Examkin

Question

Difficulty: MediumKüme Kavramı ve Gösterimi

Tam sayılar kümesi (Z\mathbb{Z}) üzerinde tanımlı AA kümesi, ortak özellik yöntemiyle aşağıdaki gibi ifade edilmiştir:

A={x∈Z∣4x+36x+3∈Z+} A = \left\{ x \in \mathbb{Z} \mid \frac{4x + 36}{x + 3} \in \mathbb{Z}^+ \right\}

Buna göre, AA kümesinin eleman sayısı kaçtır?

  1. A
    8
  2. 11Answer
  3. C
    12
  4. D
    14
  5. E
    16

Answer

A kümesinin 11 elemanı vardır.
Verilen AA kümesinin elemanlarını bulmak için ifadeyi 4+24x+34 + \frac{24}{x+3} şeklinde düzenleriz. Bu ifadenin bir pozitif tam sayı olması için iki koşul gereklidir: (1) x+3x+3, 24'ü tam bölmelidir. (2) İfadenin toplam değeri 0'dan büyük olmalıdır. 24'ün 8 adet pozitif böleni bu koşulu her zaman sağlar. 24'ün 8 adet negatif böleninden ise sadece -8, -12 ve -24 değerleri ifadeyi pozitif yapar (örneğin x+3=−8x+3=-8 için 4+(−3)=14 + (-3) = 1). Toplamda 8+3=118+3=11 farklı xx değeri vardır.

Step-by-Step Solution

1
Verilen ifadeyi polinom bölmesi veya basit kesirlerine ayırma yöntemiyle düzenle.
4x+36x+3=4(x+3)+24x+3=4+24x+3\frac{4x + 36}{x + 3} = \frac{4(x + 3) + 24}{x + 3} = 4 + \frac{24}{x + 3}
İfadeyi tam sayı ve kesirli kısım olarak ayırmak, xx değerlerini bulmayı kolaylaştırır.
2
Sonucun Z+\mathbb{Z}^+ (pozitif tam sayılar) kümesine ait olması için gereken eşitsizliği kur.
4+24x+3>0  ⟹  24x+3>−44 + \frac{24}{x + 3} > 0 \implies \frac{24}{x + 3} > -4
Soruda sonucun pozitif tam sayı olması istendiği için ifade 0'dan büyük olmalıdır.
3
2424 sayısının tam sayı bölenlerini belirle (k=x+3k = x+3 diyelim).
Pozitif bölenler: 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 24 (8 tane).
Negatif bölenler: -1, -2, -3, -4, -6, -8, -12, -24 (8 tane).
Kesrin tam sayı olması için paydanın 24'ü tam bölmesi gerekir.
4
Belirlenen bölenlerden eşitsizliği (24k>−4\frac{24}{k} > -4) sağlayanları seç.
Tüm pozitif bölenler (8 tane) sağlar.
Negatif bölenler için kontrol:
k=−1→−24k=-1 \to -24 (sağlamaz)
k=−2→−12k=-2 \to -12 (sağlamaz)
k=−3→−8k=-3 \to -8 (sağlamaz)
k=−4→−6k=-4 \to -6 (sağlamaz)
k=−6→−4k=-6 \to -4 (sağlamaz, çünkü sonucun >0>0 olması için ifadenin en az 1 olması gerekir, burada sonuç 0 olur)
k=−8→−3k=-8 \to -3 (SAĞLAR, 4−3=14-3=1)
k=−12→−2k=-12 \to -2 (SAĞLAR, 4−2=24-2=2)
k=−24→−1k=-24 \to -1 (SAĞLAR, 4−1=34-1=3)
Negatiflerden sağlayanlar: -8, -12, -24 (3 tane).
Negatif bölenlerin hepsi sonucu pozitif yapmaz, sadece -4'ten büyük sonuç verenler geçerlidir.
5
Toplam sağlayan kk değerlerini say ve sonucu bul.
8 (pozitif) + 3 (negatif) = 11 eleman.
Her bir geçerli kk değeri için bir xx tam sayısı (x=k−3x=k-3) bulunduğundan, kümenin eleman sayısı kk değerlerinin sayısına eşittir.

Key Concept

Bir kümenin ortak özellik yöntemiyle tanımlanması, elemanlarının belirli bir matematiksel koşulu sağlamasına dayanır. Bu tür sorularda hem tam bölünebilme hem de eşitsizlik kısıtlamalarına dikkat edilmelidir.

Hints

1
İfadeyi 4+Ax+34 + \frac{A}{x+3} biçiminde yazarak tam sayı kısmını ayırın.
2
Paydanın (x+3x+3) 24'ü tam bölmesi gerekir. Ancak sonucun 'pozitif tam sayı' (Z+\mathbb{Z}^+) olması gerektiğini unutmayın.
3
Negatif bölenleri kontrol ederken dikkatli olun. Örneğin, payda -6 olduğunda sonuç 0 olur ve bu pozitif bir tam sayı değildir.

Practice More

Benzer mantıkla, 'sonucun tam sayı olduğu' ancak x'in doğal sayı olduğu varyasyonları çözebilirsiniz.

Alternative Method

Grafiksel yaklaşım: y=4+24/ky = 4 + 24/k hiperbolünü düşünerek yy değerinin 1 veya daha büyük olduğu tam sayı apsisleri sayılabilir.
Estimated Time:2m 30s
Rate this question

Topics

Küme Kavramı ve Gösterimi

More questions from this topic