Examkin

Question

Difficulty: Very hardİşlem
Gerçel sayılar kümesi üzerinde tanımlı bir △\triangle işlemi, her xx ve yy gerçel sayısı için
x△y=3xy−12x−12y+52x \triangle y = 3xy - 12x - 12y + 52

biçiminde tanımlanıyor.

Buna göre, bu işlemde tersi kendisine eşit olan farklı gerçel sayıların toplamı kaçtır?

  1. A
    4
  2. B
    13/3
  3. C
    6
  4. 8Answer
  5. E
    26/3

Answer

Tersi kendisine eşit olan sayıların toplamı 8'dir.
Verilen işlem x△y=3(x−4)(y−4)+4x \triangle y = 3(x-4)(y-4) + 4 biçiminde düzenlenebilir. Bu yapıda birim eleman e=4+1/3=13/3e = 4 + 1/3 = 13/3 olarak bulunur. Tersi kendisine eşit olan elemanlar için x△x=ex \triangle x = e denklemi çözüldüğünde, kökler x=4±1/3x = 4 \pm 1/3 gelir. Bu köklerin toplamı 2×4=82 \times 4 = 8 olur.

Step-by-Step Solution

1
İşlemin birim (etkisiz) elemanını (ee) bulmak için x△e=xx \triangle e = x eşitliğini çöz.
3xe−12x−12e+52=x3xe - 12x - 12e + 52 = x
Birim eleman tanımı gereği, bir sayı ile birim eleman işleme girdiğinde sonuç sayının kendisi olmalıdır.
2
Elde edilen denklemden ee değerini çek.
x(3e−13)−12e+52=0x(3e - 13) - 12e + 52 = 0. Bu eşitliğin her xx için sağlanması için 3e−13=03e - 13 = 0 olmalıdır. Buradan e=13/3e = 13/3 bulunur.
Değişken (xx) içeren bir ifadenin her zaman sıfır olması için katsayılarının sıfır olması gerekir.
3
Bir xx sayısının tersi (x−1x^{-1}) kendisine eşitse, x△x=ex \triangle x = e eşitliğini sağlayan xx değerlerini bul.
3x2−12x−12x+52=13/3⇒3x2−24x+52=13/33x^2 - 12x - 12x + 52 = 13/3 \Rightarrow 3x^2 - 24x + 52 = 13/3
Ters eleman tanımı (x△x−1=ex \triangle x^{-1} = e) ve sorudaki x=x−1x = x^{-1} koşulu birleştirilir.
4
Oluşan ikinci dereceden denklemi düzenle ve kökler toplamını bul.
9x2−72x+156=13⇒9x2−72x+143=09x^2 - 72x + 156 = 13 \Rightarrow 9x^2 - 72x + 143 = 0. Kökler toplamı −b/a=−(−72)/9=8-b/a = -(-72)/9 = 8.
İkinci dereceden bir denklemde kökler toplamı formülü kullanılır.

Key Concept

İşlem konusunda birim eleman ve ters eleman bulma yöntemleri ile ikinci dereceden denklem kök ilişkileri.

Hints

1
Önce işlemin birim (etkisiz) elemanını bulmalısın. Birim eleman ee ise, her xx için x△e=xx \triangle e = x olmalıdır.
2
3xe−12x−12e+52=x3xe - 12x - 12e + 52 = x eşitliğinden ee değerini çek. Sonra tersi kendisine eşit olan sayılar için x△x=ex \triangle x = e denklemini kur.
3
Oluşan ikinci dereceden denklemi (9x2−72x+143=09x^2 - 72x + 143 = 0) çözmek yerine, kökler toplamı formülünü (−b/a-b/a) kullanabilirsin.

Practice More

Benzer yapıda, tersi kendisine eşit olmayan bir elemanın tersini sormayı dene.

Alternative Method

İşlem x△y=m(x−a)(y−a)+ax \triangle y = m(x-a)(y-a) + a formatına dönüştürülebilir. Burada m=3m=3 ve a=4a=4 olduğu görülür (3(−4x)=−12x3(-4x) = -12x). Bu formattaki işlemlerde tersi kendisine eşit olan sayıların toplamı her zaman 2a2a değerine eşittir. Yani 2×4=82 \times 4 = 8.
Estimated Time:3m 0s
Rate this question

Topics

İşlem

More questions from this topic