Examkin

Question

Difficulty: HardKartezyen Çarpım
Gerçel sayılar kümesi üzerinde tanımlı xx ve yy değişkenleri için,
∣x−2∣≤3|x - 2| \le 3

∣y+1∣≤2|y + 1| \le 2

eşitsizlikleri veriliyor.

Bu koşulları sağlayan (x,y)(x, y) sıralı ikililerinin analitik düzlemde oluşturduğu kapalı bölgenin, y≤xy \le x eşitsizliğini sağlayan parçasının alanı kaç birimkaredir?

  1. 22Answer
  2. B
    24
  3. C
    12
  4. D
    2
  5. E
    26

Answer

İstenen bölgenin alanı 22 birimkaredir.
Verilen eşitsizlikler analitik düzlemde köşeleri (−1,−3)(-1, -3), (5,−3)(5, -3), (5,1)(5, 1) ve (−1,1)(-1, 1) olan bir dikdörtgen oluşturur. Bu dikdörtgenin toplam alanı 24 birimkaredir. y≤xy \le x koşulu, y=xy=x doğrusunun alt tarafını ifade eder. Bu doğru dikdörtgenin sol üst köşesinden bir üçgen keser. Kesilen bu üçgenin (y>xy > x olduğu bölge) alanı 2 birimkaredir. Dolayısıyla geriye kalan alan 24−2=2224 - 2 = 22 birimkaredir.

Step-by-Step Solution

1
Mutlak değer eşitsizliklerini çözerek xx ve yy değişkenlerinin sınırlarını belirle.
∣x−2∣≤3⇒−1≤x≤5|x - 2| \le 3 \Rightarrow -1 \le x \le 5 ve ∣y+1∣≤2⇒−3≤y≤1|y + 1| \le 2 \Rightarrow -3 \le y \le 1.
Kartezyen çarpım kümesinin (dikdörtgenin) analitik düzlemdeki sınırlarını çizmek için.
2
Oluşan dikdörtgenin toplam alanını hesapla.
Yatay uzunluk 5−(−1)=65 - (-1) = 6 birim, dikey uzunluk 1−(−3)=41 - (-3) = 4 birim. Toplam Alan = 6×4=246 \times 4 = 24 birimkare.
Tüm olasılık uzayının büyüklüğünü bulmak için.
3
y≤xy \le x doğrusunun dikdörtgeni kestiği noktaları ve koşulu SAĞLAMAYAN (y>xy > x) bölgeyi tespit et.
Doğru dikdörtgeni (−1,−1)(-1, -1) ve (1,1)(1, 1) noktalarında keser. y>xy > x olan kısım, köşeleri (−1,−1)(-1, -1), (1,1)(1, 1) ve (−1,1)(-1, 1) olan dik üçgendir.
Çıkarılacak alanı geometrik olarak modellemek için.
4
Dışarıda kalan üçgenin alanını toplam alandan çıkar.
Üçgenin dik kenarları 2'şer birimdir. Alanı = (2×2)/2=2(2 \times 2)/2 = 2 birimkare. Sonuç = 24−2=2224 - 2 = 22.
Sadece istenen koşulu sağlayan bölgenin alanına ulaşmak için.

Key Concept

Kartezyen Çarpım Bölgesi ve Lineer Eşitsizlikler

Hints

1
Öncelikle mutlak değer eşitsizliklerini çözerek xx ve yy'nin alabileceği en küçük ve en büyük değerleri bulun.
2
Bulduğunuz sınırlarla analitik düzlemde bir dikdörtgen çizin ve bu dikdörtgenin toplam alanını hesaplayın.
3
y=xy=x doğrusunu çizin. Bu doğrunun dikdörtgenin içinde kalan kısmının üzerinde (y>xy > x) kalan küçük üçgeni belirleyin ve bu üçgenin alanını toplam alandan çıkarın.

Practice More

Benzer bir soruyu, kartezyen çarpım kümesi bir daire veya üçgen oluşturacak şekilde kurgulayarak çözün.

Alternative Method

İntegral kullanarak veya yamuk alanı formülüyle de hesaplanabilir: x=−1x=-1 ile x=1x=1 arasında yamuk, x=1x=1 ile x=5x=5 arasında dikdörtgen oluşur.
Estimated Time:2m 30s
Rate this question

Topics

Kartezyen Çarpım

More questions from this topic