Examkin

Temel Kavramlar ve Sayılar

301 questions

Question 181Question →

nn bir sayma sayısı olmak üzere; 11'den nn'ye kadar olan ardışık tam sayıların toplamı AA, 11'den nn'ye kadar olan ardışık tek tam sayıların toplamı BB ile gösterilmektedir.

A−B=72A - B = 72 olduğuna göre, nn'nin alabileceği değerlerin toplamı kaçtır?

Show answer & explanation

Answer: 33

Answer

nn'nin alabileceği değerler 16 ve 17 olduğundan, toplamları 33'tür.
Ardışık tam sayılar toplamından (AA) ardışık tek sayılar toplamı (BB) çıkarıldığında, geriye 11'den nn'ye kadar olan çift sayıların toplamı kalır. Çift sayıların toplamı k(k+1)=72k(k+1) = 72 formülüyle k=8k=8 bulunur. Bu durumda en büyük çift sayı 2k=162k=16'dır. Dizideki en büyük çift sayının 16 olması için nn sayısı 16 (çift durumda son terim) veya 17 (tek durumda son terim) olabilir. Bu iki değerin toplamı 16+17=3316+17=33'tür.

Step-by-Step Solution

1
A−BA - B ifadesinin anlamını belirle.
AA (tüm sayılar) eksi BB (tek sayılar), 11'den nn'ye kadar olan çift sayıların toplamını verir.
Bir sayı dizisinden tek sayıları çıkarırsanız geriye çift sayılar kalır.
2
Çift sayıların toplamı formülünü 7272'ye eşitle.
2+4+6+⋯+2k=k(k+1)=722 + 4 + 6 + \dots + 2k = k(k+1) = 72
2k2k son çift sayı olmak üzere, ardışık çift sayıların toplamı k(k+1)k(k+1) formülü ile bulunur.
3
kk değerini bul ve olası nn değerlerini analiz et.
k(k+1)=72⇒k=8k(k+1) = 72 \Rightarrow k=8. Bu durumda dizideki en büyük çift sayı 2k=162k = 16'dır.
8×9=728 \times 9 = 72 olduğundan k=8k=8 bulunur.
4
nn sayısının alabileceği değerleri tespit et.
En büyük çift sayı 16 olduğuna göre, nn sayısı 16 olabilir (son terim çifttir) veya 17 olabilir (son terim tektir, çiftler değişmez). Ancak n=18n=18 olamaz çünkü o zaman toplama 18 de eklenirdi.
n=16n=16 ise çiftler: 2,..,162,..,16. n=17n=17 ise çiftler yine 2,..,162,..,16. n=18n=18 olsaydı çiftler 2,..,182,..,18 olurdu.
5
Bulunan nn değerlerini topla.
16+17=3316 + 17 = 33.
Soruda olası değerlerin toplamı istenmiştir.

Key Concept

Ardışık Sayıların Toplamı ve Tek-Çift Sayı Analizi

Hints

1
AA (tüm sayılar) kümesinden BB (tek sayılar) kümesini çıkarırsanız, geriye hangi sayı türleri kalır?
2
Geriye kalanlar 11'den nn'ye kadar olan çift sayılardır. Ardışık çift sayıların toplamı k(k+1)k(k+1) formülü ile hesaplanır.
3
k(k+1)=72k(k+1)=72 eşitliğinden çift sayı adedini bulun. En büyük çift sayı 16 olmalıdır. nn sayısı 16 olduğunda en büyük çift sayı 16'dır, peki n=17n=17 olursa en büyük çift sayı değişir mi?

Practice More

Benzer mantıkla, A+BA+B toplamının verildiği ve nn'nin sorulduğu soruları inceleyebilirsiniz.

Alternative Method

Uzun yol: nn çift (2k2k) ve nn tek (2k−12k-1) durumları için AA ve BB toplam formüllerini ayrı ayrı yazıp A−B=72A-B=72 denklemini iki kez çözerek de aynı sonuca ulaşılabilir.
Estimated Time:2m 30s
Question 182Question →

x,yx, y ve zz birer tam sayı olmak üzere,

I. x+yx + y
II. x⋅y+zx \cdot y + z

ifadelerinin her ikisinin de tek sayı olduğu bilinmektedir.

Buna göre, aşağıdakilerden hangisi daima tek sayıdır?

Show answer & explanation

Answer: (x+y)⋅z(x + y) \cdot z

Answer

Daima tek sayı olan ifade (x+y)⋅z(x + y) \cdot z seçeneğidir.
Soruda verilen bilgilere göre x+yx+y toplamı tektir ve zz sayısı tektir. İki tek sayının çarpımı ((x+y)⋅z(x+y) \cdot z) daima tek sayı sonucunu verir.

Step-by-Step Solution

1
Birinci öncül olan x+yx + y ifadesini analiz et.
xx ve yy zıt karakterlidir (Biri tek, biri çift).
İki tam sayının toplamı tek ise, sayılardan biri Tek (T), diğeri Çift (Ç) olmalıdır.
2
xx ve yy zıt karakterli olduğu için çarpımları olan x⋅yx \cdot y değerini belirle.
x⋅yx \cdot y kesinlikle Çift sayıdır.
Çarpanlardan en az biri çift ise çarpım daima çifttir.
3
İkinci öncül olan x⋅y+zx \cdot y + z ifadesini analiz et.
zz kesinlikle Tek sayıdır.
Çift + zz = Tek eşitliğinin sağlanması için zz tek sayı olmalıdır.
4
Bulunan kesin bilgileri seçeneklerde test et.
(x+y)(x + y) Tektir (Verilen). zz Tektir (Bulunan). Çarpımları Tek olur.
Tek ⋅\cdot Tek = Tek kuralı gereği sonuç daima tektir.

Key Concept

Tek ve Çift Sayılarda İşlemler
Question 183Question →

Gerçel sayılar kümesinde tanımlı ve sıfırdan farklı a,ba, b ve cc sayıları için aşağıdaki eşitsizlikler sağlanmaktadır:

a2⋅c<0 a^2 \cdot c < 0

a⋅b>0 a \cdot b > 0

a+c>0 a + c > 0

b−a<c b - a < c

Buna göre, a,ba, b ve cc sayılarının doğru sıralaması aşağıdakilerden hangisidir?

Show answer & explanation

Answer: c < b < a

Answer

Doğru sıralama c<b<ac < b < a şeklindedir.
Verilen eşitsizlikler adım adım çözüldüğünde; cc'nin negatif, aa ve bb'nin pozitif olduğu görülür. b−a<cb - a < c eşitsizliği düzenlendiğinde b<ab < a sonucu çıkar. Negatif sayı en küçük olacağından doğru sıralama c<b<ac < b < a olur.

Step-by-Step Solution

1
Birinci eşitsizlikten c'nin işaretini belirle.
a2a^2 daima pozitiftir. Sonucun negatif olması için c<0c < 0 olmalıdır.
Çift kuvvetli ifadeler (sıfır hariç) daima pozitiftir.
2
Üçüncü eşitsizlikten a'nın işaretini ve büyüklüğünü belirle.
a+c>0a + c > 0 ise a>−ca > -c olur. cc negatif olduğundan, −c-c pozitiftir. Bu durumda aa mutlaka pozitif (a>0a > 0) ve mutlak değerce cc'den büyüktür (∣a∣>∣c∣|a| > |c|).
Toplamın pozitif olması için pozitif sayının mutlak değerce negatif sayıdan büyük olması gerekir.
3
İkinci eşitsizlikten b'nin işaretini belirle.
a⋅b>0a \cdot b > 0 ve a>0a > 0 olduğundan, bb de pozitif (b>0b > 0) olmalıdır.
Çarpımları pozitif olan iki sayının işareti aynıdır.
4
Dördüncü eşitsizliği kullanarak a ve b'yi sırala.
b−a<cb - a < c eşitsizliğinde aa'yı karşıya atarsak b<a+cb < a + c olur. cc negatif bir sayı olduğundan (c<0c < 0), aa sayısına negatif bir sayı eklenmektedir. Bu durumda a+c<aa + c < a olur. Dolayısıyla b<a+c<ab < a + c < a zincirinden b<ab < a elde edilir.
Eşitsizlik özellikleri kullanılarak pozitif sayıların kendi aralarındaki sıralaması bulunur.
5
Tüm bulguları birleştirerek sıralamayı oluştur.
cc negatif, aa ve bb pozitiftir, yani en küçük cc'dir (c<bc < b ve c<ac < a). Adım 4'ten b<ab < a olduğunu bulduk. Sonuç: c<b<ac < b < a.
Negatif sayılar pozitif sayılardan küçüktür.

Key Concept

Eşitsizlik Sistemleri ve İşaret İncelemesi

Hints

1
Önce a2a^2'nin işaretinden yola çıkarak cc'nin işaretini belirleyin.
2
cc negatif bir sayı olduğuna göre, a+c>0a+c > 0 olması aa hakkında ne söyler? Mutlak değerce hangisi büyüktür?
3
b−a<cb - a < c eşitsizliğinde aa'yı sağ tarafa atın: b<a+cb < a + c. cc'nin negatif olduğunu hatırlayarak a+ca+c ile aa'yı karşılaştırın.

Practice More

Benzer bir mantıkla kurulan, mutlak değerli eşitsizlik sıralama sorularını inceleyebilirsiniz.
Estimated Time:2m 0s
Question 184Question →

Bir market görevlisi, elindeki konserve kutularını vitrine belirli bir kurala göre dizmektedir. En üst sırada 11 kutu, hemen altındaki sırada 33 kutu, onun altındakinde 55 kutu olacak şekilde, her sırada kutu sayısını 22 artırarak aşağıya doğru sıralama yapmaktadır. Bu vitrin düzenlemesi toplam 88 sıradan oluştuğuna göre, vitrinde kullanılan toplam konserve kutusu sayısı kaçtır?

Show answer & explanation

Answer: 64

Answer

Toplam kutu sayısı 64'tür.
Verilen örüntü 1,3,5,…1, 3, 5, \dots şeklinde ilerleyen ardışık tek sayılardır. 1'den başlayan ilk nn tane ardışık tek sayının toplamı n2n^2 formülü ile hesaplanır. Burada sıra sayısı n=8n=8 olduğundan, toplam kutu sayısı 82=648^2 = 64 olarak bulunur. Alternatif olarak 8 sıra için sayılar tek tek yazılıp toplanabilir: 1+3+5+7+9+11+13+15=641+3+5+7+9+11+13+15 = 64.

Step-by-Step Solution

1
Kutu sayılarının oluşturduğu örüntüyü belirle.
1. sıra: 1 kutu, 2. sıra: 3 kutu, 3. sıra: 5 kutu... Bu, ardışık tek sayılar dizisidir (1,3,5,…1, 3, 5, \dots).
Soruda her sırada sayının 2 arttığı belirtilmiştir.
2
Toplam sıra sayısı için terimlerin toplamını hesapla.
Yöntem 1 (Formül): 1'den başlayan nn tane ardışık tek sayının toplamı n2n^2'dir. Burada n=8n=8 olduğundan, Toplam = 82=648^2 = 64.
Ardışık tek sayıların toplamı pratik olarak terim sayısının karesi ile bulunur.
3
Alternatif olarak terimleri tek tek yazıp topla.
1+3+5+7+9+11+13+15=641 + 3 + 5 + 7 + 9 + 11 + 13 + 15 = 64.
Formül hatırlanmazsa 8 terim manuel olarak toplanabilir.

Key Concept

Ardışık Tek Sayıların Toplamı

Hints

1
Kutu sayıları 1, 3, 5 şeklinde ilerlemektedir. Bu sayıların ortak özelliği nedir?
2
Bu bir ardışık tek sayılar dizisidir. 8. sıraya kadar olan sayıları yazıp toplayabilirsiniz.
3
1'den başlayan nn tane ardışık tek sayının toplamı n2n^2 formülü ile kısa yoldan bulunabilir.

Practice More

Benzer bir mantıkla, çift sayılarla (2, 4, 6...) oluşturulan bir dizinin toplamını soran sorular çözülebilir.

Alternative Method

Formül hatırlanmıyorsa, ortalama değer üzerinden gidilebilir. İlk terim 1, son terim 1+(7×2)=151 + (7 \times 2) = 15. Ortalama 1+152=8\frac{1+15}{2} = 8. Terim sayısı da 8 olduğu için Toplam = 8×8=648 \times 8 = 64.
Estimated Time:45s
Question 185Question →

a,ba, b ve cc pozitif tam sayılar olmak üzere,

3a+4b+25c−1=a+1 \frac{3a + 4b + 2}{5c - 1} = a + 1


eşitliği sağlanmaktadır.

Buna göre, aşağıdakilerden hangisi daima çift sayıdır?

Show answer & explanation

Answer: a⋅ca \cdot c

Answer

Daima çift olan ifade a⋅ca \cdot c çarpımıdır.
Yapılan analiz sonucunda aa sayısının kesinlikle çift, cc sayısının ise kesinlikle tek olduğu bulunmuştur (bb belirsizdir). Çift bir sayı ile herhangi bir tam sayının çarpımı daima çift olacağından, a⋅ca \cdot c ifadesi daima çift sayıdır.

Step-by-Step Solution

1
Eşitliği düzenle ve çarpım formuna getir.
3a+4b+2=(a+1)⋅(5c−1)3a + 4b + 2 = (a + 1) \cdot (5c - 1)
Bölüm durumundaki ifadeyi karşıya atarak tam sayı analizi yapmak gerekir.
2
Eşitliğin sol tarafının (LHS) tek-çift durumunu analiz et.
3a+4b+23a + 4b + 2 ifadesinde 4b4b ve 22 çifttir. 3a3a'nın karakteri aa ile aynıdır. Sonuç: aa Tek ise sol taraf Tek, aa Çift ise sol taraf Çifttir.
Çift sayılarla toplama pariteyi değiştirmez, katsayısı tek olan terim (3a3a) belirleyicidir.
3
aa'nın Tek olduğu durumu varsayarak çelişki ara.
Eğer aa Tek ise: Sol Taraf = Tek. Sağ Taraf (a+1)(5c−1)=(Tek+1)(… )=(C\cift)(… )=C\cift(a+1)(5c-1) = (Tek+1)(\dots) = (Çift)(\dots) = Çift.
Eşitliğin bir tarafı Tek, diğer tarafı Çift olamaz. Bu nedenle aa Tek olamaz.
4
aa'nın Çift olduğu durumu kesinleştir ve cc'yi analiz et.
aa Çifttir. Eşitlik sağlanması için Sağ Tarafın da Çift olması gerekmez (zaten (a+1)(a+1) Tektir). Ancak sol taraf Çift olduğu için sağ taraf Çift olmalıdır: (Odd)(5c−1)=C\cift  ⟹  5c−1(Odd)(5c-1) = Çift \implies 5c-1 Çift olmalıdır.
Tek sayı ile çarpılan bir sayının sonucunun Çift olması için o sayının Çift olması gerekir.
5
cc'nin paritesini belirle.
5c−15c - 1 Çift ise, 5c5c Tek olmalıdır. Bu durumda cc Tek sayıdır.
Tek sayıdan 1 (tek) çıkarılınca çift kalır. 5 ile çarpımı tek olan sayı tektir.
6
Seçenekleri aa=Çift, cc=Tek bilgisiyle kontrol et.
a⋅c=C\cift⋅Tek=C\cifta \cdot c = Çift \cdot Tek = Çift.
Çift bir sayının herhangi bir tam sayı ile çarpımı daima çifttir.

Key Concept

Tam sayıların paritesi analiz edilirken 'olmayana ergi' (contradiction) yöntemi ve çarpım kuralları kullanılır.
Question 186Question →
a,ba, b ve cc pozitif tam sayılar olmak üzere,
I.
ab+ba a^b + b^a

ifadesinin bir tek sayı,
II.
a⋅c+b a \cdot c + b

ifadesinin ise bir çift sayı olduğu bilinmektedir.

Buna göre, aşağıdakilerden hangisi daima çift sayıdır?

Show answer & explanation

Answer: b⋅(a+c)b \cdot (a + c)

Answer

b⋅(a+c)b \cdot (a + c) ifadesi daima çifttir.
Verilen bilgiler ışığında bb sayısının kesinlikle çift olduğu belirlenmiştir. Bir çarpma işleminde çarpanlardan biri çift ise (bb), sonuç diğer çarpanlara bakılmaksızın daima çifttir. Bu nedenle b⋅(a+c)b \cdot (a + c) ifadesi kesinlikle çift sayıdır.

Step-by-Step Solution

1
I. öncülü analiz et (ab+baa^b + b^a tek sayı).
aa ve bb zıt işaretlidir (Biri tek, biri çift).
Pozitif tam sayılarda üs alma işlemi tek/çiftliği değiştirmez. Toplamın tek olması için terimlerden biri tek, diğeri çift olmalıdır.
2
II. öncülü analiz et (a⋅c+ba \cdot c + b çift sayı).
aa tek, bb çift ve cc çift sayıdır.
Eğer aa çift olsaydı (bb tek), C\cift⋅c+Tek=TekÇift \cdot c + Tek = Tek olurdu (çelişki). Bu yüzden aa tek, bb çift olmalıdır. Tek⋅c+C\cift=C\ciftTek \cdot c + Çift = Çift olması için cc çift olmalıdır.
3
Bulunan değerleri (a=Tek,b=C\cift,c=C\cifta=Tek, b=Çift, c=Çift) seçeneklerde dene.
b⋅(a+c)=C\cift⋅(Tek+C\cift)=C\cift⋅Tek=C\ciftb \cdot (a + c) = Çift \cdot (Tek + Çift) = Çift \cdot Tek = Çift
Çift bir sayı ile herhangi bir tam sayının çarpımı daima çifttir.

Key Concept

Tek ve Çift Sayılarla İşlemler
Question 187Question →

Pozitif tam sayılardan oluşan ve elemanlarının toplamı 150150 olan ardışık sayı dizileri oluşturuluyor. Bu koşulu sağlayan ve en fazla sayıda terimden oluşan dizinin en küçük terimi kaçtır?

Show answer & explanation

Answer: 3

Answer

En fazla sayıda terimden oluşan dizinin en küçük elemanı 3'tür.
Toplamları 150 olan ardışık pozitif tam sayılar için k(2a+k−1)=300k(2a+k-1)=300 eşitliği sağlanmalıdır. a≥1a \ge 1 koşulunu sağlayan en büyük kk değeri 15'tir. Bu durumda en küçük terim a=3a=3 bulunur.

Step-by-Step Solution

1
Ardışık sayıların toplam formülünü kur.
Dizi aa sayısından başlasın ve kk tane terim içersin. Toplam formülü: k2(2a+k−1)=150\frac{k}{2}(2a + k - 1) = 150.
Ardışık sayıların toplamı, terim sayısı ile ortanca terimin çarpımına eşittir.
2
Denklemi düzenle ve çarpanları analiz et.
k(2a+k−1)=300k(2a + k - 1) = 300. Burada kk (terim sayısı) ve (2a+k−1)(2a + k - 1) sayıları 300'ün çarpanlarıdır.
Bilinmeyenleri (a ve k) bulmak için tam sayı çarpanlarını incelemeliyiz.
3
kk değerini maksimize etmeye çalış (çünkü en fazla terim isteniyor).
2a+k−1>k2a + k - 1 > k olmalıdır (çünkü a≥1a \ge 1). Yani 300=k×X300 = k \times X ise X>kX > k olmalıdır. k2<300k^2 < 300 olduğundan k<17.3k < 17.3 olur.
Pozitif tam sayı şartı (a≥1a \ge 1) k'nın alabileceği üst sınırı belirler.
4
Olası en büyük kk değerlerini dene.
k=15k=15 için: 15×(2a+14)=300  ⟹  2a+14=20  ⟹  2a=6  ⟹  a=315 \times (2a + 14) = 300 \implies 2a + 14 = 20 \implies 2a = 6 \implies a = 3.
En büyük kk değeri 15 olduğunda denklem tam sayı çözümü vermektedir.

Key Concept

Ardışık sayıların toplamı formülü ve çarpan analizi.
Question 188Question →
a,ba, b ve cc birer tam sayı olmak üzere,
(3a+b)⋅(b+5c) (3a + b) \cdot (b + 5c)

ifadesinin bir tek sayı olduğu bilinmektedir. Buna göre aşağıdakilerden hangisi daima çift sayıdır?
Show answer & explanation

Answer: a+ca + c

Answer

a+ca + c ifadesi daima çift sayıdır.
Verilen çarpımın tek sayı olması için (3a+b)(3a+b) ve (b+5c)(b+5c) çarpanlarının her ikisi de tek olmalıdır. Katsayılar tek (3 ve 5) olduğu için pariteleri etkilemez; yani (a+b)(a+b) tek ve (b+c)(b+c) tek olmalıdır. Toplamın tek olması için toplanan sayıların biri tek, biri çift olmalıdır. Eğer bb çift ise, hem aa hem de cc tek olmalıdır (Durum 1). Eğer bb tek ise, hem aa hem de cc çift olmalıdır (Durum 2). Her iki durumda da aa ve cc aynı türden (pariteden) sayılardır. Aynı tür iki sayının toplamı (a+ca+c) daima çift sayıdır.

Step-by-Step Solution

1
Verilen ifadenin tek/çift durumunu analiz et.
Çarpım (3a+b)⋅(b+5c)(3a + b) \cdot (b + 5c) tek sayı ise, çarpanların HER İKİSİ de tek sayı olmalıdır.
Tek sayıların çarpımı sadece tek ×\times tek durumunda tek olur.
2
Katsayıların etkisini sadeleştirerek a,b,ca, b, c arasındaki ilişkiyi bul.
3a3a ile aa, 5c5c ile cc aynı karakterdedir. Yani (a+b)(a+b) tek ve (b+c)(b+c) tektir.
Tek katsayılar (3 ve 5) sayının tekliğini/çiftliğini değiştirmez.
3
Olası durumları tablo halinde çıkar.
İki sayının toplamı tek ise, biri tek diğeri çifttir. Olası durumlar: 1) bb Çift ise →\rightarrow aa Tek, cc Tek. 2) bb Tek ise →\rightarrow aa Çift, cc Çift.
Toplamın tek olması için terimlerin zıt karakterli olması gerekir.
4
Seçenekleri her iki durum için de test et.
Her iki durumda da aa ve cc aynı karakterdedir (İkisi de Tek veya İkisi de Çift). Aynı tür sayıların toplamı (a+ca+c) daima ÇİFTTİR.
Tek+Tek=Çift ve Çift+Çift=Çift kuralı.

Key Concept

İki sayının toplamı tek ise sayılar zıt karakterlidir (Biri tek, biri çift). Çarpım tek ise tüm çarpanlar tektir.

Hints

1
Çarpımın sonucu tek sayı olduğuna göre, çarpanların her biri ayrı ayrı tek sayı olmalıdır.
2
3a+b3a+b ve b+5cb+5c ifadelerinin her ikisi de tektir. Katsayıları (3 ve 5) yok sayarak a+ba+b ve b+cb+c toplamlarının tek olduğunu düşünebilirsiniz.
3
a+ba+b tek ise biri tek biri çifttir. bb çift olursa aa ne olur? bb tek olursa aa ne olur? Aynı analizi cc için de yapın.
Estimated Time:2m 30s
Question 189Question →

Ardışık 77 tane tek tam sayının toplamı, bu sayıların en büyüğünün 55 katından 1212 fazladır. Buna göre, bu sayıların en küçüğü kaçtır?

Show answer & explanation

Answer: 15

Answer

Ardışık yedi tek tam sayının en küçüğü 15 olarak bulunur.
Ardışık yedi tek sayı nn ile başlayıp n+12n+12 ile bittiğinde, bu sayıların toplamı 7n+427n + 42 olur. Soruda verilen 'en büyüğünün 5 katından 12 fazla' ifadesi 5(n+12)+125(n+12) + 12 olarak yazılır. Bu iki ifade birbirine eşitlendiğinde 7n+42=5n+727n + 42 = 5n + 72 denklemi elde edilir. Buradan 2n=302n = 30 ve dolayısıyla n=15n = 15 sonucuna varılır.

Step-by-Step Solution

1
Ardışık tek sayıları temsil eden bir değişken belirleme.
En küçük sayı nn olsun. Diğer sayılar: n+2,n+4,n+6,n+8,n+10,n+12n+2, n+4, n+6, n+8, n+10, n+12 olur.
Ardışık tek sayılar arasındaki fark her zaman 22'dir.
2
Sayıların toplamını hesaplama.
n+(n+2)+(n+4)+(n+6)+(n+8)+(n+10)+(n+12)=7n+42n + (n+2) + (n+4) + (n+6) + (n+8) + (n+10) + (n+12) = 7n + 42
Sorudaki ilk koşul toplam üzerinden kurulmuştur.
3
Sözel ifadeyi denkleme dökme.
7n+42=5(n+12)+127n + 42 = 5(n+12) + 12
Toplamın, en büyük sayının (n+12n+12) 55 katının 1212 fazlasına eşit olduğu belirtilmiştir.
4
Denklemi çözme.
7n+42=5n+60+12⇒2n=30⇒n=157n + 42 = 5n + 60 + 12 \Rightarrow 2n = 30 \Rightarrow n = 15
Değişkeni yalnız bırakarak en küçük sayıya ulaşılır.

Key Concept

Ardışık tek sayıların genel terimlerle (n,n+2,…n, n+2, \dots) ifade edilerek cebirsel denklemlere dönüştürülmesi.

Hints

1
Ardışık tek sayılar arasındaki farkın 22 olduğunu hatırlayın. En küçüğüne nn derseniz, sonuncusu kaç olur?
2
77 sayının toplamı, ortanca sayının 77 katına eşittir. Bu bilgiyi kullanarak toplamı daha hızlı ifade edebilirsiniz.
3
Denklemi kurduğunuzda: 7×Ortanca=5×(Ortanca+6)+127 \times \text{Ortanca} = 5 \times (\text{Ortanca} + 6) + 12 şeklinde bir yapı elde edersiniz.

Practice More

Ardışık çift sayılar içeren ve oran-orantı mantığıyla birleştirilmiş soruları çözerek pratik yapabilirsiniz.

Alternative Method

Ortanca sayıya xx diyelim. Sayılar x−6,x−4,x−2,x,x+2,x+4,x+6x-6, x-4, x-2, x, x+2, x+4, x+6 olur. Toplamları 7x7x yapar. En büyük sayı x+6x+6'dır. Denklem: 7x=5(x+6)+12⇒7x=5x+30+12⇒2x=42⇒x=217x = 5(x+6) + 12 \Rightarrow 7x = 5x + 30 + 12 \Rightarrow 2x = 42 \Rightarrow x = 21. En küçük sayı x−6x-6 olduğu için 21−6=1521-6=15 bulunur.
Estimated Time:1m 30s
Question 190Question →
x,yx, y ve zz ardışık tek doğal sayılar ve x<y<zx < y < z olmak üzere,
(1−2x)⋅(1−2y)⋅(1−2z)=1113 \left(1 - \frac{2}{x}\right) \cdot \left(1 - \frac{2}{y}\right) \cdot \left(1 - \frac{2}{z}\right) = \frac{11}{13}

eşitliği veriliyor.

Buna göre x+zx + z toplamı kaçtır?

Show answer & explanation

Answer: 74

Answer

Doğru cevap 74'tür.
Ardışık tek sayılar arasındaki fark 2 olduğu için y=x+2y=x+2 ve z=y+2z=y+2 eşitlikleri kullanılır. Bu sayede verilen çarpım ifadesindeki paylar ve paydalar birbirini sadeleştirir (teleskopik özellik). Geriye kalan x−2z=1113\frac{x-2}{z} = \frac{11}{13} denklemi çözüldüğünde x=35x=35 ve z=39z=39 bulunur. İstenen toplam 35+39=7435+39=74 değerine eşittir.

Step-by-Step Solution

1
Verilen çarpma işlemindeki parantez içlerini düzenle.
x−2x⋅y−2y⋅z−2z=1113\frac{x-2}{x} \cdot \frac{y-2}{y} \cdot \frac{z-2}{z} = \frac{11}{13}
Kesirli ifadelerle çarpma yapabilmek için payda eşitlemesi yapılır.
2
Ardışık tek sayıların özelliklerini (y=x+2y = x+2 ve z=y+2z = y+2) kullanarak payları sadeleştir.
y−2=xy-2 = x ve z−2=yz-2 = y olduğundan ifade:
x−2x⋅xy⋅yz=1113\frac{x-2}{x} \cdot \frac{x}{y} \cdot \frac{y}{z} = \frac{11}{13}
Ardışık tek sayılar arasındaki fark 2'dir, bu ilişki sadeleştirme sağlar.
3
Çapraz sadeleştirmeleri yap ve denklemi kur.
x−2z=1113\frac{x-2}{z} = \frac{11}{13}
x ve y terimleri birbirini götürür.
4
zz yerine x+4x+4 yazarak denklemi çöz.
x−2x+4=1113⇒13(x−2)=11(x+4)⇒13x−26=11x+44⇒2x=70⇒x=35\frac{x-2}{x+4} = \frac{11}{13} \Rightarrow 13(x-2) = 11(x+4) \Rightarrow 13x - 26 = 11x + 44 \Rightarrow 2x = 70 \Rightarrow x = 35
Tek bilinmeyenli denklemden en küçük sayıyı bulmak için.
5
xx ve zz değerlerini bulup topla.
x=35x = 35 ise z=x+4=39z = x + 4 = 39. Toplam: 35+39=7435 + 39 = 74.
Soruda istenen nihai değerin hesaplanması.

Key Concept

Ardışık sayıların cebirsel temsili ve rasyonel denklemlerde sadeleştirme (teleskopik çarpım).

Hints

1
Parantez içindeki çıkarma işlemlerini yaparak paydaları eşitleyin.
2
Ardışık tek sayılar oldukları için yy yerine x+2x+2, zz yerine x+4x+4 yazmayı deneyin; payların sadeleştiğini göreceksiniz.
3
İşlemler sonucunda x−2z=1113\frac{x-2}{z} = \frac{11}{13} eşitliğini elde edeceksiniz. Burada zz yerine x+4x+4 yazarak xx'i bulun.

Alternative Method

Denklem kurmak yerine şıklardan veya değer vererek gitmek mümkündür ancak sayılar büyük olduğu için zaman alıcı olabilir. x−2z=1113\frac{x-2}{z} = \frac{11}{13} oranından x−2x-2 sayısının 11'in katı olması gerektiği (x=13,24,35...x=13, 24, 35...) düşünülerek deneme yapılabilir.
Estimated Time:2m 30s
Question 191Question →

a,ba, b ve cc birer tam sayı olmak üzere,

a2⋅b+3a2=c3+1\frac{a^2 \cdot b + 3a}{2} = c^3 + 1


eşitliği sağlanmaktadır. Buna göre aşağıdakilerden hangisi kesinlikle doğrudur?
Show answer & explanation

Answer: a . (b + 1) çift sayıdır

Answer

a . (b + 1) ifadesi kesinlikle çift sayıdır.
Verilen eşitlikten a(ab+3)a(ab+3) ifadesinin çift sayı olduğu anlaşılır. Bu durumda iki olasılık doğar: Ya aa çift sayıdır ya da aa tek sayı ise bb de tek sayı olmak zorundadır. Doğru seçenek olan ifade, a(b+1)a(b+1) veya a+aba + ab şeklinde yazılabilir. aa çift ise sonuç çifttir. aa tek ise bb de tek olduğundan (b+1)(b+1) çift olur ve çarpım yine çift olur. Her iki durumda da sonuç değişmez.

Step-by-Step Solution

1
Eşitlikteki kesirli ifadeyi düzenle
a2⋅b+3a=2(c3+1)a^2 \cdot b + 3a = 2(c^3 + 1)
Bölüm durumundaki 2'yi karşıya atarak ifadenin sağ tarafının çift sayı olduğunu belirlemek için.
2
Eşitliğin sağ ve sol tarafının tek-çift durumunu incele
Sağ taraf 2(c3+1)2(c^3 + 1) olduğundan daima ÇİFTtir. Dolayısıyla sol taraf a(ab+3)a(ab + 3) de ÇİFT olmalıdır.
Eşitliğin sağlanması için her iki tarafın paritesinin (tek/çift) aynı olması gerekir.
3
Sol tarafın çarpanlarını analiz ederek olası durumları belirle
a(ab+3)a(ab + 3) çarpımı çifttir. İki durum vardır:
1. Durum: aa ÇİFTtir. (Bu durumda bb tek veya çift olabilir)
2. Durum: aa TEKtir. O zaman (ab+3)(ab+3) çift olmalıdır. ⇒ab\Rightarrow ab tek olmalıdır ⇒a\Rightarrow a ve bb ikisi de TEK olmalıdır.
Çarpım sonucunun çift olması için çarpanlardan en az biri çift olmalıdır.
4
Seçenekleri bu durumlara göre test et
Geçerli senaryolar: (aa=Çift, bb=Herhangi) veya (aa=Tek, bb=Tek).
Bu iki senaryoda da a(b+1)a(b+1) ifadesi incelenirse:
- aa çift ise: Çift ×\times (...) = ÇİFT
- aa tek ise (bb de tektir): Tek ×\times (Tek+1) = Tek ×\times Çift = ÇİFT
Kesinlikle doğru olan seçenek her iki geçerli senaryoyu da sağlamalıdır.

Key Concept

Teklik ve çiftlik analizinde, bir çarpım sonucu çift ise çarpanlardan en az biri çifttir; tek ise tüm çarpanlar tektir. Kesinlik sorularında tüm olası durumlar test edilmelidir.

Hints

1
İçler dışlar çarpımı yaparak paydadaki 2'den kurtulun ve eşitliğin sağ tarafının tek mi çift mi olduğunu belirleyin.
2
Sol tarafı paranteze alarak a(ab+3)a(ab+3) şeklinde yazın. Çarpımın sonucu çift ise, çarpanlardan en az birinin çift olması gerekir.
3
İki ihtimal vardır: aa çift olabilir, veya aa tek ise bb mutlaka tek olmalıdır. Seçenekleri bu iki duruma göre test edin.

Practice More

Tek ve çift sayılarla ilgili 'Daima Doğrudur' sorularında üslü ifadelerin taban paritesini nasıl etkilediği üzerine pratik yapın.

Alternative Method

Değer verme yöntemi: c=0c=0 için sağ taraf 2 olur. a(ab+3)=2a(ab+3)=2 eşitliğini sağlayan tam sayıları deneyerek (örneğin a=1,b=−1a=1, b=-1 veya a=2,b=−1a=2, b=-1) seçenekleri eleyebilirsiniz.
Estimated Time:2m 0s
Question 192Question →

xx ve yy gerçel sayıları için; x⋅yx \cdot y çarpımının bir rasyonel sayı, x+yx + y toplamının ise bir irrasyonel sayı olduğu bilinmektedir.

Buna göre, aşağıdakilerden hangisi her zaman doğrudur?

Show answer & explanation

Answer: x rasyonel ise y irrasyoneldir.

Answer

x rasyonel ise y irrasyoneldir
Soruda verilen iki koşul vardır: çarpım rasyonel (QQ), toplam irrasyonel (Q′Q'). Eğer xx bir rasyonel sayı ise, toplamın (x+yx+y) irrasyonel olabilmesi için yy mutlaka irrasyonel olmalıdır (Çünkü Rasyonel + Rasyonel = Rasyonel olurdu). Bu durumda xx rasyonel, yy irrasyoneldir. Çarpımlarının (x⋅yx \cdot y) rasyonel olabilmesi için ise rasyonel olan çarpanın mutlaka 0 olması gerekir (0 hariç rasyonel ×\times irrasyonel = irrasyoneldir). Dolayısıyla x=0x=0 ve yy irrasyonel olduğunda önerme her zaman doğrudur.

Step-by-Step Solution

1
Verilen koşulları sağlayan olası (x, y) ikililerini analiz et.
Durum 1: Her ikisi de irrasyonel (Örn: x=2,y=2→x⋅y=2∈Q,x+y=22∈Q′x=\sqrt{2}, y=\sqrt{2} \rightarrow x \cdot y=2 \in Q, x+y=2\sqrt{2} \in Q')
Durum 2: Biri 0 (rasyonel), diğeri irrasyonel (Örn: x=0,y=2→x⋅y=0∈Q,x+y=2∈Q′x=0, y=\sqrt{2} \rightarrow x \cdot y=0 \in Q, x+y=\sqrt{2} \in Q')
Çarpımın rasyonel olması için ya birbirini kökten kurtarmalılar ya da biri 0 olmalıdır.
2
Seçenekleri bu durumlara göre test et.
A seçeneği Durum 2'de yanlıştır (x=0 rasyoneldir).
Her zaman doğru olması için tüm durumlarda geçerli olmalıdır.
3
Doğru seçeneği mantıksal çıkarımla kanıtla.
Eğer xx rasyonel ise, x+yx+y'nin irrasyonel olması için yy KESİNLİKLE irrasyonel olmalıdır. (Rasyonel + İrrasyonel = İrrasyonel). Ayrıca xx rasyonel ise, çarpımın rasyonel kalması için x=0x=0 olmak zorundadır (çünkü yy irrasyoneldir). x=0x=0 ve y=2y=\sqrt{2} durumu koşulları sağlar.
Rasyonel sayılar toplama işlemine göre kapalıdır; bir rasyonel ile bir rasyonelin toplamı irrasyonel olamaz.

Key Concept

Rasyonel ve İrrasyonel Sayıların İşlem Özellikleri

Hints

1
0 sayısının rasyonel bir sayı olduğunu ve çarpma işlemindeki etkisini düşünün.
2
Rasyonel bir sayı ile irrasyonel bir sayının toplamı her zaman irrasyoneldir.
Estimated Time:2m 0s
Question 193Question →

xx ve yy gerçel sayıları için x<0<yx < 0 < y eşitsizliği veriliyor.

Buna göre, aşağıdakilerden hangisinin sonucu kesinlikle pozitiftir?

Show answer & explanation

Answer: y−xy - x

Answer

y−xy - x ifadesi kesinlikle pozitiftir.
Verilen x<0<yx < 0 < y eşitsizliğine göre xx negatif, yy pozitiftir. İstenen durum sonucun kesinlikle pozitif olmasıdır. y−xy - x ifadesinde, pozitif bir sayıdan negatif bir sayı çıkarılmaktadır. Matematiksel olarak a−(−b)=a+ba - (-b) = a + b olduğundan, bu işlem iki pozitif değerin toplanmasına eşdeğerdir ve sonuç daima sıfırdan büyüktür.

Step-by-Step Solution

1
Verilen eşitsizliğe göre sayıların işaretlerini belirle.
xx negatif (x<0x < 0), yy pozitif (y>0y > 0) bir sayıdır.
Soruda verilen x<0<yx < 0 < y eşitsizliği doğrudan işaretleri tanımlar.
2
Doğru seçenek olduğu düşünülen y−xy - x ifadesini analiz et.
y−x>0y - x > 0 olduğu görülür.
Pozitif bir sayıdan negatif bir sayı çıkarıldığında işlem toplamaya dönüşür: (+)−(−)=(+)+(+)=(+)(+) - (-) = (+) + (+) = (+).

Key Concept

İşaret Kuralları ve Eşitsizlik Özellikleri
Question 194Question →

Sıfırdan farklı a,ba, b ve cc gerçel sayıları için aşağıda verilen eşitsizlikler sağlanmaktadır:

a2⋅b3<0 a^2 \cdot b^3 < 0

a⋅c<0 a \cdot c < 0

a−b<0 a - b < 0

Buna göre, aşağıdakilerden hangisi kesinlikle doğrudur?

Show answer & explanation

Answer: a+bc<0\frac{a + b}{c} < 0

Answer

İşaret incelemesi sonucunda payı negatif, paydası pozitif olan kesrin sıfırdan küçük olduğu seçenektir.
Verilen eşitsizliklerden aa ve bb'nin negatif, cc'nin pozitif olduğu anlaşılmaktadır. Negatif iki sayının toplamı (a+ba+b) negatif, cc ise pozitiftir. Negatif bir sayının pozitif bir sayıya bölümü daima sıfırdan küçüktür.

Step-by-Step Solution

1
İlk eşitsizliği analiz et.
a≠0a \neq 0 olduğu için a2a^2 daima pozitiftir. a2⋅b3<0a^2 \cdot b^3 < 0 olması için b3b^3 negatif olmalı, dolayısıyla b<0b < 0 olmalıdır.
Çarpımın işaret kuralı ve çift kuvvet özelliği.
2
Üçüncü eşitsizliği kullanarak aa ve bb arasındaki ilişkiyi bul.
a−b<0⇒a<ba - b < 0 \Rightarrow a < b. b<0b < 0 olduğunu bildiğimiz için aa da negatiftir. Sıralama: a<b<0a < b < 0.
Eşitsizliklerde terim taşıma ve geçişme özelliği.
3
İkinci eşitsizliği kullanarak cc'nin işaretini bul.
a⋅c<0a \cdot c < 0 ve aa negatif olduğu için, çarpımın negatif olması adına cc pozitif (c>0c > 0) olmalıdır.
Zıt işaretli sayıların çarpımı negatiftir.
4
Doğru seçeneği (CC) analiz et.
Pay: a+ba + b. İki negatif sayının toplamı negatiftir (a+b<0a+b < 0). Payda: cc pozitiftir (c>0c > 0). Bölüm: NegatifPozitif<0\frac{Negatif}{Pozitif} < 0. Bu ifade kesinlikle doğrudur.
İşaretlerin bölüm kuralı.

Key Concept

Negatif sayılarla eşitsizlikler ve işaret incelemesi

Hints

1
Önce a2a^2'nin işaretini düşünerek bb'nin işaretini belirleyin, ardından a−b<0a-b<0 eşitsizliğini kullanarak aa ve bb'yi sıralayın.
2
a<ba < b ve bb'nin negatif olduğunu bulduktan sonra, a⋅c<0a \cdot c < 0 bilgisini kullanarak cc'nin işaretini tespit edin.
3
Bulduğunuz sonuç: aa negatif, bb negatif, cc pozitiftir. Seçenekleri bu işaretlere göre test edin; iki negatif sayının toplamının pozitif bir sayıya bölümü ne olur?

Practice More

Mutlak değer içeren eşitsizlik sistemleri sorularını çözerek sıralama yeteneğinizi pekiştirin.

Alternative Method

Sayı vererek deneme (Değer Verme) Yöntemi: Şartları sağlayan a=−2,b=−1,c=3a=-2, b=-1, c=3 değerlerini seçip şıkları test edebilirsiniz. (A) 1>41 > 4 (Yanlış), (C) (−3)/3=−1<0(-3)/3 = -1 < 0 (Doğru).
Estimated Time:2m 0s
Question 195Question →

Bir kamu kurumunun arşivinde bulunan dosyalar 11'den başlayarak ardışık tam sayılarla 1,2,3,…,n1, 2, 3, \dots, n şeklinde numaralandırılmıştır. Bu dosyalardan baştaki ilk 66 dosyanın numaraları toplamı xx, sondaki son 66 dosyanın numaraları toplamı ise yy olarak hesaplanmıştır.

y−x=90y - x = 90

olduğuna göre, bu arşivde toplam kaç dosya bulunmaktadır?

Show answer & explanation

Answer: 21

Answer

Arşivde bulunan toplam dosya sayısı 21'dir.
Toplam dosya sayısına nn dediğimizde, ilk 6 dosyanın toplamı 1+2+3+4+5+6=211+2+3+4+5+6=21 olur. Son 6 dosyanın numaraları ise n,n−1,n−2,n−3,n−4n, n-1, n-2, n-3, n-4 ve n−5n-5 olup toplamları 6n−156n-15'dir. Aradaki fark (6n−15)−21=90(6n-15) - 21 = 90 olarak verildiği için 6n−36=906n-36 = 90 denklemi elde edilir. Buradan 6n=1266n = 126 ve n=21n = 21 sonucuna ulaşılır.

Step-by-Step Solution

1
Baştaki ilk 6 dosyanın numaraları toplamını (xx) hesaplayalım.
x=1+2+3+4+5+6=21x = 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 = 21
Dosyalar 1'den başladığı için ilk 6 dosyanın numaraları 1 ile 6 arasındaki tam sayılardır.
2
Sondaki son 6 dosyanın numaralarını toplam dosya sayısı olan nn cinsinden yazıp toplamı (yy) bulalım.
y=n+(n−1)+(n−2)+(n−3)+(n−4)+(n−5)=6n−15y = n + (n-1) + (n-2) + (n-3) + (n-4) + (n-5) = 6n - 15
En son dosya nn numarasını taşıdığına göre, ondan önceki dosyalar birer azalarak devam eder.
3
Verilen y−x=90y - x = 90 eşitliğini kullanarak denklemi kuralım.
(6n−15)−21=90⇒6n−36=90(6n - 15) - 21 = 90 \Rightarrow 6n - 36 = 90
Hesapladığımız xx ve yy değerlerini fark denkleminde yerine koyarak bilinmeyeni (nn) bulmak için model oluşturuyoruz.
4
Denklemi çözerek nn değerini bulalım.
6n=126⇒n=216n = 126 \Rightarrow n = 21
Eşitliğin her iki tarafını düzenleyip 6'ya bölerek toplam dosya sayısına ulaşıyoruz.

Key Concept

Ardışık tam sayıların toplamı ve sınır değerleri üzerinden denklem kurma.

Hints

1
Baştaki dosyaların numaraları toplamını bularak başlayın.
2
Toplam dosya sayısına nn derseniz, son dosya nn, ondan bir önceki n−1n-1 olur. Son 6 dosyayı bu şekilde yazın.
3
Son 6 dosyanın toplamı 6n−156n - 15 olur. Bu ifadeden ilk 6 dosyanın toplamı olan 21'i çıkarıp 90'a eşitleyin.

Practice More

Benzer bir soruyu ardışık tek sayılar veya ardışık çift sayılar için çözerek pratik yapabilirsiniz.
Estimated Time:1m 30s
Question 196Question →

Bir laboratuvarda analiz edilen deney numuneleri, belirli bir pozitif tek tam sayıdan başlayarak ardışık tam sayılarla kodlanmıştır.

Kodlama işlemi tamamlandığında numunelerle ilgili şu iki durum tespit edilmiştir:

1. Tek sayı olan kodların toplamı, çift sayı olan kodların toplamından 6565 fazladır.
2. Verilen en son kod numarası, ilk kod numarasının 22 katından 77 fazladır.

Buna göre, bu laboratuvarda numunelere verilen en büyük kod numarası kaçtır?

Show answer & explanation

Answer: 89

Answer

En büyük kod numarası 89'dur.
Soruda verilen ardışık tam sayı dizisi tek sayı ile başlayıp tek sayı ile bitmelidir (Çünkü teklerin toplamı daha fazladır). İlk sayıya xx, son sayıya x+2kx+2k dersek; teklerin toplamı ile çiftlerin toplamı arasındaki fark x+kx + k olur. Bu fark 65 olarak verilmiştir (x+k=65x+k=65). Ayrıca son terimin (x+2kx+2k), ilk terimin (xx) 2 katından 7 fazla olduğu belirtilmiştir (x+2k=2x+7x+2k = 2x+7). Bu iki denklem çözüldüğünde k=24k=24 ve x=41x=41 bulunur. En büyük numara olan son terim ise 41+48=8941 + 48 = 89 olarak hesaplanır.

Step-by-Step Solution

1
Dizinin yapısını ve terim türlerini modelle.
İlk terim tek sayı (xx) olduğu için dizi T,C\c,T,C\c,…,TT, Ç, T, Ç, \dots, T şeklinde gitmelidir (Tekler toplamı Çiftlerden fazla olduğu için son terim Tek olmalıdır). Dizi: x,x+1,…,x+2kx, x+1, \dots, x+2k.
Toplam farkının pozitif olması ve dizinin ardışık gitmesi, dizinin tek sayı ile başlayıp tek sayı ile bittiğini gösterir.
2
Tek ve çift sayılar arasındaki toplam farkını formülize et.
Fark = x+k=65x + k = 65.
Dizi xx ile başlar. Sonraki her ardışık ikilide (Tek - Çift) farkı yoktur, ancak burada sıralama T,(C\c,T),(C\c,T)...T, (Ç, T), (Ç, T)... değil, gruplama mantığıyla: x+(x+2−(x+1))+…x + (x+2 - (x+1)) + \dots şeklinde düşünülürse; xx (ilk tek) hariç, geriye kalan kk adet (Tek - Çift) çiftinden her biri +1+1 fark getirir. Toplam Fark = x+kx + k.
3
Son terim ve ilk terim arasındaki ilişkiyi denkleme dök.
Son Terim = x+2kx + 2k. Verilen ilişki: x+2k=2x+7x + 2k = 2x + 7.
Ardışık sayılarda son terim, ilk terime adım sayısı eklenerek bulunur.
4
Elde edilen iki bilinmeyenli denklem sistemini çöz.
x+2k=2x+7⇒2k−x=7x + 2k = 2x + 7 \Rightarrow 2k - x = 7. Sistem: 1) x+k=65⇒x=65−kx + k = 65 \Rightarrow x = 65 - k. 2) 2k−(65−k)=7⇒3k=72⇒k=242k - (65 - k) = 7 \Rightarrow 3k = 72 \Rightarrow k = 24. Buradan x=41x = 41.
Yerine koyma metodu ile bilinmeyenler bulunur.
5
En büyük kod numarasını (son terimi) hesapla.
Son Terim = x+2k=41+2(24)=41+48=89x + 2k = 41 + 2(24) = 41 + 48 = 89.
Soruda istenen değer son terimdir.

Key Concept

Ardışık tek ve çift sayıların toplam farkı analizi ve denklem kurma.

Hints

1
Dizinin bir tek sayı ile başladığını ve ardışık tam sayılar olduğunu (T,C\c,T,C\c...T, Ç, T, Ç...) göz önüne alarak modelleyin.
2
Teklerin toplamının çiftlerden fazla olabilmesi için dizinin tek sayı ile başlayıp tek sayı ile bitmesi gerekir. Dizi: x,x+1,...,x+2kx, x+1, ..., x+2k.
3
Bu dizideki Tekler Toplamı - Çiftler Toplamı farkı her zaman x+kx + k değerine eşittir.

Practice More

Ardışık çift sayıların toplamı ile ilgili benzer bir soru çözülebilir.

Alternative Method

Değer vererek deneme yöntemi: Seçeneklerden gidilerek (örneğin 89 son terim olsa), ilk terim (89−7)/2=41(89-7)/2 = 41 olur. 41'den 89'a kadar olan dizide farkın 65 olup olmadığı kontrol edilebilir.
Estimated Time:2m 30s
Question 197Question →

a,ba, b ve cc birbirinden farklı asal sayılardır.

a⋅(b+c)=2a2+14a \cdot (b + c) = 2a^2 + 14

olduğuna göre, a+b+ca + b + c toplamı kaçtır?

Show answer & explanation

Answer: 23

Answer

Doğru cevap 23'tür.
Verilen eşitlik düzenlendiğinde b+c=2a+14/ab+c = 2a + 14/a elde edilir. aa asal sayısı 14'ü bölmek zorunda olduğu için aa sadece 2 veya 7 olabilir. a=2a=2 denendiğinde b+c=11b+c=11 olur; ancak bu durumda asal sayı şartları ve 'birbirinden farklı' olma kuralı sağlanamaz. a=7a=7 için b+c=16b+c=16 bulunur ve (3,13)(3,13) veya (5,11)(5,11) ikilileri tüm şartları sağlar. Böylece toplam 7+16=237+16=23 bulunur.

Step-by-Step Solution

1
Eşitliği düzenleyerek b+cb+c ifadesini aa cinsinden yaz.
b+c=2a2+14a=2a+14ab+c = \frac{2a^2 + 14}{a} = 2a + \frac{14}{a}
Değişkenler arasındaki ilişkiyi görmek ve tam sayı bölenlerini analiz etmek için.
2
aa bir asal sayı olduğu için 14a\frac{14}{a} ifadesinin tam sayı olması gerekliliğini kullan.
aa sayısı 14'ün asal çarpanları olan 2 veya 7 olabilir.
Asal sayılar sadece 1'e ve kendisine bölünür; 14'ü bölen asallar {2,7}\{2, 7\} kümesidir.
3
a=2a=2 durumunu incele.
b+c=2(2)+7=11b+c = 2(2) + 7 = 11. Toplamı 11 olan asallar için biri çift (2) olmalıdır. b=2,c=9b=2, c=9 (9 asal değil) veya b=9,c=2b=9, c=2. Ayrıca a=b=2a=b=2 olacağı için 'birbirinden farklı' şartı sağlanmaz.
Çözümün kısıtlamalara uygunluğunu kontrol etmek.
4
a=7a=7 durumunu incele.
b+c=2(7)+2=16b+c = 2(7) + 2 = 16. Toplamı 16 olan asal sayı çiftleri: (3,13)(3, 13) ve (5,11)(5, 11). Her iki durumda da sayılar {7,3,13}\{7, 3, 13\} veya {7,5,11}\{7, 5, 11\} olur ve hepsi birbirinden farklıdır.
Geçerli çözüm kümesini belirlemek.
5
a+b+ca+b+c toplamını hesapla.
7+16=237 + 16 = 23.
Sonuca ulaşmak.

Key Concept

Asal Sayıların Özellikleri ve Bölünebilme

Hints

1
Eşitliği b+cb+c ifadesini yalnız bırakacak şekilde düzenleyin ve aa sayısının hangi sayıları bölebileceğini düşünün.
2
b+c=2a+14ab+c = 2a + \frac{14}{a} eşitliğinde, sonucun tam sayı olması için aa'nın 14'ün asal çarpanlarından biri olması gerekir.
3
aa sadece 2 veya 7 olabilir. Her iki durumu deneyerek bb ve cc'nin de asal sayı ve aa'dan farklı olduğu durumu bulun.

Practice More

Asal çarpanlara ayırma ve asal sayıların toplamı ile ilgili benzer sorular çözülebilir.
Estimated Time:2m 30s
Question 198Question →
6!(3!)2−0! \frac{6!}{(3!)^2} - 0!


işleminin sonucu kaçtır?
Show answer & explanation

Answer: 19

Answer

İşlemin sonucu 19'dur.
Verilen işlemde öncelikle pay ve paydadaki değerler belirlenir. 6!=7206! = 720 ve 3!=63! = 6 değerleri yerlerine yazıldığında, 72062=72036=20\frac{720}{6^2} = \frac{720}{36} = 20 elde edilir. Son adımda 0!=10! = 1 olduğu bilindiğinden, 20−1=1920 - 1 = 19 sonucuna ulaşılır.

Step-by-Step Solution

1
Paydadaki 3!3! ifadesinin değerini ve karesini hesaplayın.
3!=3×2×1=63! = 3 \times 2 \times 1 = 6 ve (3!)2=62=36(3!)^2 = 6^2 = 36
İşlem önceliğine göre parantez içi ve üslü ifade öncelikle hesaplanmalıdır.
2
Pay kısmındaki 6!6! değerini hesaplayın veya sadeleştirme için açın.
6!=7206! = 720 (veya 6×5×4×3!6 \times 5 \times 4 \times 3!)
Bölme işlemini gerçekleştirmek için faktöriyel değerinin bilinmesi gerekir.
3
Kesirli ifadeyi sadeleştirin.
72036=20\frac{720}{36} = 20
Faktöriyel değerlerinin birbirine oranı hesaplanır.
4
0!0! değerini belirleyin ve son işlemi yapın.
0!=10! = 1 olduğundan 20−1=1920 - 1 = 19
Matematiksel tanım gereği 0 faktöriyel 1'e eşittir.

Key Concept

Faktöriyel tanımı (n!n!) ve özel durum olarak 0!=10! = 1 kabulü.

Hints

1
Faktöriyel tanımına göre 3!=3×2×13! = 3 \times 2 \times 1 olduğunu hatırlayın.
2
0!0! değerinin her zaman 1 olduğunu unutmayın.
3
6!6! sayısını tam hesaplamak yerine 6×5×4×3!6 \times 5 \times 4 \times 3! şeklinde açıp paydadaki ifadelerle sadeleştirmeyi deneyin.

Practice More

0! ve 1! değerlerinin ikisinin de 1'e eşit olduğunu pekiştirmek için benzer sadeleştirme soruları çözebilirsiniz.

Alternative Method

Sadeleştirme yöntemi:
6⋅5⋅4⋅3!3!⋅6=6⋅20⋅3!3!⋅6=20\frac{6 \cdot 5 \cdot 4 \cdot 3!}{3! \cdot 6} = \frac{6 \cdot 20 \cdot 3!}{3! \cdot 6} = 20
ardından 20−1=1920 - 1 = 19 işlemi yapılabilir.
Estimated Time:45s
Question 199Question →

Bir kamu kurumunun arşivinde bulunan dosyalar, xx gibi bir tam sayıdan başlanarak ardışık pozitif tam sayılarla numaralandırılmıştır. Bu dosyalardan numarası en küçük olan 12 tanesinin numaraları toplamı AA, numarası en büyük olan 12 tanesinin numaraları toplamı BB’dir.

B−A=312B - A = 312 olduğuna göre, bu arşivde toplam kaç adet dosya bulunmaktadır?

Show answer & explanation

Answer: 38

Answer

Arşivde toplam 38 adet dosya bulunmaktadır.
Doğru cevap 38'dir çünkü en büyük 12 sayının her biri, en küçük 12 sayının karşılık gelen elemanından tam olarak 'toplam sayı eksi 12' (n−12n-12) kadar büyüktür. 12 tane terim olduğu için toplam fark 12(n−12)12(n-12) olur. Bu da 312'ye eşitlendiğinde n=38n=38 bulunur.

Step-by-Step Solution

1
Değişkenleri tanımla ve grupları oluştur.
Dosya numaraları: x,x+1,...,x+n−1x, x+1, ..., x+n-1 olsun (Toplam nn dosya). En küçük 12 sayı: x,...,x+11x, ..., x+11. En büyük 12 sayı: x+n−12,...,x+n−1x+n-12, ..., x+n-1.
Soruda verilen 'en küçük' ve 'en büyük' grupların matematiksel ifadesini yazmak için.
2
Toplamlar arasındaki farkı terim terim eşleştirerek yaz.
Her bir terim çifti arasındaki fark: (x+n−12)−x=n−12(x+n-12) - x = n-12, (x+n−11)−(x+1)=n−12(x+n-11) - (x+1) = n-12, ... şeklinde devam eder. Toplam 12 terim olduğu için fark 12×(n−12)12 \times (n-12) olur.
Uzun uzun toplama yapmak yerine, karşılıklı terimlerin farkından giderek denklemi basitleştirmek için.
3
Verilen fark değerini kullanarak denklemi çöz.
12(n−12)=312⇒n−12=26⇒n=3812(n - 12) = 312 \Rightarrow n - 12 = 26 \Rightarrow n = 38.
Bilinmeyen dosya sayısını (nn) bulmak için.

Key Concept

Ardışık sayı dizilerinde alt grupların toplamları arasındaki fark, terim sayısı ve kaydırma miktarı ile ilişkilidir.

Hints

1
En küçük 12 sayıyı x,x+1,...,x+11x, x+1, ..., x+11 olarak; en büyük 12 sayıyı ise toplam dosya sayısı nn olmak üzere x+n−12x+n-12 ile başlayan seri olarak yazmayı deneyin.
2
Toplam formülünü uzun uzun yazmak yerine, en büyük gruptaki 1. sayı ile en küçük gruptaki 1. sayı arasındaki farkı bulun. Bu fark diğer terimler için de aynı mıdır?
3
Her bir terim çifti arasındaki fark (n−12)(n-12)'dir. Toplam 12 terim olduğuna göre, 12⋅(n−12)=31212 \cdot (n-12) = 312 denklemini çözün.

Practice More

Ardışık çift veya tek sayıların olduğu benzer bir senaryoda farkın nasıl değişeceğini inceleyen bir soru çözülebilir.

Alternative Method

Toplam formülü ile çözüm: Küçüklerin toplamı 12x+6612x + 66, büyüklerin toplamı 12(x+n−12)+6612(x+n-12) + 66. Taraf tarafa çıkarınca xx'ler gider, sadece nn'ye bağlı denklem kalır.
Estimated Time:1m 30s
Question 200Question →
A, B ve C sıfırdan ve birbirinden farklı rakamlar olmak üzere; ABC, BCA ve CAB üç basamaklı doğal sayıları için
ABC+BCA+CAB=1665ABC + BCA + CAB = 1665

eşitliği sağlanmaktadır.

Buna göre, A<B<CA < B < C koşulunu sağlayan en büyük ABC sayısı ile en küçük ABC sayısının toplamı kaçtır?

Show answer & explanation

Answer: 615

Answer

En küçük sayı 159 ve en büyük sayı 456 olduğundan toplamları 615'tir.
Verilen eşitlik 111(A+B+C)=1665111(A+B+C)=1665 şeklinde sadeleşir, buradan A+B+C=15A+B+C=15 bulunur. A<B<CA<B<C şartını sağlayan ayrık rakamlar için;
En küçük ABC sayısı, A'nın en küçük (1) olduğu durumda aranır: 1+B+C=15→B+C=141+B+C=15 \rightarrow B+C=14. Bu şartı sağlayan en küçük B değeri 5'tir (çünkü B<CB<C olmalı, 6+86+8 veya 5+95+9 olabilir). En küçük sayı 159'dur.
En büyük ABC sayısı, A'nın en büyük olduğu durumda aranır: A=5 olsa B+C=10B+C=10 olmalı, ancak 5<B<C5<B<C şartıyla bu imkansızdır (en az 6+7=136+7=13). O halde A=4 olur, B+C=11B+C=11. Bu şartı sağlayan 4<5<64<5<6 seti vardır. En büyük sayı 456'dır.
Toplam: 159+456=615159 + 456 = 615.

Step-by-Step Solution

1
Verilen ifadeyi basamaklarına ayırarak çözümleyiniz.
(100A+10B+C)+(100B+10C+A)+(100C+10A+B)=111(A+B+C)(100A+10B+C) + (100B+10C+A) + (100C+10A+B) = 111(A+B+C)
Sayıların basamak değerlerini toplayarak genel denklemi basitleştirmek için.
2
Elde edilen ifadeyi 1665'e eşitleyip A+B+CA+B+C toplamını bulunuz.
111(A+B+C)=1665  ⟹  A+B+C=15111(A+B+C) = 1665 \implies A+B+C = 15
Rakamların toplamının kaç olması gerektiğini belirlemek için.
3
A<B<CA < B < C koşulunu ve rakamların farklı olmasını gözeterek olası en küçük ve en büyük ABC sayılarını belirleyiniz.
En küçük A=1 için 1+5+9=151+5+9=15 (159). En büyük A=4 için 4+5+6=154+5+6=15 (456).
İstenen koşulları sağlayan sınır değerleri tespit etmek için.
4
Bulunan en büyük ve en küçük değerleri toplayınız.
159+456=615159 + 456 = 615
Soruda istenen nihai sonucu bulmak için.

Key Concept

Basamak Analizi ve Sayı Çözümleme

Hints

1
Verilen eşitliği 100A+10B+C100A+10B+C formatında açarak ortak paranteze alınız. 111 sayısının çarpanı ortaya çıkacaktır.
2
111(A+B+C)=1665111(A+B+C) = 1665 eşitliğinden rakamların toplamının 15 olduğunu bulabilirsiniz. Şimdi A<B<CA<B<C kuralına uyan üçlüleri listeleyin.
3
Toplamı 15 olan rakamlar için; A=1 iken B en az kaç olabilir? A en fazla kaç olabilir (A=5 olursa B+C kaç olmalı)? Bu sınırları kontrol edin.

Practice More

Aynı toplamı (15) veren rakamlarla yazılabilecek, rakamları farklı tüm üç basamaklı sayıların toplamı kaçtır?
Estimated Time:2m 30s
PreviousPage 10 / 16Next
Temel Kavramlar ve Sayılar — KPSS Genel Yetenek - Genel Kültür — Page 10 | Examkin