Examkin

Question

Difficulty: HardFonksiyonlar
x≠0x \neq 0 olmak üzere, uygun koşullarda tanımlı bir ff fonksiyonu için
f(x)+3f(1x)=4x f(x) + 3f\left(\frac{1}{x}\right) = 4x

eşitliği veriliyor.
Buna göre, f(2)f(2) değeri kaçtır?
  1. A
    22
  2. B
    14\frac{1}{4}
  3. −14-\frac{1}{4}Answer
  4. D
    44
  5. E
    −2-2

Answer

İstenen değer −14-\frac{1}{4}'tür.
Verilen fonksiyonel denklemde xx yerine hem 22 hem de 1/21/2 yazılarak iki bilinmeyenli bir denklem sistemi elde edilir. Bu sistemde f(1/2)f(1/2) yok edilerek f(2)f(2) değeri −14-\frac{1}{4} olarak bulunur.

Step-by-Step Solution

1
Verilen eşitlikte xx yerine 22 yazarak birinci denklemi oluşturun.
f(2)+3f(1/2)=4(2)⇒f(2)+3f(1/2)=8f(2) + 3f(1/2) = 4(2) \Rightarrow f(2) + 3f(1/2) = 8
f(2)f(2) değerini içeren bir denklem elde etmek için.
2
Verilen eşitlikte xx yerine 1/21/2 yazarak ikinci bir denklem oluşturun.
f(1/2)+3f(1/(1/2))=4(1/2)⇒f(1/2)+3f(2)=2f(1/2) + 3f(1/(1/2)) = 4(1/2) \Rightarrow f(1/2) + 3f(2) = 2
Bilinmeyen f(1/2)f(1/2) terimini yok etmek için sisteme ihtiyaç vardır.
3
Elde edilen iki bilinmeyenli denklem sistemini çözün. İkinci denklemi −3-3 ile çarpıp birinci denklemle taraf tarafa toplayın.
−3[f(1/2)+3f(2)]=−3(2)⇒−3f(1/2)−9f(2)=−6-3[f(1/2) + 3f(2)] = -3(2) \Rightarrow -3f(1/2) - 9f(2) = -6. Toplama: (f(2)−9f(2))+(3f(1/2)−3f(1/2))=8−6⇒−8f(2)=2(f(2) - 9f(2)) + (3f(1/2) - 3f(1/2)) = 8 - 6 \Rightarrow -8f(2) = 2.
f(1/2)f(1/2) terimlerini yok ederek f(2)f(2)'yi yalnız bırakmak için.
4
f(2)f(2) değerini hesaplayın.
f(2)=2−8=−14f(2) = \frac{2}{-8} = -\frac{1}{4}
Sonucu sadeleştirerek bulmak için.

Key Concept

Fonksiyonel Denklemler (Değişken Dönüşümü)

Hints

1
Eşitlikte xx yerine 22 yazarak f(2)f(2) ve f(1/2)f(1/2) içeren bir denklem elde etmeyi deneyin.
2
Bilinmeyen f(1/2)f(1/2) değerini bulmak veya yok etmek için, eşitlikte xx yerine bu sefer 1/21/2 yazarak ikinci bir denklem oluşturun.
3
Elde ettiğiniz iki denklemi, f(1/2)f(1/2) terimlerini yok edecek şekilde (örneğin ikinci denklemi -3 ile çarparak) taraf tarafa toplayın.

Practice More

Benzer yapıda olan ancak f(x)f(x) ve f(−x)f(-x) içeren soruları çözerek değişken dönüşümü pratiği yapın.

Alternative Method

Genel çözüm için f(x)f(x) fonksiyonunu bulup sonra x=2x=2 yazabilirsiniz. f(x)+3f(1/x)=4xf(x) + 3f(1/x) = 4x ve f(1/x)+3f(x)=4/xf(1/x) + 3f(x) = 4/x sisteminden f(x)=32x−x2f(x) = \frac{3}{2x} - \frac{x}{2} bulunur.
Estimated Time:2m 30s
Rate this question

Topics

Fonksiyonlar

More questions from this topic