Examkin

Question

Difficulty: HardArdışık Sayılar ve Sonlu Toplamlar

Bir kamu kurumunun arşiv biriminde düzenleme çalışmaları kapsamında dosyalar, küçükten büyüğe doğru ardışık çift tam sayılarla numaralandırılmıştır. Bu serideki son 4 dosya numarasının toplamı, ilk 4 dosya numarasının toplamından 128128 fazladır. Tüm dosyaların numaraları toplamı 780780 olduğuna göre, baştan 15.15. sıradaki dosyanın numarası kaçtır?

  1. A
    44
  2. B
    46
  3. 48Answer
  4. D
    50
  5. E
    52

Answer

Baştan 15. sıradaki dosyanın numarası 48'dir.
Ardışık çift sayılar dizisinde son 4 ve ilk 4 terim arasındaki fark, dizinin uzunluğunu (terim sayısını) verir. Bulunan terim sayısı ve toplam formülü yardımıyla ilk terim (a=20a=20) hesaplanır. İstenen 15. terim, genel terim formülü a15=a+14da_{15} = a + 14d kullanılarak 20+28=4820 + 28 = 48 olarak bulunur.

Step-by-Step Solution

1
Dizinin genel terimlerini ve verilen fark bilgisini denkleme dök
İlk terim aa, son terim ll, artış miktarı 22 olsun. İlk 4 terim toplamı: 4a+124a + 12. Son 4 terim toplamı: 4l−124l - 12. Fark: (4l−12)−(4a+12)=128⇒4(l−a)=152⇒l−a=38(4l - 12) - (4a + 12) = 128 \Rightarrow 4(l-a) = 152 \Rightarrow l - a = 38.
Ardışık çift sayıların toplam farkından, ilk ve son terim arasındaki ilişkiyi bulmak gerekir.
2
Terim sayısı (nn) ile ilk ve son terim arasındaki ilişkiyi kur
Genel terim formülünden l=a+(n−1)2l = a + (n-1)2 olduğu için l−a=2(n−1)l - a = 2(n-1) olur. Buradan 2(n−1)=38⇒n−1=19⇒n=202(n-1) = 38 \Rightarrow n-1 = 19 \Rightarrow n = 20 bulunur.
Dosya sayısı (nn) bilinmeden spesifik bir terim bulunamaz.
3
Toplam formülünü kullanarak ilk terimi (aa) bul
Toplam formülü Sn=n2(a+l)=780S_n = \frac{n}{2}(a + l) = 780. Değerleri yerine koyarsak: 10(a+l)=780⇒a+l=7810(a + l) = 780 \Rightarrow a + l = 78. Elimde iki denklem var: l−a=38l - a = 38 ve l+a=78l + a = 78. Taraf tarafa toplarsak 2l=116⇒l=582l = 116 \Rightarrow l = 58. Buradan a=20a = 20 bulunur.
Dizinin başlangıç noktasını belirlemek için toplam bilgisini kullanmak şarttır.
4
İstenen 15. terimi hesapla
a15=a+(15−1)⋅2=20+14⋅2=20+28=48a_{15} = a + (15-1) \cdot 2 = 20 + 14 \cdot 2 = 20 + 28 = 48.
Başlangıç değeri ve artış miktarı bilindiğinde herhangi bir terim hesaplanabilir.

Key Concept

Sonlu aritmetik dizilerde toplam farkı ve genel terim ilişkisi.

Hints

1
Son 4 terimin toplamı ile ilk 4 terimin toplamı arasındaki farkı, ilk terim (aa) ve son terim (ll) cinsinden ifade etmeye çalışın.
2
Son 4 terim: l,l−2,l−4,l−6l, l-2, l-4, l-6 ve İlk 4 terim: a,a+2,a+4,a+6a, a+2, a+4, a+6. Bunların toplamlarının farkı 4(l−a)−24=1284(l-a) - 24 = 128 denklemini verir.
3
Bulduğunuz l−a=38l-a=38 eşitliği ile l=a+(n−1)2l = a + (n-1)2 bilgisini birleştirerek terim sayısı nn'i bulun (n=20n=20). Sonra toplam formülünden aa'yı çekin.

Practice More

Benzer mantıkla, ardışık tek sayıların toplamı ve ortanca terim ilişkisini soran bir soru çözülebilir.

Alternative Method

Ortalama Yöntemi: Her bir 'son' terim ile karşılık gelen 'ilk' terim arasındaki fark (l−a)(l-a) kadardır demek zordur ama simetriyi kullanabilirsiniz. Daha basiti: Son 4 terim ile ilk 4 terimi eşleştirirseniz (1. ile n., 2. ile n-1. gibi değil, direkt kaydırma), farkın her bir terim çifti için eşit dağıldığını görebilirsiniz.
Estimated Time:3m 0s
Rate this question

Topics

Ardışık Sayılar ve Sonlu Toplamlar

More questions from this topic