Examkin

Question

Difficulty: Hardİşlem
Reel sayılar kümesinden A=R−{−32}A = \mathbb{R} - \{-\frac{3}{2}\} kümesi üzerinde tanımlı ⋆\star işlemi, her x,y∈Ax, y \in A için
x⋆y=2xy+3x+3y+3x \star y = 2xy + 3x + 3y + 3

biçiminde tanımlanıyor.

Buna göre, 22 sayısının ⋆\star işlemine göre tersi aşağıdakilerden hangisidir?

  1. −107-\frac{10}{7}Answer
  2. B
    −97-\frac{9}{7}
  3. C
    -1
  4. D
    −32-\frac{3}{2}
  5. E
    87\frac{8}{7}

Answer

2 sayısının tersi -10/7'dir.
İşlem sorularında bir sayının tersini bulmak için iki aşamalı yol izlenir. Önce sistemin etkisiz elemanı (birim eleman) bulunur. x⋆e=xx \star e = x eşitliğinden 2xe+3x+3e+3=x2xe + 3x + 3e + 3 = x yazılır. Düzenlenirse x(2e+2)+3e+3=0x(2e+2) + 3e + 3 = 0 olur. Bu eşitliğin her xx için sağlanması adına xx'in katsayısı sıfır olmalıdır: 2e+2=02e+2=0 buradan e=−1e=-1 bulunur. İkinci adımda, 2'nin tersi olan tt sayısı için 2⋆t=e2 \star t = e eşitliği çözülür: 2(2)t+3(2)+3t+3=−12(2)t + 3(2) + 3t + 3 = -1. Buradan 4t+6+3t+3=−1⇒7t+9=−1⇒7t=−104t + 6 + 3t + 3 = -1 \Rightarrow 7t + 9 = -1 \Rightarrow 7t = -10 ve sonuç −107-\frac{10}{7} olarak bulunur.

Step-by-Step Solution

1
Etkisiz elemanı (e) bulmak için x⋆e=xx \star e = x eşitliğini kuralım.
2xe+3x+3e+3=x2xe + 3x + 3e + 3 = x
Bir elemanın tersini bulabilmek için önce o işlemin etkisiz (birim) elemanının bilinmesi gerekir.
2
Eşitliği düzenleyerek e değerini, x'e bağlı olmayacak şekilde hesaplayalım.
x(2e+3)+3e+3=x⇒x(2e+2)+3e+3=0x(2e + 3) + 3e + 3 = x \Rightarrow x(2e + 2) + 3e + 3 = 0. Buradan 2e+2=02e+2=0 ise e=−1e=-1 bulunur.
Etkisiz eleman sistemdeki tüm sayılar için sabit olmalıdır, bu yüzden x'li terimlerin katsayıları eşitlenir.
3
2 sayısının tersine tt diyerek, ters eleman tanımı olan 2⋆t=e2 \star t = e eşitliğini kuralım.
2(2)(t)+3(2)+3t+3=−12(2)(t) + 3(2) + 3t + 3 = -1
Bir sayının tersi ile işleme girmesi sonucu her zaman etkisiz elemanı vermelidir.
4
Oluşan birinci dereceden denklemi tt için çözelim.
4t+6+3t+3=−1⇒7t+9=−1⇒7t=−10⇒t=−1074t + 6 + 3t + 3 = -1 \Rightarrow 7t + 9 = -1 \Rightarrow 7t = -10 \Rightarrow t = -\frac{10}{7}
Doğrusal denklem çözümü ile sonuç elde edilir.

Key Concept

İşlem konusunda ters eleman bulunurken önce x⋆e=xx \star e = x kuralıyla etkisiz eleman (e), sonra a⋆a−1=ea \star a^{-1} = e kuralıyla ters eleman bulunur.

Hints

1
Bir işlemde ters elemanı bulabilmek için önce 'etkisiz elemanı' (birim eleman) bulmalısınız.
2
Etkisiz eleman ee olmak üzere, her xx için x⋆e=xx \star e = x eşitliğini sağlayan ee değerini hesaplayın.
3
Etkisiz eleman e=−1e = -1 dir. Şimdi 22'nin tersine tt diyerek 2⋆t=−12 \star t = -1 denklemini çözün.
Estimated Time:2m 30s
Rate this question

Topics

İşlem

More questions from this topic