Examkin

Question

Difficulty: Very hardFonksiyon Tanımı ve Değer Bulma
Gerçel sayılar kümesinde {0,1}\{0, 1\} kümesi dışındaki sayılar için tanımlı bir ff fonksiyonu, tanım kümesindeki her xx değeri için,
f(x)+f(11−x)=2xf(x) + f\left(\frac{1}{1-x}\right) = \frac{2}{x}

eşitliğini sağlamaktadır.

Buna göre, f(2)f(2) değeri kaçtır?

  1. A
    −52-\frac{5}{2}
  2. B
    12\frac{1}{2}
  3. C
    32\frac{3}{2}
  4. D
    52\frac{5}{2}
  5. 72\frac{7}{2}Answer

Answer

Fonksiyonun döngüsel özelliği kullanılarak kurulan denklem sisteminin çözümünden 7/27/2 elde edilir.
Verilen fonksiyonel denklemde xx değişkenine sırasıyla 22, −1-1 ve 1/21/2 değerleri verildiğinde, bilinmeyenler (f(2),f(−1),f(1/2)f(2), f(-1), f(1/2)) arasında kapalı bir denklem sistemi oluşur. Bu sistem çözüldüğünde doğru değer olan 7/27/2 bulunur.

Step-by-Step Solution

1
İstenen değer olan f(2)f(2)'yi bulmak için denklemde x=2x=2 değerini yerine yaz.
f(2)+f(11−2)=22⇒f(2)+f(−1)=1f(2) + f\left(\frac{1}{1-2}\right) = \frac{2}{2} \Rightarrow f(2) + f(-1) = 1 (1. Denklem)
Fonksiyon denkleminde bilinmeyen bir terim (f(−1)f(-1)) ortaya çıkar, bunu bulmak için bir sonraki adıma geçilir.
2
Ortaya çıkan f(−1)f(-1) değerini bulmak için denklemde x=−1x=-1 yaz.
f(−1)+f(11−(−1))=2−1⇒f(−1)+f(12)=−2f(-1) + f\left(\frac{1}{1-(-1)}\right) = \frac{2}{-1} \Rightarrow f(-1) + f\left(\frac{1}{2}\right) = -2 (2. Denklem)
Yeni bir bilinmeyen (f(1/2)f(1/2)) ortaya çıkar, döngüyü tamamlamak için işleme devam edilir.
3
Ortaya çıkan f(1/2)f(1/2) değerini bulmak için denklemde x=1/2x=1/2 yaz.
f(12)+f(11−0.5)=20.5⇒f(12)+f(2)=4f\left(\frac{1}{2}\right) + f\left(\frac{1}{1-0.5}\right) = \frac{2}{0.5} \Rightarrow f\left(\frac{1}{2}\right) + f(2) = 4 (3. Denklem)
Tekrar f(2)f(2) terimine ulaşıldığı için 3 bilinmeyenli 3 denklemden oluşan bir sistem elde edilir.
4
Elde edilen 3 denklemi taraf tarafa işlemlere sokarak f(2)f(2)'yi çöz. f(2)=a,f(−1)=b,f(1/2)=cf(2)=a, f(-1)=b, f(1/2)=c olsun.
Sistem: a+b=1a+b=1, b+c=−2b+c=-2, c+a=4c+a=4. 1. denklemden b=1−ab=1-a bulunur. 2. denklemde yerine yazılırsa (1−a)+c=−2⇒c−a=−3(1-a)+c=-2 \Rightarrow c-a=-3 olur. Son olarak c+a=4c+a=4 ve c−a=−3c-a=-3 denklemleri taraf tarafa çıkarılırsa (2a=72a = 7) bulunur.
Lineer denklem sistemini çözerek hedef değişkene ulaşılır.

Key Concept

Bu soru tipi 'Döngüsel (Cyclic) Fonksiyonlar' olarak bilinir. Verilen bağıntıda xx yerine sırasıyla değerler verilerek başa dönen bir denklem sistemi oluşturulur.

Hints

1
Denklemde doğrudan x=2x=2 yazın. Karşınıza çıkan yeni f(...)f(...) değeri için tekrar xx yerine o değeri yazarak ilerleyin.
2
x=2x=2 yazdığınızda f(−1)f(-1) terimi, x=−1x=-1 yazdığınızda f(1/2)f(1/2) terimi, x=1/2x=1/2 yazdığınızda ise tekrar f(2)f(2) terimi ortaya çıkar.
3
Elinizde f(2)f(2), f(−1)f(-1) ve f(1/2)f(1/2) bilinmeyenlerinden oluşan 3 adet denklem var. Bu denklem sistemini çözerek f(2)f(2)'yi yalnız bırakın.

Practice More

f(x)+2f(1/x)=xf(x) + 2f(1/x) = x eşitliğini sağlayan fonksiyonda f(3)f(3) değerini bulunuz.

Alternative Method

Genel çözüm için y=11−xy = \frac{1}{1-x} dönüşümü üç kez uygulanarak f(x)f(x) fonksiyonunun kuralı f(x)=1x+1−x1+xf(x) = \frac{1}{x} + \frac{1-x}{1} + x benzeri bir yapı ile genel olarak bulunabilir, ancak sayısal değerler üzerinden gitmek daha hızlıdır.
Estimated Time:4m 0s
Rate this question

Topics

Fonksiyon Tanımı ve Değer Bulma

More questions from this topic