Examkin

Question

Difficulty: HardKombinasyonun Geometrik Uygulamaları

Bir ABCABC üçgeninin [AB][AB] kenarı üzerinde AA ve BB köşeleri dahil 4 nokta, [BC][BC] kenarı üzerinde BB ve CC köşeleri dahil 5 nokta ve [AC][AC] kenarı üzerinde AA ve CC köşeleri dahil 6 nokta bulunmaktadır.

Buna göre, köşeleri işaretlenen bu noktalardan seçilen ve bir köşesi A noktası olan kaç farklı üçgen oluşturulabilir?

  1. A
    32
  2. 42Answer
  3. C
    55
  4. D
    66
  5. E
    186

Answer

42 farklı üçgen oluşturulabilir
Soruda bir köşenin mutlaka A olması istendiği için problem, A dışındaki 11 noktadan 2'sinin seçilmesi problemine dönüşür ((112)=55\binom{11}{2}=55). Ancak seçilen bu iki noktanın A ile doğrusal olmaması gerekir. A noktasından geçen doğrular [AB][AB] ve [AC][AC]'dir. [AB][AB] üzerindeki A hariç 3 noktadan yapılan 2'li seçimler ((32)=3\binom{3}{2}=3) ve [AC][AC] üzerindeki A hariç 5 noktadan yapılan 2'li seçimler ((52)=10\binom{5}{2}=10) üçgen oluşturmaz. [BC][BC] üzerindeki noktalar A ile doğrusal değildir. Sonuç: 55−(3+10)=4255 - (3+10) = 42.

Step-by-Step Solution

1
Toplam nokta sayısını ve seçim yapılacak havuzu belirle
Toplam nokta sayısı: (4−2)+(5−2)+(6−2)+3(ko¨s¸e)=12(4-2) + (5-2) + (6-2) + 3(\text{köşe}) = 12 nokta. Bir köşe A olarak sabitlendiğinden, diğer 2 köşe kalan 12−1=1112 - 1 = 11 nokta arasından seçilecektir.
Üçgen oluşturmak için 3 köşe gereklidir; biri (A) zaten bellidir.
2
Tüm olası ikili seçimleri hesapla
(112)=11⋅102=55\binom{11}{2} = \frac{11 \cdot 10}{2} = 55.
Herhangi bir kısıt olmadan 11 noktadan 2 nokta bu kadar farklı şekilde seçilebilir.
3
Üçgen oluşturmayan (A ile doğrusal olan) durumları çıkar
A noktasından geçen doğrular üzerindeki ikililer üçgen oluşturmaz:
- [AB][AB] üzerinde A hariç 3 nokta vardır: (32)=3\binom{3}{2} = 3 durum.
- [AC][AC] üzerinde A hariç 5 nokta vardır: (52)=10\binom{5}{2} = 10 durum.
Toplam çıkarılacak: 1313.
Seçilen 2 nokta A ile aynı doğru üzerindeyse (doğrudaş) üçgen oluşmaz. [BC][BC] üzerindeki noktalar A ile doğrusal olmadığından çıkarma yapılmaz.
4
Geçerli üçgen sayısını bul
55−13=4255 - 13 = 42.
Tüm ikili seçimlerden geçersiz olanlar çıkarılarak sonuca ulaşılır.

Key Concept

Sabit bir köşeye sahip üçgenleri sayarken, o köşeden geçen doğrular üzerindeki nokta çiftleri 'doğrusallık' nedeniyle elenir; ancak o köşeden geçmeyen doğrular üzerindeki çiftler (o köşe ile birleşince üçgen oluşturdukları için) elenmez.

Hints

1
Bir köşe A olarak sabitlendiğine göre, üçgeni tamamlamak için geriye kalan noktalardan kaç tane daha seçmelisiniz?
2
Geriye kalan 11 noktadan rastgele 2 nokta seçebilirsiniz ((112)\binom{11}{2}), ancak bu noktaların A ile 'doğrusal' olmaması gerekir.
3
Sadece A noktasından geçen [AB][AB] ve [AC][AC] doğruları üzerindeki nokta çiftleri A ile üçgen oluşturamaz. [BC][BC] üzerindeki noktalar A ile doğrusal değildir.

Alternative Method

Yapılandırmacı Yöntem: Üçgenin diğer iki köşesi için olası konumları toplayabilirsiniz:
1) Biri [AB][AB] (A hariç), biri [AC][AC] (A hariç) üzerinde: 3×5=153 \times 5 = 15
2) Biri [AB][AB] (A hariç), biri [BC][BC] üzerinde: 3×5=153 \times 5 = 15
3) Biri [AC][AC] (A hariç), biri [BC][BC] üzerinde: 5×5=255 \times 5 = 25
Ancak [BC][BC] üzerindeki noktaların [AB][AB] veya [AC][AC] ile kesişim (köşe) durumlarını dikkatli ayıklamak zordur, bu yüzden çıkarma yöntemi daha güvenilirdir.
Estimated Time:2m 30s
Rate this question

Topics

Kombinasyonun Geometrik Uygulamaları

More questions from this topic