Problemler

Question 381Question →

Eşit kapasiteli 16 işçi bir işi 30 günde bitirebilmektedir. İşe hep birlikte başlandıktan 6 gün sonra işçilerin yarısı işten ayrılıyor. Kalan işçiler ise çalışma kapasitelerini %50 oranında artırarak işe devam ediyor. Bu durumda, işin tamamı toplam kaç günde biter?

30

32

38

46

54

Show answer & explanation

Answer: 38

Answer

İşin tamamı 38 günde biter

Toplam iş yükü 480 birimdir. İlk 6 günde 96 birim iş yapılır, geriye 384 birim kalır. Kalan 8 işçi kapasitelerini %50 artırınca, her biri 1.5 birimlik iş yapar hale gelir. Grubun yeni günlük gücü 8 x 1.5 = 12 birim olur. Kalan 384 birim iş 384/12 = 32 günde biter. Başlangıçtaki 6 gün ile birlikte toplam süre 38 gündür.

Step-by-Step Solution

1

Toplam iş miktarını 'işçi x gün' birimi cinsinden hesapla.

16 \text{ işçi} \times 30 \text{ gün} = 480

birim iş.

İşçi problemlerinde toplam işi tanımlamak için işçi sayısı ile süreyi çarpmak temel bir yöntemdir.

2

İlk 6 günde yapılan iş miktarını ve kalan işi bul.

Yapılan:

16 \times 6 = 96

birim. Kalan:

480 - 96 = 384

birim.

İşin bir kısmı tamamlandığında geriye kalan yükü belirlemek gerekir.

3

Yeni işçi sayısını ve kapasite değişimini hesapla.

Kalan işçi:

16 / 2 = 8

kişi. Eski hız:

1

, Yeni hız:

1 + 0.5 = 1.5

birim/gün.

İşçilerin yarısı ayrılmış ve kalanlar hızlarını %50 (yarısı kadar) artırmıştır.

4

Kalan işçilerin yeni toplam gücünü bul.

8 \text{ işçi} \times 1.5 \text{ hız} = 12

birim/gün.

Grubun günlük toplam üretim kapasitesi, kişi sayısı ile kişi başı hızın çarpımıdır.

5

Kalan işin bitme süresini ve toplam süreyi hesapla.

Kalan süre:

384 / 12 = 32

gün. Toplam süre:

6 + 32 = 38

gün.

Toplam süre, ilk aşamadaki çalışma süresi ile ikinci aşamadaki sürenin toplamıdır.

Key Concept

Ters Orantı ve Kapasite Değişimi

Hints

1

Toplam iş miktarını '16 işçi x 30 gün = 480 birim' olarak düşünerek başlayın.

2

İlk 6 günde ne kadar iş yapıldığını toplamdan çıkarın. Geriye kalan işçilerin yeni hızını hesaplarken %50 artışın 1.5 katına çıkmak olduğunu unutmayın.

3

Kalan iş yükü 384 birimdir. Kalan 8 işçinin her biri 1.5 birim hızla çalışırsa günlük toplam 12 birim iş yaparlar.

Alternative Method

Orantı Yöntemi: Kalan iş (normal şartlarda) 16 işçi ile 24 günde bitecekti. İşçi sayısı yarıya indi (süre 2 katına çıkar -> 48 gün). Hız 1.5 katına çıktı (süre 1.5'e bölünür -> 48/1.5 = 32 gün). Toplam 6 + 32 = 38.

Estimated Time:2m 30s

Question 382Question →

Pozitif tam sayılar kümesinde tanımlı bir $T$ işlemi, her $n$ sayısı için aşağıdaki adımlarla uygulanmaktadır:

1. Adım: $n$ sayısı 4 tabanında yazılır.
2. Adım: Elde edilen sayının basamakları tersten sıralanarak 4 tabanında yeni bir sayı oluşturulur.
3. Adım: Bu yeni sayı 10 tabanına çevrilir ve sonuç $T(n)$ değeri olarak belirlenir.

Örnek: $n=6$ sayısı için $6 = (12)_4$ tür. Basamaklar ters çevrilince $(21)_4$ elde edilir. $(21)_4 = 2 \cdot 4 + 1 = 9$ olduğundan $T(6)=9$ bulunur.

Buna göre, $T(n) = n$ eşitliğini sağlayan iki basamaklı (10 tabanında) kaç farklı $n$ doğal sayısı vardır?

14

15

16

17

18

Show answer & explanation

Answer: 16

Answer

Şartı sağlayan 16 farklı sayı vardır.

İstenen şart,

n

sayısının 4 tabanında palindrom olmasıdır. 10 ile 99 arasındaki sayılar incelendiğinde; 4 tabanında 2 basamaklı olanlardan 10 ve 15 (2 adet), 3 basamaklı olanların tamamı (12 adet) ve 4 basamaklı olanlardan 65 ve 85 (2 adet) olmak üzere toplam 16 sayı bu şartı sağlar.

Step-by-Step Solution

1

Soruyu analiz et

T(n)=n

olması,

n

sayısının 4 tabanındaki gösteriminin tersten okunuşuyla aynı olması, yani palindrom olması demektir.

İşlem tanımına göre sayının tersi kendisine eşitse, değeri de aynı kalır.

2

Aralığı belirle

n

sayısı 10 tabanında iki basamaklı olduğuna göre

10 \le n \le 99

aralığındadır.

Sorudaki 'iki basamaklı' kısıtlaması bu aralığı verir.

3

4 tabanındaki 2 basamaklı palindromları incele

Form:

(aa)_4 = 4a + a = 5a

.

a \in \{1,2,3\}

. Değerler: 5, 10, 15. Aralığa (

10-99

) uyanlar: 10, 15 (2 tane).

n=5

tek basamaklı olduğu için elenir.

4

4 tabanındaki 3 basamaklı palindromları incele

Form:

(aba)_4 = 16a + 4b + a = 17a + 4b

.

a \in \{1,2,3\}, b \in \{0,1,2,3\}

. Her

a

için 4 farklı

b

değeri vardır. Toplam

3 \times 4 = 12

sayı. En büyüğü

a=3, b=3

için

51+12=63

olup hepsi 99'dan küçüktür. Hepsi uygundur (12 tane).

Tüm kombinasyonlar 10-99 aralığına düşer.

5

4 tabanındaki 4 basamaklı palindromları incele

Form:

(abba)_4 = 64a + 16b + 4b + a = 65a + 20b

.

a=1

için

65+20b

.

b=0 \to 65

(Uygun),

b=1 \to 85

(Uygun),

b=2 \to 105

(Büyük). Sadece 2 tane uygundur.

Üst sınır olan 99'u aşan değerler elenir.

6

Sonuçları topla

2 + 12 + 2 = 16

.

Tüm uygun durumların toplamı.

Key Concept

Sayı Sistemleri ve Palindrom Sayılar

Hints

1

Bir sayının tersten yazılışı ile kendisinin aynı olması, o sayının 'palindrom' olduğu anlamına gelir. 4 tabanında palindrom olan sayıları aramalısınız.

2

Aradığınız

n

sayısı 10 ile 99 arasındadır. Bu aralıktaki sayıları 4 tabanına çevirdiğinizde kaç basamaklı olabilirler? Hem 2, hem 3, hem de 4 basamaklı (4 tabanında) durumları inceleyin.

3

4 tabanında

(aba)_4

formundaki tüm sayılar 10 tabanında

17a + 4b

eder ve hepsi 99'dan küçüktür. Ancak

(abba)_4

formundakiler için

65a + 20b

değerinin 99'u geçip geçmediğini kontrol etmelisiniz.

Estimated Time:2m 30s

Question 383Question →

Bir holding, yıl sonunda elde ettiği toplam kârı üç farklı yatırım fonuna (A, B ve C fonları) şu şekilde dağıtmıştır:

* Toplam kârın $\frac{1}{4}$ 'i A fonuna aktarılmıştır.
* Kalan tutarın $\frac{2}{5}$ 'si B fonuna aktarılmıştır.
* Geriye kalan tutarın tamamı C fonuna aktarılmıştır.

Dağıtım işlemi tamamlandıktan sonra, yönetim kurulu kararıyla C fonundaki paranın $\frac{1}{3}$ 'i çekilerek ek bütçe olarak A fonuna devredilmiştir.

Son durumda A fonunda biriken para, B fonundaki paradan 1.200.000 TL fazla olduğuna göre, holdingin dağıttığı toplam kâr kaç TL'dir?

9.600.000

10.800.000

12.000.000

14.400.000

15.000.000

Show answer & explanation

Answer: 12.000.000

Answer

Holdingin dağıttığı toplam kâr 12.000.000 TL'dir.

Toplam paraya

60x

diyerek işlem kolaylığı sağlandı. A'ya

15x

, B'ye (kalanın 2/5'i)

18x

, C'ye ise kalan

27x

düştü. C'den A'ya

9x

(27x'in 1/3'ü) aktarılınca, A'nın son parası

24x

, B'nin parası

18x

oldu. Aradaki

6x

'lik fark 1.200.000 TL ise,

60x

(toplam) 12.000.000 TL olur.

Step-by-Step Solution

1

Toplam kâr miktarını, verilen kesirlerin paydalarının (4, 5, 3) ortak katı olan bir değişkenle ifade et.

Toplam Kâr =

60x

olsun.

Kesirlerle işlem yaparken tam sayılarla çalışmak hata riskini azaltır ve işlemi kolaylaştırır.

2

İlk dağıtım aşamalarını (A, B ve C fonlarının ilk paylarını) hesapla.

A =

60x \cdot \frac{1}{4} = 15x

. Kalan =

60x - 15x = 45x

.
B =

45x \cdot \frac{2}{5} = 18x

. Kalan =

45x - 18x = 27x

.
C =

27x

.

Problemin kurgusundaki 'kalanın' ifadesine dikkat edilerek her fonun başlangıç payı bulunur.

3

C fonundan A fonuna yapılan transfer işlemini uygula.

Transfer miktarı = C'nin

\frac{1}{3}

'i =

27x \cdot \frac{1}{3} = 9x

.
Yeni A =

15x + 9x = 24x

.
Yeni C =

27x - 9x = 18x

.
B (Değişmedi) =

18x

.

Son durumdaki karşılaştırmayı yapabilmek için transfer sonrası güncel bakiyeler bulunmalıdır.

4

Son durumdaki A ve B fonları arasındaki farkı kullanarak denklemi kur ve çöz.

Fark = (Yeni A) - B =

24x - 18x = 6x

.
Verilen fark:

6x = 1.200.000

TL.
Buradan

x = 200.000

TL bulunur.

Problemde verilen sayısal fark bilgisi, değişkenin (

x

) değerini bulmamızı sağlar.

5

Toplam kârı hesapla.

Toplam =

60x = 60 \cdot 200.000 = 12.000.000

TL.

Soruda istenen nihai değeri bulmak için x değeri yerine koyulur.

Key Concept

Kesir problemlerinde 'kalanın kesri' mantığı ve sonradan değişen miktarların takibi.

Hints

1

Kesirlerin paydaları olan 4, 5 ve 3 sayılarına tam bölünebilen büyük bir sayı (örneğin 60x) seçerek işleme başlayın.

2

Önce A, B ve C'nin ilk paylarını x cinsinden bulun. B'nin payını hesaplarken 'kalanın' ifadesine dikkat edin.

3

C'nin payının 1/3'ünü (yani C/3) A'ya ekleyin. Son durumda A'nın yeni değeri ile B'nin değeri arasındaki farkı 1.200.000'e eşitleyin.

Practice More

Benzer bir soruyu, C fonundan A yerine B'ye transfer yapıldığı senaryo ile çözmeyi deneyin.

Alternative Method

Ters işlem yöntemi: Aradaki fark 1 birim (6x) ise, toplam 10 birim (60x) olmalıdır. Oranları kutu çizerek (modelleyerek) takip edebilirsiniz.

Estimated Time:3m 0s

Question 384Question →

Bir mobilya mağazası, stoklarındaki ürünlerin $\%30$ 'unu $\%40$ kârla, $\%20$ 'sini ise $\%10$ zararla satmıştır. Mağaza sahibinin tüm stokların satışından toplam $\%26$ kâr elde edebilmesi için, geriye kalan ürünleri maliyet üzerinden yüzde kaç kârla satması gerekir?

28

30

32

35

36

Show answer & explanation

Answer: 32

Answer

Geriye kalan ürünler %32 kâr oranıyla satılmalıdır.

Soruda verilen parçalı satışların toplam hedefe ulaşması için ağırlıklı ortalama yöntemi kullanılır. %30'luk kısımdan gelen

+1200

puanlık kâr ve %20'lik kısımdan gelen

-200

puanlık zarar (toplam

+1000

), hedeflenen

2600

puandan çıkarıldığında geriye

1600

puanlık açık kalır. Bu açığı kapatmak için kalan %50'lik kısım,

1600 / 50 = 32

yani %32 kârla satılmalıdır.

Step-by-Step Solution

1

İşlem kolaylığı sağlaması açısından toplam ürün miktarını

100

adet ve her bir ürünün maliyetini

1

birim (veya toplam maliyet referansını

100

) olarak varsayalım. Hedeflenen toplam kârı hesaplayalım.

Toplam Mal:

100

birim. Hedeflenen Toplam Kâr:

\%26

. Toplam Kâr Puanı Hedefi:

100 \times 26 = 2600

.

Yüzde problemlerinde bütünü 100 kabul etmek, kesirli sayılarla uğraşmayı engeller.

2

Satışı gerçekleşen birinci ve ikinci kısımların kâr/zarar katkılarını (puanlarını) hesaplayalım. Zarar, negatif kâr olarak işleme alınır.

1. Kısım:

30

birim

\times

\%40

kâr

= +1200

puan. 2. Kısım:

20

birim

\times

\%10

zarar

= -200

puan.

Her bir satış grubunun toplam kâra etkisini ağırlıklı olarak hesaplamak gerekir.

3

Şu ana kadar elde edilen toplam kâr puanını ve geriye kalan ürün miktarını bulalım.

Mevcut Kâr Puanı:

1200 + (-200) = 1000

. Kalan Ürün Miktarı:

100 - (30+20) = 50

birim.

Kalan hedefe ulaşmak için ne kadar daha kâr elde edilmesi gerektiğini belirlemek için.

4

Hedeflenen toplam puana ulaşmak için kalan kısmın sağlaması gereken katkıyı ve buna denk gelen kâr yüzdesini (

x

) hesaplayalım.

Gerekli Toplam:

2600

. Mevcut:

1000

. İhtiyaç:

2600 - 1000 = 1600

. Denklem:

50 \times x = 1600 \Rightarrow x = 32

.

Kalan 50 birimlik malın, 1600 puanlık kâr getirmesi için birim başına düşen kâr yüzdesini bulmak.

Key Concept

Ağırlıklı Ortalama ve Kâr-Zarar Dengesi

Hints

1

Mağazadaki toplam ürün sayısını 100 adet olarak varsayarsanız işlemleriniz kolaylaşacaktır.

2

Her bir satış grubunun 'Miktar x Kâr/Zarar Oranı' çarpımını toplayarak toplam hedefe eşitleyiniz. Zararı negatif almayı unutmayınız.

3

Denklem şöyledir:

(30 \times 40) + (20 \times -10) + (50 \times x) = 100 \times 26

. Buradan x değerini çekiniz.

Practice More

Benzer mantıkla, alış fiyatı üzerinden değil de satış fiyatı üzerinden kâr/zarar hesabı sorulan sorular çözülebilir.

Alternative Method

Terazi Yöntemi (Denge): Toplam hedef %26'dır. %40 kâr yapan kısım hedeften +14 sapmıştır (%30 miktar). %10 zarar yapan kısım hedeften -36 sapmıştır (%20 miktar). Sapmaların toplamı sıfır olmalıdır.

Estimated Time:1m 30s

Question 385Question →

Bir proje ofisinde çalışan Engin ile Selin'in yaşları hakkında aşağıdakiler bilinmektedir:

* İkisinin bugünkü yaşları toplamı 54'tür.
* Engin, Selin'in bugünkü yaşına geldiğinde Selin 42 yaşında olacaktır.

Buna göre, Engin'in bugünkü yaşı kaçtır?

18

20

22

27

32

Show answer & explanation

Answer: 22

Answer

Engin'in bugünkü yaşı 22'dir.

Engin ve Selin'in yaşları toplamı 54'tür (

E+S=54

). Engin, Selin'in yaşına geldiğinde aradan geçen süre yaş farkı (

S-E

) kadardır. Bu süre sonunda Selin

S + (S-E) = 2S - E

yaşında olur. Soruda bu yaşın 42 olduğu verilmiştir (

2S - E = 42

). İki denklemi taraf tarafa toplarsak

3S = 96

ve

S = 32

bulunur.

E = 54 - 32 = 22

elde edilir.

Step-by-Step Solution

1

Değişkenleri tanımla ve ilk denklemi kur.

Engin = E, Selin = S olsun. E + S = 54 (1. Denklem)

Soruda yaşları toplamının 54 olduğu verilmiştir.

2

Zaman farkını ve gelecek durum denklemini kur.

Engin'in Selin'in yaşına gelmesi için (S - E) yıl geçmelidir. Bu süre sonunda Selin'in yaşı: S + (S - E) = 42 => 2S - E = 42 (2. Denklem)

Her iki kişi de geçen zaman (S - E) kadar yaşlanır.

3

İki bilinmeyenli denklem sistemini çöz.

(E + S) + (2S - E) = 54 + 42 => 3S = 96 => S = 32

Taraf tarafa toplama yöntemiyle E değişkeni yok edilir.

4

Bulunan S değerini yerine koyarak E'yi bul.

E + 32 = 54 => E = 22

Selin'in yaşını ilk denklemde yerine koyarak Engin'in yaşı bulunur.

Key Concept

Yaş Problemleri (Zaman Farkı)

Hints

1

İki kişinin yaş farkı yıllar geçse de değişmez.

2

Engin'in Selin'in yaşına gelebilmesi için, Selin'in Engin'den büyük olması gerekir. Engin'e E, Selin'e S diyerek şimdiki yaşları için bir denklem kurun.

3

Gelecekteki durum için: Selin'in yeni yaşı = Şimdiki Yaşı + (Selin - Engin). Yani

S + (S - E) = 42

denklemini kullanın.

Practice More

Benzer mantıkla kurgulanan 'Bir baba oğlunun yaşındayken oğlu X yaşındaydı' şeklindeki geçmiş zaman sorularını çözünüz.

Alternative Method

Değer Verme Yöntemi: Şıklardan gidilebilir. Örneğin Engin 22 ise, toplam 54 olduğundan Selin 32 olur. Fark 10'dur. Engin 32 olduğunda (10 yıl sonra), Selin 42 olur. Bu durum sorudaki 42 şartını sağlar.

Estimated Time:1m 30s

Question 386Question →

Ağırlıkça %20'si tuz olan 40 kg tuzlu su karışımı ile ağırlıkça %30'u tuz olan 60 kg tuzlu su karışımı bir kapta karıştırılıyor.

Elde edilen bu yeni karışımdan kaç kilogram su buharlaştırılırsa, son durumdaki karışımın tuz oranı %40 olur?

25

30

35

40

45

Show answer & explanation

Answer: 35

Answer

Karışımdan 35 kg su buharlaştırılmalıdır.

Doğru cevap, toplam tuz miktarı olan 26 kg'ın, suyu azaltılmış yeni toplam kütleye oranının %40 olması gerektiğini gösteren denklemin (

26 / (100 - x) = 0,40

) çözümüdür. Bu işlem sonucunda buharlaştırılması gereken su miktarı 35 kg olarak bulunur.

Step-by-Step Solution

1

İlk karışımdaki (40 kg, %20) saf tuz miktarını hesapla.

40 \times \frac{20}{100} = 8

kg tuz.

Karışım problemlerinde değişmeyen madde (saf madde) üzerinden gitmek esastır.

2

İkinci karışımdaki (60 kg, %30) saf tuz miktarını hesapla.

60 \times \frac{30}{100} = 18

kg tuz.

Her iki karışımdan gelen tuz miktarlarını toplayarak toplam maddeyi bulmamız gerekir.

3

Toplam tuz miktarını ve başlangıçtaki toplam karışım ağırlığını bul.

Toplam Tuz =

8 + 18 = 26

kg.
Toplam Karışım =

40 + 60 = 100

kg.

Yeni karışımın saf madde miktarını ve toplam kütlesini belirlemek için.

4

Su buharlaştırma işlemi için denklemi kur. Buharlaştırılan su miktarına

x

diyelim. Saf madde (tuz) miktarı değişmez, toplam karışım azalır.

\frac{\text{Saf Madde}}{\text{Yeni Toplam Karışım}} = \frac{40}{100} \Rightarrow \frac{26}{100 - x} = \frac{40}{100}

Su buharlaştığında sadece su eksilir, tuz miktarı sabit kalır. Yeni oran %40 olmalıdır.

5

Denklemi çözerek

x

değerini bul.

\frac{26}{100 - x} = \frac{2}{5} \Rightarrow 130 = 2(100 - x) \Rightarrow 130 = 200 - 2x \Rightarrow 2x = 70 \Rightarrow x = 35

kg.

İstenen su miktarını bulmak için gerekli cebirsel işlem.

Key Concept

Karışım problemlerinde su ekleme veya buharlaştırma işlemlerinde saf madde miktarı (tuz, şeker vb.) sabit kalırken, toplam karışım miktarı değişir.

Question 387Question →

Bir kırtasiyeci, maliyeti $200$ TL olan bir hesap makinesini $\%20$ kârla satmayı planlamaktadır. Buna göre, bu hesap makinesinin satış fiyatı kaç TL olur?

40

160

220

240

260

Show answer & explanation

Answer: $240$

Answer

Hesap makinesinin satış fiyatı

240

TL'dir.

Doğru sonuç, maliyet fiyatı olan

200

TL'nin

\%20

kâr karşılığı olan

40

TL ile toplanmasıyla elde edilen

240

TL'dir.

Step-by-Step Solution

1

Kâr tutarını hesaplayınız.

200 \times \frac{20}{100} = 40

TL

Kâr, maliyet fiyatı üzerinden belirlenen oranda hesaplanan ek tutardır.

2

Satış fiyatını bulmak için maliyete kâr tutarını ekleyiniz.

200 + 40 = 240

TL

Satış fiyatı; maliyet fiyatı ile elde edilecek kârın toplamına eşittir.

Key Concept

Kâr problemleri temelinde satış fiyatı, maliyet fiyatı ile kâr miktarının toplamıdır.

Hints

1

Satış fiyatını bulmak için maliyetin üzerine kâr miktarını eklemeniz gerektiğini unutmayın.

2

200

sayısının

\%20

'sini bularak işe başlayabilirsiniz.

3

200 \times 0,20

işlemini yaparak kârı bulabilir, ardından bu sonucu

200

ile toplayabilirsiniz.

Practice More

Benzer bir işlemi %10 kâr için deneyerek pekiştirme yapabilirsiniz.

Alternative Method

Satış fiyatını doğrudan hesaplamak için maliyeti

(1 + \text{Kâr Oranı})

ile çarpabilirsiniz:

200 \times 1,20 = 240

TL.

Estimated Time:45s

Question 388Question →

Yıllık enflasyon oranının %50 olduğu bir ülkede, bir tüccar sermayesini koruyarak yıl sonunda %10 reel kâr (alım gücü artışı) elde etmeyi hedeflemektedir. Tüccarın elindeki tüm ürünleri yıl sonunda sattığı varsayıldığında, bu hedefe ulaşabilmesi için maliyet fiyatı üzerine uygulaması gereken nominal kâr oranı yüzde kaçtır?

60

65

66

70

75

Show answer & explanation

Answer: 65

Answer

Tüccar maliyet fiyatı üzerine %65 kâr eklemelidir.

Doğru cevap, bileşik hesaplama mantığına dayanır. %50 enflasyon ortamında paranın değeri 1,5 katına çıkar. %10 reel kâr için bu değerin de 1,1 katına çıkması gerekir. Toplam etki:

1,5 \times 1,1 = 1,65

olur. Bu da başlangıç parasına göre %65'lik bir nominal artış (etiket zammı) demektir.

Step-by-Step Solution

1

Başlangıç değerlerini belirle.

Tüccarın başlangıçtaki sermayesi (maliyeti) = 100 birim olsun. Ürün adedi veya birim fiyat detayı verilmediği için toplam sermaye üzerinden gidilebilir.

Yüzde problemlerinde başlangıç değerini 100 almak işlem kolaylığı sağlar.

2

Enflasyon etkisini hesapla.

Yıl sonunda enflasyon %50 olduğu için, başlangıçta 100 birime alınan malın aynısını yerine koymak (sermayeyi korumak) için gereken para: 100 + (100 × 0,50) = 150 birimdir.

Enflasyon, paranın alım gücünün düşmesi veya aynı malın fiyatının artması demektir.

3

Hedeflenen reel kârı hesapla.

Tüccar, enflasyonla güncellenmiş sermayesi üzerinden %10 reel artış (alım gücü artışı) istemektedir. Hedeflenen Gelir = 150 + (150 × 0,10) = 150 + 15 = 165 birim.

Reel kâr, enflasyondan arındırılmış veya enflasyon üzerine eklenmiş gerçek alım gücü artışıdır.

4

Nominal kâr oranını bul.

Başlangıç maliyeti 100 birim, hedeflenen satış geliri 165 birimdir. Nominal Kâr = 165 - 100 = 65 birim. Yüzde olarak: %65.

Nominal kâr, enflasyon hesaba katılmadan, sadece alış ve satış fiyatları arasındaki parasal farkın yüzdesidir.

Key Concept

Reel Kâr ve Nominal Kâr İlişkisi

Question 389Question →

Uzunluğu $450$ metre olan bir lojistik tünelinde, zemine göre saatte $18$ km sabit hızla hareket eden bir taşıyıcı bant sistemi bulunmaktadır. Bu bant üzerinde görev yapan bir otonom denetim aracı, bandın hareket yönüyle aynı yönde tünelin bir ucundan diğer ucuna gitmiş ve vakit kaybetmeden geri dönerek başladığı noktaya ulaşmıştır. Aracın bant üzerindeki (banta göre) hızı sabit ve saatte $36$ km olduğuna göre, bu aracın tüm yolculuk boyunca zemine göre ortalama hızı kaç m/sn'dir?

5

7,5

10

12,5

15

Show answer & explanation

Answer: 7,5

Answer

Aracın tüm yolculuk boyunca zemine göre ortalama hızı 7,5 m/sn'dir.

Ortalama hız, alınan toplam yolun harcanan toplam zamana bölünmesiyle bulunur. Araç gidişte akıntıyla (bantla) aynı yönde olduğu için hızı artmış (

15

m/sn), dönüşte zıt yönde olduğu için hızı azalmıştır (

5

m/sn). Toplam

900

metrelik yol

120

saniyede katedildiği için ortalama hız

7,5

m/sn'dir.

Step-by-Step Solution

1

Verilen hızları (km/sa) m/sn cinsine çevir.

Bant hızı (

V_{bant}

):

18

km/sa =

\frac{18000}{3600} = 5

m/sn. Araç hızı (

V_{araç}

):

36

km/sa =

\frac{36000}{3600} = 10

m/sn.

Soruda uzunluk metre cinsinden verilmiş ve cevap m/sn olarak istenmiştir.

2

Gidiş (banta eş yönlü) ve dönüş (banta zıt yönlü) sırasındaki zemine göre hızları hesapla.

Gidiş Hızı (

V_1

) =

V_{araç} + V_{bant} = 10 + 5 = 15

m/sn.
Dönüş Hızı (

V_2

) =

V_{araç} - V_{bant} = 10 - 5 = 5

m/sn.

Bağıl hareket prensibi gereği aynı yönde hızlar toplanır, zıt yönde çıkarılır.

3

Gidiş ve dönüş sürelerini hesapla.

Gidiş Süresi (

t_1

) =

\frac{450}{15} = 30

saniye.
Dönüş Süresi (

t_2

) =

\frac{450}{5} = 90

saniye.

Yol = Hız x Zaman formülünden

t = \frac{x}{V}

bağıntısı kullanılır.

4

Toplam yol ve toplam süreyi kullanarak ortalama hızı bul.

Toplam Yol =

450 + 450 = 900

m.
Toplam Zaman =

30 + 90 = 120

sn.
Ortalama Hız =

\frac{900}{120} = 7,5

m/sn.

Ortalama hız, toplam yer değiştirme değil, alınan toplam yolun toplam zamana oranıdır.

Key Concept

Ortalama hız hesabında hızların aritmetik ortalaması değil, toplam yolun toplam zamana oranı (harmonik ortalama mantığı) esas alınır. Ayrıca bağıl hızlarda yönler dikkate alınmalıdır.

Hints

1

Önce verilen hızları (km/sa), sorunun istediği birim olan metre/saniye (m/sn) cinsine çevirin.

2

Aracın gidiş hızı bant ile aynı yönde olduğu için toplanır (

V_{araç} + V_{bant}

), dönüş hızı ise zıt olduğu için çıkarılır (

V_{araç} - V_{bant}

).

3

Ortalama hızı bulmak için hızların ortalamasını almayın. Toplam yol (

450+450

) bölü Toplam zaman (

t_{gidiş} + t_{dönüş}

) formülünü kullanın.

Practice More

Akıntı yönünde ve akıntıya karşı hareket eden yüzücü problemleri çözerek bağıl hız konusunu pekiştirin.

Estimated Time:2m 30s

Question 390Question →

Bir kimya laboratuvarında bulunan iki farklı alkol çözeltisinden; birincisi alkol oranı $\%40$ olan $60$ litre, ikincisi ise alkol oranı $\%90$ olan $40$ litre etil alkol çözeltisidir. Bu iki çözelti boş bir kapta tamamen karıştırıldığında, elde edilen yeni karışımın alkol oranı yüzde kaçtır?

50

60

65

70

75

Show answer & explanation

Answer: $60$

Answer

Yeni karışımın alkol oranı

\%60

olarak bulunur.

Doğru yanıt olan

\%60

seçeneği, karışım kuralının tam olarak uygulanmasıyla elde edilir. Birinci kaptan gelen

24

litre alkol ile ikinci kaptan gelen

36

litre alkolün toplamı

60

litredir. Toplam karışım hacmi de

100

litre olduğu için bu miktar doğrudan

\%60

oranına karşılık gelmektedir.

Step-by-Step Solution

1

Birinci karışımdaki saf alkol miktarını hesaplayınız.

60 \times \frac{40}{100} = 24

litre saf alkol.

Karışım problemlerinde temel kural, toplam karışım miktarı ile saf madde oranını çarparak içindeki net madde miktarını bulmaktır.

2

İkinci karışımdaki saf alkol miktarını hesaplayınız.

40 \times \frac{90}{100} = 36

litre saf alkol.

İkinci kaptaki alkol miktarını bularak toplam alkol miktarını hesaplamaya hazırlık yapılır.

3

Karışım sonrası toplam alkol ve toplam karışım miktarlarını bulunuz.

Toplam Alkol:

24 + 36 = 60

litre; Toplam Karışım:

60 + 40 = 100

litre.

İki karışım birleştiğinde hem kütleler hem de içlerindeki saf maddeler birbirine eklenir.

4

Yeni karışımın yüzde oranını hesaplayınız.

\frac{60}{100} = \%60

Yüzde oranı, saf madde miktarının toplam kütleye bölünmesi ve 100 ile çarpılmasıyla bulunur.

Key Concept

Karışım problemlerinde temel denge: (Miktar₁ × Oran₁) + (Miktar₂ × Oran₂) = (Toplam Miktar × Son Oran)

Hints

1

Her iki kapta da ayrı ayrı ne kadar saf alkol olduğunu bularak başlayın.

2

Toplam alkol miktarını bulduktan sonra bunu kapların toplam hacmi olan

100

litreye oranlayın.

3

60 \times 0,4

ve

40 \times 0,9

değerlerini toplayıp toplam karışım miktarı olan

100

'e bölün.

Practice More

Karışıma saf su veya saf alkol eklendiğinde oranların nasıl değiştiğini inceleyen soruları çözerek konuyu pekiştirebilirsiniz.

Alternative Method

Karışım denklemini kullanabilirsiniz:

60 \cdot 40 + 40 \cdot 90 = (60+40) \cdot x

. Buradan

2400 + 3600 = 100x \Rightarrow 6000 = 100x \Rightarrow x = 60

sonucuna hızlıca ulaşılabilir.

Estimated Time:45s

Question 391Question →

Bir kamu kurumunda Uzman Yardımcısı, Uzman ve Başuzman kadrolarında görev yapan toplam $72$ personel bulunmaktadır. Bu personellerin yıllık yasal izin hakları statülerine göre sırasıyla $20$ , $25$ ve $30$ gündür. Bir yıl içerisinde tüm personellerin yasal izin haklarının tamamını kullandığı ve kurum genelinde kullanılan toplam izin gün sayısının $1735$ olduğu tespit edilmiştir. Uzman Yardımcısı sayısının, Başuzman sayısının $2$ katından $3$ fazla olduğu bilindiğine göre, bu kurumda görev yapan Uzman sayısı kaçtır?

10

23

29

39

42

Show answer & explanation

Answer: 39

Answer

Kurumda görev yapan Uzman sayısı 39'dur.

Verilen sözel ifadeler üç bilinmeyenli bir denklem sistemine dönüştürülür. İzin günleri denklemi sadeleştirilip, kişi sayısı denklemindeki ilişkiler yerine konulduğunda Başuzman sayısı 10 bulunur. Buradan hareketle Uzman sayısı 39 olarak hesaplanır.

Step-by-Step Solution

1

Değişkenleri tanımla ve verilenleri matematiksel ifadeye dök.

Uzman Yrd. (

x

), Uzman (

y

), Başuzman (

z

) olsun.
1. Denklem (Kişi Sayısı):

x + y + z = 72

2. Denklem (Gün Sayısı):

20x + 25y + 30z = 1735

3. Denklem (İlişki):

x = 2z + 3

Problemi çözmek için sözel ifadeler cebirsel denklemlere dönüştürülmelidir.

2

Gün sayısı denklemini (2. denklem) sadeleştir.

Her terimi 5'e bölersek:

4x + 5y + 6z = 347

Katsayıları küçültmek işlem kolaylığı sağlar.

3

3. denklemi (

x = 2z + 3

) 1. denklemde yerine yazarak

y

'yi

z

cinsinden ifade et.

(2z + 3) + y + z = 72 \Rightarrow 3z + y + 3 = 72 \Rightarrow y = 69 - 3z

Değişken sayısını azaltmak (yok etme metodu) için

y

'yi tek bir değişken cinsinden yazmak gerekir.

4

Bulunan

x

ve

y

ifadelerini sadeleştirilmiş gün sayısı denkleminde yerine yazarak

z

'yi bul.

4(2z + 3) + 5(69 - 3z) + 6z = 347

8z + 12 + 345 - 15z + 6z = 347

(8z - 15z + 6z) + (12 + 345) = 347

-z + 357 = 347 \Rightarrow z = 10

Tek bilinmeyenli denklemi çözerek temel değişkenlerden birine ulaşılır.

5

Bulunan

z

değerini kullanarak sorulan

y

(Uzman) değerini hesapla.

y = 69 - 3z \Rightarrow y = 69 - 3(10) = 69 - 30 = 39

Soruda istenen 'Uzman' sayısı

y

değişkenine karşılık gelmektedir.

Key Concept

Denklem Sistemleri

Question 392Question →

Aşağıda verilen doğrusal grafiklerden birincisinde pamuktan elde edilen iplik miktarı, ikincisinde ise bu iplikten dokunan kumaş miktarı arasındaki ilişki gösterilmiştir.

Kilogramı 40 TL'den alınan pamuğun tamamı işlenerek kumaşa dönüştürülmektedir. İplikten kumaş dokuma sürecinde, üretilen her 1 metre kumaş için 5 TL ek maliyet oluşmaktadır.

Buna göre, tüm süreç sonunda maliyet üzerinden %40 kâr elde edebilmek için kumaşın metre satış fiyatı kaç TL olmalıdır?

28

30

33

35

42

Show answer & explanation

Answer: 35

Answer

Kumaşın metre satış fiyatı 35 TL olmalıdır.

Soruda iki aşamalı bir üretim süreci vardır. Önce pamuktan iplik, sonra iplikten kumaş elde edilir. Grafikler incelendiğinde; 50 kg pamuktan 40 kg iplik (verim 0.8), 12 kg iplikten 30 m kumaş (verim 2.5) elde edildiği görülür. Bu iki oran birleştirildiğinde 1 kg pamuktan 2 metre kumaş çıktığı bulunur. Pamuğun kilosu 40 TL olduğundan, 2 metre kumaşın hammadde maliyeti 40 TL, yani metresi 20 TL'dir. Buna 5 TL ek maliyet eklendiğinde toplam maliyet 25 TL olur. %40 kâr (10 TL) eklendiğinde satış fiyatı 35 TL olarak bulunur.

Step-by-Step Solution

1

Birinci grafikten pamuk-iplik dönüşüm oranını belirle.

Grafikte (50, 40) noktası verildiğinden, 50 kg pamuktan 40 kg iplik elde edilir. Oran: 1 kg pamuk = 0,8 kg iplik.

Maliyet hesabını birim miktar üzerinden yapmak için dönüşüm oranı gereklidir.

2

İkinci grafikten iplik-kumaş dönüşüm oranını belirle.

Grafikte (12, 30) noktası verildiğinden, 12 kg iplikten 30 metre kumaş elde edilir. Oran: 1 kg iplik = 2,5 metre kumaş.

Toplam üretim miktarını bulmak için ikinci dönüşüm gereklidir.

3

1 kg pamuktan elde edilen toplam kumaş miktarını hesapla (Bileşke orantı).

1 kg pamuk → 0,8 kg iplik → (0,8 × 2,5) = 2 metre kumaş elde edilir.

Hammadde maliyetini kumaş birimine (metre) dönüştürmek için.

4

1 metre kumaş için hammadde maliyetini hesapla.

1 kg pamuk (40 TL) ile 2 metre kumaş üretiliyorsa, 1 metre kumaşın hammadde maliyeti = 40 / 2 = 20 TL'dir.

Toplam maliyeti bulmak için hammadde payı hesaplanmalıdır.

5

Toplam birim maliyeti ve satış fiyatını hesapla.

Toplam Maliyet = Hammadde (20 TL) + Ek Maliyet (5 TL) = 25 TL. Satış Fiyatı = 25 TL + (%40 Kâr) = 25 + 10 = 35 TL.

Soruda maliyet üzerinden %40 kâr istendiği için toplam maliyet baz alınır.

Key Concept

Bileşke Orantı ve Birim Maliyet Hesabı

Hints

1

Öncelikle 1 kg pamuktan en son aşamada kaç metre kumaş elde edildiğini bulmak için iki grafiği birleştirin.

2

Birinci grafikten 50 kg pamuk = 40 kg iplik; ikinci grafikten 12 kg iplik = 30 m kumaş oranlarını kullanın. 40 kg iplik kaç metre kumaş yapar?

3

1 kg pamuktan 2 metre kumaş çıkar. 1 kg pamuk 40 TL ise, 1 metre kumaşın sadece pamuk maliyeti 20 TL'dir. Buna 5 TL ek maliyeti ekleyip kârı hesaplayın.

Practice More

Benzer bir soruda, 'zarar etmemek için en az kaça satılmalı?' sorusu çözülerek maliyet kavramı pekiştirilebilir.

Alternative Method

Zincir kuralı ile oranları çarpma: (40 kg İplik / 50 kg Pamuk) × (30 m Kumaş / 12 kg İplik) = 2 m Kumaş / 1 kg Pamuk.

Estimated Time:2m 30s

Question 393Question →

Bir belediyenin park ve bahçeler müdürlüğü, şehirdeki parkların sulanması için iki farklı tipte otomatik sulama sistemi kullanmaktadır. Bu sistemlerin saatlik su tüketimleri ve günlük çalışma süreleri aşağıdaki tabloda verilmiştir:

Sistem Tipi	Saatte Tüketilen Su Miktarı (Litre)	Günlük Çalışma Süresi (Saat)
A Tipi	$20$	$4$
B Tipi	$35$	$3$

Belediye bünyesinde bu iki tipten toplam $45$ adet sulama sistemi bulunmaktadır. Günlük sulama programı sonunda bu sistemlerin tamamı tarafından toplam $4100$ litre su tüketildiği hesaplanmıştır.

Buna göre, belediyenin kullandığı A tipi sulama sistemi sayısı kaçtır?

15

20

25

30

35

Show answer & explanation

Answer: $25$

Answer

Belediyenin kullandığı A tipi sulama sistemi sayısı

25

'tir.

Her bir A tipi sistem günde

80

litre, her bir B tipi sistem günde

105

litre su tüketmektedir. Toplam

45

sistemin

x

tanesi A tipi ise

45-x

tanesi B tipidir.

80x + 105(45-x) = 4100

denklemi çözüldüğünde

25x = 625

ve buradan

x = 25

elde edilir.

Step-by-Step Solution

1

Değişkenlerin tanımlanması ve sistem başına günlük tüketimin hesaplanması

A tipi:

20 \times 4 = 80

litre/gün, B tipi:

35 \times 3 = 105

litre/gün

Her bir sistemin bir günde toplam ne kadar su tükettiğini bulmak için saatlik tüketim ile çalışma süresi çarpılır.

2

Sistem sayıları üzerinden denklemin kurulması

x + y = 45

ve

80x + 105y = 4100

A tipi sistem sayısına

x

, B tipi sistem sayısına

y

denilerek toplam sayı ve toplam tüketim denklemleri oluşturulur.

3

Denklemin tek bilinmeyene indirgenerek çözülmesi

80x + 105(45 - x) = 4100 \Rightarrow 80x + 4725 - 105x = 4100

y

yerine

45 - x

yazılarak sadece A tipi sistem sayısını bulmaya yönelik işlem yapılır.

4

Bilinmeyenin yalnız bırakılması

-25x = -625 \Rightarrow x = 25

Eşitliğin her iki tarafı düzenlenerek A tipi sistem sayısı (

x

) bulunur.

Key Concept

Sayı problemlerinde verileri gruplandırarak iki bilinmeyenli denklem sistemleri kurma ve çözme.

Hints

1

Önce her bir sistemin bir tam günde kaç litre su tükettiğini hesaplayın.

2

A tipi sistem sayısına

x

derseniz, B tipi sistem sayısı

45 - x

olur.

3

Toplam su tüketimini veren denklemi

80x + 105(45-x) = 4100

şeklinde kurup

x

değerini bulun.

Practice More

Değişkenlerin yerini değiştirerek (örneğin toplam tüketim

3900

olsaydı) sonucu tekrar hesaplayarak pekiştirme yapabilirsiniz.

Alternative Method

Tüm sistemlerin B tipi olduğunu varsayalım. Bu durumda tüketim

45 \times 105 = 4725

litre olurdu. Gerçek tüketim (

4100

) ile bu değer arasındaki fark

625

litredir. Bir A tipi sistem, bir B tipi sistemden

105 - 80 = 25

litre daha az su tükettiğine göre;

625 / 25 = 25

adet A tipi sistem olduğu bulunur.

Estimated Time:1m 30s

Question 394Question →

Bir kamu kurumunda çalışan personelin $5000$ TL olan aylık ek ödemesine $\%20$ oranında artış yapılmıştır. Buna göre, bu personelin artış sonrası yeni ek ödeme tutarı kaç TL'dir?

6000

1000

4000

5500

5200

Show answer & explanation

Answer: 6000

Answer

Personelin yeni ek ödeme tutarı 6000 TL'dir.

Yeni tutarı bulmak için

5000

TL'nin

\%20

'si olan

1000

TL hesaplanır ve bu miktar orijinal tutar olan

5000

TL'ye eklenerek

6000

TL sonucuna ulaşılır.

Step-by-Step Solution

1

Artış miktarını hesapla

5000 \times \frac{20}{100} = 1000

TL

Bir miktarın yüzdesini bulmak için miktar yüzde oranı ile çarpılır.

2

Artış miktarını eski tutara ekle

5000 + 1000 = 6000

TL

Zam veya artış problemlerinde bulunan fark, başlangıç değerine ilave edilir.

Key Concept

Bir sayının belirli bir yüzde ile artırılması

Hints

1

Öncelikle

5000

TL'nin

\%20

'sinin kaç TL olduğunu bulmalısın.

2

\%20

ifadesi bir bütünün

5

'te

1

'i anlamına gelir; yani

5000

sayısını

5

'e bölerek zam miktarını bulabilirsin.

3

Bulduğun zam miktarını başlangıçtaki

5000

TL'ye eklediğinde yeni tutara ulaşırsın.

Practice More

Benzer bir mantıkla, bir ürüne

\%30

indirim yapıldığında oluşacak yeni fiyatı hesaplamayı deneyebilirsin.

Alternative Method

Artış sonrası tutarı doğrudan bulmak için başlangıç tutarını

\%120

ile çarpabilirsin:

5000 \times 1,20 = 6000

TL.

Estimated Time:45s

Question 395Question →

Yıllık enflasyon oranının %50 olduğu bir ülkede, memur maaşlarına yıl başında %20 oranında zam yapılmıştır. Buna göre, yıl sonunda memurun alım gücündeki değişim aşağıdakilerden hangisidir?

%30 azalmıştır

%25 azalmıştır

%20 azalmıştır

%20 artmıştır

%10 azalmıştır

Show answer & explanation

Answer: %20 azalmıştır

Answer

Memurun alım gücü %20 azalmıştır

Alım gücü hesaplanırken maaşın ürün fiyatına oranı dikkate alınır. Başlangıçta 100 TL maaş ile 100 TL'lik ürün alınabilirken, yıl sonunda 120 TL maaş ile 150 TL'lik ürün alınmaya çalışılmaktadır. Bu durumda alınabilen miktar 120/150 = 0,8 yani %80'dir. Başlangıca göre %20'lik bir kayıp söz konusudur.

Step-by-Step Solution

1

Başlangıç değerlerini tanımla

Başlangıçta hem maaşı hem de bir ürünün fiyatını 100 birim olarak kabul edelim.

Yüzde problemlerinde taban değerini 100 almak işlem kolaylığı sağlar.

2

Yıl sonu değerlerini hesapla

Enflasyon %50 olduğundan Ürün Fiyatı = 100 + 50 = 150 olur. Maaş zammı %20 olduğundan Yeni Maaş = 100 + 20 = 120 olur.

Enflasyon fiyatları artırırken, zam maaşı artırır.

3

Alım gücünü oranla

\text{Alım Gücü} = \frac{\text{Maaş}}{\text{Fiyat}} = \frac{120}{150}

Alım gücü, gelirin fiyatlar karşısındaki değeridir.

4

Oranı sadeleştir ve yüzdeye çevir

\frac{120}{150} = \frac{12}{15} = \frac{4}{5} = \frac{80}{100} = %80

Başlangıçtaki alım gücü %100 (100/100) idi, şimdi %80 oldu.

5

Değişimi hesapla

Başlangıç %100, Son durum %80. Değişim: %100 - %80 = %20 azalmıştır.

Sonuç başlangıçtan küçük olduğu için azalma vardır.

Key Concept

Alım Gücü ve Reel Değişim

Hints

1

Başlangıçta hem maaşı hem de bir ürünün fiyatını 100 birim olarak kabul ederek işlem yapmayı deneyin.

2

Yıl sonunda maaş 120 birim olurken, ürünün fiyatı 150 birim olacaktır. Yeni maaş ile bu ürünün ne kadarını alabileceğinizi hesaplayın.

Practice More

Benzer mantıkla, memurun alım gücünün korunması için ikinci altı ayda yüzde kaç zam yapılması gerektiğini soran sorular çözülebilir.

Alternative Method

Formül ile çözüm: Reel Değişim = (1 + Zam Oranı) / (1 + Enflasyon Oranı) - 1 formülü kullanılabilir. Burada (1,20 / 1,50) - 1 = 0,80 - 1 = -0,20 sonucu verir.

Estimated Time:2m 30s

Question 396Question →

Aşağıdaki doğrusal grafikte, bir imalathanede üretilen ürün miktarına bağlı olarak toplam maliyet ve toplam satış geliri arasındaki ilişki gösterilmiştir.

Buna göre, bu üründen kaç adet satıldığında elde edilen toplam kâr, toplam maliyetin yarısına eşit olur?

30

45

60

75

90

Show answer & explanation

Answer: 90

Answer

Toplam kârın maliyetin yarısına eşit olması için 90 adet ürün satılmalıdır.

Sorunun çözümü için önce grafik verilerinden maliyet ve satış denklemleri çıkarılır. Maliyet fonksiyonu

M(x) = 40x + 1200

, Satış fonksiyonu

S(x) = 80x

olarak bulunur. Kâr fonksiyonu

K(x) = 40x - 1200

'dür. Soruda istenen

K(x) = M(x)/2

eşitliği kurulduğunda

40x - 1200 = 20x + 600

denklemi elde edilir ve buradan

x=90

bulunur.

Step-by-Step Solution

1

Grafikten Maliyet ve Satış fonksiyonlarının denklemlerini oluştur.

Maliyet doğrusu (0, 1200) ve (30, 2400) noktalarından geçer. Eğim = (2400-1200)/30 = 40. Denklem: M(x) = 40x + 1200. Satış doğrusu (0, 0) ve (30, 2400) noktalarından geçer. Eğim = 2400/30 = 80. Denklem: S(x) = 80x.

Doğrusal grafik problemlerinde önce fonksiyon kurallarını belirlemek gerekir.

2

Kâr fonksiyonunu tanımla.

Kâr(x) = Satış(x) - Maliyet(x) = 80x - (40x + 1200) = 40x - 1200.

Kâr, gelirden giderin çıkarılmasıyla bulunur.

3

İstenen koşulu denkleme dök ve çöz.

Koşul: Kâr = Maliyet / 2. Denklem: 40x - 1200 = (40x + 1200) / 2. İki tarafı 2 ile çarpalım: 80x - 2400 = 40x + 1200. x'leri bir tarafa toplayalım: 40x = 3600 => x = 90.

Soruda verilen ilişkiyi matematiksel eşitliğe dönüştürüp bilinmeyeni bulmak için.

Key Concept

Doğrusal Fonksiyonlar ve Kâr-Zarar Problemleri

Hints

1

Grafikteki doğruların eğimlerini bularak her biri için

y = mx + n

formatında denklem yazmayı dene.

2

Maliyet doğrusu y eksenini 1200'de kesiyor. Kâr fonksiyonunu bulmak için Satış(x) - Maliyet(x) işlemini yap.

3

Kâr denklemi

40x - 1200

ve Maliyet denklemi

40x + 1200

'dür. Şimdi

(40x - 1200) = (40x + 1200) / 2

eşitliğini çöz.

Practice More

Benzer bir grafikte kârın maliyete oranının %25 olduğu üretim miktarını soran bir soru çözerek pekiştirme yapabilirsiniz.

Alternative Method

Geometrik benzerlik kullanarak da çözülebilir. Kesişim noktasından (30, 2400) sonra her birim artışta kâr 40 TL artar, maliyet de 40 TL artar. Aradaki farkın kapanma hızı üzerinden oran kurulabilir.

Estimated Time:2m 30s

Question 397Question →

Bir tekstil atölyesinde bulunan iki dokuma makinesinden A makinesi bir top kumaşı 12 saatte, B makinesi ise aynı uzunluktaki bir top kumaşı 24 saatte dokuyabilmektedir. İki makine birlikte çalışmaya başladıktan 2 saat sonra A makinesinin hızı teknik bir arıza nedeniyle yarıya düşmüştür. B makinesi ise normal hızında çalışmaya devam etmiştir. Buna göre, kumaşın dokunma işlemi toplam kaç saat sürmüştür?

8

9

10

11

12

Show answer & explanation

Answer: 11

Answer

İşlem toplam 11 saat sürmüştür.

Makinelerin hızlarını iş miktarı üzerinden oranlayarak çözmek en güvenilir yoldur. Toplam iş 24 birim olsun. A makinesi saatte 2, B makinesi 1 birim iş yapar. İlk 2 saatte toplam 6 birim iş biter, geriye 18 birim kalır. A arızalanıp hızı 1 birime düşünce, toplam hız 2 birim olur. Kalan 18 birim iş 9 saatte tamamlanır. Toplam süre

2 + 9 = 11

saattir.

Step-by-Step Solution

1

Makinelerin çalışma hızlarını (birim zamanda yaptıkları işi) belirle.

İşin tamamı EKOK(12, 24) = 24 birim olsun. A makinesinin hızı

V_A = \frac{24}{12} = 2

birim/saat, B makinesinin hızı

V_B = \frac{24}{24} = 1

birim/saat olur.

Kesirli sayılarla uğraşmamak için iş miktarını somut bir sayı seçmek hesaplamayı kolaylaştırır.

2

İlk 2 saatte yapılan iş miktarını ve geriye kalan işi hesapla.

Birlikte hızları

2 + 1 = 3

birim/saat. 2 saatte yapılan iş =

3 \times 2 = 6

birim. Kalan iş =

24 - 6 = 18

birim.

Arıza öncesi tamamlanan kısmı belirleyip kalan işe odaklanmak için.

3

Arıza sonrası yeni hızları ve kalan işin süresini hesapla.

A'nın hızı yarıya düşer:

2 / 2 = 1

birim/saat. B'nin hızı değişmez: 1 birim/saat. Yeni toplam hız =

1 + 1 = 2

birim/saat. Kalan süre =

\frac{18}{2} = 9

saat.

Değişen kapasite ile kalan işin ne kadar sürede biteceğini bulmak için.

4

Toplam süreyi hesapla.

Toplam süre = İlk kısım (2 saat) + İkinci kısım (9 saat) = 11 saat.

Soruda işin tamamının süresi istendiği için iki aşamanın süreleri toplanır.

Key Concept

İşçi Problemlerinde Değişken Hız ve Aşamalı İş

Hints

1

İşin tamamına 12 ve 24'ün ortak katı olan bir sayı (örneğin 24 birim) vererek her makinenin saatlik hızını bulun.

2

İlk 2 saatte ne kadar iş yapıldığını bulup toplam işten çıkarın. Sonra A makinesinin hızını yarıya indirin.

3

Kalan işi makinelerin yeni hızları toplamına bölün. Bulduğunuz bu süreyi, baştaki 2 saate eklemeyi unutmayın.

Estimated Time:2m 30s

Question 398Question →

Bir üretim tesisinde çalışan beş güvenlik personeli (Ali, Burak, Can, Deniz, Emre), sırasıyla ve ara vermeksizin nöbet tutmaktadır. Nöbet süreleri aşağıdaki gibidir:

* Ali: 3 saat
* Burak: 5 saat
* Can: 4 saat
* Deniz: 6 saat
* Emre: 2 saat

Nöbet döngüsü Emre'den sonra tekrar Ali ile devam etmektedir. Nöbet çizelgesi Pazartesi günü saat 09.00'da Ali ile başladığına göre, Deniz 4. nöbetini hangi gün ve saatte tamamlar?

Perşembe 09.00

Perşembe 15.00

Perşembe 17.00

Cuma 15.00

Cuma 17.00

Show answer & explanation

Answer: Perşembe 15.00

Answer

Deniz 4. nöbetini Perşembe günü saat 15.00'te tamamlar.

Deniz'in 4. nöbetini tamamlaması için önce 3 tam döngünün bitmesi (3 × 20 = 60 saat) ve ardından 4. döngüde Deniz'in sırasının bitmesi (18 saat) gerekir. Toplam süre 78 saattir. Pazartesi 09.00'a 78 saat (3 gün 6 saat) eklendiğinde Perşembe 15.00 bulunur.

Step-by-Step Solution

1

Bir tam döngünün süresini hesapla.

3 + 5 + 4 + 6 + 2 = 20 saat.

Her 20 saatte bir nöbet sırası başa (Ali'ye) döner.

2

Deniz'in bir döngü içinde nöbetini kaçıncı saatte tamamladığını bul.

Ali(3) + Burak(5) + Can(4) + Deniz(6) = 18. saat.

Deniz döngünün 12. saatinde başlar ve 18. saatinde bitirir.

3

Deniz'in 4. nöbetini tamamlaması için geçen toplam süreyi hesapla.

3 tam döngü + 1. döngüdeki bitiş süresi = 3 × 20 + 18 = 78 saat.

4. nöbet, 3 tam tur bittikten sonraki turda gerçekleşir.

4

Geçen 78 saati gün ve saat cinsine çevir.

78 saat = 3 gün + 6 saat (Çünkü 3 × 24 = 72, kalan 6).

Başlangıç zamanına eklemek için süreyi günlere bölmek gerekir.

5

Bulunan süreyi başlangıç zamanına ekle.

Pazartesi 09.00 + 3 gün = Perşembe 09.00. Üzerine 6 saat ekle: 09.00 + 6 = 15.00.

Sonuç Perşembe 15.00'tir.

Key Concept

Periyodik Durumlar ve Modüler Aritmetik Uygulamaları

Hints

1

Önce bir tam döngünün kaç saat sürdüğünü ve Deniz'in bu döngünün kaçıncı saatinde işini bitirdiğini hesaplayın.

2

Deniz'in 4. nöbetini tamamlaması için 3 tam döngü geçmeli, ardından 4. döngüde kendi sırasını tamamlamalıdır.

3

Toplam geçen süre: (3 × 20) + 18 = 78 saat. Bu süreyi 'gün + saat' olarak Pazartesi 09.00'a ekleyin.

Alternative Method

Toplam saat (78) üzerinden gitmek yerine her döngünün 24 saatten ne kadar eksik olduğuna bakılabilir. Döngü 20 saattir, yani her turda gün saati 4 saat geriye kayar (24-20=4). 4. turda Deniz'in bitişi normalde 18. saattir. Referans gün kaymalarını hesaplayarak da sonuca gidilebilir.

Estimated Time:2m 30s

Question 399Question →

Bir memur, aylık maaşının $\frac{1}{4}$ 'ünü ev kirasına, kalan maaşının $\frac{2}{5}$ 'ini mutfak masraflarına ve son durumda elinde kalan paranın $\frac{1}{3}$ 'ünü ise faturalara ayırmaktadır. Memurun tüm bu harcamalardan sonra geriye kalan parası, ev kirasına ayırdığı tutardan 600 TL fazla olduğuna göre, bu memurun aylık maaşı kaç TL'dir?

10000

10800

12000

14400

15000

Show answer & explanation

Answer: 12000

Answer

Memurun aylık maaşı 12000 TL'dir.

Soruda harcamalar ardışık olarak 'kalan para' üzerinden yapılmaktadır. Maaşa

x

dersek; önce

\frac{1}{4}x

harcanır, geriye

\frac{3}{4}x

kalır. Sonra bunun

\frac{2}{5}

'i harcanır, geriye

\frac{9}{20}x

kalır. En son bunun

\frac{1}{3}

'ü harcanır ve geriye

\frac{3}{10}x

kalır. Bu son kalan (

\frac{3}{10}x

) ile ilk harcama (

\frac{1}{4}x

) arasındaki fark 600 TL'dir. Bu denklem çözüldüğünde maaş 12000 TL bulunur.

Step-by-Step Solution

1

Maaşın tamamını temsil edecek bir değişken belirle.

Maaş =

x

olsun.

Bilinmeyen değeri bulmak için denklem kurmamız gerekmektedir.

2

Ev kirası harcamasını ve kalan parayı hesapla.

Kira =

\frac{1}{4}x

, Kalan =

\frac{3}{4}x

Maaşın 1/4'ü harcandığında geriye 3/4'ü kalır.

3

Kalan para üzerinden mutfak masrafını ve yeni kalanı hesapla.

Mutfak =

\frac{3}{4}x \cdot \frac{2}{5} = \frac{6}{20}x = \frac{3}{10}x

. Yeni Kalan =

\frac{3}{4}x - \frac{3}{10}x = \frac{15}{20}x - \frac{6}{20}x = \frac{9}{20}x

.

Problemde 'kalan maaşın' ifadesi geçtiği için işlem bir önceki adımın sonucu üzerinden yapılır.

4

Son kalan para üzerinden faturaları ve en son kalan parayı hesapla.

Fatura =

\frac{9}{20}x \cdot \frac{1}{3} = \frac{3}{20}x

. En Son Kalan =

\frac{9}{20}x - \frac{3}{20}x = \frac{6}{20}x = \frac{3}{10}x

.

Faturalar da son kalan paranın bir kesri olarak hesaplanır.

5

Verilen eşitliği kullanarak denklemi kur ve çöz.

\frac{3}{10}x - \frac{1}{4}x = 600 \Rightarrow \frac{6}{20}x - \frac{5}{20}x = 600 \Rightarrow \frac{1}{20}x = 600 \Rightarrow x = 12000

.

En son kalan paranın kiradan 600 TL fazla olduğu belirtilmiştir.

Key Concept

Ardışık Kesir Problemleri (Kalanın kesri)

Hints

1

Soruda 'kalanın' ifadesi geçtiği için her adımda elinizde kalan miktarı bulup, bir sonraki kesri bu yeni miktar ile çarpın.

2

Maaşın tamamına

x

demek yerine, paydaların (4, 5, 3) ortak katı olan bir sayı (örneğin

60k

) vererek işlem yaparsanız kesirlerle uğraşmaktan kurtulursunuz.

Alternative Method

Değer Verme Yöntemi: Maaşa paydaların EKOK'u olan

60k

diyelim.
1. Kira:

60k \cdot \frac{1}{4} = 15k

. (Kalan:

45k

)
2. Mutfak:

45k \cdot \frac{2}{5} = 18k

. (Kalan:

27k

)
3. Fatura:

27k \cdot \frac{1}{3} = 9k

. (Son Kalan:

18k

)
Denklem: Son Kalan (

18k

) - Kira (

15k

) = 600 TL

3k = 600 \Rightarrow k = 200

.
Maaş (

60k

) =

60 \cdot 200 = 12000

TL.

Estimated Time:2m 30s

Question 400Question →

Bir kurye, bir sokakta bulunan $1$ ’den $100$ ’e kadar ardışık olarak numaralandırılmış evlere paket teslimatı yapmaktadır. Kurye, ilk paketi $1$ numaralı eve teslim ettikten sonra diğer evleri şu kurala göre belirlemektedir:

* Bir sonraki ev, mevcut ev numarasından büyük olan en küçük asal sayı olmalıdır.
* Ondan sonraki ev, mevcut ev numarasından büyük olan en küçük tam kare sayı olmalıdır.

Kurye bu kuralı "bir asal sayı, bir tam kare sayı" şeklinde ardışık olarak takip ederek teslimata devam ettiğine göre, kuryenin paket teslim ettiği $10$ . evin numarası aşağıdakilerden hangisidir?

23

27

29

31

36

Show answer & explanation

Answer: 29

Answer

Kuryenin paket teslim ettiği 10. evin numarası 29'dur.

Doğru yanıt olan 29 numaralı ev, verilen kurye rotasındaki kurallara (Asal, Tam Kare, Asal...) sadık kalınarak 10. adımda ulaşılan geçerli ev numarasıdır. Sırasıyla evler şöyledir: 1, 2, 4, 5, 9, 11, 16, 17, 25 ve 29.

Step-by-Step Solution

1

Başlangıç noktasını ve ilk adımı belirle.

1. ev:

1

(Soruda verilen başlangıç değeri).

Örüntü bu numaradan itibaren başlayacaktır.

2

Kuralı uygulayarak 2. evi bul (Asal sayı adımı).

2. ev:

2

1'den büyük en küçük asal sayı 2'dir.

3

Kuralı uygulayarak 3. evi bul (Tam kare sayı adımı).

3. ev:

4

2'den büyük en küçük tam kare sayı

2^2 = 4

'tür.

4

Kuralı uygulayarak 4. evi bul (Asal sayı adımı).

4. ev:

5

4'ten büyük en küçük asal sayı 5'tir.

5

Kuralı uygulayarak 5. evi bul (Tam kare sayı adımı).

5. ev:

9

5'ten büyük en küçük tam kare sayı

3^2 = 9

'dur.

6

Kuralı uygulayarak 6. evi bul (Asal sayı adımı).

6. ev:

11

9'dan büyük en küçük asal sayı 11'dir.

7

Kuralı uygulayarak 7. evi bul (Tam kare sayı adımı).

7. ev:

16

11'den büyük en küçük tam kare sayı

4^2 = 16

'dır.

8

Kuralı uygulayarak 8. evi bul (Asal sayı adımı).

8. ev:

17

16'dan büyük en küçük asal sayı 17'dir.

9

Kuralı uygulayarak 9. evi bul (Tam kare sayı adımı).

9. ev:

25

17'den büyük en küçük tam kare sayı

5^2 = 25

'tir.

10

Kuralı uygulayarak 10. evi bul (Asal sayı adımı).

10. ev:

29

25'ten büyük en küçük asal sayı 29'dur.

Key Concept

Rutin olmayan problemlerde belirli bir kurala dayalı sayı dizilerini doğru takip etme ve temel sayı kümelerini (asal, tam kare) tanıma.

Hints

1

Örüntüye 1 numarasından başlayarak her adımda durulan evleri numaralandırarak bir liste oluşturun.

2

Çift numaralı adımlar (2, 4, 6, 8, 10) asal sayıları; tek numaralı adımlar (3, 5, 7, 9) ise tam kare sayıları temsil etmektedir (1 başlangıç hariç).

3

9. ev 25 numaralı evdir (bir tam kare). 10. ev ise 25'ten büyük olan en küçük asal sayı olmalıdır.

Practice More

Benzer bir soruyu 'tam kare' yerine 'küp sayılar' kullanarak çözmeyi deneyin.

Alternative Method

Örüntüyü gruplandırarak gidebilirsiniz: (1), (2-4), (5-9), (11-16), (17-25), (29-36). Her grup bir asal ve bir tam kareden oluşur. 10. terim 5. grubun ilk elemanı olan asal sayıdır.

Estimated Time:1m 30s

Answer

Step-by-Step Solution

Key Concept

Common Mistakes

Hints

Alternative Method

Answer

Step-by-Step Solution

Key Concept

Common Mistakes

Hints

Answer

Step-by-Step Solution

Key Concept

Common Mistakes

Hints

Practice More

Alternative Method

Answer

Step-by-Step Solution

Key Concept

Common Mistakes

Hints

Practice More

Alternative Method

Answer

Step-by-Step Solution

Key Concept

Common Mistakes

Hints

Practice More

Alternative Method

Answer

Step-by-Step Solution

Key Concept

Common Mistakes

Answer

Step-by-Step Solution

Key Concept

Common Mistakes

Hints

Practice More

Alternative Method

Answer

Step-by-Step Solution

Key Concept

Common Mistakes

Answer

Step-by-Step Solution

Key Concept

Common Mistakes

Hints

Practice More

Answer

Step-by-Step Solution

Key Concept

Common Mistakes

Hints

Practice More

Alternative Method

Answer

Step-by-Step Solution

Key Concept

Common Mistakes

Answer

Step-by-Step Solution

Key Concept

Common Mistakes

Hints

Practice More

Alternative Method

Answer

Step-by-Step Solution

Key Concept

Common Mistakes

Hints

Practice More

Alternative Method

Answer