Examkin

Cebir

424 questions

Question 421Question →
x<y<0x < y < 0 olmak üzere,
x2−∣x−y∣+∣2y∣ \sqrt{x^{2}} - |x - y| + |2y|

ifadesinin eşiti aşağıdakilerden hangisidir?
Show answer & explanation

Answer: -3y

Answer

İfadenin sadeleşmiş biçimi -3y şeklindedir.
Verilen x<y<0x < y < 0 koşuluna göre x2\sqrt{x^2} ifadesi −x-x, ∣x−y∣|x-y| ifadesi y−xy-x ve ∣2y∣|2y| ifadesi −2y-2y olarak dışarı çıkar. Bu değerler toplandığında −x−(y−x)−2y-x - (y-x) - 2y işlemi yapılarak −3y-3y sonucuna ulaşılır.

Step-by-Step Solution

1
Kareköklü ifadenin mutlak değer özelliğini uygulama
x2=∣x∣\sqrt{x^2} = |x| ve x<0x < 0 olduğu için −x-x
Bir sayının karesinin karekökü o sayının mutlak değerine eşittir.
2
Birinci mutlak değerli ifadenin işaretini belirleme
x<y⇒x−y<0x < y \Rightarrow x - y < 0 olduğu için ∣x−y∣=−(x−y)=y−x|x - y| = -(x - y) = y - x
Mutlak değerin içi negatifse ifade işaret değiştirerek dışarı çıkar.
3
İkinci mutlak değerli ifadenin işaretini belirleme
y<0⇒2y<0y < 0 \Rightarrow 2y < 0 olduğu için ∣2y∣=−2y|2y| = -2y
Negatif bir sayının mutlak değeri kendisinin eksi ile çarpılmış halidir.
4
Bulunan değerleri ana ifadede yerine yazma ve sadeleştirme
−x−(y−x)+(−2y)=−x−y+x−2y=−3y-x - (y - x) + (-2y) = -x - y + x - 2y = -3y
Toplama ve çıkarma işlemleri yapılarak ifade en sade haline getirilir.

Key Concept

Mutlak değer içerisindeki ifadenin işaretine göre dışarı çıkarılması ve kareköklü ifadelerin mutlak değer ile ilişkisi.

Hints

1
Karekök içindeki çift dereceli üslerin mutlak değer olarak çıktığını unutmayın.
2
Mutlak değerin içindeki ifadenin işaretini belirlemek için verilen eşitsizliği kullanın.
3
x<yx < y ise x−yx - y ifadesi negatiftir; bu yüzden dışarı çıkarken işaret değiştirir.

Practice More

Mutlak değerli eşitsizlikler ve aralık belirleme sorularını çözerek konuyu pekiştirebilirsiniz.

Alternative Method

Koşula uygun değerler vererek (örneğin x = -2, y = -1) sonucu hesaplayıp seçeneklerdeki ifadelerle karşılaştırabilirsiniz.
Estimated Time:1m 30s
Question 422Question →
Gerçel sayılar kümesi üzerinde ⊕\oplus işlemi, her aa ve bb gerçel sayısı için
a⊕b=(a+1)⋅b−aa \oplus b = (a + 1) \cdot b - a

biçiminde tanımlanıyor.

Buna göre, 3⊕43 \oplus 4 işleminin sonucu kaçtır?

Show answer & explanation

Answer: 13

Answer

Verilen kuralda değişkenler yerine yazıldığında sonuç 13 olarak bulunur.
Verilen işlem kuralında aa yerine 3 ve bb yerine 4 yazıldığında, ifade (3+1)⋅4−3(3 + 1) \cdot 4 - 3 halini alır. Parantez içindeki toplama yapıldığında 4⋅4−34 \cdot 4 - 3 elde edilir. Önce çarpma işlemi yapıldığında 16−316 - 3 ve son olarak çıkarma yapıldığında 13 sonucuna ulaşılır.

Step-by-Step Solution

1
Değişkenleri belirleme
a=3a = 3 ve b=4b = 4
a⊕ba \oplus b tanımında sembolün solundaki sayı aa, sağındaki sayı bb değerini temsil eder.
2
Değerleri kuralda yerine yazma
(3+1)⋅4−3(3 + 1) \cdot 4 - 3
Tanımlanan (a+1)⋅b−a(a + 1) \cdot b - a ifadesinde aa yerine 3, bb yerine 4 yazılır.
3
Parantez içindeki işlemi yapma
4⋅4−34 \cdot 4 - 3
Matematiksel işlemlerde öncelik her zaman parantez içindedir.
4
Çarpma ve çıkarma işlemlerini tamamlama
16−3=1316 - 3 = 13
Çarpma işlemi çıkarmadan önce yapılır.

Key Concept

Özel tanımlı işlemlerde temel kural, verilen sembolün konumuna göre sayıları değişkenlerin yerine yazmak ve standart işlem önceliği kurallarını uygulamaktır.

Hints

1
Bu bir 'yerine koyma' sorusudur. Sembolün solundaki sayıyı aa, sağındakini bb olarak düşünmelisin.
2
a⊕ba \oplus b kuralında a=3a=3 ve b=4b=4 değerlerini kullanarak yeni bir sayısal ifade oluştur.
3
(3+1)⋅4−3(3 + 1) \cdot 4 - 3 ifadesinde önce parantez içini, sonra çarpma işlemini yapmayı unutma.

Practice More

Değişme özelliği olmayan işlemlerde sayıların sırasının sonucu nasıl değiştirdiğini görmek için 4⊕34 \oplus 3 değerini hesaplayabilirsin.

Alternative Method

İşlemi dağılma özelliği kullanarak a⋅b+b−aa \cdot b + b - a şeklinde de yazabilirsin: 3⋅4+4−3=12+4−3=133 \cdot 4 + 4 - 3 = 12 + 4 - 3 = 13.
Estimated Time:45s
Question 423Question →
Gerçel sayılar kümesi üzerinde tanımlı ff ve gg fonksiyonları için
f(x+12)=3x−4 f\left(\frac{x+1}{2}\right) = 3x - 4

g(2x−1)=x2+x−1 g(2x-1) = x^2 + x - 1

eşitlikleri sağlanmaktadır. Buna göre, (f−1∘g)(3)(f^{-1} \circ g)(3) değeri kaçtır?
Show answer & explanation

Answer: 2

Answer

İstenen değer 2'dir.
Bileşke fonksiyon kuralı gereği işlem sırası içeriden dışarıya doğrudur. Önce g(3)g(3) değeri, fonksiyonun tanım kümesi uygun şekilde ayarlanarak bulunur (x=2x=2 için sonuç 5). Daha sonra f−1(5)f^{-1}(5) değerini bulmak için, sonucu 5 yapan xx değeri (x=3x=3) bulunur ve bu değer ff'in tanım ifadesinde yerine yazılır.

Step-by-Step Solution

1
(f−1∘g)(3)=f−1(g(3))(f^{-1} \circ g)(3) = f^{-1}(g(3)) ifadesini hesaplamak için önce içteki g(3)g(3) değerini bulalım.
g(2x−1)g(2x-1) ifadesinde parantez içinin 3 olması gerekir: 2x−1=3⇒2x=4⇒x=22x-1 = 3 \Rightarrow 2x=4 \Rightarrow x=2.
Fonksiyonun tanımındaki değişkene ulaşmak için.
2
Bulunan x=2x=2 değerini gg fonksiyonunun kuralında yerine yazalım.
g(3)=22+2−1=4+2−1=5g(3) = 2^2 + 2 - 1 = 4 + 2 - 1 = 5.
g(3)g(3) değerini elde etmek için.
3
Şimdi f−1(5)f^{-1}(5) değerini bulmamız gerekiyor. Bu ifadeyi yy değişkenine eşitleyerek f(y)=5f(y)=5 denklemine dönüştürelim.
f(y)=5f(y)=5 olması için, fonksiyonun sonucunun 5 olması gerekir: 3x−4=5⇒3x=9⇒x=33x - 4 = 5 \Rightarrow 3x = 9 \Rightarrow x = 3.
Ters fonksiyonun tanımı gereği görüntü kümesinden tanım kümesine geçiş yapmak için.
4
Bulunan x=3x=3 değerini ff fonksiyonunun tanım kısmındaki x+12\frac{x+1}{2} ifadesinde yerine yazarak cevaba ulaşalım.
y=3+12=42=2y = \frac{3+1}{2} = \frac{4}{2} = 2. Dolayısıyla f−1(5)=2f^{-1}(5) = 2.
Sonuca ulaşmak için.

Key Concept

Bileşke Fonksiyon ve Ters Fonksiyon

Hints

1
Bileşke fonksiyonun tanımı gereği, (f−1∘g)(3)(f^{-1} \circ g)(3) ifadesi f−1(g(3))f^{-1}(g(3)) demektir. Önce parantez içini hesaplayın.
2
g(3)g(3) değerini bulmak için g(2x−1)g(2x-1) ifadesinde parantez içini 3 yapan xx değerini bulup fonksiyonda yerine yazın.
3
g(3)=5g(3)=5 bulduktan sonra, f−1(5)f^{-1}(5) değerini arıyoruz. Bu, 'f fonksiyonunda hangi girdi 5 sonucunu verir?' sorusuyla aynıdır. 3x−4=53x-4=5 eşitliğini kullanın.

Alternative Method

Dilerseniz önce g(x)g(x) ve f(x)f(x) fonksiyonlarının kurallarını xx'e bağlı olarak bulup (g(x)=(x+12)2+x+12−1g(x) = (\frac{x+1}{2})^2 + \frac{x+1}{2} - 1 gibi), sonra bileşke işlemini uygulayabilirsiniz, ancak bu yöntem işlem hatası riskini artırır.
Estimated Time:2m 30s
Question 424Question →
xx ve yy gerçel sayıları için,
x2−xy=30x^2 - xy = 30

y2−xy=−5y^2 - xy = -5

eştlikleri veriliyor.

Buna göre, x+yx + y ifadesinin pozitif değeri kaçtır?

Show answer & explanation

Answer: 7

Answer

Verilen iki denklemin taraf tarafa toplanması ve çıkarılmasıyla elde edilen özdeşlikler kullanılarak sonuç 7 bulunur.
Soruda verilen iki değişkenli denklemler, çarpanlara ayırma konusunun temel özdeşliklerini gizler. Denklemleri taraf tarafa topladığımızda (x−y)2=25(x-y)^2 = 25 buluruz, buradan ∣x−y∣=5|x-y|=5 çıkar. Taraf tarafa çıkardığımızda ise x2−y2=35x^2-y^2=35 buluruz. İki kare farkı açılımı (x−y)(x+y)=35(x-y)(x+y)=35 olduğundan, 5⋅(x+y)=355 \cdot (x+y) = 35 eşitliğinden x+y=7x+y=7 sonucu elde edilir.

Step-by-Step Solution

1
Verilen iki denklemi taraf tarafa toplayın.
x2−xy+y2−xy=30+(−5)⇒x2−2xy+y2=25x^2 - xy + y^2 - xy = 30 + (-5) \Rightarrow x^2 - 2xy + y^2 = 25
Tam kare özdeşliği olan (x−y)2(x-y)^2'yi elde etmek için.
2
Elde edilen tam kare ifadenin karekökünü alarak x−yx-y değerini bulun.
(x−y)2=25⇒x−y=5(x-y)^2 = 25 \Rightarrow x-y = 5 veya x−y=−5x-y = -5
x2−y2x^2 - y^2 ifadesini çarpanlarına ayırırken bu değere ihtiyaç duyulacaktır.
3
Verilen iki denklemi taraf tarafa çıkarın.
(x2−xy)−(y2−xy)=30−(−5)⇒x2−y2=35(x^2 - xy) - (y^2 - xy) = 30 - (-5) \Rightarrow x^2 - y^2 = 35
İki kare farkı özdeşliğini elde etmek için.
4
İki kare farkı özdeşliğini açın ve bulunan değerleri yerine koyun.
(x−y)⋅(x+y)=35(x-y) \cdot (x+y) = 35. Eğer x−y=5x-y=5 ise 5⋅(x+y)=35⇒x+y=75 \cdot (x+y) = 35 \Rightarrow x+y=7.
İstenen x+yx+y değerine ulaşmak için.

Key Concept

Tam Kare ve İki Kare Farkı Özdeşlikleri

Hints

1
Denklemleri taraf tarafa toplamayı ve çıkarmayı deneyin.
2
Toplama işlemi size (x−y)2(x-y)^2 değerini, çıkarma işlemi ise x2−y2x^2-y^2 değerini verecektir.
3
x2−y2=(x−y)(x+y)x^2-y^2 = (x-y)(x+y) özdeşliğini kullanarak, bulduğunuz iki sonucu birbirine oranlayın.
Estimated Time:2m 30s
PreviousPage 22 / 22
Cebir — KPSS Genel Yetenek - Genel Kültür — Page 22 | Examkin