Examkin

Question

Difficulty: HardSayı Dizileri ve Örüntüler

İlk terimi 55 olan bir sayı dizisinin diğer terimleri, "bir önceki terimin rakamları toplamının 22 katının 33 fazlası" kuralına göre oluşturulmaktadır.

Buna göre, bu dizinin 50.50. terimi aşağıdakilerden hangisidir?

  1. A
    7
  2. B
    11
  3. 13Answer
  4. D
    17
  5. E
    23

Answer

Dizinin 50. terimi 13'tür.
Dizi terimleri hesaplandığında 5,13,11,7,17,19,23,13,...5, 13, 11, 7, 17, 19, 23, 13, ... şeklinde ilerler. İlk terim (55) hariç tutulduğunda, dizi {13,11,7,17,19,23}\{13, 11, 7, 17, 19, 23\} şeklindeki 66 elemanlı bir bloğu sürekli tekrar eder. Bu döngü 2.2. terimle başlar. Bizden 50.50. terim istendiği için, döngünün başlangıcından ne kadar ilerlediğimize bakarız: 50−2=4850 - 2 = 48. Periyot 66 olduğundan, 4848'i 66'ya böleriz. Kalan 00'dır. Kalanın sıfır olması, döngünün tam tur attığını ve başa (döngünün ilk elemanına) döndüğünü gösterir. Döngünün ilk elemanı 1313'tür.

Step-by-Step Solution

1
Dizinin ilk teriminden başlayarak kuralı uygula ve terimleri listele.
1. Terim (a1a_1) = 55
2. Terim (a2a_2): 2⋅(5)+3=132 \cdot (5) + 3 = 13
3. Terim (a3a_3): 2⋅(1+3)+3=2⋅4+3=112 \cdot (1+3) + 3 = 2 \cdot 4 + 3 = 11
4. Terim (a4a_4): 2⋅(1+1)+3=2⋅2+3=72 \cdot (1+1) + 3 = 2 \cdot 2 + 3 = 7
5. Terim (a5a_5): 2⋅(7)+3=172 \cdot (7) + 3 = 17
6. Terim (a6a_6): 2⋅(1+7)+3=2⋅8+3=192 \cdot (1+7) + 3 = 2 \cdot 8 + 3 = 19
7. Terim (a7a_7): 2⋅(1+9)+3=2⋅10+3=232 \cdot (1+9) + 3 = 2 \cdot 10 + 3 = 23
8. Terim (a8a_8): 2⋅(2+3)+3=2⋅5+3=132 \cdot (2+3) + 3 = 2 \cdot 5 + 3 = 13
Dizinin bir örüntü veya tekrar eden bir döngü oluşturup oluşturmadığını görmek için terimleri hesaplamak gerekir.
2
Tekrar eden döngüyü (periyodu) tespit et.
Dizi 2. terimden (1313) itibaren tekrar etmeye başlamaktadır. Döngü şöyledir: 13,11,7,17,19,2313, 11, 7, 17, 19, 23. Döngüdeki eleman sayısı (periyot) 66'dır.
Sonsuz bir dizinin ileri bir terimini bulmak için periyodik tekrarı kullanmak en verimli yoldur.
3
İstenen terim numarasını döngüye göre hesapla.
İstenen 50.50. terimdir. İlk terim (55) döngüye dahil değildir. Geriye 50−1=4950 - 1 = 49 adım kalır. Döngü 2. terimden başlar. Daha pratik bir yol: n≥2n \ge 2 için terimler her 66 adımda bir aynıdır.
50−2=4850 - 2 = 48. Yani 50.50. terim, döngünün başlangıcı olan 2.2. terimden tam 4848 adım sonrasıdır.
Döngü dışındaki kısmı çıkarıp kalan adımı periyoda bölerek döngü içindeki konumu buluruz.
4
Mod işlemi ile sonucu bul.
4848'in 66'ya bölümünden kalan 00'dır (48≡0(mod6)48 \equiv 0 \pmod 6). Kalan 00 olduğu için, 50.50. terim döngünün başladığı terimle (yani 2.2. terimle) aynıdır. a50=a2=13a_{50} = a_2 = 13.
Kalan 0 ise döngünün başındaki sayı, kalan 1 ise döngünün ikinci sayısı (veya bir sonraki) cevap olur.

Key Concept

Periyodik Sayı Dizileri

Hints

1
Dizinin ilk 7-8 terimini tek tek hesaplayarak sayıların tekrar edip etmediğini kontrol edin.
Estimated Time:2m 30s
Rate this question

Topics

Sayı Dizileri ve Örüntüler

More questions from this topic