Examkin

Question

Difficulty: MediumAsal Sayılar
aa ve bb birer asal sayı olmak üzere,
a2−7b=4a^2 - 7b = 4

eşitliği verilmektedir.

Buna göre, a⋅ba \cdot b çarpımı kaçtır?

  1. A
    6
  2. B
    10
  3. C
    14
  4. 15Answer
  5. E
    21

Answer

a=5 ve b=3 asal sayıları için denklem sağlandığından, bu sayıların çarpımı 15 olur.
Verilen denklem a2−4=7ba^2 - 4 = 7b şeklinde yazılıp (a−2)(a+2)=7b(a-2)(a+2)=7b olarak çarpanlarına ayrıldığında, a+2=7a+2=7 eşitliğinden a=5a=5 ve a−2=3a-2=3 olduğundan b=3b=3 elde edilir. Her iki sayı da asal sayı şartını sağladığı için çarpımları 15'tir.

Step-by-Step Solution

1
Denklemi düzenleyelim.
a2−4=7ba^2 - 4 = 7b
Değişkeni yalnız bırakmak ve çarpanlara ayırmaya hazır hale getirmek için sabit terimi karşıya attık.
2
Sol tarafı iki kare farkı özdeşliği ile çarpanlarına ayıralım.
(a−2)(a+2)=7b(a - 2)(a + 2) = 7b
x2−y2=(x−y)(x+y)x^2 - y^2 = (x-y)(x+y) özdeşliğini kullandık.
3
Çarpanları analiz edelim.
a+2=7a+2=7 ve a−2=ba-2=b veya tam tersi.
77 ve bb asal sayı olduğundan, 7b7b çarpımının çarpanları sadece 1,7,b1, 7, b ve 7b7b olabilir.
4
Değerleri bulalım.
a=5a=5 ve b=3b=3
a+2=7a+2=7 ise a=5a=5 olur. Bu durumda (5−2)(5+2)=3⋅7(5-2)(5+2) = 3 \cdot 7 olduğundan b=3b=3 bulunur. Hem 5 hem de 3 asal sayıdır.
5
İstenen çarpımı hesaplayalım.
5×3=155 \times 3 = 15
a⋅ba \cdot b çarpımı sorulmuştur.

Key Concept

Asal sayıların çarpan özellikleri ve iki kare farkı özdeşliğinin birlikte kullanımı.

Hints

1
Denklemi a2−4=7ba^2 - 4 = 7b şeklinde düzenleyerek sol tarafı çarpanlarına ayırmayı deneyin.
2
(a−2)(a+2)=7b(a-2)(a+2) = 7b eşitliğinde sağ taraftaki çarpanlar 77 ve bb olduğu için a+2a+2 çarpanını 77 sayısına eşitleyin.

Practice More

İki kare farkının asal sayılara eşit olduğu durumları (örneğin x2−y2=13x^2 - y^2 = 13) inceleyerek pekiştirme yapabilirsiniz.
Estimated Time:1m 30s
Rate this question

Topics

Asal Sayılar

More questions from this topic