Examkin

Question

Difficulty: Very hardBirinci Dereceden Denklemler
a,ba, b ve cc pozitif gerçel sayılar olmak üzere,
x−ab+c+x−ba+c+x−ca+b=3 \frac{x - a}{b + c} + \frac{x - b}{a + c} + \frac{x - c}{a + b} = 3

eşitliğini sağlayan xx değeri aşağıdakilerden hangisidir?
  1. a+b+ca + b + cAnswer
  2. B
    a−b−ca - b - c
  3. C
    00
  4. D
    3(a+b+c)3(a + b + c)
  5. E
    −(a+b+c)-(a + b + c)

Answer

Denklemin kökü a+b+ca + b + c ifadesidir.
Verilen denklemde eşitliğin sağındaki 3 sayısı, sol taraftaki üç terime -1 olarak dağıtıldığında tüm paylar x−(a+b+c)x - (a+b+c) ortak çarpanına dönüşür. Bu ortak çarpan parantezine alındığında x=a+b+cx = a+b+c sonucu bulunur.

Step-by-Step Solution

1
Eşitliğin sağ tarafındaki 33 sayısını, sol taraftaki üç kesirli ifadeye paylaştırmak için eşitliğin her iki tarafından 33 çıkarılır (her terimden 11 çıkarılır).
(x−ab+c−1)+(x−ba+c−1)+(x−ca+b−1)=0 \left( \frac{x - a}{b + c} - 1 \right) + \left( \frac{x - b}{a + c} - 1 \right) + \left( \frac{x - c}{a + b} - 1 \right) = 0
Kesirlerde payda eşitlemek yerine pay kısımlarını ortak bir çarpan haline getirmek için kullanılan stratejik bir adımdır.
2
Her parantez içindeki çıkarma işlemi yapılır.
x−a−(b+c)b+c+x−b−(a+c)a+c+x−c−(a+b)a+b=0 \frac{x - a - (b + c)}{b + c} + \frac{x - b - (a + c)}{a + c} + \frac{x - c - (a + b)}{a + b} = 0
Paydalar kullanılarak 1 sayısı kesre dahil edilir.
3
Paylardaki ifadeler düzenlenir.
x−(a+b+c)b+c+x−(a+b+c)a+c+x−(a+b+c)a+b=0 \frac{x - (a + b + c)}{b + c} + \frac{x - (a + b + c)}{a + c} + \frac{x - (a + b + c)}{a + b} = 0
Tüm terimlerin pay kısmının aynı olduğu görülür.
4
Ortak olan x−(a+b+c)x - (a + b + c) çarpan parantezine alınır.
(x−(a+b+c))⋅(1b+c+1a+c+1a+b)=0 (x - (a + b + c)) \cdot \left( \frac{1}{b + c} + \frac{1}{a + c} + \frac{1}{a + b} \right) = 0
Denklemi çözmek için değişkeni içeren ifadeyi katsayılardan ayırmak gerekir.
5
a,b,ca, b, c pozitif gerçel sayılar olduğundan, parantez içindeki toplam sıfırdan farklıdır. Bu durumda diğer çarpan sıfır olmalıdır.
x−(a+b+c)=0  ⟹  x=a+b+c x - (a + b + c) = 0 \implies x = a + b + c
Sıfırdan farklı iki sayının çarpımı sıfır olamayacağından, xx'i içeren terim sıfıra eşitlenir.

Key Concept

Bu soru, payda eşitlemenin çok zor olduğu durumlarda 'terim ekleyip çıkarma' veya 'gruplandırma' yönteminin kullanılmasını gerektirir.

Hints

1
Paydaları eşitlemeye çalışmak yerine, eşitliğin sağındaki 3 sayısını sol taraftaki terimlere nasıl paylaştırabileceğinizi düşünün.
2
Eşitliğin her iki tarafından 3 çıkarın. Bunu yaparken sol taraftaki her bir kesirden 1 çıkararak işlemi düzenleyin.
3
Her kesirden 1 çıkardığınızda, pay kısımlarının x−(a+b+c)x - (a + b + c) şeklinde ortak bir ifadeye dönüştüğünü göreceksiniz.

Practice More

Benzer yapıdaki x−12025+x−22024+x−32023=3\frac{x-1}{2025} + \frac{x-2}{2024} + \frac{x-3}{2023} = 3 sorusunu çözerek pekiştirme yapabilirsiniz.

Alternative Method

Polinom mantığıyla düşünülürse; x=a+b+cx = a+b+c değeri verildiğinde her bir kesir b+cb+c=1\frac{b+c}{b+c}=1, a+ca+c=1\frac{a+c}{a+c}=1 ve a+ba+b=1\frac{a+b}{a+b}=1 olur. Toplamları 1+1+1=31+1+1=3 olduğundan denklem sağlanır.
Estimated Time:3m 0s
Rate this question

Topics

Birinci Dereceden Denklemler

More questions from this topic