Bir düzlem üzerinde, sabit bir A noktasında kesişen d_1, d_2, d_3 ve d_4 doğruları bulunma… — KPSS Genel Yetenek - Genel Kültür

Bir düzlem üzerinde, sabit bir $A$ noktasında kesişen $d_1, d_2, d_3$ ve $d_4$ doğruları bulunmaktadır. Bu doğrular üzerinde $A$ noktası haricinde;

* $d_1$ doğrusu üzerinde 3 farklı nokta,
* $d_2$ doğrusu üzerinde 3 farklı nokta,
* $d_3$ doğrusu üzerinde 4 farklı nokta,
* $d_4$ doğrusu üzerinde 2 farklı nokta

işaretlenmiştir. Buna göre, köşeleri işaretlenen bu noktalardan ( $A$ noktası dahil) seçilen kaç farklı üçgen oluşturulabilir?

A
214
B
260
267Answer
D
280
E
286

Answer

Verilen noktalardan oluşturulabilecek üçgen sayısı 267'dir.

Toplam nokta sayısı

A

dahil 13'tür. Tüm üçlü seçimler

\binom{13}{3} = 286

dır. Ancak aynı doğru üzerindeki noktalar üçgen oluşturmaz. Her doğru için

A

noktasını da hesaba katarak doğrudaş nokta sayılarını buluruz:

d_1

için 4,

d_2

için 4,

d_3

için 5,

d_4

için 3 nokta vardır. Bu gruplardan yapılan 3'lü seçimler (

4+4+10+1=19

) toplamdan çıkarılır:

286 - 19 = 267

Step-by-Step Solution

Toplam nokta sayısını belirle.

Doğrular üzerindeki noktalar (3+3+4+2 = 12) ve kesişim noktası A (1) dahil toplam 13 nokta vardır.

Üçgen oluşturabilecek tüm potansiyel köşe noktalarının havuzunu belirlemek gerekir.

Hiçbir koşul yokmuş gibi tüm üçlü kombinasyonları hesapla.

C(13, 3) = (13 × 12 × 11) / (3 × 2 × 1) = 286.

Genel durumu bulup, geçersiz durumları çıkarmak (tümleyen yöntemi) bu tip sorularda en pratik yoldur.

Her bir doğru üzerindeki doğrudaş (aynı doğru üzerinde olan) nokta gruplarını ve bunların oluşturamadığı üçgen sayılarını hesapla.

d1: A dahil 4 nokta → C(4,3)=4
d2: A dahil 4 nokta → C(4,3)=4
d3: A dahil 5 nokta → C(5,3)=10
d4: A dahil 3 nokta → C(3,3)=1
Toplam çıkarılacak: 4 + 4 + 10 + 1 = 19.

Aynı doğru üzerindeki 3 nokta üçgen oluşturmaz, bir doğru parçası oluşturur. A noktası her grubun elemanıdır.

Tüm durumlardan geçersiz durumları çıkar.

286 - 19 = 267.

Gerçek üçgen sayısına ulaşmak için.

Key Concept

Doğrudaş olmayan üç nokta bir üçgen belirtir. Kesişen doğrularda kesişim noktası her bir doğru grubuna dahildir.

Hints

Önce düzlemdeki toplam nokta sayısını (A noktası dahil) hesaplayın.

Tüm noktalardan rastgele 3 nokta seçildiğinde oluşabilecek tüm durumları hesaplayın, sonra üçgen oluşturmayan durumları çıkarın.

Aynı doğru üzerinde bulunan 3 nokta üçgen oluşturmaz. Kesişim noktası A'nın her bir doğrunun elemanı olduğunu unutmayın.

Practice More

Benzer bir soruyu, üçgen yerine 'bir köşesi A olan dörtgenler' şeklinde kurgulayarak çözmeyi deneyin.

Estimated Time:3m 0s

Question

Answer

Step-by-Step Solution

Key Concept

Common Mistakes

Hints

Practice More

Topics

More questions from this topic