Examkin

Question

Difficulty: Very hardİşlem
Gerçel sayılar kümesi üzerinde tanımlı △\triangle işlemi, her xx ve yy gerçel sayısı için
x△y=3x+3y+xy+kx \triangle y = 3x + 3y + xy + k

eşitliği ile veriliyor.

Bu işlemin birim (etkisiz) elemanı bulunduğuna göre, △\triangle işlemine göre tersi olmayan eleman kaçtır?

  1. A
    -2
  2. B
    3
  3. -3Answer
  4. D
    6
  5. E
    -1

Answer

Tersi olmayan eleman -3'tür.
Birim eleman tanımı kullanılarak önce birim eleman (e=−2e=-2) ve işlem sabiti (k=6k=6) bulunur. Ters eleman formülü y=(−3x−8)/(x+3)y = (-3x - 8)/(x + 3) olarak elde edildiğinde, paydayı sıfır yapan x=−3x=-3 değeri için ters eleman tanımsızdır.

Step-by-Step Solution

1
Birim eleman tanımını uygula
x△e=x⇒3x+3e+xe+k=xx \triangle e = x \Rightarrow 3x + 3e + xe + k = x
Birim eleman (ee), işleme girdiğinde elemanın kendisini vermelidir.
2
Eşitliği xx parantezine alarak düzenle ve katsayıları eşitle
x(3+e)+(3e+k)=x⋅1+0x(3+e) + (3e+k) = x \cdot 1 + 0
Buradan:
1) 3+e=1⇒e=−23+e = 1 \Rightarrow e = -2
2) 3e+k=0⇒3(−2)+k=0⇒k=63e+k = 0 \Rightarrow 3(-2)+k=0 \Rightarrow k=6
Polinom eşitliği ilkesi gereği xx'in katsayıları ve sabit terimler karşılıklı eşit olmalıdır.
3
Ters eleman (yy) bulma denklemini kur
x△y=e⇒3x+3y+xy+6=−2x \triangle y = e \Rightarrow 3x + 3y + xy + 6 = -2
Bir elemanın tersi ile işleme girmesi sonucu birim elemanı (e=−2e=-2) vermelidir.
4
yy'yi yalnız bırak ve tanımsız yapan değeri bul
y(3+x)+3x+6=−2y(3+x) + 3x + 6 = -2
y(3+x)=−3x−8y(3+x) = -3x - 8
y=−3x−8x+3y = \frac{-3x - 8}{x + 3}
yy'nin (ters elemanın) hesaplanabilmesi için paydanın sıfır olmaması gerekir.
5
Paydayı sıfır yapan xx değerini belirle
x+3=0⇒x=−3x + 3 = 0 \Rightarrow x = -3
x=−3x = -3 için payda sıfır olur ve işlem tanımsızlaşır. Bu nedenle -3'ün tersi yoktur.

Key Concept

İşlemde Yutan Eleman ve Ters Eleman İlişkisi

Hints

1
Önce birim elemanı (ee) bulmak için x△e=xx \triangle e = x eşitliğini kullanın.
2
x(3+e)+(3e+k)=xx(3+e) + (3e+k) = x eşitliğinden ee ve kk değerlerini bulun.
3
Ters elemanı yy olarak yazıp yalnız bıraktığınızda, oluşan kesirli ifadenin paydasını sıfır yapan xx değerini arayın.

Practice More

Benzer bir işlemde tersi kendisine eşit olan elemanları soran bir soru çözülebilir.

Alternative Method

Pratik Kural: x△y=ax+by+cxy+kx \triangle y = ax + by + cxy + k tipindeki değişmeli işlemlerde (burada a=ba=b), tersi olmayan eleman her zaman −a/c-a/c formülü ile bulunur. Burada a=3,c=1a=3, c=1 olduğundan cevap −3/1=−3-3/1 = -3 olur.
Estimated Time:3m 0s
Rate this question

Topics

İşlem

More questions from this topic