Examkin

Question

Difficulty: HardTek ve Çift Sayılar
a,ba, b ve cc birer tam sayı olmak üzere,
a⋅b+c=2a+4b+2023 a \cdot b + c = 2a + 4b + 2023

eşitliği veriliyor.

Buna göre, aşağıdakilerden hangisi her zaman doğrudur?

  1. A
    a tek sayıdır
  2. B
    c tek sayıdır
  3. C
    a · b çarpımı tek sayıdır
  4. a · b · c çarpımı çift sayıdırAnswer
  5. E
    a + c toplamı tek sayıdır

Answer

a · b · c çarpımı çift sayıdır
Verilen eşitlikte sağ taraf (2a+4b+20232a + 4b + 2023) kesinlikle tek sayıdır. Bu nedenle sol taraf olan a⋅b+ca \cdot b + c ifadesi de tek sayı olmalıdır. Bu durum, a⋅ba \cdot b ve cc sayılarından birinin tek, diğerinin çift olmasını gerektirir.

İki olası senaryo vardır:
1. cc çifttir: Bu durumda çarpım (a⋅b⋅ca \cdot b \cdot c) içinde çift bir çarpan olduğu için sonuç çifttir.
2. cc tektir: Bu durumda a⋅ba \cdot b çarpımı çift olmak zorundadır. a⋅ba \cdot b çift ise aa veya bb'den en az biri çifttir. Dolayısıyla çarpım (a⋅b⋅ca \cdot b \cdot c) yine çifttir.

Her iki durumda da a⋅b⋅ca \cdot b \cdot c çarpımı kesinlikle çift sayıdır.

Step-by-Step Solution

1
Eşitliğin sağ tarafının teklik-çiftlik durumunu incele.
2a + 4b + 2023 ifadesinde 2a ve 4b her zaman çifttir. 2023 tek sayı olduğundan, Çift + Çift + Tek = Tek sayıdır.
Tam sayı katsayılı (2 ve 4 gibi) ifadelerin paritesini belirlemek için.
2
Sol taraftaki a·b + c ifadesini sağ tarafın sonucuyla eşleştir.
a·b + c toplamı Tek sayı olmalıdır.
Eşitliğin korunması için sol tarafın da tek sayı olması gerekir.
3
Toplamın tek sayı olması için gereken durumları (senaryoları) belirle.
İki sayının toplamı tek ise, sayılardan biri Tek, diğeri Çift olmalıdır. İki durum vardır:
Durum 1: (a·b) Çift ve c Tek.
Durum 2: (a·b) Tek ve c Çift.
Teklik-çiftlik kurallarına göre T+Ç=T veya Ç+T=T olmalıdır.
4
Her iki durumu da analiz ederek kesin doğruluğu kontrol et.
Durum 1'de: a·b Çift ise a veya b'den en az biri çifttir. Dolayısıyla a·b·c çarpımında en az bir çift çarpan vardır → Sonuç Çift.
Durum 2'de: c Çift olduğundan, a·b·c çarpımında c çarpanı çifttir → Sonuç Çift.
Her iki durumda da çarpım çifttir.
Seçeneklerin her zaman doğru olup olmadığını test etmek için.

Key Concept

Tam sayılarda işlemlerin teklik ve çiftlik özellikleri (Parite Analizi).

Hints

1
Eşitliğin sağ tarafındaki 2a2a ve 4b4b terimlerinin çift sayı olduğunu fark ederek başlayın.
2
Eşitliğin sağ tarafı tek sayı çıktığına göre, sol taraftaki a⋅b+ca \cdot b + c toplamı da tek sayı olmalıdır.
3
a⋅ba \cdot b ve cc sayılarından biri tek, diğeri çift olmak zorundadır. Bu iki durumu ayrı ayrı inceleyerek çarpımlarının sonucunu düşünün.

Practice More

Benzer mantıkla 3a+5b=4c+13a + 5b = 4c + 1 gibi denklemler kurarak farklı katsayıların parite üzerindeki etkisini inceleyen sorular çözebilirsiniz.

Alternative Method

Değer verme yöntemi kullanılabilir ancak dikkatli olunmalıdır. En az iki farklı durumu test edin: 1) a=1,b=1a=1, b=1 verip cc'yi bulun, 2) a=2,b=1a=2, b=1 verip cc'yi bulun. Her iki durumda da seçeneklerin doğruluğunu kontrol edin.
Estimated Time:2m 0s
Rate this question

Topics

Tek ve Çift Sayılar

More questions from this topic