Examkin

Question

Difficulty: HardBirinci Dereceden Denklemler
xx değişkenine bağlı
ax−2−1x+1=2x2−x−2\frac{a}{x-2} - \frac{1}{x+1} = \frac{2}{x^2-x-2}

denkleminin çözüm kümesi boş küme olduğuna göre, aa gerçel sayısının alabileceği değerlerin toplamı kaçtır?
  1. A
    23\frac{2}{3}
  2. B
    1
  3. C
    43\frac{4}{3}
  4. 53\frac{5}{3}Answer
  5. E
    2

Answer

a sayısının alabileceği değerler 1 ve 2/3 olup, bunların toplamı 5/3 tür.
Çözüm kümesinin boş olması iki durumda mümkündür: 1) Değişkenin yok olması ve geriye yanlış bir eşitlik kalması (a=1a=1 durumu), 2) Bulunan kökün paydayı sıfır yaparak tanımsız olması (a=2/3a=2/3 durumu). Bu değerlerin toplamı 5/35/3'tür.

Step-by-Step Solution

1
Verilen denklemdeki paydalar incelenir ve ortak payda belirlenir.
x2−x−2=(x−2)(x+1)x^2-x-2 = (x-2)(x+1) olduğundan, sol taraftaki kesirlerin paydaları eşitlenerek ifade düzenlenir: a(x+1)−1(x−2)(x−2)(x+1)=2(x−2)(x+1)\frac{a(x+1) - 1(x-2)}{(x-2)(x+1)} = \frac{2}{(x-2)(x+1)}
Rasyonel denklemlerde işlem yapabilmek için paydaların eşitlenmesi gerekir.
2
Paydalar eşit olduğu için paylar birbirine eşitlenir ve denklem düzenlenir. (Tanım kümesi: x≠2x \neq 2 ve x≠−1x \neq -1)
ax+a−x+2=2⇒(a−1)x+a=0⇒(a−1)x=−aax + a - x + 2 = 2 \Rightarrow (a-1)x + a = 0 \Rightarrow (a-1)x = -a
Birinci dereceden denklem formuna (Ax=BAx = B) getirilerek çözüm analizi yapılır.
3
Çözüm kümesinin boş küme olması için gereken 1. Durum (Katsayıların Sıfırlanması) incelenir.
xx'in katsayısı 00 ve sonuç 00'dan farklı olmalıdır. a−1=0⇒a=1a-1=0 \Rightarrow a=1. Bu durumda denklem 0=−10 = -1 olur, çözüm yoktur. Yani a=1a=1 bir değerdir.
0x=k0x = k (k≠0k \neq 0) formatındaki denklemlerin çözüm kümesi boş kümedir.
4
Çözüm kümesinin boş küme olması için gereken 2. Durum (Tanımsızlık) incelenir.
Bulunan xx değeri paydayı sıfır yapıyorsa çözüm kümesine dahil edilemez. x=−aa−1x = \frac{-a}{a-1}. Paydayı sıfır yapan değerler 22 ve −1-1'dir.
x=2x=2 için: −aa−1=2⇒−a=2a−2⇒3a=2⇒a=2/3\frac{-a}{a-1} = 2 \Rightarrow -a = 2a-2 \Rightarrow 3a=2 \Rightarrow a=2/3.
x=−1x=-1 için: −aa−1=−1⇒−a=−a+1\frac{-a}{a-1} = -1 \Rightarrow -a = -a+1 (Çözüm yok).
Denklemi sağlayan kök, başlangıçtaki paydayı sıfır yapıyorsa bu kök çözüm kümesine alınmaz, dolayısıyla küme boş kalır.
5
Bulunan uygun aa değerleri toplanır.
aa değerleri 11 ve 23\frac{2}{3}'tür. Toplam: 1+23=531 + \frac{2}{3} = \frac{5}{3} bulunur.
Soruda aa'nın alabileceği değerlerin toplamı istenmiştir.

Key Concept

Birinci dereceden bir bilinmeyenli denklemlerde çözüm kümesinin boş küme olması için ya 0x=k(k≠0)0x=k (k \neq 0) durumu oluşmalı ya da bulunan kök tanım kümesi dışında (paydayı sıfır yapan değer) olmalıdır.

Hints

1
Denklemdeki rasyonel ifadeleri toplamak için paydaları eşitleyin ve payları birbirine eşitleyerek doğrusal bir denklem (Ax+B=0Ax+B=0 formatında) elde edin.
2
Bir denklemin çözüm kümesi boşsa, iki ihtimal vardır: Ya 0x=k0x = k (k≠0k \neq 0) gibi bir çelişki oluşuyordur ya da bulunan xx değeri paydayı sıfır yaptığı için kabul edilemiyordur.
3
(a−1)x=−a(a-1)x = -a denklemini inceleyin. Katsayı sıfır olursa ne olur? Ayrıca, bu denklemin kökü olan xx, başlangıçtaki x−2x-2 paydasını sıfır yaparsa ne olur?
Estimated Time:2m 30s
Rate this question

Topics

Birinci Dereceden Denklemler

More questions from this topic