Cebir

Question 61Question →

x

sıfırdan farklı bir gerçel sayı olmak üzere,

x^2 - 6x + 2 = 0

eşitliği veriliyor.

Buna göre,

x^2 + \frac{4}{x^2}

ifadesinin değeri kaçtır?

32

34

36

38

40

Show answer & explanation

Answer: 32

Answer

İfadenin değeri 32'dir.

Verilen ikinci dereceden denklem

x

'e bölünerek

x + 2/x = 6

elde edilir. Bu ifadenin karesi alındığında, ortadan gelen

2 \cdot x \cdot (2/x) = 4

terimi eşitliğin diğer tarafındaki 36'dan çıkarılır ve sonuç 32 bulunur.

Step-by-Step Solution

1

Verilen

x^2 - 6x + 2 = 0

eşitliğinin her iki tarafını

x

'e bölün.

x - 6 + \frac{2}{x} = 0

elde edilir.

İstenen ifadede

x

ve

1/x

terimleri olduğu için, bu forma ulaşmak adına denklemi

x

'e bölmek standart bir yöntemdir.

2

Sabit terimi eşitliğin diğer tarafına atarak

x + \frac{2}{x}

ifadesini yalnız bırakın.

x + \frac{2}{x} = 6

olur.

Kare alma işlemine hazırlık yapmak için.

3

Elde edilen

x + \frac{2}{x} = 6

eşitliğinin her iki tarafının karesini alın.

\left(x + \frac{2}{x}\right)^2 = 6^2 \Rightarrow x^2 + 2 \cdot x \cdot \frac{2}{x} + \frac{4}{x^2} = 36

Tam kare özdeşliği

(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2

kullanılarak istenen kareli terimler elde edilir.

4

Ortadaki sabit terimi hesaplayıp karşı tarafa atın.

x^2 + 4 + \frac{4}{x^2} = 36 \Rightarrow x^2 + \frac{4}{x^2} = 36 - 4 = 32

2 \cdot x \cdot \frac{2}{x}

işleminde

x

'ler sadeleşir ve geriye sadece

4

kalır.

Key Concept

Tam Kare Özdeşliği ve Değişken Değiştirme

Hints

1

Verilen ifadede

x^2

ve

1/x^2

terimleri var. Bu terimleri elde etmek için

x

ve

1/x

içeren bir ifadenin karesini almanız gerekebilir.

2

Soruda verilen

x^2 - 6x + 2 = 0

denkleminin her iki tarafını

x

'e bölerek

x + \frac{2}{x}

ifadesinin değerini bulun.

3

x + \frac{2}{x} = 6

eşitliğini bulduktan sonra, her iki tarafın parantez karesini alıp ortadaki terimi karşıya atın.

Practice More

Benzer mantıkla çözülen

x - \frac{1}{x} = 3

ise

x^2 + \frac{1}{x^2}

kaçtır? sorusu çözülebilir.

Estimated Time:1m 30s

Question 62Question →

x \neq -y + 5

olmak üzere,

\frac{x^2 - y^2 - 4x + 6y - 5}{x + y - 5}

ifadesinin en sade biçimi aşağıdakilerden hangisidir?

x - y + 1

x - y - 1

x + y + 1

x + y - 1

x - y + 5

Show answer & explanation

Answer: $x - y + 1$

Answer

İşlemin sonucu

x - y + 1

ifadesidir.

Verilen cebirsel ifadede, pay kısmındaki -5 sabit sayısı +4 ve -9 olarak ayrıldığında ifade

(x-2)^2 - (y-3)^2

şeklinde iki tam karenin farkına dönüşür. Bu aşamadan sonra iki kare farkı özdeşliği kullanılarak çarpanlar

(x-y+1)

ve

(x+y-5)

olarak bulunur. Paydadaki

(x+y-5)

ile sadeleştirme yapıldığında geriye

x-y+1

kalır.

Step-by-Step Solution

1

İfadeyi tam kareye tamamlamak için sabit terimi uygun şekilde parçala.

x^2 - 4x

terimi için

+4

,

-y^2 + 6y

terimi için

-9

gereklidir. İfadedeki

-5

sayısı

4 - 9

şeklinde düşünülür.

Gruplandırma yöntemiyle ifadeyi özdeşliklere benzetmek.

2

Terimleri gruplandırarak tam kare ifadeleri oluştur.

(x^2 - 4x + 4) - (y^2 - 6y + 9)

x^2 - 4x + 4 = (x-2)^2

ve

-(y^2 - 6y + 9) = -(y-3)^2

dönüşümlerini hazırlamak.

3

Elde edilen tam kareleri yerine yaz.

(x - 2)^2 - (y - 3)^2

İfadeyi iki kare farkı formatına getirmek (

a^2 - b^2

).

4

İki kare farkı özdeşliğini uygula.

((x - 2) - (y - 3)) \cdot ((x - 2) + (y - 3))

a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)

kuralını uygulamak.

5

Parantez içindeki işlemleri düzenle.

(x - y + 1) \cdot (x + y - 5)

Çarpanları en sade hale getirmek.

6

Paydayı da dikkate alarak sadeleştirme yap.

\frac{(x - y + 1)(x + y - 5)}{x + y - 5} = x - y + 1

Ortak çarpanları sadeleştirerek sonuca ulaşmak.

Key Concept

Tam Kareye Tamamlama ve Gruplandırma

Hints

1

Pay kısmındaki

x^2 - 4x

ve

-y^2 + 6y

terimlerini inceleyin. Bu terimleri tam kare ifadelere dönüştürmek için hangi sabit sayılara ihtiyacınız olduğunu düşünün.

2

Elinizdeki -5 sabit sayısını, ihtiyacınız olan +4 ve -9 sayılarını elde edecek şekilde parçalayın:

-5 = 4 - 9

.

3

İfadeyi

(x-2)^2 - (y-3)^2

formatına getirdikten sonra

a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)

özdeşliğini kullanarak çarpanlarına ayırın.

Practice More

Terim ekleyip çıkararak çarpanlara ayırma yöntemini pekiştirmek için

x^4 + 4

veya

x^2 - 6x - y^2 + 9

gibi ifadeleri çarpanlarına ayırmayı deneyin.

Estimated Time:3m 0s

Question 63Question →

Tam sayılar kümesi üzerinde tanımlı

A = \{x \in \mathbb{Z} \mid -3 \le x < 4\}

kümesi veriliyor.

Buna göre, $A$ kümesinin alt kümelerinin kaç tanesinde en az bir negatif tam sayı bulunur?

16

64

96

112

120

Show answer & explanation

Answer: 112

Answer

112

Soruda 'en az bir negatif tam sayı bulunur' ifadesi geçtiğinde, doğrudan hesaplama yapmak yerine tümleyen mantığını kullanmak daha pratiktir. Öncelikle kümenin tüm elemanları

A = \{-3, -2, -1, 0, 1, 2, 3\}

olarak belirlenir. Toplam 7 eleman vardır, dolayısıyla toplam alt küme sayısı

2^7 = 128

'dir. İstenmeyen durum, alt kümede hiç negatif sayı bulunmamasıdır. Bu da alt kümenin sadece

\{0, 1, 2, 3\}

elemanlarından (4 eleman) oluşması demektir. Bu elemanlarla yazılabilecek alt küme sayısı

2^4 = 16

'dır. Sonuç olarak, tüm durumlardan istenmeyen durum çıkarılır:

128 - 16 = 112

.

Step-by-Step Solution

1

A kümesinin elemanlarını liste yöntemiyle yazma

A = \{-3, -2, -1, 0, 1, 2, 3\}

Aralıktaki tam sayıları belirleyerek kümenin toplam eleman sayısını bulmak gerekir.

2

Kümenin toplam eleman sayısını ve negatif olmayan elemanları belirleme

Toplam eleman sayısı

s(A) = 7

. Negatif olmayan elemanlar:

\{0, 1, 2, 3\}

(4 eleman).

Tüm alt kümelerden istenmeyen durumu çıkarmak için bu gruplandırma gereklidir.

3

Tüm alt kümelerin sayısını hesaplama

2^7 = 128

n elemanlı bir kümenin tüm alt kümelerinin sayısı

2^n

formülü ile bulunur.

4

İçinde hiç negatif sayı bulunmayan (sadece negatif olmayanlardan oluşan) alt küme sayısını hesaplama

2^4 = 16

Negatif olmayan 4 elemanın oluşturabileceği alt kümeler, soruda istenmeyen durumlardır.

5

Tüm durumlardan istenmeyen durumları çıkarma

128 - 16 = 112

Tüm alt kümelerden, hiç negatif sayı içermeyenleri çıkarırsak, geriye kalanların hepsinde en az bir negatif sayı bulunur.

Key Concept

Tümleyenden Gitme Yöntemi (Tüm Durumlar - İstenmeyen Durumlar)

Hints

1

Önce A kümesinin elemanlarını açıkça yazarak kaç elemanlı olduğunu bulun.

2

'En az bir negatif sayı' bulunanları tek tek saymak zordur. Bunun yerine, 'hiç negatif sayı bulunmayan' durumları bulup tüm durumlardan çıkarmayı deneyin.

3

Kümedeki negatif olmayan elemanlar

\{0, 1, 2, 3\}

tür. Sadece bu elemanlar kullanılarak oluşturulan alt kümelerin içinde negatif sayı olmaz. Toplam alt küme sayısından (

2^7

) bu sayıyı (

2^4

) çıkarın.

Alternative Method

Kombinasyon yöntemiyle: 3 negatif elemandan 1 tane seçilip yanına diğerlerinden seçilenler eklenebilir, ancak bu yöntem 'en az bir' sorularında çok daha uzun sürer. Tümleyen yöntemi en verimlisidir.

Estimated Time:1m 30s

Question 64Question →

$3^a \cdot 5^b = 75$ ve $3^b \cdot 5^a = 45$ eşitlikleri veriliyor. Buna göre, $a+b$ ifadesinin değeri kaçtır?

2

3

4

5

6

Show answer & explanation

Answer: 3

Answer

İfadenin doğru değeri 3'tür.

Verilen iki denklem taraf tarafa çarpıldığında

3^{a+b} \cdot 5^{a+b} = 3375

elde edilir. Bu ifade

(3 \cdot 5)^{a+b} = 15^3

şeklinde düzenlendiğinde

a+b=3

sonucuna ulaşılır.

Step-by-Step Solution

1

Verilen iki eşitliği taraf tarafa çarpınız.

(3^a \cdot 5^b) \cdot (3^b \cdot 5^a) = 75 \cdot 45

a+b

toplamına ulaşmak için tabanları aynı olan ifadeleri bir araya getirmek gerekir.

2

Aynı tabana sahip üslü ifadeleri gruplayarak düzenleyiniz.

3^{a+b} \cdot 5^{a+b} = 3375

Çarpma işleminde tabanlar aynı ise üsler toplanır:

x^m \cdot x^n = x^{m+n}

.

3

Üsleri ortak paranteze alarak tabanları çarpınız.

(3 \cdot 5)^{a+b} = 3375 \Rightarrow 15^{a+b} = 3375

Üsler aynı ise tabanlar çarpılır:

x^n \cdot y^n = (x \cdot y)^n

.

4

Eşitliğin sağ tarafındaki sayıyı 15 tabanında yazarak sonucu bulunuz.

15^{a+b} = 15^3 \Rightarrow a+b = 3

3375 = 15 \cdot 15 \cdot 15 = 15^3

olduğundan üsler birbirine eşittir.

Key Concept

Üslü denklemlerde taraf tarafa çarpma ve üslerin eşitliği ilkesi.

Hints

1

Değişkenleri (

a

ve

b

) ayrı ayrı bulmaya çalışmak yerine, iki eşitliği birbiriyle etkileşime sokmayı deneyin.

2

Verilen iki eşitliği taraf tarafa çarparsanız, aynı tabana sahip sayıların üslerini toplayabilirsiniz.

3

Taraf tarafa çarpma işlemi size

15^{a+b}

ifadesini verecektir. 3375 sayısının 15'in kaçıncı kuvveti olduğunu bulun.

Alternative Method

Eşitliklerden logaritma alarak lineer denklem sistemi kurmak:

a \ln 3 + b \ln 5 = \ln 75

ve

b \ln 3 + a \ln 5 = \ln 45

. Bu denklemler toplanarak

(a+b)(\ln 3 + \ln 5) = \ln(75 \cdot 45)

elde edilir.

Estimated Time:2m 0s

Question 65Question →

x

bir gerçel sayı olmak üzere,

|x - 2| + |x + 4| = 10

eşitliğini sağlayan

x

değerlerinin toplamı kaçtır?

-2

-6

2

4

6

Show answer & explanation

Answer: -2

Answer

Eşitliği sağlayan x değerlerinin toplamı -2'dir.

Verilen denklemde

x

için kritik noktalar

-4

ve

2

'dir.

x < -4

için çözüm

x = -6

ve

x > 2

için çözüm

x = 4

olarak bulunur. Orta aralıkta (

-4

ile

2

arası) toplam sabit olup

6

'dır ve

10

'a eşit olamaz. Bulunan değerlerin toplamı

-6 + 4 = -2

olur.

Step-by-Step Solution

1

Kritik noktaların belirlenmesi

x = 2

ve

x = -4

Mutlak değerlerin içini sıfır yapan noktalar, ifadenin davranışının değiştiği yerlerdir.

2

x < -4

durumu için denklemin çözülmesi

-(x-2) - (x+4) = 10 \Rightarrow -2x - 2 = 10 \Rightarrow x = -6

x < -4

iken her iki mutlak değer içi de negatiftir ve işaret değiştirerek çıkar.

3

-4 \leq x \leq 2

durumu için denklemin çözülmesi

-(x-2) + (x+4) = 10 \Rightarrow 6 = 10

Bu aralıkta ilk ifade negatif, ikinci ifade pozitif çıkar. Elde edilen eşitlik yanlıştır, bu aralıkta kök yoktur.

4

x > 2

durumu için denklemin çözülmesi

(x-2) + (x+4) = 10 \Rightarrow 2x + 2 = 10 \Rightarrow x = 4

x > 2

iken her iki mutlak değer içi de pozitiftir ve aynen çıkar.

5

Bulunan değerlerin toplanması

-6 + 4 = -2

Denklemi sağlayan tüm farklı gerçel sayıların toplamı istenmiştir.

Key Concept

Mutlak değerli denklemlerde kritik noktalara göre aralık incelemesi yapılması.

Hints

1

Mutlak değerlerin içini sıfır yapan değerleri (kritik noktaları) bulmayı deneyin.

2

Sayı doğrusunu kritik noktalara göre üç bölgeye ayırın ve her bölge için x'in değerini kontrol edin.

3

|x-a| + |x-b| = k

tipindeki sorularda x'in bu iki noktaya olan uzaklıkları toplamının k olduğu unutulmamalıdır.

Practice More

Benzer bir mantıkla

|x - 1| + |x - 5| = 4

denkleminin çözüm kümesini bulmaya çalışın.

Alternative Method

Geometrik yorum:

|x - 2|

ifadesi x'in 2 noktasına uzaklığı,

|x + 4|

ifadesi ise x'in -4 noktasına uzaklığıdır. Bu iki uzaklığın toplamı 10 olmalıdır. -4 ve 2 arasındaki mesafe 6'dır. x bu aralığın dışındaysa, örneğin 2'den d birim sağdaysa, toplam mesafe

d + (6+d) = 10 \Rightarrow 2d = 4 \Rightarrow d = 2

olur. Yani

x = 2 + 2 = 4

. Benzer şekilde sol tarafta

x = -4 - 2 = -6

bulunur.

Estimated Time:1m 30s

Question 66Question →

$A = \{x \mid 10 < x \leq 30, \text{ } x = 3k, \text{ } k \in \mathbb{Z}\}$
$B = \{x \mid 15 \leq x < 40, \text{ } x = 2k, \text{ } k \in \mathbb{Z}\}$
kümeleri veriliyor. Buna göre, $A \cap B$ kümesinin eleman sayısı kaçtır?

2

3

4

7

16

Show answer & explanation

Answer: 3

Answer

Ortak elemanlar 18, 24 ve 30 olduğundan eleman sayısı 3'tür.

Kesişim kümesi, her iki kümenin de eleman özelliklerini aynı anda taşıyan sayılardan oluşur.

x

hem 3'ün hem de 2'nin katı olmalıdır (

EKOK(2,3) = 6

). Ayrıca

x

hem

(10, 30]

hem de

[15, 40)

aralığında olmalıdır, yani

15 \leq x \leq 30

şartını sağlamalıdır. Bu aralıktaki 6'nın katları 18, 24 ve 30'dur.

Step-by-Step Solution

1

A

kümesinin elemanlarını listeleyelim.

A = \{12, 15, 18, 21, 24, 27, 30\}

10 ile 30 arasındaki (30 dahil) 3'ün katı olan tam sayıları bulmamız gerekir.

2

B

kümesinin elemanlarını listeleyelim.

B = \{16, 18, 20, 22, 24, 26, 28, 30, 32, 34, 36, 38\}

15 ile 40 arasındaki (15 dahil, 40 hariç) 2'nin katı olan tam sayıları bulmamız gerekir.

3

A \cap B

(kesişim) kümesinin elemanlarını belirleyelim.

A \cap B = \{18, 24, 30\}

Her iki listede de ortak olan sayıları seçmelisiniz. Bu sayılar aynı zamanda 2 ve 3'ün en küçük ortak katı olan 6'nın katlarıdır.

4

Eleman sayısını sayalım.

s(A \cap B) = 3

Kümede 3 adet eleman bulunmaktadır.

Key Concept

Ortak özellik yöntemiyle verilen kümelerde kesişim işlemi, her iki kümenin de şartlarını sağlayan elemanların bulunmasını gerektirir.

Hints

1

Kesişim kümesi (

A \cap B

), her iki kümede de bulunan ortak elemanlardan oluşur.

2

Her iki kümede de ortak olan elemanlar hem 2'nin hem de 3'ün katı (yani 6'nın katı) olmalıdır.

3

x

sayısının hem

10 < x \leq 30

hem de

15 \leq x < 40

aralıklarını sağlaması gerekir. Yani

x

, 15 ile 30 (dahil) arasında olmalıdır.

Practice More

Kümelerin birleşim kümesinin eleman sayısını

s(A \cup B) = s(A) + s(B) - s(A \cap B)

formülü ile hesaplamayı deneyin.

Alternative Method

Aralıkları birleştirerek ortak bir aralık bulun:

\max(10, 15) \leq x \leq \min(30, 39) \Rightarrow 15 \leq x \leq 30

. Hem 2 hem 3'e bölünen sayılar 6'nın katıdır. 15 ile 30 arasındaki 6'nın katları:

18, 24, 30

.

Estimated Time:1m 30s

Question 67Question →

x = \sqrt[3]{11} + 2

olduğuna göre,

x^3 - 6x^2 + 12x

ifadesinin değeri kaçtır?

19

11

3

27

13

Show answer & explanation

Answer: 19

Answer

İfadenin değeri 19'dur.

Verilen ifade

(x-2)^3

açılımına tamamlanarak çözülmelidir.

(x-2)^3 = x^3 - 6x^2 + 12x - 8

olduğundan, sorulan ifade

(x-2)^3 + 8

şeklindedir.

x-2 = \sqrt[3]{11}

yerine konulduğunda sonuç

11+8=19

bulunur.

Step-by-Step Solution

1

Verilen ifadeyi

(x-a)^3

özdeşliğine benzetmek için inceleriz.

(x-2)^3 = x^3 - 6x^2 + 12x - 8

özdeşliği hatırlanır.

Sorulan

x^3 - 6x^2 + 12x

ifadesi,

(x-2)^3

açılımının ilk üç terimidir.

2

Sorulan ifadeyi tam küp cinsinden yazarız.

x^3 - 6x^2 + 12x = (x-2)^3 + 8

Eşitliğin bozulmaması için çıkardığımız 8'i geri ekleriz.

3

Verilen

x

değerini yerine yazarız.

x = \sqrt[3]{11} + 2 \implies x - 2 = \sqrt[3]{11}

x

değerini doğrudan yerine yazmak yerine,

x-2

değerini kullanmak işlemi kolaylaştırır.

4

Sonucu hesaplarız.

(\sqrt[3]{11})^3 + 8 = 11 + 8 = 19

Küp kök ile küp alma işlemi birbirini götürür.

Key Concept

Tam Küp Özdeşliği ve Değişken Değiştirme

Hints

1

İfadeyi

(x-a)^3

şeklindeki bir tam küp açılımına benzetmeye çalışın.

2

Pascal üçgenindeki 1, 3, 3, 1 katsayılarını düşünerek ifadeyi

(x-2)^3

ile ilişkilendirin.

3

(x-2)^3 = x^3 - 6x^2 + 12x - 8

özdeşliğini kullanın ve elinizdeki ifadeyi elde etmek için ne eklemeniz gerektiğini bulun.

Practice More

x = \sqrt[3]{5} - 1

ise

x^3 + 3x^2 + 3x

ifadesinin değeri kaçtır?

Estimated Time:2m 0s

Question 68Question →

$x = \sqrt[3]{7} - 1$ olmak üzere,

x^3 + 3x^2 + 3x + 10

ifadesinin değeri kaçtır?

7

10

14

16

17

Show answer & explanation

Answer: 16

Answer

İfadenin doğru değeri 16'dır.

Verilen ifade,

(x+1)^3

özdeşliğinin açılımına çok benzemektedir. İfadeyi

(x^3 + 3x^2 + 3x + 1) + 9

şeklinde ayırdığımızda, ilk kısım tam olarak

(x+1)^3

olur.

x

değeri yerine yazıldığında parantez içi sadece

\sqrt[3]{7}

kalır ve küpü alındığında 7 elde edilir. Sonuç olarak

7 + 9 = 16

bulunur.

Step-by-Step Solution

1

Verilen ifadeyi tam küp açılımına benzetmek için düzenle.

x^3 + 3x^2 + 3x + 10 = (x^3 + 3x^2 + 3x + 1) + 9

(x+1)^3 = x^3 + 3x^2 + 3x + 1

özdeşliğini kullanmak işlemi kolaylaştırır.

2

Özdeşliği kapalı forma getir.

(x+1)^3 + 9

Bu form, verilen

x

değerini yerine koymak için çok daha uygundur.

3

x

değerini yerine yaz.

x = \sqrt[3]{7} - 1

ise,

x+1 = \sqrt[3]{7}

olur. İfade

(\sqrt[3]{7})^3 + 9

haline gelir.

-1

ve

+1

birbirini götürür, geriye sadece köklü ifade kalır.

4

Sonucu hesapla.

7 + 9 = 16

Küp kök ve küp birbirini götürür, kalan sayılar toplanır.

Key Concept

İki Terim Toplamının Küpü Özdeşliği:

(a+b)^3 = a^3 + 3a^2b + 3ab^2 + b^3

Hints

1

İfadeyi

(x+1)^3 = x^3 + 3x^2 + 3x + 1

açılımına benzetmeye çalışın.

2

Verilen ifadeyi

(x^3 + 3x^2 + 3x + 1) + \text{sabit sayı}

şeklinde yazın.

3

İfade

(x+1)^3 + 9

şeklindedir. Şimdi

x

yerine

\sqrt[3]{7}-1

yazarak parantez içini sadeleştirin.

Practice More

(x-2)^3

açılımını içeren benzer bir soru çözerek negatif işaretli özdeşlikleri pekiştirin.

Estimated Time:1m 30s

Question 69Question →

Bir baba, cebindeki bir miktar parayı yaşları 2, 3 ve 4 olan üç çocuğuna yaşları ile ters orantılı olarak paylaştırıyor. Eğer bu parayı çocuklarına yaşları ile doğru orantılı olarak paylaştırsaydı, en büyük çocuk ilk duruma göre 100 TL daha fazla para alacaktı.

Buna göre, babanın paylaştırdığı toplam para kaç TL'dir?

351

450

468

585

900

Show answer & explanation

Answer: 468

Answer

Babanın paylaştırdığı toplam para 468 TL'dir.

Toplam para miktarı sabit olduğundan, ters orantıdaki toplam pay (13 birim) ile doğru orantıdaki toplam payın (9 birim) en küçük ortak katı olan 117 üzerinden gidilir. En büyük çocuk ters orantıda paranın 3/13'ünü (

27m

), doğru orantıda ise 4/9'unu (

52m

) alır. Aradaki fark olan

25m = 100

TL eşitliğinden toplam para 468 TL bulunur.

Step-by-Step Solution

1

Ters orantılı paylaşım durumunu (1. Durum) matematiksel olarak modelle.

Çocukların payları yaşlarının tersiyle orantılıdır:

k/2, k/3, k/4

. Paydaları eşitlemek için (EKOK 12) paylar sırasıyla

6x, 4x, 3x

olur. Toplam pay

13x

olur.

Ters orantıda

A \cdot 2 = B \cdot 3 = C \cdot 4 = k

eşitliği kullanılır.

2

Doğru orantılı paylaşım durumunu (2. Durum) matematiksel olarak modelle.

Çocukların payları yaşlarıyla doğru orantılıdır:

2y, 3y, 4y

. Toplam pay

9y

olur.

Doğru orantıda

A/2 = B/3 = C/4 = y

eşitliği kullanılır.

3

Her iki durumda dağıtılan toplam paranın aynı olduğunu kullanarak ortak bir kat belirle.

Toplam para hem

13x

hem de

9y

'ye eşit olmalıdır. EKOK(13, 9) = 117 olduğundan, Toplam Para =

117m

diyelim.

Para miktarı değişmemiştir, sadece dağıtım şekli değişmiştir. Bu nedenle toplam miktar her iki orantı toplamının katı olmalıdır.

4

En büyük çocuğun (4 yaşında) her iki durumda alacağı payı hesapla ve denklemi kur.

1. Durumda (Ters): En büyük çocuğun payı

3/13

oranındadır.

117m \cdot (3/13) = 27m

.
2. Durumda (Doğru): En büyük çocuğun payı

4/9

oranındadır.

117m \cdot (4/9) = 52m

.
Fark:

52m - 27m = 25m = 100

.

Soruda verilen '100 TL daha fazla' bilgisi bu iki değer arasındaki farktır.

5

Bilinmeyeni bul ve toplam parayı hesapla.

25m = 100

ise

m = 4

bulunur. Toplam Para =

117m = 117 \cdot 4 = 468

TL.

Bulunan birim değeri toplam para ifadesinde yerine koyarak sonuca ulaşılır.

Key Concept

Hem doğru hem ters orantı içeren problemlerde, toplam miktarın sabitliği üzerinden giderek ortak kat (EKOK) kullanmak çözümü kolaylaştırır.

Hints

1

Her iki durumda da dağıtılan toplam paranın değişmediğine dikkat ediniz.

2

Yaşları 2, 3 ve 4 olan çocuklar için ters orantılı payları k/2, k/3, k/4; doğru orantılı payları ise 2m, 3m, 4m şeklinde yazabilirsiniz.

3

Kesirlerle uğraşmamak için toplam parayı, paydaların ve katsayıların toplamının ortak katı olan 117'nin katı (117x) olarak seçmeyi deneyiniz.

Practice More

Benzer mantığı pekiştirmek için 'işçi problemleri' kapsamında, çalışma hızları ile iş bitirme sürelerinin ters orantılı olduğu sorular çözülebilir.

Alternative Method

Toplam paraya P diyelim. En büyük çocuğun ilk payı P * (1/4) / (1/2+1/3+1/4) = P * 3/13'tür. İkinci payı P * 4 / (2+3+4) = P * 4/9'dur. Denklem: P(4/9 - 3/13) = 100.

Estimated Time:2m 30s

Question 70Question →

\frac{\sqrt{10} - \sqrt{6}}{\sqrt{15} - 3}

ifadesinin sonucu aşağıdakilerden hangisidir?

\frac{\sqrt{6}}{3}

\frac{\sqrt{6}}{2}

\sqrt{6}

\frac{\sqrt{2}}{3}

-\frac{\sqrt{6}}{3}

Show answer & explanation

Answer: $\frac{\sqrt{6}}{3}$

Answer

İşlemin sonucu \frac{\sqrt{6}}{3} bulunur.

Verilen ifadede pay ve payda ayrı ayrı ortak çarpan parantezine alındığında, sadeleşen bir terim ortaya çıkar. Pay

\sqrt{2}

, payda ise

\sqrt{3}

parantezine alındığında

(\sqrt{5}-\sqrt{3})

çarpanı ortak olur ve sadeleşir. Geriye kalan

\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}}

ifadesi de paydası rasyonel yapılarak

\frac{\sqrt{6}}{3}

sonucuna ulaşılır.

Step-by-Step Solution

1

İfadeyi ortak çarpan parantezine almak için köklü sayıları çarpanlarına ayırırız.

Pay:

\sqrt{10} - \sqrt{6} = \sqrt{2}\cdot\sqrt{5} - \sqrt{2}\cdot\sqrt{3} = \sqrt{2}(\sqrt{5} - \sqrt{3})

Her iki terimde de

\sqrt{2}

çarpanı ortaktır.

2

Paydadaki ifadeyi de benzer şekilde ortak çarpan parantezine alırız. Burada 3 sayısını

\sqrt{9}

yani

\sqrt{3}\cdot\sqrt{3}

olarak düşünmeliyiz.

Payda:

\sqrt{15} - 3 = \sqrt{3}\cdot\sqrt{5} - \sqrt{3}\cdot\sqrt{3} = \sqrt{3}(\sqrt{5} - \sqrt{3})

Her iki terimde de

\sqrt{3}

çarpanı ortaktır.

3

Elde edilen ifadeleri kesirde yerine yazar ve sadeleştirme yaparız.

\frac{\sqrt{2}(\sqrt{5} - \sqrt{3})}{\sqrt{3}(\sqrt{5} - \sqrt{3})} = \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}}

(\sqrt{5} - \sqrt{3})

çarpanları birbirini götürür.

4

Sonucu şıklardaki formata getirmek için paydayı rasyonel yaparız (eşlenik ile çarparız).

\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}} \cdot \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}} = \frac{\sqrt{6}}{3}

Kesrin payı ve paydası

\sqrt{3}

ile genişletilir.

Key Concept

Köklü ifadelerde ortak çarpan parantezine alma ve paydayı rasyonel yapma.

Hints

1

Pay ve paydadaki ifadeleri doğrudan çıkarmaya çalışmak yerine, sayıları çarpanlarına ayırarak ortak bir kök bulmaya çalışın.

2

\sqrt{10} = \sqrt{2}\cdot\sqrt{5}

ve

\sqrt{15} = \sqrt{3}\cdot\sqrt{5}

eşitliklerini kullanın. Ayrıca 3 sayısını da köklü olarak (

\sqrt{9}

) düşünebilirsiniz.

3

Payı

\sqrt{2}

parantezine, paydayı ise

\sqrt{3}

parantezine alın. Ortak parantezlerin içi aynı olacaktır.

Practice More

Benzer yapıdaki

\frac{\sqrt{21}-\sqrt{7}}{\sqrt{6}-\sqrt{2}}

sorusunu çözerek pekiştirme yapabilirsiniz.

Alternative Method

İçler dışlar çarpımı veya değişken değiştirme yöntemine gerek yoktur, ancak şıklardan giderek yaklaşık değer tahmini (

\sqrt{10} \approx 3.16

,

\sqrt{6} \approx 2.45

vb.) ile de sağlama yapılabilir.

Estimated Time:1m 30s

Question 71Question →

Sayı doğrusu üzerinde işaretlenen $a$ ve $b$ tam sayıları için $|a| = 7$ ve $|b| = 3$ olduğu bilinmektedir. Buna göre, $a + b$ toplamının alabileceği en küçük değer kaçtır?

-10

-4

4

10

Show answer & explanation

Answer: $-10$

Answer

İşlemin alabileceği en küçük değer

-10

olarak bulunur.

Mutlak değeri

7

olan sayı

-7

veya

7

; mutlak değeri

3

olan sayı ise

-3

veya

3

olabilir. Toplamın alabileceği en küçük değer için her iki sayının da alabileceği en küçük ihtimaller olan

-7

ve

-3

toplanmalıdır. Bu durumda

(-7) + (-3) = -10

sonucu elde edilir.

Step-by-Step Solution

1

a

ve

b

sayılarının mutlak değer eşitliklerini çözün.

a

sayısı

7

veya

-7

;

b

sayısı ise

3

veya

-3

değerlerini alabilir.

Mutlak değer, bir sayının sıfıra olan uzaklığıdır ve uzaklığı belirli bir birim olan iki farklı nokta bulunur.

2

Toplamın en küçük olması için uygun değerleri seçin.

a = -7

ve

b = -3

seçilmelidir.

İki sayının toplamının en küçük (en negatif) olması için sayı doğrusunda sıfırın en solundaki ihtimalleri kullanmalıyız.

3

Seçilen değerlerle toplama işlemini gerçekleştirin.

(-7) + (-3) = -10

Aynı işaretli iki negatif sayı toplandığında sonuç daha küçük bir negatif sayı olur.

Key Concept

Mutlak değer, bir sayının başlangıç noktasına (sıfıra) olan uzaklığını ifade eder ve

|x| = k

eşitliğinde

x

, hem

k

hem de

-k

değerini alabilir.

Hints

1

Mutlak değeri

7

olan bir sayı, sayı doğrusunda sıfıra

7

birim uzaklıktadır. Bu sayı hangi iki değerden biri olabilir?

2

Toplamın en küçük olması için sayı doğrusunun mümkün olduğunca solundaki (en negatif) sayıları seçmelisiniz.

3

a

yerine

-7

ve

b

yerine

-3

yazdığınızda bulduğunuz sonuç en küçük toplamı verecektir.

Practice More

Mutlak değer içeren denklemlerde iki farklı durumu (pozitif ve negatif çıkma) incelemeyi alışkanlık haline getirin.

Alternative Method

Sayı doğrusu üzerinde

0

noktasından önce sola doğru

7

birim, sonra tekrar sola doğru

3

birim giderek varılan nokta toplamın en küçük değerini verir.

Estimated Time:45s

Question 72Question →

$x$ ve $y$ gerçel sayıları için $x - 2y = 7$ eşitliği veriliyor.

x + 2y \neq 6

olmak üzere,

\frac{x^2 - 4y^2 - 8x + 8y + 12}{x + 2y - 6}

ifadesinin değeri kaçtır?

3

5

7

9

11

Show answer & explanation

Answer: 5

Answer

İfadenin sadeleştirilmiş hali ve verilen değerin yerine yazılmasıyla elde edilen sonuç 5'tir.

İfade

(x-4)^2 - (2y-2)^2

şeklindeki iki kare farkı özdeşliğine dönüştürülüp çarpanlarına ayrıldığında, paydadaki

(x+2y-6)

çarpanı ile sadeleşir. Geriye kalan

(x-2y-2)

ifadesinde verilen değer yerine yazıldığında doğru sonuç 5 bulunur.

Step-by-Step Solution

1

Verilen ifadeyi

x

ve

y

değişkenlerine göre gruplandırarak tam kareye tamamlama yöntemini uygula.

x^2 - 8x

ifadesi

(x-4)^2 - 16

ve

-4y^2 + 8y

ifadesi

-(2y-2)^2 + 4

şeklinde yazılır.

Üç terimli ifadeleri çarpanlarına ayırabilmek için tam kare özdeşliklerinden yararlanılır.

2

Elde edilen terimleri ve sabit sayıyı ana ifadede birleştir.

(x-4)^2 - 16 - (2y-2)^2 + 4 + 12 = (x-4)^2 - (2y-2)^2

Sabit terimler (-16 + 4 + 12 = 0) birbirini götürür ve ifade iki kare farkı formatına gelir.

3

İki kare farkı özdeşliğini uygula:

a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)

.

((x-4) - (2y-2)) \cdot ((x-4) + (2y-2)) = (x - 2y - 2)(x + 2y - 6)

Pay kısmını sadeleşebilir çarpanlara ayırmak için gereklidir.

4

Pay ve paydadaki ortak terimleri sadeleştir.

\frac{(x - 2y - 2)(x + 2y - 6)}{x + 2y - 6} = x - 2y - 2

Kesirli ifadeyi en sade haline getirmek için ortak çarpanlar yok edilir.

5

Soru kökünde verilen

x - 2y = 7

değerini yerine yaz.

7 - 2 = 5

İstenen sayısal sonuca ulaşmak için.

Key Concept

İki kare farkı özdeşliği ve terim ekleyip çıkarma (tam kareye tamamlama) yöntemi ile rasyonel ifadelerin sadeleştirilmesi.

Hints

1

Paydaki ifadede

x

'li ve

y

'li terimleri kendi aralarında gruplandırmayı deneyin.

2

x^2 - 8x

ve

-4y^2 + 8y

ifadelerini tam kareye tamamlayarak sabit terimi (

+12

) nasıl paylaştırabileceğinize bakın.

3

İfade

(x-4)^2 - (2y-2)^2

şeklinde iki kare farkına dönüştürülebilir.

Practice More

Benzer yapıdaki

x^2 - y^2 + 4x - 2y + 3

gibi ifadelerin çarpanlarına ayrılması soruları çözülebilir.

Alternative Method

Polinom bölmesi yaparak da sonuca ulaşılabilir, ancak bu soruda tam kareye tamamlama daha hızlıdır.

Estimated Time:2m 30s

Question 73Question →

x

ve

y

gerçel sayılar olmak üzere,

|x - 2| < 3

|3y + 1| \le 7

eşitsizlikleri veriliyor.

Buna göre, $2x - 3y$ ifadesinin alabileceği kaç farklı tam sayı değeri vardır?

21

24

25

26

27

Show answer & explanation

Answer: 25

Answer

İfadenin alabileceği 25 farklı tam sayı değeri vardır.

Doğru cevap 25'tir. Soruda değişkenlerin 'gerçel sayı' olduğu belirtildiği için işlemler aralık (eşitsizlik) mantığıyla yapılmalıdır.

x

ve

y

için ayrı ayrı aralıklar bulunduktan sonra, hedef ifade (

2x-3y

) için uygun aralıklar taraf tarafa toplanır. Sonuç aralığı

(-8, 18)

bulunur ve bu aralıktaki tam sayılar sayılarak sonuca ulaşılır.

Step-by-Step Solution

1

x

değişkeninin aralığını bulmak için mutlak değer eşitsizliğini çözme

-3 < x - 2 < 3 \implies -1 < x < 5

Mutlak değer eşitsizliği

|u| < a

ise

-a < u < a

şeklinde açılır.

2

2x

ifadesinin aralığını elde etme

Eşitsizliği 2 ile çarparız:

-2 < 2x < 10

Hedef ifadeyi oluşturmak için

x

aralığını katsayı ile genişletmemiz gerekir.

3

y

değişkeninin aralığını bulmak için ikinci eşitsizliği çözme

-7 \le 3y + 1 \le 7 \implies -8 \le 3y \le 6

Eşitsizliğin her tarafından 1 çıkarılarak

3y

yalnız bırakılır.

4

-3y

ifadesinin aralığını elde etme

Eşitsizliği -1 ile çarparız (yön değiştirir):

-6 \le -3y \le 8

Negatif sayı ile çarpma işleminde eşitsizlik yön değiştirir veya sınırlar yer değiştirir.

5

2x - 3y

ifadesinin çözüm aralığını bulmak için taraf tarafa toplama

Alt sınır:

-2 + (-6) = -8

Üst sınır:

10 + 8 = 18

Eşitsizlik türü: Biri açık, biri kapalı ise sonuç açık olur.
Sonuç:

-8 < 2x - 3y < 18

Eşitsizliklerde taraf tarafa toplama yapılırken, en az bir sınır 'açık' (

<

) ise toplamın sınırı da 'açık' olur.

6

Aralıktaki tam sayı adedini hesaplama

Değerler:

\{-7, -6, \dots, 17\}

Adet = (Son Terim - İlk Terim) + 1 =

17 - (-7) + 1 = 25

Açık aralık

(-8, 18)

arasındaki en küçük tam sayı -7, en büyük tam sayı 17'dir.

Key Concept

Mutlak Değerli Eşitsizlikler ve Reel Sayı Aralıkları

Hints

1

Soruda 'gerçel sayılar' ifadesi geçtiği için,

x

ve

y

'ye doğrudan sayı değeri vermeyin. Eşitsizlik aralıklarını genişletmeniz gerekir.

2

|x-2| < 3

ifadesini

-3 < x-2 < 3

olarak açın ve

2x

ifadesinin aralığını bulun. Benzer işlemi

y

için de yapın.

3

-3y

ifadesini oluştururken eşitsizliği negatif sayıyla çarptığınız için yön değiştirmeyi veya sınırları yer değiştirmeyi unutmayın. Sonra taraf tarafa toplayın.

Estimated Time:2m 30s

Question 74Question →

$2^x = 3$ ve $2^y = 81$ eşitlikleri verilmiştir.

Buna göre, $(4)^{\frac{x+y}{2x}}$ ifadesinin değeri kaçtır?

8

16

32

64

128

Show answer & explanation

Answer: 32

Answer

Doğru cevap 32'dir.

Verilen eşitliklerde

2^x=3

ve

2^y=81

ilişkisinden yola çıkılarak,

81=3^4

olduğu görülür.

2^y = (3)^4 = (2^x)^4 = 2^{4x}

olduğundan

y=4x

eşitliği bulunur. Bu eşitlik sorulan ifadede yerine konulduğunda üs

\frac{5}{2}

çıkar.

4^{5/2} = 32

doğru cevaptır.

Step-by-Step Solution

1

Verilen ikinci eşitlikteki 81 sayısını 3 tabanında yazarak

x

ve

y

arasındaki ilişkiyi belirleyin.

2^y = 81 = 3^4

olduğu için,

2^x = 3

bilgisini kullanarak

2^y = (2^x)^4 = 2^{4x}

elde edilir. Buradan

y = 4x

bulunur.

Değişkenler arasında bağlantı kurmak için tabanların eşitlenmesi gerekir.

2

Bulunan

y = 4x

eşitliğini sorulan ifadede yerine yazın.

İfade

\frac{x+y}{2x}

olduğundan,

\frac{x+4x}{2x} = \frac{5x}{2x} = \frac{5}{2}

bulunur.

İstenen üslü ifadenin kuvvetini sadeleştirmek için.

3

Tabanı düzenleyerek sonucu hesaplayın.

(4)^{\frac{5}{2}} = (2^2)^{\frac{5}{2}} = 2^{2 \cdot \frac{5}{2}} = 2^5 = 32

.

Üssün üssü kuralını uygulayarak sonuca ulaşmak.

Key Concept

Üslü sayılarda taban değiştirme ve üssün üssü kuralı kullanılarak değişkenler arası ilişkilerin çözülmesi.

Hints

1

81 sayısını 3 tabanında yazarak

x

ve

y

arasında nasıl bir ilişki olduğunu bulun.

2

81 = 3^4

olduğuna göre,

2^y = (2^x)^4

eşitliğini kullanarak

y

'nin

x

cinsinden değerini belirleyin.

3

y = 4x

eşitliğini sorudaki kesirde yerine koyun ve

4

tabanını

2^2

olarak düşünün.

Alternative Method

Logaritma kullanarak da çözülebilir:

x = \log_2 3

ve

y = \log_2 81 = 4 \log_2 3 = 4x

. Buradan doğrudan oranlama yapılabilir.

Estimated Time:2m 30s

Question 75Question →

$a, b$ ve $c$ gerçel sayıları için aşağıdaki eşitsizlikler verilmiştir:

a^2 < a

a \cdot c > c

a \cdot b \cdot c > 0

b > c

Buna göre, aşağıdakilerden hangisi daima doğrudur?

(a - b) \cdot (b - c) > 0

b^2 > c^2

\frac{1}{b} > \frac{1}{c}

a - b < 0

a + c > 0

Show answer & explanation

Answer: (a - b) \cdot (b - c) > 0

Answer

Verilen koşullar altında sayıların sıralaması

c < b < 0 < a < 1

şeklindedir; bu durumda

(a-b)(b-c) > 0

ifadesi daima doğrudur.

Yapılan analizler sonucunda sayıların sıralaması

c < b < 0 < a < 1

olarak bulunmuştur. Doğru seçenek

(a - b) \cdot (b - c) > 0

ifadesidir. Çünkü:
1.

a

pozitif,

b

negatiftir.

a - b = a + |b|

olacağından bu ifade pozitiftir.
2.

b > c

olduğu verilmiştir, dolayısıyla

b - c > 0

yani bu ifade de pozitiftir.
3. İki pozitif sayının çarpımı (

+\cdot+

) sıfırdan büyüktür.

Step-by-Step Solution

1

İlk eşitsizliği analiz etme (

a^2 < a

)

0 < a < 1

Bir sayının karesi kendisinden küçükse, o sayı 0 ile 1 arasındadır.

2

İkinci eşitsizliği kullanarak

c

'nin işaretini bulma (

a \cdot c > c

)

c(a - 1) > 0 \Rightarrow c < 0

0 < a < 1

olduğu için

(a-1)

negatiftir. Çarpımın pozitif olması için

c

de negatif olmalıdır.

3

Üçüncü eşitsizliği kullanarak

b

'nin işaretini bulma (

a \cdot b \cdot c > 0

)

a(+) \cdot b(?) \cdot c(-) > 0 \Rightarrow -b > 0 \Rightarrow b < 0

Pozitif (

a

) ve negatif (

c

) sayıların çarpımı negatiftir. Sonucun pozitif olması için

b

negatif olmalıdır.

4

Sayılar arasındaki genel sıralamayı oluşturma (

b > c

)

c < b < 0 < a < 1

b

ve

c

negatif olup

b > c

verildiğinden sıralama bu şekilde oluşur.

5

Seçenekleri bu sıralamaya göre test etme

(a-b)

pozitiftir (pozitif - negatif).

(b-c)

pozitiftir (büyük - küçük). Çarpımları pozitiftir.

Doğru seçeneği belirlemek için işaret analizi yapılır.

Key Concept

Basit Eşitsizlikler ve İşaret İncelemesi

Hints

1

a^2 < a

eşitsizliği,

a

sayısının 0 ile 1 arasında olduğunu gösterir.

2

a \cdot c > c

eşitsizliğini

c(a - 1) > 0

şeklinde düzenleyerek

c

'nin işaretini belirleyin.

3

İşaretleri belirledikten sonra sayıları

c < b < 0 < a < 1

şeklinde sayı doğrusuna yerleştirip seçenekleri test edin.

Alternative Method

Değer verme yöntemi:

a = 0.5

,

b = -2

,

c = -4

seçerek koşulların sağlandığını (

b > c

ve işaretler) doğrulayın ve seçeneklerde yerine koyun.

Estimated Time:2m 30s

Question 76Question →

Devlet Su İşleri (DSİ) tarafından yürütülen bir proje kapsamında; K, L ve M tarım havzalarına sulama suyu tahsis edilecektir. Havzalara verilecek su miktarları, havzaların ekili alan büyüklüğü ile doğru, bölgeye düşen yıllık ortalama yağış miktarı ile ters orantılı olacak şekilde belirlenmiştir.

Havzalara ait veriler aşağıdaki tabloda gösterilmiştir:

Havza	Ekili Alan (Bin Dönüm)	Yıllık Yağış (mm)
K	$60$	$400$
L	$90$	$300$
M	$100$	$500$

L havzasına tahsis edilen su miktarı, K havzasına tahsis edilen su miktarından $240$ bin $m^3$ daha fazladır.

Buna göre, üç havzaya tahsis edilen toplam su miktarı kaç bin $m^3$ 'tür?

960

1040

1080

1300

1560

Show answer & explanation

Answer: 1040

Answer

Toplam su miktarı 1040 bin

m^3

'tür.

Soruda verilen bileşik orantı kuralına göre, her bir havzaya düşen pay

\frac{\text{Ekili Alan}}{\text{Yıllık Yağış}}

oranı ile belirlenir.

K \propto \frac{60}{400} = \frac{3}{20}

L \propto \frac{90}{300} = \frac{3}{10} = \frac{6}{20}

M \propto \frac{100}{500} = \frac{1}{5} = \frac{4}{20}

Paydaları 20'de eşitlediğimizde, paylar sırasıyla

3

,

6

ve

4

ile orantılıdır. Buna göre:

K = 3k

L = 6k

M = 4k

diyebiliriz.

Soruda

L

havzasının

K

'den

240

bin

m^3

fazla aldığı belirtilmiştir:

6k - 3k = 240 \Rightarrow 3k = 240 \Rightarrow k = 80

.

Toplam su miktarı:

3k + 6k + 4k = 13k

13 \times 80 = 1040

bin

m^3

.

Step-by-Step Solution

1

Her havza için orantı katsayısını belirle

Miktar = k · (Ekili Alan / Yıllık Yağış)

Problemde miktarın ekili alanla doğru, yağışla ters orantılı olduğu belirtilmiştir.

2

Verilen değerleri formüle yerleştirip oranları bul

K: 60/400 = 3/20, L: 90/300 = 3/10, M: 100/500 = 1/5

Her havzanın payını oran cinsinden ifade etmek için.

3

Kesirli ifadeleri tam sayıya çevirmek için genişlet (Payda eşitle)

Ortak payda 20'dir. K -> 3/20, L -> 6/20, M -> 4/20. Oranlar: 3 : 6 : 4

İşlem kolaylığı için oranları en sade tam sayılarla (3k, 6k, 4k) ifade etmek gerekir.

4

Verilen fark bilgisini kullanarak k orantı sabitini bul

L - K = 6k - 3k = 3k = 240 ise k = 80

L ve K havzaları arasındaki farkın 240 olduğu verilmiştir.

5

Toplam su miktarını hesapla

Toplam Pay = 3k + 6k + 4k = 13k. Toplam Miktar = 13 · 80 = 1040

Tüm havzaların toplam payı istenmektedir.

Key Concept

Bileşik Orantı

Hints

1

Bir büyüklük A ile doğru, B ile ters orantılı ise; bu büyüklük

\frac{A}{B}

kesri ile orantılıdır.

2

Her havza için

\frac{\text{Ekili Alan}}{\text{Yıllık Yağış}}

değerini hesaplayıp sadeleştirin. Çıkan kesirleri tam sayı oranlarına dönüştürmek için paydaları eşitleyin.

Practice More

Benzer bir mantıkla; işçi sayısı ile doğru, işin bitme süresi ile ters orantılı ücret dağılımı problemlerini inceleyiniz.

Estimated Time:2m 30s

Question 77Question →

Gerçel sayılar kümesinde tanımlı

\Delta

işlemi, her

x, y

gerçel sayısı için

x \Delta y = 2x + 2y + xy + 2

biçiminde tanımlanıyor.

Buna göre, bu işlemin etkisiz (birim) elemanı ile 3 sayısının $\Delta$ işlemine göre tersinin toplamı kaçtır?

-\frac{14}{5}

-\frac{8}{5}

-\frac{2}{5}

\frac{4}{5}

-1

Show answer & explanation

Answer: $-\frac{14}{5}$

Answer

İşlemin etkisiz elemanı

e = -1

ve 3'ün tersi

t = -9/5

olduğundan toplam

-14/5

'tir.

İşlem sorularında önce genel etkisiz eleman (

e

) bulunmalıdır.

x \Delta e = x

eşitliğinden

2x + 2e + xe + 2 = x

yazılır ve düzenlenirse

x(e+1) + 2(e+1) = 0

elde edilir. Bu eşitliğin her

x

için sağlanması için

e = -1

olmalıdır. Daha sonra 3'ün tersi (

t

) için

3 \Delta t = -1

eşitliği çözülür:

2(3) + 2t + 3t + 2 = -1 \Rightarrow 5t = -9 \Rightarrow t = -9/5

. İstenen toplam:

-1 + (-9/5) = -14/5

bulunur.

Step-by-Step Solution

1

İşlemin etkisiz elemanını (

e

) bulmak için

x \Delta e = x

eşitliğini kullan.

2x + 2e + xe + 2 = x

Etkisiz eleman tanımı gereği, işleme giren elemanı değiştirmemelidir.

2

Elde edilen denklemi düzenleyerek

e

değerini çöz.

x(e+1) + 2(e+1) = 0 \Rightarrow (x+2)(e+1) = 0

. Her

x

için sağlanması gerektiğinden

e+1=0 \Rightarrow e = -1

.

Eşitliğin her

x

değeri için sağlanması ancak katsayıların sıfırlanmasıyla mümkündür.

3

3'ün tersini (

t

) bulmak için

3 \Delta t = e

eşitliğini kur.

2(3) + 2t + 3t + 2 = -1

Bir eleman ile tersinin işleme girmesi sonucu etkisiz eleman elde edilmelidir.

4

Denklemi çözerek

t

değerini bul ve

e

ile topla.

6 + 5t + 2 = -1 \Rightarrow 5t = -9 \Rightarrow t = -\frac{9}{5}

. Toplam:

-1 + (-\frac{9}{5}) = -\frac{14}{5}

.

Sonuç için bulunan iki değerin toplamı istenmiştir.

Key Concept

İşlem konusunda etkisiz eleman ve ters eleman bulma yöntemleri.

Hints

1

Önce işlemin etkisiz elemanını (

e

) bulmalısın. Bunun için

x \Delta e = x

eşitliğini kullan.

2

2x + 2e + xe + 2 = x

denklemini

x

'e bağlı gruplandırarak

e

'yi bul. Sonra ters eleman için

3 \Delta t = e

denklemini çöz.

3

e = -1

olmalıdır. 3'ün tersi

t

için

2(3) + 2t + 3t + 2 = -1

denklemini çöz.

Estimated Time:2m 30s

Question 78Question →

\frac{x-3}{2} - \frac{x-4}{3} = 1

Yukarıda verilen denklemi sağlayan $x$ değeri kaçtır?

2

5

7

11

23

Show answer & explanation

Answer: 7

Answer

Doğru cevap 7'dir.

Verilen rasyonel denklemde paydalar 6'da eşitlenip düzenlendiğinde

x-1=6

elde edilir, buradan da

x=7

sonucuna ulaşılır.

Step-by-Step Solution

1

Paydaları eşitlemek için denklemin her iki tarafını veya kesirleri uygun sayılarla genişletin.

Paydalar 6'da eşitlenir:

\frac{3(x-3)}{6} - \frac{2(x-4)}{6} = \frac{6 \cdot 1}{6}

Rasyonel denklemlerde işlem yapabilmek için paydaların eşitlenmesi gerekir. 2 ve 3'ün en küçük ortak katı 6'dır.

2

Paydaları atıp pay kısımlarını düzenleyin ve parantezleri dağıtın.

3(x-3) - 2(x-4) = 6 \Rightarrow 3x - 9 - 2x + 8 = 6

Eşitliğin her iki tarafındaki paydalar aynı olduğu için sadeleşir. Eksi işareti parantez içine dağıtılırken dikkat edilmelidir (

-2 \cdot -4 = +8

).

3

Benzer terimleri toplayarak

x

'i yalnız bırakın.

(3x - 2x) + (-9 + 8) = 6 \Rightarrow x - 1 = 6

Bilinmeyenler ve sabit sayılar kendi aralarında işleme alınır.

4

Sabit sayıyı karşıya atarak sonucu bulun.

x = 6 + 1 \Rightarrow x = 7

Eşitliğin bir tarafındaki

-1

, diğer tarafa

+1

olarak geçer.

Key Concept

Rasyonel katsayılı birinci dereceden denklemlerin çözümünde payda eşitleme ve işaret dağılımı.

Question 79Question →

$x$ bir gerçel sayı olmak üzere, $-2 < x < 5$ eşitsizliği veriliyor.

Buna göre, $x^2 - 6x + 5$ ifadesinin alabileceği en büyük tam sayı değeri ile en küçük tam sayı değerinin toplamı kaçtır?

8

16

21

24

29

Show answer & explanation

Answer: 16

Answer

İfadenin alabileceği en büyük ve en küçük tam sayı değerlerinin toplamı 16'dır.

Verilen

x^2 - 6x + 5

ifadesi parabolik bir ifadedir ve tepe noktası

x=3

apsisindedir. Verilen

-2 < x < 5

aralığı bu tepe noktasını kapsadığı için, ifadenin alabileceği en küçük değer tepe noktasında oluşur. Tam kareye tamamlama yöntemiyle

(x-3)^2 - 4

elde edilir. Aralık

(-5, 2)

'ye dönüşür ve karesi alındığında

[0, 25)

aralığı bulunur. Sonuçta ifade

[-4, 21)

aralığındadır. Buradan en küçük tam sayı -4, en büyük tam sayı 20 bulunur ve toplamları 16 eder.

Step-by-Step Solution

1

Verilen ifadeyi tam kareye tamamlama yöntemiyle düzenle.

x^2 - 6x + 5 = (x-3)^2 - 9 + 5 = (x-3)^2 - 4

İkinci dereceden ifadenin aralığını bulmak için tam kare formu, değişkenin tek bir yerde olmasını sağlar ve hata yapmayı engeller.

2

x

için verilen aralığı

(x-3)

ifadesine dönüştür.

-2 < x < 5

eşitsizliğinin her yanından 3 çıkarılırsa:

-5 < x-3 < 2

elde edilir.

Tam kare içindeki ifadenin aralığını belirlemek gereklidir.

3

(x-3)^2

ifadesinin aralığını bul.

-5 < x-3 < 2

aralığı 0'ı içerdiğinden, karenin en küçük değeri 0'dır. En büyük değer ise sınırların karelerinin büyüğü olan

(-5)^2 = 25

'tir (dahil değil). Yani:

0 \le (x-3)^2 < 25

.

Bir aralık negatiften pozitife geçiyorsa, karesinin alt sınırı daima 0 olur. Bu, sorunun en kritik noktasıdır.

4

Elde edilen eşitsizlikten 4 çıkararak sonuç aralığını bul.

0 - 4 \le (x-3)^2 - 4 < 25 - 4 \implies -4 \le x^2 - 6x + 5 < 21

.

İfadenin orijinal haline ulaşmak için son işlem yapılır.

5

Tam sayı değerlerini belirle ve topla.

En küçük tam sayı değeri:

-4

(eşitlik var). En büyük tam sayı değeri:

20

(21'den küçük). Toplam:

20 + (-4) = 16

.

Soruda istenen değerler tespit edilir.

Key Concept

Bir eşitsizlik aralığının karesi alınırken, eğer aralık negatif ve pozitif sayıları içeriyorsa (örneğin

-a < x < b

), karenin alt sınırı daima 0 olur (

0 \le x^2

).

Hints

1

İkinci dereceden bir ifadenin alabileceği değerleri bulurken, ifadeyi

(x-a)^2 + b

şeklinde tam kareye tamamlamak işinizi kolaylaştırır.

2

x^2 - 6x + 5

ifadesini

(x-3)^2 - 4

olarak yazın. Şimdi

-2 < x < 5

eşitsizliğini kullanarak

(x-3)

'ün aralığını bulun.

3

-5 < x-3 < 2

aralığının karesini alırken dikkat edin! Aralık negatiften pozitife geçtiği için (0'ı içerdiği için), karenin en küçük değeri daima 0 olur.

Alternative Method

Türev veya Parabol Bilgisi ile:

f(x) = x^2 - 6x + 5

fonksiyonunun tepe noktası

r = -b/2a = 6/2 = 3

'tür.

x=3

değeri verilen

(-2, 5)

aralığında olduğu için minimum değer

f(3) = 9 - 18 + 5 = -4

'tür. Maksimum değer için sınırlara bakılır:

f(-2) = 21

ve

f(5) = 0

. Değer kümesi

[-4, 21)

olur.

Estimated Time:2m 30s

Question 80Question →

$x = \sqrt{7 + 4\sqrt{3}}$ ve $y = \frac{2}{\sqrt{3}-1}$ sayıları veriliyor.

Buna göre, $y - x$ ifadesinin değeri kaçtır?

-3

-1

1

2\sqrt{3} - 1

2\sqrt{3} + 1

Show answer & explanation

Answer: -1

Answer

-1

İşlem önceliğine uyularak önce iç içe kök dışarı çıkarılır (

x=2+\sqrt{3}

), ardından kesirli ifade eşlenik ile genişletilerek düzenlenir (

y=\sqrt{3}+1

). Son olarak

y-x

işlemi yapıldığında sonuç -1 bulunur.

Step-by-Step Solution

1

x sayısındaki iç içe kök ifadesini düzenle.

x = \sqrt{7 + 2\cdot 2\sqrt{3}} = \sqrt{7 + 2\sqrt{12}}

. Çarpımları 12, toplamları 7 olan sayılar 4 ve 3'tür. O halde

x = \sqrt{4} + \sqrt{3} = 2 + \sqrt{3}

olur.

\sqrt{A + 2\sqrt{B}}

kuralını uygulamak için kök içindeki ifadeyi standart forma getirmek gerekir.

2

y sayısının paydasını rasyonel yap.

y = \frac{2(\sqrt{3}+1)}{(\sqrt{3}-1)(\sqrt{3}+1)} = \frac{2(\sqrt{3}+1)}{3-1} = \frac{2(\sqrt{3}+1)}{2} = \sqrt{3} + 1

olur.

Köklü ifadelerde paydayı kökten kurtarmak için eşlenik ile çarpma işlemi yapılır.

3

y - x farkını hesapla.

y - x = (\sqrt{3} + 1) - (2 + \sqrt{3}) = \sqrt{3} + 1 - 2 - \sqrt{3} = 1 - 2 = -1

.

Bulunan sadeleşmiş değerler yerine yazılarak çıkarma işlemi yapılır.

Key Concept

Köklü sayılarda eşlenik kavramı ve iç içe köklerin (

\sqrt{a \pm 2\sqrt{b}}

) dışarı çıkarılması.

Answer

Step-by-Step Solution

Key Concept

Common Mistakes

Hints

Practice More

Answer

Step-by-Step Solution

Key Concept

Common Mistakes

Hints

Practice More

Answer

Step-by-Step Solution

Key Concept

Common Mistakes

Hints

Alternative Method

Answer

Step-by-Step Solution

Key Concept

Common Mistakes

Hints

Alternative Method

Answer

Step-by-Step Solution

Key Concept

Common Mistakes

Hints

Practice More

Alternative Method

Answer

Step-by-Step Solution

Key Concept

Common Mistakes

Hints

Practice More

Alternative Method

Answer

Step-by-Step Solution

Key Concept

Common Mistakes

Hints

Practice More

Answer

Step-by-Step Solution

Key Concept

Common Mistakes

Hints

Practice More

Answer

Step-by-Step Solution

Key Concept

Common Mistakes

Hints

Practice More

Alternative Method

Answer

Step-by-Step Solution

Key Concept

Common Mistakes

Hints

Practice More

Alternative Method

Answer

Step-by-Step Solution

Key Concept

Common Mistakes

Hints

Practice More

Alternative Method

Answer

Step-by-Step Solution

Key Concept

Common Mistakes

Hints

Practice More

Alternative Method

Answer