Examkin

Question

Difficulty: HardKombinasyonun Geometrik Uygulamaları

Aşağıda verilen ABC üçgeninin kenarları üzerinde, köşeler de dahil olmak üzere belirli sayıda nokta işaretlenmiştir:

* AB kenarı üzerinde 4 nokta,
* AC kenarı üzerinde 5 nokta,
* BC kenarı üzerinde 6 nokta

bulunmaktadır.

Buna göre, köşeleri bu işaretli noktalardan seçilen kaç farklı üçgen oluşturulabilir?

  1. 186Answer
  2. B
    196
  3. C
    217
  4. D
    220
  5. E
    421

Answer

Köşeleri verilen noktalardan seçilen 186 farklı üçgen oluşturulabilir.
Doğru cevap, toplam 12 noktadan yapılabilecek tüm 3'lü seçimlerden (220), aynı doğru üzerinde bulunan ve üçgen oluşturmayan 3'lü seçimlerin (34) çıkarılmasıyla elde edilen 186 sonucudur.

Step-by-Step Solution

1
Toplam nokta sayısını belirle.
Kenarlardaki nokta sayıları toplanırken köşe noktaları (A, B, C) ikişer kez sayılmıştır. Kümelerdeki birleşim mantığıyla: Toplam Nokta = (4 + 5 + 6) - 3 (ortak köşeler) = 12 nokta vardır.
Üçgenin köşeleri her iki komşu kenara da aittir, bu yüzden mükerrer sayımı düzeltmek gerekir.
2
Tüm üçlü seçimlerin sayısını hesapla (Örnek Uzay).
(123)=12⋅11⋅103⋅2⋅1=220\binom{12}{3} = \frac{12 \cdot 11 \cdot 10}{3 \cdot 2 \cdot 1} = 220 farklı seçim yapılabilir.
12 noktadan rastgele seçilen herhangi 3 nokta potansiyel bir üçgen adayıdır.
3
Üçgen oluşturmayan (doğrusal) durumları tespit et ve çıkar.
Aynı doğru üzerindeki noktalar üçgen oluşturmaz:
- AB kenarı (4 nokta): (43)=4\binom{4}{3} = 4
- AC kenarı (5 nokta): (53)=10\binom{5}{3} = 10
- BC kenarı (6 nokta): (63)=20\binom{6}{3} = 20
Toplam çıkarılacak: 4+10+20=344 + 10 + 20 = 34.
Bir üçgen oluşması için seçilen 3 noktanın doğrusal olmaması gerekir.
4
Sonucu bul.
220−34=186220 - 34 = 186.
Tüm durumlardan istenmeyen durumlar çıkarılarak sonuç bulunur.

Key Concept

Kombinasyon ile Üçgen Sayısı Bulma

Hints

1
Önce şekildeki toplam farklı nokta sayısını bulunuz. Köşelerin (A, B, C) her iki kenar için de sayıldığına dikkat ediniz.
2
Toplam nokta sayısı 12'dir. Tüm 3'lü kombinasyonları hesaplayınız ve bunlardan üçgen oluşturmayan durumları çıkarınız.
3
Aynı doğru üzerinde bulunan 3 nokta üçgen oluşturmaz. AB üzerindeki 4, AC üzerindeki 5 ve BC üzerindeki 6 noktanın kendi içindeki 3'lü kombinasyonlarını toplamdan çıkarınız.

Practice More

Benzer bir soruyu, köşelerden birinin mutlaka A noktası olması şartıyla çözmeyi deneyiniz.

Alternative Method

Üçgen oluşturmak için 3 nokta gerekir. Bu noktalar: (1 nokta AB'den, 1 nokta BC'den, 1 nokta AC'den) VEYA (2 nokta bir kenardan, 1 nokta diğer kenardan) şeklinde seçilebilir. Ancak bu yöntem daha uzun süreceği için 'Tüm Durumlar - İstenmeyen Durumlar' yöntemi tercih edilir.
Estimated Time:2m 30s
Rate this question

Topics

Kombinasyonun Geometrik Uygulamaları

More questions from this topic