Solution

1
Toplam nokta sayısını belirle.
Kenarlardaki nokta sayıları toplanıp ortak köşeler (3 köşe) bir kez sayılacak şekilde düzenlenir: 5+6+4−3=125 + 6 + 4 - 3 = 12 nokta.
Köşeler her iki kenar için de sayıldığından, toplamdan mükerrer sayılan 3 köşe çıkarılmalıdır.
2
Tüm üçlü kombinasyonların sayısını hesapla.
(123)=12×11×103×2×1=220\binom{12}{3} = \frac{12 \times 11 \times 10}{3 \times 2 \times 1} = 220.
Hiçbir şart olmasaydı 12 noktadan seçilecek her 3 nokta bir üçgen oluştururdu.
3
Üçgen oluşturmayan (doğrusal) durumları her kenar için ayrı ayrı hesapla.
[AB][AB] için (53)=10\binom{5}{3}=10, [BC][BC] için (63)=20\binom{6}{3}=20, [AC][AC] için (43)=4\binom{4}{3}=4.
Aynı doğru üzerindeki noktalardan seçilen 3 nokta üçgen oluşturmaz, bu durumlar toplamdan düşülmelidir.
4
Toplam durumdan üçgen oluşturmayan durumları çıkar.
220−(10+20+4)=220−34=186220 - (10 + 20 + 4) = 220 - 34 = 186.
Geçersiz durumların (doğrusal üçlülerin) elenmesi gerekir.

Key Concept

Kombinasyon ile Üçgen Sayısı Bulma (Doğrusal Noktaları Çıkarma Yöntemi)

Hints

1
Önce üçgenin toplam kaç noktaya sahip olduğunu hesaplayın. Köşelerin ortak olduğunu unutmayın.
2
Tüm noktalar rastgele dağılmış olsaydı kaç üçgen oluşurdu? Sonra hangi durumlarda üçgen oluşmayacağını düşünün.
3
Toplam kombinasyon sayısından ((123)\binom{12}{3}), her bir kenar üzerindeki noktalarla yapılabilecek üçlü seçimleri ((53),(63),(43)\binom{5}{3}, \binom{6}{3}, \binom{4}{3}) çıkarın.

Practice More

Benzer bir soruyu, noktaların bir kısmı çember üzerinde bir kısmı doğru üzerinde olacak şekilde çözün.
Estimated Time:2m 30s
Rate this question

Topics

Kombinasyonun Geometrik Uygulamaları

More questions from this topic