Examkin

Question

Difficulty: HardKartezyen Çarpım
A,BA, B ve CC boş kümeden farklı kümeler olmak üzere;
s(A×A)=144s(A \times A) = 144

s(A×(B∩C))=36s(A \times (B \cap C)) = 36

s((A×B)∪(A×C))=204s((A \times B) \cup (A \times C)) = 204

eşitlikleri veriliyor.

s(B)≠s(C)s(B) \neq s(C) olduğu bilindiğine göre, s(B×C)s(B \times C) ifadesinin alabileceği en büyük değer kaçtır?

  1. A
    51
  2. B
    91
  3. C
    96
  4. 99Answer
  5. E
    100

Answer

İstenen en büyük değer 99'dur.
Soruda verilen kartezyen çarpım eşitliklerinden s(A)=12s(A)=12, s(B∩C)=3s(B \cap C)=3 ve s(B∪C)=17s(B \cup C)=17 değerlerine ulaşılır. Kümelerin birleşim formülü kullanılarak s(B)+s(C)=20s(B) + s(C) = 20 elde edilir. İstenen s(B×C)=s(B)⋅s(C)s(B \times C) = s(B) \cdot s(C) çarpımının en büyük olması için, toplamları sabit olan s(B)s(B) ve s(C)s(C) değerleri birbirine mümkün olduğunca yakın seçilmelidir. s(B)≠s(C)s(B) \neq s(C) koşulu verildiği için 10 ve 10 seçilemez; bu nedenle en yakın tam sayılar olan 9 ve 11 seçilir. Sonuç 9⋅11=999 \cdot 11 = 99 olur.

Step-by-Step Solution

1
A kümesinin eleman sayısını bulmak için birinci eşitliği kullan.
s(A×A)=s(A)⋅s(A)=144⇒s(A)=12s(A \times A) = s(A) \cdot s(A) = 144 \Rightarrow s(A) = 12
Kartezyen çarpımın eleman sayısı kuralı: s(A×B)=s(A)⋅s(B)s(A \times B) = s(A) \cdot s(B).
2
B ve C kümelerinin kesişiminin eleman sayısını bul.
s(A×(B∩C))=s(A)⋅s(B∩C)=36⇒12⋅s(B∩C)=36⇒s(B∩C)=3s(A \times (B \cap C)) = s(A) \cdot s(B \cap C) = 36 \Rightarrow 12 \cdot s(B \cap C) = 36 \Rightarrow s(B \cap C) = 3
Bulunan s(A)s(A) değerini yerine koyarak bilinmeyeni yalnız bırakma.
3
Kartezyen çarpımın birleşim üzerine dağılma özelliğini kullanarak B ve C birleşiminin eleman sayısını bul.
s((A×B)∪(A×C))=s(A×(B∪C))=s(A)⋅s(B∪C)=204⇒12⋅s(B∪C)=204⇒s(B∪C)=17s((A \times B) \cup (A \times C)) = s(A \times (B \cup C)) = s(A) \cdot s(B \cup C) = 204 \Rightarrow 12 \cdot s(B \cup C) = 204 \Rightarrow s(B \cup C) = 17
Dağılma özelliği: (A×B)∪(A×C)=A×(B∪C)(A \times B) \cup (A \times C) = A \times (B \cup C).
4
B ve C kümelerinin eleman sayıları toplamını hesapla.
s(B∪C)=s(B)+s(C)−s(B∩C)⇒17=s(B)+s(C)−3⇒s(B)+s(C)=20s(B \cup C) = s(B) + s(C) - s(B \cap C) \Rightarrow 17 = s(B) + s(C) - 3 \Rightarrow s(B) + s(C) = 20
Kümelerde birleşim formülü.
5
Çarpımın en büyük değerini bulmak için optimizasyon yap.
Toplamları 20 olan ve birbirinden farklı (s(B)≠s(C)s(B) \neq s(C)) iki sayının çarpımı en çok 9⋅11=999 \cdot 11 = 99 olur.
Toplamı sabit iki sayının çarpımının en büyük olması için sayılar birbirine en yakın seçilmelidir. Eşitlik durumu (10,1010, 10) sorudaki şart nedeniyle elenir.

Key Concept

Kartezyen çarpımın dağılma özelliği ve eleman sayısı problemleri ile temel eşitsizlik mantığı.

Hints

1
Önce s(A×A)s(A \times A) bilgisinden A kümesinin eleman sayısını bulunuz. Ardından dağılma özelliğini hatırlayarak (A×B)∪(A×C)(A \times B) \cup (A \times C) ifadesini sadeleştiriniz.
2
Bulduğunuz değerlerle s(B)+s(C)s(B) + s(C) toplamını elde etmek için birleşim kümesi formülünü (s(B∪C)=s(B)+s(C)−s(B∩C)s(B \cup C) = s(B) + s(C) - s(B \cap C)) kullanınız.
3
Toplamları 20 olan iki sayının çarpımının en büyük olması için sayıların birbirine yakın olması gerekir. Ancak sorudaki s(B)≠s(C)s(B) \neq s(C) şartına dikkat ediniz.

Alternative Method

Doğrudan s(A×B)+s(A×C)−s((A×B)∩(A×C))=204s(A \times B) + s(A \times C) - s((A \times B) \cap (A \times C)) = 204 formülü kullanılarak 12s(B)+12s(C)−36=20412s(B) + 12s(C) - 36 = 204 denklemi kurulup s(B)+s(C)s(B)+s(C) bulunabilir.
Estimated Time:2m 30s
Rate this question

Topics

Kartezyen Çarpım

More questions from this topic