Layer 1

Question 161Question →

Bir $ABC$ üçgeninde $G$ noktası ağırlık merkezidir. $G$ noktasından geçen ve $[BC]$ kenarına paralel olan $d$ doğrusu, $[AB]$ kenarını $D$ noktasında kesmektedir. $B$ ile $G$ noktaları birleştirildiğinde oluşan $BDG$ üçgeninin alanı $4$ cm $^2$ olduğuna göre, $ABC$ üçgeninin tamamının alanı kaç cm $^2$ dir?

18

24

27

36

54

Show answer & explanation

Answer: 36

Answer

36 cm

^2

Ağırlık merkezi (

G

), kenarortay üzerinde köşeye

2

birim, kenara

1

birim uzaklıktadır.

DG \parallel BC

paralel doğrusu çizildiğinde, Temel Benzerlik Teoremi gereği bu

2:1

oranı

AB

kenarı üzerinde de oluşur (

|AD|=2k, |DB|=k

).

G

köşesi ortak olan

ADG

ve

BDG

üçgenlerinin alanları tabanlarıyla orantılıdır. Tabanı

k

olan

BDG

üçgeninin alanı

4

ise, tabanı

2k

olan

ADG

üçgeninin alanı

8

olur. Böylece

ABG

üçgeninin toplam alanı

4+8=12

cm

^2

bulunur. Ağırlık merkezi, büyük üçgenin alanını

3

eşit parçaya (

ABG, BGC, AGC

) ayırdığından, tüm alan

3 \times 12 = 36

cm

^2

dir.

Step-by-Step Solution

1

Ağırlık merkezi ve benzerlik oranını belirle

|AG| = 2|GM|

ve

|AD| = 2|DB|

G

ağırlık merkezi kenarortayı

2:1

oranında böler.

DG \parallel BC

olduğundan Thales teoremi gereği bu oran

[AB]

kenarında da korunur.

2

ABG

üçgenindeki alan dağılımını hesapla

Alan(

ABG

)

= 3 \times

Alan(

BDG

)

= 12

cm

^2

ADG

ve

BDG

üçgenlerinin yükseklikleri ortaktır (

G

'den

AB

'ye inen dikme). Alanlar tabanlar oranına eşittir.

|AD|=2|DB|

olduğundan Alan(

ADG

)=2Alan(

BDG

). Toplam Alan(

ABG

) = 3Alan(

BDG

).

3

Toplam alanı bul

Alan(

ABC

)

= 3 \times 12 = 36

cm

^2

Ağırlık merkezi ile köşeler birleştirildiğinde oluşan üç üçgenin (

ABG

,

BGC

,

AGC

) alanları eşittir. Dolayısıyla toplam alan

ABG

alanının

3

katıdır.

Key Concept

Ağırlık merkezi kenarortayı

2:1

oranında böler ve üçgenin alanını 3 eşit parçaya ayırır.

Hints

1

Ağırlık merkezi kenarortayı hangi oranda böler?

2

G

noktasından geçen paralel doğru, kenarları da aynı oranda (

2:1

) böler. Bu oranı

AB

kenarına taşıyın.

3

ABG

üçgeninin alanı, verilen

BDG

üçgeninin alanının 3 katıdır. Toplam alan ise

ABG

alanının 3 katıdır.

Practice More

Benzer kurguda,

D

ve

E

noktalarından geçen yamuğun alanı verilip toplam alanın sorulduğu soruları inceleyin.

Alternative Method

Benzerlik oranı

k=2/3

olduğundan Alan(

ADE

) / Alan(

ABC

) =

(2/3)^2 = 4/9

. Kalan yamuğun alanı

5/9

. Bu oranlardan giderek de çözülebilir ancak

BGD

parçasını bulmak için yine taban oranlarına dönmek gerekir.

Estimated Time:2m 0s

Question 162Question →

Çevresi $40$ cm olan $ABCD$ eşkenar dörtgeninin köşegen uzunlukları $3$ ve $4$ sayıları ile orantılıdır.

Buna göre, bu eşkenar dörtgenin alanı kaç $\text{cm}^2$ dir?

24

48

60

96

192

Show answer & explanation

Answer: 96

Answer

Eşkenar dörtgenin alanı 96

\text{cm}^2

dir.

Doğru cevapta, önce çevre uzunluğundan kenar uzunluğu (10 cm) bulunmuş, ardından köşegenlerin birbirini dik ortalaması özelliği kullanılarak Pisagor bağıntısı ile köşegen uzunlukları (12 ve 16 cm) hesaplanmıştır. Son olarak alan formülü (köşegenler çarpımının yarısı) doğru uygulanarak 96 sonucuna ulaşılmıştır.

Step-by-Step Solution

1

Eşkenar dörtgenin bir kenar uzunluğunu bul.

Çevre

40

cm olduğundan, bir kenar

a = 40 / 4 = 10

cm bulunur.

Eşkenar dörtgenin tüm kenar uzunlukları eşittir.

2

Köşegen uzunluklarını ve yarım köşegenleri oran sabiti

k

cinsinden ifade et.

Köşegenler

e = 3k

ve

f = 4k

olsun. Köşegenler birbirini ortaladığından yarım köşegenler

\frac{3k}{2}

ve

\frac{4k}{2}

(yani

1.5k

ve

2k

) olur.

Eşkenar dörtgende köşegenler birbirini dik ortalar.

3

Oluşan dik üçgende Pisagor bağıntısını uygula.

(1.5k)^2 + (2k)^2 = 10^2 \Rightarrow 2.25k^2 + 4k^2 = 100 \Rightarrow 6.25k^2 = 100

.

Köşegenlerin oluşturduğu dik üçgenin hipotenüsü eşkenar dörtgenin bir kenarıdır.

4

k

değerini ve köşegen uzunluklarını bul.

k^2 = 16 \Rightarrow k=4

. Köşegenler:

e = 3 \cdot 4 = 12

cm,

f = 4 \cdot 4 = 16

cm.

Alan hesabı için gerçek köşegen uzunluklarına ihtiyaç vardır.

5

Alanı hesapla.

Alan

= \frac{e \cdot f}{2} = \frac{12 \cdot 16}{2} = 96

\text{cm}^2

.

Eşkenar dörtgenin alanı köşegenler çarpımının yarısıdır.

Key Concept

Eşkenar dörtgende köşegenler birbirini dik ortalar ve alan köşegenler çarpımının yarısına eşittir.

Hints

1

Eşkenar dörtgenin köşegenlerinin birbirini dik ortaladığını hatırlayınız.

2

Köşegenlerin yarısını dik kenar, eşkenar dörtgenin bir kenarını hipotenüs kabul eden dik üçgeni oluşturunuz.

3

Köşegen uzunluklarına

3k

ve

4k

diyerek, dik kenarları

1.5k

ve

2k

olan Pisagor bağıntısını kurunuz.

Alternative Method

3-4-5 özel üçgeninin katlarını düşünerek, hipotenüsün 10 olduğu durumda dik kenarların 6 ve 8 olması gerektiğini doğrudan görebilirsiniz. Buradan köşegenler 12 ve 16 olur.

Estimated Time:1m 30s

Question 163Question →

Analitik düzlemde $A(2, 3)$ ve $B(5, 7)$ noktaları verilmiştir. Buna göre, $A$ ve $B$ noktaları arasındaki uzaklık kaç birimdir?

5

7

1

25

12

Show answer & explanation

Answer: 5

Answer

İki nokta arasındaki uzaklık 5 birimdir.

İki nokta arasındaki uzaklık formülü olan

d = \sqrt{(x_2-x_1)^2 + (y_2-y_1)^2}

ifadesinde değerler yerine yazıldığında

d = \sqrt{(5-2)^2 + (7-3)^2} = \sqrt{3^2 + 4^2} = 5

sonucu elde edilir. Bu, analitik düzlemde 3-4-5 özel dik üçgeninin hipotenüs uzunluğuna karşılık gelir.

Step-by-Step Solution

1

Noktaların koordinatlarını belirleyin.

x_1 = 2, y_1 = 3

ve

x_2 = 5, y_2 = 7

Uzaklık formülünde yerine koymak için her iki noktanın apsis ve ordinat değerleri gereklidir.

2

Apsisler farkını ve ordinatlar farkını bulun.

x_2 - x_1 = 5 - 2 = 3

ve

y_2 - y_1 = 7 - 3 = 4

Uzaklık, koordinat düzleminde oluşturulan dik üçgenin dik kenar uzunluklarına karşılık gelir.

3

Uzaklık formülünü uygulayın.

d = \sqrt{3^2 + 4^2} = \sqrt{9 + 16} = \sqrt{25}

Pisagor bağıntısı gereği iki nokta arasındaki uzaklık, koordinat farklarının kareleri toplamının kareköküdür.

4

Karekök işlemini tamamlayın.

d = 5

25 sayısının karekökü 5'tir.

Key Concept

İki Nokta Arasındaki Uzaklık

Hints

1

İki nokta arasındaki uzaklık formülünü düşünün:

d = \sqrt{(x_2-x_1)^2 + (y_2-y_1)^2}

.

2

Apsislerin farkı 3, ordinatların farkı 4'tür. Bu farklar bir dik üçgenin kenarları gibidir.

3

Kenarları 3 birim ve 4 birim olan bir dik üçgenin hipotenüs uzunluğunu (3-4-5 üçgeni) hesaplayın.

Practice More

Noktalardan biri orijin

(0,0)

olsaydı uzaklık nasıl hesaplanırdı? Bunu deneyerek pekiştirebilirsiniz.

Estimated Time:45s

Question 164Question →

Analitik düzlemde $A(k, 4)$ noktası $2x - 3y + 6 = 0$ doğrusu üzerinde bulunmaktadır. Buna göre, $k$ değeri kaçtır?

-9

-3

3

6

9

Show answer & explanation

Answer: 3

Answer

Verilen noktanın koordinatları doğru denkleminde yerine yazıldığında

k

değeri 3 olarak bulunur.

Analitik geometride temel bir kural olarak, eğer bir nokta bir doğrunun üzerindeyse, o noktanın koordinatları doğrunun denklemini sağlamak zorundadır.

A(k, 4)

noktasında

x = k

ve

y = 4

değerlerini

2x - 3y + 6 = 0

denkleminde yerine yazdığımızda

2k - 12 + 6 = 0

eşitliğini elde ederiz. Buradan

2k = 6

ve dolayısıyla

k = 3

sonucuna ulaşılır.

Step-by-Step Solution

1

Noktanın koordinatlarını doğru denkleminde yerlerine yazın.

2(k) - 3(4) + 6 = 0

Bir noktanın bir doğru üzerinde olması, o noktanın koordinatlarının doğrunun denklemini sağlaması gerektiği anlamına gelir.

2

Elde edilen denklemi sadeleştirin.

2k - 12 + 6 = 0 \Rightarrow 2k - 6 = 0

Çarpma işlemlerini yaparak ve sabit sayıları toplayarak denklemi çözülebilir hale getiriyoruz.

3

k

değerini yalnız bırakarak denklemi çözün.

2k = 6 \Rightarrow k = 3

Bilinmeyeni bulmak için sabit terimi karşıya atıp katsayıya bölüyoruz.

Key Concept

Bir noktanın bir doğru denklemini sağlaması kuralı

Hints

1

Bir noktanın doğru üzerinde olması, koordinatlarının (x ve y değerlerinin) denklemi doğru kılması demektir.

2

Nokta

A(k, 4)

olduğuna göre denklemde

x

gördüğünüz yere

k

,

y

gördüğünüz yere

4

yazarak yeni bir denklem oluşturun.

3

2k - 12 + 6 = 0

denklemini elde ettikten sonra

k

değerini bulmak için dört işlem kurallarını uygulayın.

Practice More

Benzer şekilde, bir doğrunun eksenleri kestiği noktaları bulmak için

x=0

ve

y=0

değerlerini vererek pratik yapabilirsiniz.

Estimated Time:45s

Question 165Question →

Şekildeki $ABCD$ eşkenar dörtgeninde $[AC]$ köşegendir. $m(\widehat{BAC}) = 35^\circ$ olduğuna göre, $D$ açısının ölçüsü ( $m(\widehat{ADC})$ ) kaç derecedir?

110

70

145

35

120

Show answer & explanation

Answer: 110

Answer

D açısının ölçüsü 110 derecedir.

Eşkenar dörtgende köşegenler açıortay olduğu için

A

açısının tamamı

35 \times 2 = 70

derecedir. Eşkenar dörtgen bir paralelkenar olduğundan, birbirini takip eden

A

ve

D

açılarının toplamı

180

derecedir. Buradan

180 - 70 = 110

sonucu elde edilir.

Step-by-Step Solution

1

Eşkenar dörtgenin açıortay özelliğini uygula

m(\widehat{DAC}) = 35^\circ

Eşkenar dörtgende köşegenler, geçtikleri köşelerdeki açıları iki eş parçaya böler (açıortaydır).

2

A

köşesindeki toplam açıyı hesapla

m(\widehat{A}) = 35^\circ + 35^\circ = 70^\circ

Köşegen açıyı ikiye böldüğü için açının tamamı verilen değerin iki katıdır.

3

Paralelkenar özelliğini kullanarak

D

açısını bul

m(\widehat{D}) = 180^\circ - 70^\circ = 110^\circ

Eşkenar dörtgen aynı zamanda bir paralelkenardır ve ardışık (komşu) iki açısının toplamı

180^\circ

’dir.

Key Concept

Eşkenar dörtgende köşegenler açıortaydır ve ardışık iç açılar toplamı

180^\circ

’dir.

Hints

1

Eşkenar dörtgende köşegenlerin (burada AC doğrusu) açıyı nasıl böldüğünü hatırla.

2

Köşegenler açıortaydır. Yani

m(\widehat{BAC}) = 35^\circ

ise

A

açısının tamamı bunun iki katıdır.

3

Bir paralelkenarda yan yana olan iki açının toplamı

180^\circ

’dir.

A

açısını bulduktan sonra

180

’den çıkararak

D

’ye ulaşabilirsin.

Practice More

Eşkenar dörtgende köşegenlerin dik kesişmesi özelliğini kullanarak alan hesaplama sorularına göz atabilirsin.

Alternative Method

Eşkenar dörtgenin tüm kenarları eşit olduğu için

ADC

üçgeni bir ikizkenar üçgendir ve köşegenler dik kesişir bilgisiyle de çözülebilir, ancak açıortay özelliği en kısa yoldur.

Estimated Time:45s

Question 166Question →

Kenar uzunlukları birbirine eşit olan $ABCDEF$ düzgün altıgeni ile $ABKLM$ düzgün beşgeni, $[AB]$ kenarı çakışacak şekilde aynı düzlemde çizilmiştir. Düzgün beşgen, düzgün altıgenin iç bölgesinde yer almaktadır.

Buna göre, $m(\widehat{CBK})$ kaç derecedir?

12

18

24

30

36

Show answer & explanation

Answer: 12

Answer

İki çokgenin iç açıları farkı olan 12 derecedir.

Düzgün altıgenin bir iç açısı

120^\circ

, düzgün beşgenin bir iç açısı ise

108^\circ

'dir. Beşgen, altıgenin içinde ve bir kenarları ortak olduğundan, aradaki açı bu iki değerin farkı olan

12^\circ

'dir.

Step-by-Step Solution

1

Düzgün çokgenlerin bir iç açısının ölçüsünü bulmak için

\frac{(n-2) \cdot 180^\circ}{n}

formülü kullanılır.

Formül hatırlanır.

Her iki çokgenin

B

köşesindeki açısını bulmak için iç açı formülüne ihtiyaç vardır.

2

ABCDEF

düzgün altıgeninin bir iç açısını hesapla (

n=6

).

\frac{(6-2) \cdot 180^\circ}{6} = \frac{4 \cdot 180^\circ}{6} = 120^\circ

. Yani

m(\widehat{ABC}) = 120^\circ

.

Altıgenin

B

köşesindeki açısı belirlenir.

3

ABKLM

düzgün beşgeninin bir iç açısını hesapla (

n=5

).

\frac{(5-2) \cdot 180^\circ}{5} = \frac{3 \cdot 180^\circ}{5} = 108^\circ

. Yani

m(\widehat{ABK}) = 108^\circ

.

Beşgenin

B

köşesindeki açısı belirlenir.

4

İstenen

m(\widehat{CBK})

açısını bulmak için, büyük açıdan (altıgen) küçük açıyı (beşgen) çıkar.

m(\widehat{CBK}) = m(\widehat{ABC}) - m(\widehat{ABK}) = 120^\circ - 108^\circ = 12^\circ

.

Beşgen altıgenin içinde olduğu için, aradaki fark açısı kenarlar arasındaki açıyı verir.

Key Concept

Düzgün çokgenlerin iç açıları farkı

Question 167Question →

$|AB| = |AC|$ olan $ABC$ ikizkenar üçgeninde, $[BC]$ kenarı üzerinde bir $D$ noktası işaretleniyor. $AD \perp AC$ , $|BD| = 7$ cm ve $|DC| = 25$ cm olduğuna göre, $|AB|$ kaç cm'dir?

15

16

17

20

25

Show answer & explanation

Answer: 20

Answer

20

İkizkenar üçgenin tabanına indirilen dikme tabanı ikiye böler (

32/2=16

). Oluşan

ADC

dik üçgeninde (

AD \perp AC

), Öklid'in dik kenar bağıntısı (

|AC|^2 = |CH| \cdot |CD|

) kullanılarak sonuca ulaşılır.

Step-by-Step Solution

1

ABC

ikizkenar üçgeninde

A

köşesinden

[BC]

tabanına

AH

dikmesi indirilir.

H

noktası

[BC]

'yi iki eşit parçaya böler.

İkizkenar üçgende tabana inilen dikme aynı zamanda kenarortaydır.

2

Taban uzunluğu ve

H

noktasının konumu hesaplanır.

|BC| = |BD| + |DC| = 7 + 25 = 32

cm. Buradan

|BH| = |HC| = 16

cm bulunur.

Kenarortay özelliği.

3

ADC

dik üçgeninde Öklid bağıntısı uygulanarak

|AC|

bulunur.

|AC|^2 = |CH| \cdot |CD| \Rightarrow |AC|^2 = 16 \cdot 25 = 400 \Rightarrow |AC| = 20

cm.

AD \perp AC

verildiği için

\triangle ADC

dik üçgendir ve

AH

hipotenüse ait yüksekliktir (Dik kenar bağıntısı).

4

|AB|

uzunluğu belirlenir.

|AB| = |AC| = 20

cm.

Üçgenin ikizkenar olduğu verilmiştir.

Key Concept

İkizkenar üçgende tabana inilen dikmenin kenarortay olması ve Öklid dik kenar bağıntısı.

Hints

1

İkizkenar üçgende

A

köşesinden tabana bir dikme indirmeyi deneyin.

2

İndirdiğiniz dikme

[BC]

tabanını iki eşit parçaya böler.

|BD|

ve

|DC|

değerlerini kullanarak bu parçaların uzunluklarını bulun.

3

AD \perp AC

bilgisini kullanarak, oluşan

ADC

üçgeninde Öklid bağıntılarını (Dik kenar kuralı:

b^2 = k \cdot a

) hatırlayın.

Practice More

Öklid bağıntılarının ikizkenar üçgen içinde gizlendiği diğer soruları inceleyin.

Alternative Method

ADC

üçgeninde

AD=h

,

AC=b

ve

CD=a

olsun.

h^2 + b^2 = a^2

(Pisagor) ve

ABC

üçgeninden gelen yükseklik ilişkisi ile denklem sistemi kurulabilir, ancak Öklid en pratik yoldur.

Estimated Time:2m 30s

Question 168Question →

Analitik düzlemde, $x - 2y + 4 = 0$ doğrusunun $A(1, -2)$ noktasına göre simetriği olan doğrunun $x$ eksenini kestiği noktanın apsisi kaçtır?

-14

-4

5

10

14

Show answer & explanation

Answer: 14

Answer

Aranan apsis değeri 14'tür.

Bir doğrunun bir noktaya göre simetriği kendisine paraleldir.

A(1, -2)

noktası, orijinal doğru ile simetrik doğrunun tam ortasında yer alır. Orijinal doğrunun denklem değeri

A

noktasında

9

ise, simetrik doğrunun değeri

-9

olmalıdır. Buradan simetrik doğru

x - 2y - 14 = 0

bulunur.

y=0

için

x=14

elde edilir.

Step-by-Step Solution

1

Verilen doğrunun ve simetri merkezinin özelliklerini belirle.

Doğru:

d_1: x - 2y + 4 = 0

, Simetri Merkezi:

A(1, -2)

.

Bir doğrunun bir noktaya göre simetriği, o doğruya paralel olan başka bir doğrudur.

2

Simetrik doğru (

d_2

) denkleminin genel formunu yaz.

d_2: x - 2y + k = 0

Paralel doğruların

x

ve

y

katsayıları aynıdır (veya orantılıdır), sadece sabit terim (

k

) değişir.

3

Simetri merkezi

A(1, -2)

noktasının

d_1

ve

d_2

doğrularına eşit uzaklıkta (orta nokta) olması kuralını kullan.

d_1(A) + d_2(A) = 0

veya pratik yol ile sabit terim geçişi hesapla.

Nokta değerini

d_1

'de yerine koy:

1 - 2(-2) + 4 = 9

.

A

noktası orta nokta olduğundan,

d_2

'de yerine koyduğumuzda

-9

sonucunu vermelidir (zıt işaretli).

4

k

sabitini hesapla.

1 - 2(-2) + k = -9 \Rightarrow 1 + 4 + k = -9 \Rightarrow 5 + k = -9 \Rightarrow k = -14

.

Denklemi sağlayacak sabiti bulmak için.

5

Elde edilen

d_2

doğrusunun

x

eksenini kestiği noktayı (

y=0

) bul.

x - 2(0) - 14 = 0 \Rightarrow x = 14

.

Soruda apsis (x değeri) istenmektedir.

Key Concept

Noktaya Göre Simetri ve Doğru Demeti

Hints

1

Bir doğrunun bir noktaya göre simetriği, o doğruya paraleldir. Yani eğimleri eşittir.

2

Simetri merkezi olan

A

noktası, orijinal doğru üzerindeki herhangi bir nokta ile simetrik doğru üzerindeki karşılığının orta noktasıdır.

3

Orijinal denklemde

A(1, -2)

koordinatlarını yerine koyduğunuzda çıkan sonucun ters işaretlisi, simetrik denklemde

A

noktasının vereceği sonuç olmalıdır.

Alternative Method

Orijinal doğru üzerinde keyfi bir nokta seçilir (örneğin

y=0

için

x=-4

,

P(-4,0)

). Bu noktanın

A(1,-2)

noktasına göre simetriği alınır (

P'

).

P'

noktasından geçen ve eğimi orijinal doğruyla aynı (

m=1/2

) olan doğru denklemi yazılır.

Estimated Time:2m 30s

Question 169Question →

Yarıçapı $15$ cm olan daire biçimindeki bir kartondan, merkez açısı $216^\circ$ olan bir daire dilimi kesilerek; kıvrılma kenarları çakışacak biçimde dik dairesel koni şeklinde bir cisim oluşturuluyor.

Buna göre, oluşturulan bu koninin içine, tabana ve yan yüzeylere teğet olacak şekilde yerleştirilebilecek en büyük hacimli kürenin yarıçapı kaç cm'dir?

3

\frac{7}{2}

4

\frac{9}{2}

5

Show answer & explanation

Answer: $\frac{9}{2}$

Answer

Kürenin yarıçapı \frac{9}{2} (4,5) cm'dir.

Daire diliminin yarıçapı koninin ana doğrusuna (

l=15

) eşittir.

\frac{r}{l} = \frac{\alpha}{360}

oranından koninin taban yarıçapı

r=9

cm bulunur. Pisagor bağıntısı ile koninin yüksekliği

h=12

cm elde edilir. Koninin içine sığacak en büyük küre, koninin dik kesiti olan tabanı

18

, kenarları

15

cm olan ikizkenar üçgenin iç teğet çemberidir.

Alan = u \cdot r_{küre}

bağıntısından kürenin yarıçapı

\frac{9}{2}

cm olarak hesaplanır.

Step-by-Step Solution

1

Daire diliminden koninin taban yarıçapını (

r

) bulma

r = 9

cm

Daire diliminin yarıçapı, koninin ana doğrusudur (

l=15

).

\frac{r}{l} = \frac{\alpha}{360}

formülünden

\frac{r}{15} = \frac{216}{360} \Rightarrow r=9

.

2

Koninin yüksekliğini (

h

) hesaplama

h = 12

cm

Konide

h^2 + r^2 = l^2

pisagor bağıntısından,

h^2 + 9^2 = 15^2 \Rightarrow h = 12

.

3

Koninin dik kesit üçgenini analiz etme

Tabanı 18 cm, ikiz kenarları 15 cm olan ikizkenar üçgen

Koninin içine yerleştirilen en büyük küre, koninin tepe noktasından ve taban çapından geçen dik kesit üçgeninin iç teğet çemberine karşılık gelir.

4

Üçgenin alanını ve yarı çevresini (

u

) hesaplama

Alan

= 108

cm²,

u = 24

cm

Alan

= \frac{\text{Taban} \cdot \text{Yükseklik}}{2} = \frac{18 \cdot 12}{2} = 108

. Yarı çevre

u = \frac{15+15+18}{2} = 24

.

5

İç teğet çemberin (kürenin) yarıçapını bulma

\rho = 4,5

cm

Alan

= u \cdot \rho

formülünden,

108 = 24 \cdot \rho \Rightarrow \rho = \frac{108}{24} = \frac{9}{2} = 4,5

.

Key Concept

Koni içine yerleştirilen küre problemleri, koninin dik kesit üçgeninin iç teğet çemberi problemine indirgenerek çözülür.

Hints

1

Önce daire diliminin özelliklerini kullanarak koninin taban yarıçapını ve yüksekliğini hesaplayın. (Formül: r/l = α/360)

2

Koninin tam ortasından dikey bir kesit aldığınızı hayal edin. Bu kesit bir ikizkenar üçgendir ve küre bu üçgenin içinde bir daire (iç teğet çember) olarak görünür.

3

Oluşan ikizkenar üçgenin tabanı 18 cm, yüksekliği 12 cm'dir. Üçgenin alanı hem (Taban x Yükseklik)/2 hem de (Yarı Çevre x İç Yarıçap) formülüyle bulunabilir.

Practice More

Benzer bir koninin içine küre yerine, tabanı koninin tabanına oturan en büyük hacimli silindir yerleştirilseydi silindirin yüksekliği ne olurdu?

Alternative Method

Benzerlik kullanarak da çözülebilir: İç teğet çemberin merkezi I olsun. Tepe noktası A'dan tabana inen dikme H noktası olsun. A(I teğet noktası) üçgeni ile A(H taban köşesi) üçgeni benzerdir. Açıortay teoremi kullanılarak da oran bulunabilir.

Estimated Time:2m 30s

Question 170Question →

Dik koordinat düzleminde $A(2, 1)$ noktasının $3x + 4y + k = 0$ doğrusuna olan uzaklığı $4$ birimdir. Buna göre, $k$ sayısının alabileceği değerlerin toplamı kaçtır?

-30

-20

-10

10

20

Show answer & explanation

Answer: -20

Answer

k sayısının alabileceği değerlerin toplamı -20'dir.

Noktanın doğruya uzaklık formülü

|3(2) + 4(1) + k| / \sqrt{3^2 + 4^2} = 4

şeklinde kurulur. Buradan

|10 + k| = 20

elde edilir. Bu eşitliği sağlayan

k

değerleri

10

ve

-30

olduğu için toplamları

-20

olur.

Step-by-Step Solution

1

Noktanın doğruya olan uzaklık formülünü belirle.

d = \frac{|ax_1 + by_1 + c|}{\sqrt{a^2 + b^2}}

Bir noktanın bir doğruya olan dik uzaklığını hesaplamak için standart analitik geometri formülü kullanılır.

2

A(2, 1)

noktasını ve

3x + 4y + k = 0

doğrusunu formülde yerine koy.

4 = \frac{|3(2) + 4(1) + k|}{\sqrt{3^2 + 4^2}}

Verilen koordinatları (

x_1=2, y_1=1

) ve katsayıları (

a=3, b=4

) kullanarak denklem kurulur.

3

Denklemi sadeleştirerek mutlak değerli ifadeyi yalnız bırak.

4 = \frac{|10 + k|}{5} \Rightarrow |10 + k| = 20

Paydadaki

\sqrt{25}=5

değeri ile karşıdaki uzaklık değeri (4) çarpılarak denklem basitleştirilir.

4

Mutlak değerli denklemi iki durum için çöz.

10 + k = 20 \Rightarrow k_1 = 10

ve

10 + k = -20 \Rightarrow k_2 = -30

Mutlak değer içerisindeki bir ifade, dışarıdaki pozitif sayıya veya onun negatifine eşit olabilir.

5

Bulunan

k

değerlerini topla.

10 + (-30) = -20

Soruda istenen değerlerin toplamı işlemidir.

Key Concept

Noktanın doğruya olan uzaklığı formülü ve mutlak değerli denklemler.

Hints

1

Noktanın doğruya uzaklığı formülünde paydada katsayıların kareleri toplamının karekökü bulunur.

2

Elde edeceğiniz denklem

|10+k|=20

şeklindedir. Mutlak değerden dolayı iki farklı sonuç çıkacağını unutmayın.

3

Mutlak değerli bir denklemde

|X|=a

ise

X=a

veya

X=-a

olur. Her iki durumu da çözüp k değerlerini bulun.

Practice More

Benzer bir mantıkla iki paralel doğru arasındaki uzaklık formülünü çalışabilirsiniz.

Estimated Time:1m 30s

Question 171Question →

Bir $ABC$ üçgeninde, $AB$ kenarı üzerinde $D$ ve $E$ noktaları, $AC$ kenarı üzerinde ise $F$ ve $G$ noktaları işaretlenmiştir. $[DF] \parallel [EG] \parallel [BC]$ paralelliği ve $|AD| = |DE| = |EB|$ eşitliği verilmektedir. $DFGE$ dörtgeninin alanı $24 \text{ cm}^2$ olduğuna göre, $EBCG$ dörtgeninin alanı kaç $\text{ cm}^2$ 'dir?

30

32

36

40

48

Show answer & explanation

Answer: 40

Answer

40

Üçgende eşit aralıklarla çizilen paralel doğrular, alanları

S, 3S, 5S, 7S...

kuralına göre böler. Soruda verilen eşitliklere göre ortadaki bölge

3S

, alttaki bölge

5S

'tir.

3S = 24

olduğundan

S=8

bulunur. İstenen alan

5S = 5 \times 8 = 40

olur.

Step-by-Step Solution

1

Benzerlik oranlarını belirle

Kenarlar eşit parçalandığı için üçgenlerin benzerlik oranları sırasıyla 1/1, 1/2 ve 1/3 değil; tepe noktasına göre 1, 2, 3 birim uzaklıktadır. Temel benzerlik oranları

k_1 = \frac{1}{2}

ve

k_2 = \frac{1}{3}

şeklindedir.

Paralel doğrular eş aralıklarla çizildiğinde oluşan üçgenlerin benzerlik oranları ardışık tam sayılarla orantılıdır.

2

Alanlar oranını hesapla

Benzerlik oranının karesi alanlar oranına eşittir. Alanlar sırasıyla

1^2

,

2^2

,

3^2

yani

1A

,

4A

,

9A

ile orantılıdır.

Benzer iki üçgenin alanları oranı, benzerlik oranının karesine eşittir (

S_1/S_2 = k^2

).

3

Bölgelerin alanlarını S cinsinden ifade et

En üstteki üçgen (

ADF

):

S

. Ortadaki dörtgen (

DFGE

):

4S - S = 3S

. En alttaki dörtgen (

EBCG

):

9S - 4S = 5S

.

Büyük üçgenin alanından bir önceki küçük üçgenin alanı çıkarılarak aradaki dörtgenin alanı bulunur.

4

Verilen bilgiyi kullanarak S değerini bul ve sonucu hesapla

Verilen

DFGE

alanı

3S = 24

ise

S = 8

bulunur. İstenen

EBCG

alanı

5S

olduğuna göre,

5 \times 8 = 40 \text{ cm}^2

dir.

Denklem çözümü.

Key Concept

Üçgende benzerlik oranı

k

ise, alanlar oranı

k^2

'dir. Eşit aralıklı paralellerde alanlar

S, 3S, 5S, 7S...

şeklinde tek sayılarla orantılı artar.

Hints

1

Üçgenlerde benzerlik oranı

k

ise, alanlar oranı

k^2

'dir.

2

Kenarlar eşit parçalara bölündüğünde (

|AD|=|DE|=|EB|

), oluşan bölgelerin alanları

S, 3S, 5S...

şeklinde artar.

3

Ortadaki dörtgenin alanı

3S

değerine karşılık gelmektedir.

3S = 24

eşitliğini kullanınız.

Practice More

Benzerlik oranının

2/3

veya

3/4

gibi rasyonel sayı olduğu ve alan değişiminin sorulduğu sorular çözülebilir.

Estimated Time:1m 30s

Question 172Question →

Çevresi 40 cm olan bir $ABC$ üçgeninde $|AB| = 8$ cm'dir.

$m(\widehat{ABC}) > 90^\circ$ olduğuna göre, $|BC|$ uzunluğunun santimetre cinsinden alabileceği kaç farklı tam sayı değeri vardır?

1

2

3

5

7

Show answer & explanation

Answer: 2

Answer

Sadece 13 ve 14 olmak üzere 2 farklı değer alır.

Üçgenin kenar uzunlukları için iki temel kısıtlama vardır: Genel üçgen eşitsizliği ve geniş açı kısıtlaması. Çevresi 40 ve bir kenarı 8 olan üçgende diğer iki kenarın toplamı 32'dir (

a+b=32

). Üçgen eşitsizliğinden (

|a-b|<8

)

a

kenarının

(12, 20)

aralığında olması gerekir. Ancak

B

açısının geniş olması (

b^2 > a^2 + 8^2

),

a

'nın 15'ten küçük olmasını gerektirir. Bu iki koşulun kesişimi

(12, 15)

aralığıdır ve bu aralıkta sadece 13 ve 14 tam sayıları bulunur.

Step-by-Step Solution

1

Verilenleri değişkenlerle ifade et.

|AB|=c=8

,

|BC|=a

,

|AC|=b

. Çevre

= a+b+8 = 40 \Rightarrow a+b=32 \Rightarrow b = 32-a

.

Soruyu çözebilmek için kenarlar arasında tek değişkene bağlı bir ilişki kurmak gerekir.

2

Üçgen eşitsizliğini uygula.

|a-b| < c < a+b \Rightarrow |a-(32-a)| < 8

. Buradan

|2a-32| < 8

elde edilir.

-8 < 2a-32 < 8 \Rightarrow 24 < 2a < 40 \Rightarrow 12 < a < 20

.

Bir üçgenin oluşabilmesi için temel kenar bağıntılarının sağlanması gerekir.

3

Geniş açı (

m(\widehat{B}) > 90^\circ

) şartını uygula.

b^2 > a^2 + c^2

olmalıdır.

(32-a)^2 > a^2 + 8^2

.

Açı

90^\circ

'den büyük olduğunda, karşısındaki kenarın karesi diğer kenarların kareleri toplamından büyük olur.

4

Eşitsizliği çöz.

1024 - 64a + a^2 > a^2 + 64 \Rightarrow 960 > 64a \Rightarrow 15 > a

.

Açı şartının getirdiği üst sınırı belirlemek için işlem yapılır.

5

İki koşulu birleştirerek çözüm kümesini bul.

Üçgen eşitsizliğinden

12 < a < 20

ve açı şartından

a < 15

bulundu. Ortak çözüm:

12 < a < 15

. Bu aralıktaki tam sayılar: 13 ve 14.

Her iki koşulu da aynı anda sağlayan değerler geçerlidir.

Key Concept

Bir üçgende kenar uzunlukları hem üçgen eşitsizliğini (

|a-b|<c<a+b

) hem de açıya bağlı özel durumları (Pisagor eşitsizliği) sağlamalıdır.

Question 173Question →

Şekildeki $ABC$ üçgeninde $[AN]$ doğru parçası, $\widehat{BAC}$ açısının açıortayıdır.

$|AB| = 8$ cm, $|AC| = 12$ cm ve $|BN| = 6$ cm olduğuna göre, $|NC|$ uzunluğu kaç santimetredir?

4

6

8

9

10

Show answer & explanation

Answer: 9

Answer

İç açıortay teoremi kullanılarak hesaplanan uzunluk 9 santimetredir.

Üçgende iç açıortay teoremi gereği, kenar uzunluklarının oranı, bu kenarların ayırdığı taban parçalarının oranına eşittir. Verilen değerlerle

\frac{|AB|}{|BN|} = \frac{|AC|}{|NC|}

orantısı kurulur. Buradan

\frac{8}{6} = \frac{12}{|NC|}

eşitliği elde edilir ve işlem yapıldığında

|NC| = 9

cm bulunur.

Step-by-Step Solution

1

Soruda verilen

[AN]

doğru parçasının iç açıortay olduğunu belirle.

İç Açıortay Teoremi uygulanmalıdır.

Bir üçgende iç açıortay, indiği kenarı diğer iki kenarın uzunlukları oranında böler.

2

Teoreme uygun orantıyı kur:

\frac{|AB|}{|BN|} = \frac{|AC|}{|NC|}

.

\frac{8}{6} = \frac{12}{x}

Kenarların kendi taraflarındaki taban parçalarına oranı eşittir.

3

İçler dışlar çarpımı yaparak

x

değerini hesapla.

8 \cdot x = 6 \cdot 12 \Rightarrow 8x = 72 \Rightarrow x = 9

cm

Denklem çözümü.

Key Concept

İç Açıortay Teoremi

Hints

1

Üçgende iç açıortay, kenarları ve taban parçalarını belirli bir orana göre böler.

2

Sol kenarın sol taban parçasına oranı, sağ kenarın sağ taban parçasına oranına eşittir.

3

\frac{8}{6} = \frac{12}{|NC|}

eşitliğini kullanmalısın.

Estimated Time:1m 0s

Question 174Question →

Kenar sayısı çift olan bir düzgün çokgenin en uzun köşegeninin uzunluğu, en kısa köşegeninin uzunluğunun 2 katıdır.

Buna göre, bu çokgenin bir iç açısının ölçüsü kaç derecedir?

120

135

144

150

160

Show answer & explanation

Answer: 150

Answer

Düzgün çokgenin iç açısı 150 derecedir.

Soruda verilen ilişki (En uzun = 2

\times

En kısa), çevrel çember mantığıyla çözüldüğünde

\sin(360/n) = 1/2

eşitliğini verir. Bu da merkez açının 30 derece, dolayısıyla kenar sayısının 12 olduğunu gösterir. 12 kenarlı bir düzgün çokgenin bir iç açısı 150 derecedir.

Step-by-Step Solution

1

Çevrel çember yarıçapı (

R

) kullanılarak köşegen tanımlarını yap.

Kenar sayısı

n

olan çift kenarlı düzgün çokgende en uzun köşegen çaptır:

2R

. En kısa köşegen ise bir köşe atlanarak çizilen (örneğin

A

ile

C

arasındaki) köşegendir.

Düzgün çokgenlerde köşegen uzunlukları, köşeler arasındaki yay ölçüsüne (merkez açı) bağlıdır.

2

En kısa köşegenin uzunluğunu merkez açı (

\\alpha

) cinsinden ifade et.

Bir kenarı gören merkez açı

\\alpha = 360/n

dir. En kısa köşegen iki kenarı görür (

2\\alpha

). Uzunluğu:

2R \\cdot \\sin(2\\alpha / 2) = 2R \\cdot \\sin(\\alpha)

.

Kiriş uzunluğu formülü:

L = 2R \\sin(\\theta/2)

.

3

Verilen '2 katı' ilişkisini denkleme dök ve

n

sayısını bul.

2R = 2 \\cdot (2R \\sin \\alpha) \\Rightarrow \\sin \\alpha = 1/2

. Buradan

\\alpha = 30^\\circ

bulunur.

360/n = 30 \\Rightarrow n=12

.

Sinüsü 1/2 olan dar açı 30 derecedir.

4

Düzgün onikigenin (

n=12

) bir iç açısını hesapla.

Dış açı =

360/12 = 30^\\circ

. İç açı =

180 - 30 = 150^\\circ

.

İç açı ile dış açının toplamı 180 derecedir.

Key Concept

Düzgün çokgenlerde köşegen uzunlukları ve çevrel çember ilişkisi

Hints

1

Düzgün çokgenin çevrel çemberini ve merkezini (O) düşünün. En uzun köşegen merkezden geçer (çaptır).

2

En kısa köşegen, ardışık olmayan en yakın iki köşeyi birleştirir (Örneğin A ile C). Bu kirişin uzunluğunu yarıçap (R) cinsinden yazmaya çalışın.

3

En uzun köşegen = 2R. En kısa köşegen, merkezde

2 \times (360/n)

derecelik yayı gören kiriştir. Bu kirişin uzunluğu

2R \cdot \sin(360/n)

olur.

Alternative Method

Özel üçgenler yöntemi: Merkez O, köşeler A, B, C olsun. En kısa köşegen AC'dir. En uzun köşegen 2R'dir. AC = R olmalıdır (yarısı). OAC üçgeninde AC=R ve OA=OC=R olduğundan bu üçgen eşkenardır. O halde tepe açısı 60 derecedir. Bu açı iki kenarı (AB ve BC yaylarını) gördüğü için bir kenarı gören açı 30 derecedir.

Estimated Time:2m 30s

Question 175Question →

$ABC$ bir ikizkenar üçgen olmak üzere, $|AB| = |AC|$ eşitliği veriliyor. $[AC]$ kenarı üzerinde alınan bir $D$ noktasından $[BC]$ tabanına indirilen dikmenin ayağı $E$ noktasıdır. $|DE| = 4$ cm, $|EC| = 2$ cm ve $|BE| = 10$ cm olduğuna göre, $|AD|$ uzunluğu kaç cm'dir?

3\sqrt{5}

4\sqrt{5}

5\sqrt{5}

6\sqrt{5}

8

Show answer & explanation

Answer: $4\sqrt{5}$

Answer

İstenen uzunluk

4\sqrt{5}

cm'dir.

İkizkenar üçgenin tabanına indirilen dikmenin tabanı ikiye bölmesi özelliği ve oluşan dik üçgenler arasındaki 1'e 3 benzerlik oranı kullanılarak çözüm yapılır.

|AC|

kenarı

6\sqrt{5}

,

|DC|

parçası

2\sqrt{5}

bulunduğundan farkları

4\sqrt{5}

olur.

Step-by-Step Solution

1

A

köşesinden

[BC]

tabanına

AH

dikmesi çizilir.

ABC

ikizkenar olduğundan

H

noktası tabanı iki eşit parçaya böler:

|BH| = |HC| = \frac{10+2}{2} = 6

cm.

İkizkenar üçgende tabana indirilen dikme aynı zamanda kenarortaydır.

2

DEC

ve

AHC

üçgenleri arasındaki benzerlik oranı bulunur.

Her iki üçgen de dik üçgendir ve

C

açısı ortaktır. Benzerlik oranı

k = \frac{|HC|}{|EC|} = \frac{6}{2} = 3

bulunur.

Açı-Açı benzerlik kuralı gereği dik üçgenler benzerdir.

3

Benzerlik oranı kullanılarak

|AH|

ve

|AC|

uzunlukları hesaplanır.

|AH| = 3 \cdot |DE| = 3 \cdot 4 = 12

cm.

\triangle AHC

üçgeninde Pisagor ile

|AC| = \sqrt{6^2 + 12^2} = \sqrt{36 + 144} = \sqrt{180} = 6\sqrt{5}

cm bulunur.

Benzer üçgenlerde karşılıklı kenarlar orantılıdır.

4

|DC|

uzunluğu hesaplanıp

|AC|

'den çıkarılır.

\triangle DEC

üçgeninde Pisagor ile

|DC| = \sqrt{2^2 + 4^2} = \sqrt{20} = 2\sqrt{5}

cm. Sonuç:

|AD| = |AC| - |DC| = 6\sqrt{5} - 2\sqrt{5} = 4\sqrt{5}

cm.

D

noktası

[AC]

üzerindedir, bu nedenle fark alınır.

Key Concept

İkizkenar üçgende tabana ait yükseklik kenarortaydır ve oluşturulan dik üçgenlerde benzerlik ilişkileri kurulabilir.

Question 176Question →

Taban yarıçapı $6$ cm ve ana doğrusunun uzunluğu $10$ cm olan dik dairesel bir koninin içerisine, koninin tabanına ve yan yüzeylerine teğet olacak şekilde yerleştirilebilecek en büyük hacimli kürenin hacmi kaç $\text{cm}^3$ tür?

16\pi

36\pi

48\pi

64\pi

96\pi

Show answer & explanation

Answer: $36\pi$

Answer

Kürenin hacmi

36\pi

\text{cm}^3

tür.

Doğru cevap, koninin dikey kesitindeki üçgenin iç teğet çember yarıçapının (

R=3

) hesaplanması ve bu değerin küre hacim formülüne (

V = \frac{4}{3}\pi R^3

) uygulanmasıyla

36\pi

olarak bulunur.

Step-by-Step Solution

1

Koninin yüksekliğini (

h

) bulmak için Pisagor bağıntısını uygula.

h = \sqrt{10^2 - 6^2} = \sqrt{100 - 36} = \sqrt{64} = 8

cm.

Koninin yüksekliği, taban yarıçapı ve ana doğru dik üçgen oluşturur (

6-8-10

üçgeni).

2

Koninin tepe noktasından geçen dikey kesiti (ikizkenar üçgeni) ve iç teğet çemberi (kürenin büyük çemberi) modelle.

Kesit üçgeninin tabanı

2r = 12

cm, yüksekliği

h = 8

cm, eşit kenarları

10

cm'dir.

Kürenin yarıçapını (

R

) bulmak için bu üçgenin iç teğet çemberinin yarıçapı hesaplanmalıdır.

3

Üçgenin alanını ve yarı çevresini (

u

) kullanarak iç teğet çember yarıçapını (

R

) hesapla.

Alan =

\frac{12 \cdot 8}{2} = 48

. Çevre =

10+10+12=32

,

u=16

.

R = \frac{\text{Alan}}{u} = \frac{48}{16} = 3

cm.

Bir üçgenin alanı, yarı çevre (

u

) ile iç teğet çember yarıçapının (

R

) çarpımına eşittir (

A = u \cdot R

).

4

Bulunan yarıçapı (

R=3

) küre hacim formülünde yerine yaz.

V_{küre} = \frac{4}{3}\pi R^3 = \frac{4}{3}\pi (3^3) = \frac{4}{3}\pi (27) = 36\pi

.

Küre hacim formülü

V = \frac{4}{3}\pi r^3

tür.

Key Concept

Koni içine yerleştirilen en büyük kürenin yarıçapı, koninin eksenel kesitindeki (ikizkenar üçgen) iç teğet çemberin yarıçapına eşittir.

Hints

1

Koninin tepe noktasından taban çapına inen dikey bir kesit aldığınızı hayal edin. Bu kesit bir ikizkenar üçgendir.

2

Kürenin bu kesitteki görüntüsü, ikizkenar üçgenin iç teğet çemberidir. Üçgenin kenar uzunluklarını (

6-8-10

üçgeninden faydalanarak) bulun.

3

Üçgenin alanı (

A

) ve yarı çevresi (

u

) ile iç teğet çember yarıçapı (

R

) arasındaki

A = u \cdot R

bağıntısını kullanarak

R

'yi hesaplayın.

Practice More

Benzer bir mantıkla, bir kürenin içine yerleştirilebilecek en büyük hacimli koninin hacmini soran bir problem çözülebilir.

Alternative Method

Benzerlik kullanarak da çözülebilir: Tepe açısının yarısına

\alpha

dersek,

\tan(\alpha) = r_{koni}/h = 6/8 = 3/4

. Küre merkezi

O

olmak üzere,

O

'dan teğet noktasına çizilen yarıçap

R

ve tepe noktasına olan uzaklık

8-R

dir. Dik üçgende

\sin(\alpha) = R/(8-R)

.

\tan(\alpha)=3/4

ise

\sin(\alpha)=3/5

. Buradan

3/5 = R/(8-R) \Rightarrow 24-3R=5R \Rightarrow 8R=24 \Rightarrow R=3

.

Estimated Time:2m 30s

Question 177Question →

Şekildeki $ABC$ üçgeni biçimindeki kâğıt, $[AB]$ kenarı üzerindeki $D$ noktası ve $[BC]$ kenarı üzerindeki $E$ noktası boyunca katlandığında, $B$ köşesi $A$ köşesi ile çakışmaktadır.

m(\widehat{ACB}) = 42^\circ

m(\widehat{EAC}) = 24^\circ

Verilenlere göre, $m(\widehat{ABC})$ kaç derecedir?

48

54

57

66

69

Show answer & explanation

Answer: 57

Answer

Katlama sonucu oluşan simetri kullanılarak

m(\widehat{ABC}) = 57^\circ

bulunur.

Katlama işlemi

B

noktasını

A

'ya taşıdığı için

|EB|=|EA|

eşitliği sağlanır ve

ABE

üçgeni ikizkenar olur. Taban açıları

m(\widehat{B}) = m(\widehat{EAB}) = x

olarak alınır.

ABC

üçgeninin iç açılar toplamı

x + (x+24) + 42 = 180

denklemini verir. Buradan

2x = 114

ve

x=57

bulunur.

Step-by-Step Solution

1

Katlama özelliğini analiz et.

B

noktası

A

noktasına katlandığına göre,

[DE]

katlama çizgisi simetri eksenidir. Bu durumda

|EA| = |EB|

olur, yani

\Delta ABE

bir ikizkenar üçgendir.

Katlama sorularında çakışan noktalar simetri ve eşit uzunluk belirtir.

2

Eşit açıları harflendir.

\Delta ABE

ikizkenar olduğundan taban açıları eşittir:

m(\widehat{ABE}) = m(\widehat{BAE}) = x

diyelim.

İkizkenar üçgenin taban açıları birbirine eşittir.

3

Büyük üçgende iç açılar toplamı bağıntısını kur.

\Delta ABC

için iç açılar:

\widehat{B} = x

,

\widehat{C} = 42^\circ

ve

\widehat{A} = x + 24^\circ

. Toplamları:

x + (x + 24) + 42 = 180

.

Bir üçgenin iç açıları toplamı

180^\circ

'dir.

4

Denklemi çöz.

2x + 66 = 180 \Rightarrow 2x = 114 \Rightarrow x = 57^\circ

.

Bilinmeyeni yalnız bırakarak sonuca ulaşılır.

Key Concept

Katlama (Simetri) ve İkizkenar Üçgen Özellikleri

Hints

1

Bir kâğıdı katladığınızda üst üste gelen kenarların uzunlukları eşittir.

2

B

noktası

A

noktasına geldiğine göre,

|EB|

uzunluğu

|EA|

uzunluğuna eşittir. Bu size hangi üçgen türünü hatırlatıyor?

3

ABE

üçgeni ikizkenardır.

m(\widehat{B}) = m(\widehat{EAB})

eşitliğini kullanarak büyük üçgenin iç açılar toplamını yazın.

Practice More

Benzer bir katlama sorusunda katlama çizgisinin açıortay olması özelliğini kullanan sorular çözülebilir.

Estimated Time:2m 30s

Question 178Question →

Tamamı su ile dolu olan, taban yarıçapı $6$ cm ve yüksekliği $15$ cm olan dik dairesel silindir biçimindeki bir kabın içerisine, yarıçapı $3$ cm olan küre şeklinde demir bir bilye bırakılıyor. Bilye tamamen suya battığına göre, kaptan taşan su miktarının kapta kalan su miktarına oranı kaçtır?

1/15

1/14

1/13

1/12

1/10

Show answer & explanation

Answer: $1/14$

Answer

Taşan su miktarının kapta kalan su miktarına oranı

1/14

olarak bulunur.

Silindirin hacmi

540\pi

ve içine atılan bilyenin hacmi

36\pi

olarak hesaplanır. Kap dolu olduğu için taşan su miktarı bilyenin hacmi olan

36\pi

kadardır. Kapta kalan su ise toplam hacimden taşan miktarın çıkarılmasıyla

504\pi

olarak bulunur. Bu iki değerin birbirine oranı

36/504

sadeleştirildiğinde

1/14

sonucunu verir.

Step-by-Step Solution

1

Silindirin toplam hacmini hesaplayınız.

V_{silindir} = \pi \cdot r^2 \cdot h = \pi \cdot 6^2 \cdot 15 = 540\pi \text{ cm}^3

Kap tamamen dolu olduğu için başlangıçtaki su miktarı silindirin hacmine eşittir.

2

Küre şeklindeki bilyenin hacmini hesaplayınız.

V_{küre} = \frac{4}{3} \cdot \pi \cdot r^3 = \frac{4}{3} \cdot \pi \cdot 3^3 = 36\pi \text{ cm}^3

Bilye suya tamamen battığı için kendi hacmi kadar suyun yerini değiştirecek ve bu miktar kaptan taşacaktır.

3

Kalan su miktarını belirleyiniz.

V_{kalan} = V_{toplam} - V_{taşan} = 540\pi - 36\pi = 504\pi \text{ cm}^3

Taşan su miktarı bilyenin hacmine eşit olduğundan, toplam hacimden bilye hacmi çıkarılarak kalan su bulunur.

4

İstenen oranı kurunuz.

\text{Oran} = \frac{36\pi}{504\pi} = \frac{36}{504} = \frac{1}{14}

Taşan su miktarının (

36\pi

) kalan su miktarına (

504\pi

) bölünmesiyle oran elde edilir.

Key Concept

Arşimet prensibine göre suya batan bir cisim, kendi hacmi kadar sıvının yerini değiştirir. Katı cisimlerde hacim hesaplama formülleri (

V_{silindir} = \pi r^2 h

ve

V_{küre} = \frac{4}{3} \pi r^3

) bu tür problemlerin çözümünde temeldir.

Hints

1

Taşan suyun hacmi, tamamen batan bilyenin hacmine eşittir.

2

Silindirin hacmini

\pi r^2 h

ve kürenin hacmini

\frac{4}{3} \pi r^3

formülleriyle hesaplayıp

\pi

cinsinden bırakın.

3

Kalan su miktarını bulmak için silindirin toplam hacminden bilyenin hacmini çıkarın ve ardından bölme işlemini yapın.

Practice More

Benzer bir soruda, silindirin yarısı suyla dolu olsaydı bilye atıldığında su seviyesinin ne kadar yükseleceğini hesaplamayı deneyebilirsiniz.

Alternative Method

Sayılarla uğraşmak yerine formülleri oranlayabilirsiniz.

\text{Taşan} = \frac{4}{3}\pi(3)^3 = 36\pi

.

\text{Kalan} = \pi(6)^2(15) - 36\pi

. Her iki tarafı

36\pi

parantezine alarak sadeleştirmeyi hızlandırabilirsiniz.

Estimated Time:1m 30s

Question 179Question →

ABC bir üçgen ve G noktası bu üçgenin ağırlık merkezidir.

$BG \perp CG$ olmak üzere;
$|BG| = 6$ cm ve $|CG| = 8$ cm olduğuna göre, $|AG|$ uzunluğu kaç cm'dir?

5

8

10

12

15

Show answer & explanation

Answer: 10

Answer

AG uzunluğu 10 cm'dir.

Öncelikle

BGC

üçgeninde Pisagor bağıntısı veya 6-8-10 özel üçgeni kuralı ile

|BC|=10

cm bulunur.

G

noktası ağırlık merkezi olduğu için,

A

köşesinden gelen kenarortay

G

noktasından geçer ve

BC

kenarını ortalar (bu noktaya

D

diyelim).

BGC

dik üçgen olduğu için 'Muhteşem Üçlü' kuralı gereği hipotenüse ait kenarortay (

GD

), hipotenüsün yarısıdır (

|GD|=5

cm). Son olarak, ağırlık merkezi kenarortayı 1'e 2 oranında böldüğü için

|AG| = 2 \cdot |GD|

formülünden

|AG| = 10

cm bulunur.

Step-by-Step Solution

1

BGC üçgeninde Pisagor bağıntısını uygula.

|BG|=6

ve

|CG|=8

olduğu için,

6-8-10

özel üçgeninden

|BC| = 10

cm bulunur.

BG ve CG dik kesiştiği için BGC dik üçgendir.

2

Ağırlık merkezinden geçen kenarortay doğrusunu çiz ve 'Muhteşem Üçlü' özelliğini kullan.

AG doğrusunu uzatıp BC'yi kestiği noktaya D diyelim. BGC dik üçgeninde hipotenüse ait kenarortay (GD), hipotenüsün yarısıdır.

|GD| = |BC| / 2 = 10 / 2 = 5

cm.

Dik üçgende hipotenüse indirilen kenarortay, hipotenüsün yarısına eşittir.

3

Ağırlık merkezi oran özelliğini kullanarak AG uzunluğunu hesapla.

G ağırlık merkezi kenarortayı 1'e 2 oranında böler (

|AG| = 2 \cdot |GD|

). Buna göre

|AG| = 2 \cdot 5 = 10

cm.

Ağırlık merkezi köşeye 2 birim, kenara 1 birim uzaklıktadır.

Key Concept

Ağırlık Merkezi ve Muhteşem Üçlü

Hints

1

BGC üçgeninde Pisagor bağıntısını kullanarak BC uzunluğunu bulunuz.

2

Dik üçgende hipotenüse ait kenarortayın uzunluğu, hipotenüsün yarısıdır (Muhteşem Üçlü).

3

Ağırlık merkezi, kenarortayı 1 birim kenara, 2 birim köşeye olacak şekilde böler (

|AG| = 2|GD|

).

Practice More

Benzer bir soruda hipotenüs uzunluğu verilip ağırlık merkezinin köşeye uzaklığı sorulabilir.

Estimated Time:1m 30s

Question 180Question →

$ABC$ bir ikizkenar üçgen olmak üzere $|AB| = |AC|$ 'dir. $BC$ tabanı üzerinde alınan bir $P$ noktasından $[AB]$ ve $[AC]$ kenarlarına dikmeler çizilmiştir. $[AB]$ kenarına inilen dikmenin uzunluğu $3$ cm, $[AC]$ kenarına inilen dikmenin uzunluğu $5$ cm ve $m(\widehat{BAC}) = 30^\circ$ olduğuna göre, $|AC|$ kaç cm'dir?

8

12

16

8\sqrt{3}

24

Show answer & explanation

Answer: 16

Answer

İkizkenar üçgenin eşit kenar uzunluğu 16 cm'dir.

İkizkenar üçgende taban üzerindeki herhangi bir noktadan eşit kenarlara indirilen dikmelerin toplamı, eşit kenarlardan birine ait yüksekliğe eşittir. Verilen soruda bu dikmelerin toplamı

3 + 5 = 8

cm'dir. Bu yükseklik, tepe açısı

30^\circ

olan bir dik üçgenin dik kenarıdır.

30-60-90

üçgeninde,

30^\circ

karşısındaki kenar hipotenüsün yarısı olduğundan, hipotenüs (yani üçgenin eşit kenarı)

2 \times 8 = 16

cm bulunur.

Step-by-Step Solution

1

İkizkenar üçgen özelliğini uygula

h_b = h_c = 3 + 5 = 8

cm

İkizkenar üçgende taban üzerindeki bir noktadan eşit kenarlara inilen dikmelerin toplamı, eşit kenarlara ait yüksekliğe eşittir.

2

C

köşesinden

[AB]

kenarına ait yüksekliği çiz ve oluşan dik üçgeni incele

Oluşan

AHC

dik üçgeninde

m(\widehat{HAC}) = 30^\circ

ve

|HC| = 8

cm'dir.

Yükseklik

AB

kenarına diktir ve tepe açısı

30^\circ

verilmiştir.

3

30-60-90 üçgeni özelliğini kullanarak hipotenüsü bul

|AC| = 2 \times 8 = 16

cm

30-60-90

üçgeninde

30^\circ

'nin karşısındaki dik kenar (yükseklik), hipotenüsün (eşit kenar) yarısıdır.

Key Concept

İkizkenar Üçgen Taban Özelliği ve 30-60-90 Üçgeni

Hints

1

İkizkenar üçgende taban üzerindeki bir noktadan kollara çizilen dikmelerin toplamı ile ilgili kuralı hatırlayın.

2

Bu dikmelerin toplamı, üçgenin eşit kenarlarından birine ait yüksekliği verir.

3

Eşit kenara ait yüksekliği çizdiğinizde oluşan dik üçgenin açısı 30 derecedir. 30-60-90 üçgeni özelliğini kullanın.

Practice More

Benzer özelliği eşkenar üçgen için (içerideki noktadan kenarlara inilen dikmelerin toplamı) soran bir soru çözebilirsiniz.

Estimated Time:2m 0s

Geometri

Answer

Step-by-Step Solution

Key Concept

Common Mistakes

Hints

Practice More

Alternative Method

Answer

Step-by-Step Solution

Key Concept

Common Mistakes

Hints

Alternative Method

Answer

Step-by-Step Solution

Key Concept

Common Mistakes

Hints

Practice More

Answer

Step-by-Step Solution

Key Concept

Common Mistakes

Hints

Practice More

Answer

Step-by-Step Solution

Key Concept

Common Mistakes

Hints

Practice More

Alternative Method

Answer

Step-by-Step Solution

Key Concept

Common Mistakes

Answer

Step-by-Step Solution

Key Concept

Common Mistakes

Hints

Practice More

Alternative Method

Answer

Step-by-Step Solution

Key Concept

Common Mistakes

Hints

Alternative Method

Answer

Step-by-Step Solution

Key Concept

Common Mistakes

Hints

Practice More

Alternative Method

Answer

Step-by-Step Solution

Key Concept

Common Mistakes

Hints

Practice More

Answer

Step-by-Step Solution

Key Concept

Common Mistakes

Hints

Practice More

Answer

Step-by-Step Solution

Key Concept

Common Mistakes

Answer

Step-by-Step Solution

Key Concept

Common Mistakes

Hints

Answer

Step-by-Step Solution