Bir düzlem üzerinde bulunan 9 farklı doğru ile ilgili aşağıdaki bilgiler verilmiştir:
* Doğrulardan 4 tanesi birbirine paraleldir.
* Farklı 3 doğru ise sabit bir A noktasında kesişmektedir.
* Geriye kalan 2 doğru, ne birbirine ne de diğer doğrulara paraleldir ve A noktasından geçmemektedir.
Buna göre, bu doğrularla oluşturulabilecek üçgen sayısı en çok kaçtır?
- 49Answer
- B50
- C79
- D80
- E84
Answer
Doğrularla oluşturulabilecek en çok üçgen sayısı 49'dur.
Toplam 9 doğrudan rastgele 3'ü seçildiğinde C(9,3)=84 durum oluşur. Ancak üçgen oluşabilmesi için doğruların aynı noktada kesişmemesi ve birbirine paralel olmaması gerekir. 1) 4 paralel doğrudan 3'ü seçilemez (C(4,3)=4). 2) 4 paralel doğrudan 2'si seçilirse, üçüncü doğru ne olursa olsun üçgen oluşmaz (C(4,2)×5=30). 3) A noktasında kesişen 3 doğru seçilirse üçgen oluşmaz (C(3,3)=1). Toplam geçerli sayı: 84 - 4 - 30 - 1 = 49'dur.
Step-by-Step Solution
Key Concept
Kombinasyon ile Üçgen Sayısı Bulma
Hints
1
Bir üçgen oluşturmak için 3 doğruya ihtiyaç vardır, ancak bu doğruların birbirine paralel olmaması ve tek bir noktada kesişmemesi gerekir.
2
Önce hiçbir şart yokmuş gibi 9 doğrunun 3'lü kombinasyonlarını hesaplayın (C(9,3)). Sonra üçgen oluşturmayan durumları (3'ü paralel, 2'si paralel, 3'ü noktadaş) toplamdan çıkarın.
3
Unutmayın: Bir üçgenin iki kenarı paralel olamaz. Bu yüzden 4 paralel doğrudan herhangi 2'sini seçtiğinizde, üçüncü doğru ne olursa olsun üçgen oluşmaz.
Alternative Method
Yapıcı Yöntem: Üçgenleri doğrudan oluşturarak sayabilirsiniz. 1) Paralel olmayan (O) gruptan 2 doğru, Paralel (P) gruptan 1 doğru seçimi: (C(5,2)-1)×4 = 36. 2) O gruptan 3 doğru seçimi: C(5,3)-1 = 9. Toplam 36+9=45? Dikkat: A noktasından geçmeyen paralellerle oluşan ek durumlar karmaşıktır, çıkarma yöntemi daha güvenlidir.
Estimated Time:2m 30s