Layer 1

Question 381Question →

ABC bir üçgendir. $AB$ kenarı üzerinde bir $D$ noktası ve $AC$ kenarı üzerinde bir $E$ noktası alınarak $[DE] \parallel [BC]$ olacak şekilde bir doğru parçası çiziliyor. Daha sonra $BC$ kenarı üzerinde bir $F$ noktası belirlenip $[EF] \parallel [AB]$ olacak şekilde birleştiriliyor.

Oluşan $ADE$ üçgeninin alanı $16 \text{ cm}^2$ ve $EFC$ üçgeninin alanı $49 \text{ cm}^2$ olduğuna göre, $ABC$ üçgeninin tamamının alanı kaç $\text{ cm}^2$ 'dir?

65

97

100

121

144

Show answer & explanation

Answer: 121

Answer

121

Verilen paralellikler sayesinde

ADE

ve

EFC

üçgenleri ile büyük

ABC

üçgeni birbirine benzerdir. Benzerlik oranı alanların karekökü ile orantılıdır.

ADE

üçgeninin benzerlik kenarı

\sqrt{16}=4

birim,

EFC

üçgeninin benzerlik kenarı

\sqrt{49}=7

birim gibi düşünülebilir. Paralelkenar yapısından dolayı büyük üçgenin tabanı bu iki parçanın toplamı olan

4+7=11

birim ile orantılıdır. Büyük üçgenin alanı ise bu toplam oranın karesi ile ilişkilidir:

11^2 = 121 \text{ cm}^2

.

Step-by-Step Solution

1

Verilen paralellikleri kullanarak benzer üçgenleri belirle.

[DE] \parallel [BC]

ve

[EF] \parallel [AB]

olduğu için

\triangle ADE \sim \triangle EFC

benzerliği vardır. Ayrıca bu iki üçgen büyük

\triangle ABC

üçgenine de benzerdir.

Kenarları birbirine paralel olan üçgenler benzerdir (Açı-Açı-Açı benzerliği).

2

Alanlar oranından benzerlik oranını bul.

\frac{\text{Alan}(ADE)}{\text{Alan}(EFC)} = \frac{16}{49}

olduğundan, benzerlik oranı

k = \sqrt{\frac{16}{49}} = \frac{4}{7}

'dir.

Benzer iki üçgenin alanları oranı, benzerlik oranının karesine eşittir (

k^2 = \text{Alan Oranı}

).

3

Kenar uzunluklarını oransal olarak ifade et ve tabanları topla.

\triangle ADE

'nin tabanına

4k

,

\triangle EFC

'nin tabanına

7k

diyelim.

BDEF

bir paralelkenar olduğu için

|BF| = |DE| = 4k

olur. Büyük üçgenin tabanı

|BC| = 4k + 7k = 11k

olur.

Paralelkenarda karşılıklı kenar uzunlukları eşittir (

|DE| = |BF|

).

4

Küçük üçgen ile büyük üçgen arasındaki benzerlik oranını kullanarak toplam alanı bul.

\triangle ADE

ile

\triangle ABC

arasındaki benzerlik oranı

\frac{|DE|}{|BC|} = \frac{4k}{11k} = \frac{4}{11}

'dir. Alanlar oranı

\left(\frac{4}{11}\right)^2 = \frac{16}{121}

olur.

16 / \text{Alan}(ABC) = 16 / 121 \implies \text{Alan}(ABC) = 121 \text{ cm}^2

.

Benzerlik oranının karesi alanlar oranını verir.

Key Concept

Benzer üçgenlerde alanlar oranı, benzerlik oranının karesine eşittir (

S_1/S_2 = k^2

). Ayrıca bu özel yapıda

\sqrt{S_{Tüm}} = \sqrt{S_1} + \sqrt{S_2}

kuralı geçerlidir.

Hints

1

Şekilde

ADE

ve

EFC

üçgenlerinin

ABC

üçgenine benzer olduğunu hatırlayınız. Benzerlik oranı ile alan oranı arasındaki ilişkiyi kullanın.

2

Alanlar oranı benzerlik oranının karesidir (

k^2

).

\sqrt{16}=4

ve

\sqrt{49}=7

değerlerini kenar uzunlukları ile ilişkilendirmeyi deneyin.

3

BDEF

şeklinin bir paralelkenar olduğuna dikkat edin. Bu sayede

DE

kenar uzunluğunu

BF

kenarına taşıyabilir ve büyük üçgenin tabanının oransal değerini bulabilirsiniz.

Practice More

Benzerlik oranı 1/3 olan iki üçgenin alanları oranını ve çevreleri oranını karşılaştıran bir soru çözünüz.

Alternative Method

Pratik Kural: Bu tip iç içe geçmiş paralel üçgen sorularında, büyük üçgenin alanının karekökü, küçük üçgenlerin alanlarının karekökleri toplamına eşittir:

\sqrt{S_{ABC}} = \sqrt{S_{ADE}} + \sqrt{S_{EFC}} = 4 + 7 = 11 \implies S_{ABC} = 121

.

Estimated Time:2m 30s

Question 382Question →

Şekildeki $ABC$ üçgeninde, $[BC]$ kenarının uzantısı üzerinde bir $H$ noktası bulunmaktadır. $[AH] \perp [CH]$ ve $K \in [AB]$ , $L \in [AC]$ olmak üzere $[KL] // [BC]$ 'dir.

$|AH| = 10$ cm ve $|BC| = 10$ cm olduğu biliniyor.

$3|AK| = 2|KB|$ olduğuna göre, $AKL$ üçgeninin alanı kaç $cm^2$ 'dir?

8

18

30

36

60

Show answer & explanation

Answer: 18

Answer

18

cm^2

Önce büyük üçgenin alanı hesaplanır: Taban (10) ve dış yükseklik (10) kullanılarak Alan(ABC) = 50 bulunur. Ardından kenar oranlarından benzerlik oranı k = 2/5 olarak bulunur. Alanlar oranı benzerlik oranının karesi (4/25) olduğundan, 50 * 4/25 işlemi ile sonuç 8 bulunur.

Step-by-Step Solution

1

ABC üçgeninin alanını hesapla.

Alan(ABC) = (Taban × Yükseklik) / 2 = (10 × 10) / 2 = 50 cm²

Geniş açılı üçgenlerde yükseklik üçgenin dış bölgesinde olabilir. Burada taban [BC], yükseklik ise [AH]'dır.

2

AKL ve ABC üçgenleri arasındaki benzerlik oranını (k) bul.

3|AK| = 2|KB| verildiğinden, |AK|=2m ve |KB|=3m diyebiliriz. |AB| = 5m olur. Benzerlik oranı k = |AK|/|AB| = 2m/5m = 2/5'tir.

[KL] // [BC] olduğundan Temel Benzerlik Teoremi gereği üçgenler benzerdir.

3

Alanlar oranını hesapla.

Alanlar oranı = k² = (2/5)² = 4/25

Benzer iki üçgenin alanları oranı, benzerlik oranının karesine eşittir.

4

AKL üçgeninin alanını bul.

Alan(AKL) = Alan(ABC) × (4/25) = 50 × (4/25) = 2 × 4 = 8 cm²

Toplam alanı hesaplanan oranla çarparak istenen bölgenin alanına ulaşılır.

Key Concept

Üçgende benzerlik oranı ile alan arasındaki ilişki (k -> k²)

Hints

1

Geniş açılı üçgenlerde yükseklik bazen üçgenin dışında kalabilir. Alan formülü değişmez: (Taban x Yükseklik) / 2.

Estimated Time:2m 30s

Question 383Question →

Aşağıda verilen $ABCD$ yamuğunda $[AB] \parallel [DC]$ dir. $m(\widehat{DAB}) = 60^\circ$ , $m(\widehat{ABC}) = 45^\circ$ , $|AD| = 8$ cm ve $|DC| = 5$ cm olarak verilmiştir.

Buna göre, $ABCD$ yamuğunun alanı kaç $\text{cm}^2$ dir?

12 + 14\sqrt{3}

20 + 24\sqrt{3}

24 + 28\sqrt{3}

32 + 24\sqrt{3}

48 + 56\sqrt{3}

Show answer & explanation

Answer: $24 + 28\sqrt{3}$

Answer

Yamuğun alanı

24 + 28\sqrt{3}

\text{cm}^2

dir.

Doğru cevap, yamuğun yüksekliğinin ve alt taban parçalarının özel üçgenler (30-60-90 ve 45-45-90) yardımıyla bulunup, alan formülünde yerine konulmasıyla elde edilir. Yükseklik

4\sqrt{3}

ve alt taban

9+4\sqrt{3}

bulunduğunda, alan

(24 + 28\sqrt{3})

\text{cm}^2

olarak hesaplanır.

Step-by-Step Solution

1

D

ve

C

köşelerinden

[AB]

kenarına dikmeler indirilir.

D

den inilen dikme ayağı

H

,

C

den inilen dikme ayağı

K

olsun. Böylece ortada bir

HKCD

dikdörtgeni ve yanlarda

ADH

ile

CKB

dik üçgenleri oluşur.

Yamuğun alanını bulmak için yüksekliğe ve alt taban uzunluğuna ihtiyaç vardır; bu dikmeler hem yüksekliği hem de taban parçalarını bulmamızı sağlar.

2

ADH

üçgeninde (30-60-90) kenar uzunlukları hesaplanır.

Hipotenüs

|AD|=8

ise,

30^\circ

nin karşısı

|AH|=4

,

60^\circ

nin karşısı (yükseklik)

|DH|=4\sqrt{3}

olur.

30-60-90 üçgeninde hipotenüs, 30 derecenin karşısındaki kenarın 2 katıdır; 60 derecenin karşısı ise 30 derecenin karşısının

\sqrt{3}

katıdır.

3

CKB

üçgeninde (45-45-90) kenar uzunlukları hesaplanır.

Yükseklikler eşit olduğundan

|CK| = |DH| = 4\sqrt{3}

tür. İkizkenar dik üçgen olduğu için

|KB| = 4\sqrt{3}

olur.

45-45-90 üçgeninde dik kenarlar birbirine eşittir.

4

Alt taban uzunluğu

|AB|

bulunur.

|AB| = |AH| + |HK| + |KB| = 4 + 5 + 4\sqrt{3} = 9 + 4\sqrt{3}

cm. (Not:

|HK|=|DC|=5

)

Alt taban, sol üçgenin tabanı, dikdörtgenin tabanı ve sağ üçgenin tabanının toplamıdır.

5

Yamuk alan formülü uygulanır:

\frac{a+c}{2} \cdot h

.

Alan =

\frac{(9+4\sqrt{3}) + 5}{2} \cdot 4\sqrt{3} = \frac{14+4\sqrt{3}}{2} \cdot 4\sqrt{3} = (7+2\sqrt{3}) \cdot 4\sqrt{3}

Yamuğun alanı, alt ve üst tabanlar toplamının yarısı ile yüksekliğin çarpımına eşittir.

6

Çarpma işlemi dağıtılarak sonuca ulaşılır.

(7 \cdot 4\sqrt{3}) + (2\sqrt{3} \cdot 4\sqrt{3}) = 28\sqrt{3} + (8 \cdot 3) = 28\sqrt{3} + 24

.

Köklü sayılarda dağılma özelliği uygulanır:

a(b+c) = ab + ac

.

Key Concept

Yamukta Alan Hesabı ve Özel Üçgenler

Hints

1

D

ve

C

köşelerinden alt tabana dikmeler indirerek özel üçgenler oluşturmayı deneyin.

2

Oluşan

ADH

üçgeni 30-60-90 üçgeni,

CKB

üçgeni ise 45-45-90 ikizkenar dik üçgenidir. Bu üçgenlerin kenar bağıntılarını hatırlayın.

3

Yükseklik

h = 4\sqrt{3}

cm'dir. Alt tabanı üç parça halinde (

|AH|

,

|HK|

,

|KB|

) hesaplayıp toplayın, sonra alan formülünü uygulayın.

Practice More

Benzer şekilde, taban açılarından biri 30 derece, diğeri 45 derece olan bir yamuğun alanını hesaplamayı deneyin.

Alternative Method

C

noktasından

AD

'ye paralel bir doğru çizerek yamuğu bir paralelkenar ve bir üçgene ayırabilirsiniz. Oluşan üçgenin kenar ve açı özelliklerini kullanarak yüksekliği bulabilirsiniz.

Estimated Time:2m 30s

Question 384Question →

Kısa kenar uzunluğu $2$ cm, uzun kenar uzunluğu $8$ cm olan bir $ABCD$ dikdörtgeni veriliyor. Bu dikdörtgenin $A$ ve $B$ köşelerinden geçen bir çember, dikdörtgenin $[CD]$ kenarına teğet olduğuna göre, bu çemberin yarıçapı kaç cm'dir?

3

4

5

6

8

Show answer & explanation

Answer: 5

Answer

Çemberin yarıçapı 5 cm'dir.

Çemberin merkezi,

AB

kirişinin orta dikmesi üzerinde yer alır.

AB

kenarının orta noktası ile çemberin merkezi arasındaki uzaklık

h

, yarıçap

R

ve dikdörtgenin kısa kenarı

2

birim olduğunda, teğetlik şartından dolayı

h = |R - 2|

olur.

A

köşesi, merkez ve orta nokta ile oluşturulan dik üçgende

R^2 = 4^2 + (R - 2)^2

denklemi elde edilir. Bu denklem çözüldüğünde

R = 5

sonucuna ulaşılır.

Step-by-Step Solution

1

Dikdörtgeni koordinat düzlemine yerleştir veya simetri eksenini belirle.

AB

kenarının orta noktası

M

olsun. Çember

A

ve

B

noktalarından geçtiği için merkezi

[AB]

'nin orta dikmesi üzerindedir.

Bir kirişin orta dikmesi daima merkezden geçer.

2

Yarıçap (

R

) ve merkezin konumu arasındaki ilişkiyi kur.

Çember

CD

kenarına teğet olduğu için, merkezden

CD

kenarına olan uzaklık

R

olur.

AB

ile

CD

arası

2

cm olduğundan, merkezin

AB

kenarına uzaklığı

|R - 2|

cm olur.

Teğet noktasına olan dikme yarıçaptır ve paralel kenarlar arası mesafe sabittir.

3

Merkez (

O

),

AB

'nin orta noktası (

M

) ve

A

köşesi arasında bir dik üçgen oluştur.

|AM| = 4

cm ve

|OM| = |R - 2|

cm olan dik üçgende hipotenüs

|OA| = R

olur.

Pisagor teoremi uygulanarak bilinmeyen yarıçap hesaplanabilir.

4

Pisagor bağıntısını yaz ve denklemi çöz.

R^2 = 4^2 + (R - 2)^2 \Rightarrow R^2 = 16 + R^2 - 4R + 4 \Rightarrow 4R = 20 \Rightarrow R = 5

cm bulunur.

Dik kenarların kareleri toplamı hipotenüsün karesine eşittir.

Key Concept

Çemberde kiriş özellikleri ve merkezin teğete olan uzaklığının yarıçapa eşitliği.

Hints

1

Çemberin merkezini dikdörtgenin içinde veya dışında bir nokta olarak düşünün ve

A, B

noktalarına olan uzaklığının yarıçap olduğunu unutmayın.

2

AB

kenarının orta noktasından geçen dikme çemberin merkezinden geçer. Bu dikme üzerindeki merkezin, teğet olduğu

CD

kenarına uzaklığı yarıçapa (

R

) eşittir.

3

Merkezin

AB

kenarına uzaklığına

h

derseniz, teğetlikten dolayı

R = h + 2

olur.

A

köşesi ile bir dik üçgen kurarak

R^2 = h^2 + 4^2

bağıntısını kullanın.

Practice More

Eğer çember

CD

kenarına değil de, dikdörtgenin merkezine teğet olsaydı yarıçap nasıl değişirdi?

Alternative Method

Koordinat düzlemi kullanarak;

A(-4, 0)

ve

B(4, 0)

noktalarını yerleştirin.

CD

doğrusu

y = 2

olur. Merkezi

(0, y_0)

olan çemberin

y=2

doğrusuna uzaklığı

|y_0 - 2| = R

olur.

A

noktasından geçen çember denklemi

4^2 + y_0^2 = R^2

sistemini çözerek aynı sonuca ulaşabilirsiniz.

Estimated Time:1m 30s

Question 385Question →

Şekilde O merkezli ve yarıçapı 6 cm olan bir çember verilmiştir. [PT ışını çembere T noktasında teğettir. P, K ve O noktaları doğrusaldır ve K noktası çember yayı üzerindedir.

$|PT| = 6\sqrt{3}$ cm olduğuna göre; PT doğru parçası, PK doğru parçası ve KT yayı arasında kalan taralı bölgenin alanı kaç $\text{cm}^2$ 'dir?

18\sqrt{3} - 6\pi

18\sqrt{3} - 2\pi

6\pi - 9\sqrt{3}

9\sqrt{3} - 3\pi

36\sqrt{3} - 6\pi

Show answer & explanation

Answer: $18\sqrt{3} - 6\pi$

Answer

Dik üçgenin alanından daire diliminin alanı çıkarılarak sonuç

18\sqrt{3} - 6\pi

bulunur.

Soruda verilen bölge,

OTP

dik üçgeninin alanından

60^\circ

'lik

OTK

daire diliminin alanının çıkarılmasıyla bulunur. Yarıçap teğete dik olduğu için oluşan 30-60-90 üçgeninden merkez açı

60^\circ

bulunur. Üçgenin alanı

18\sqrt{3}

, daire diliminin alanı ise

6\pi

olduğundan cevap

18\sqrt{3} - 6\pi

'dir.

Step-by-Step Solution

1

Teğet özelliğini kullanarak üçgeni tanımla.

Merkezden teğet noktasına çizilen yarıçap teğete diktir (

OT \perp PT

). Oluşan

\triangle OTP

bir dik üçgendir.

Teğet-yarıçap dikliği geometrik kuraldır.

2

Merkez açıyı (

\alpha

) belirle.

\triangle OTP

dik üçgeninde,

\tan(\widehat{TOP}) = \frac{|PT|}{|OT|} = \frac{6\sqrt{3}}{6} = \sqrt{3}

. Bu durumda

\widehat{TOP} = 60^\circ

olur.

Trigonometrik oranlardan veya 30-60-90 üçgeni özelliğinden açı bulunur.

3

\triangle OTP

üçgeninin alanını hesapla.

Alan(

\triangle OTP

) =

\frac{|OT| \cdot |PT|}{2} = \frac{6 \cdot 6\sqrt{3}}{2} = 18\sqrt{3}

\text{cm}^2

.

Dik üçgen alan formülü.

4

OTK daire diliminin alanını hesapla.

Alan(Dilim) =

\pi r^2 \cdot \frac{\alpha}{360} = \pi \cdot 6^2 \cdot \frac{60}{360} = 36\pi \cdot \frac{1}{6} = 6\pi

\text{cm}^2

.

Daire dilimi alan formülü.

5

Taralı alanı bulmak için çıkarma işlemi yap.

Taralı Alan = Alan(

\triangle OTP

) - Alan(Dilim) =

18\sqrt{3} - 6\pi

.

İstenen bölge, büyük üçgenden daire diliminin çıkarılmasıyla elde edilir.

Key Concept

Teğet-Yarıçap Dikliği ve Daire Dilimi Alanı

Hints

1

Çemberin merkezinden teğet noktasına (T) çizilen yarıçapın, teğet doğrusuna (PT) dik olduğunu hatırlayın.

2

Oluşan OTP dik üçgeninde kenar uzunluklarını kullanarak O açısının kaç derece olduğunu bulun (

|OT|=6, |PT|=6\sqrt{3}

).

3

Taralı alanı bulmak için OTP üçgeninin alanından, O merkezli daire diliminin alanını çıkarmanız gerekir.

Estimated Time:2m 30s

Question 386Question →

Dik koordinat düzleminde, $|x - 2| + |y| \le 4$ eşitsizliği ile belirtilen kapalı bölgenin, $y \ge 1$ eşitsizliğini sağlayan kısmının alanı kaç birimkaredir?

7

8

9

16

32

Show answer & explanation

Answer: 9

Answer

İstenen bölgenin alanı 9 birimkaredir.

Verilen

|x - 2| + |y| \le 4

eşitsizliği, merkezi

(2,0)

noktasında olan bir kare belirtir. Bu karenin

y \ge 1

doğrusunun üzerinde kalan kısmı, tabanı

y=1

doğrusu üzerinde ve tepe noktası

(2,4)

olan bir üçgendir. Taban uzunluğu 6 birim ve yüksekliği 3 birim olduğundan alan 9 birimkaredir.

Step-by-Step Solution

1

Eşitsizlik bölgelerini tanımla

|x - 2| + |y| \le 4

eşitsizliği, merkezi

(2, 0)

olan ve köşegen uzunlukları 8 birim olan bir kare (eşkenar dörtgen) belirtir.

y \ge 1

eşitsizliği ise

y=1

doğrusunun üst kısmını ifade eder.

Geometrik şekli ve kesişim bölgesini belirlemek için sınırları çizmek gerekir.

2

Kesişim bölgesinin sınır noktalarını bul

y=1

doğrusunun eşitsizlik sınırı ile kesiştiği noktalar için

|x - 2| + 1 = 4 \Rightarrow |x - 2| = 3

denklemi çözülür.

x - 2 = 3 \Rightarrow x = 5

ve

x - 2 = -3 \Rightarrow x = -1

. Kesişim noktaları

(-1, 1)

ve

(5, 1)

'dir.

Oluşan üçgensel bölgenin taban uzunluğunu bulmak için köşe koordinatlarına ihtiyaç vardır.

3

Bölgenin tepe noktasını belirle

|x - 2| + |y| \le 4

bölgesinin en üst noktası,

x=2

için

|y|=4 \Rightarrow y=4

noktasıdır. Tepe noktası

(2, 4)

'tür.

Üçgenin yüksekliğini hesaplamak için tepe noktasının bilinmesi gerekir.

4

Üçgenin alanını hesapla

Taban uzunluğu

5 - (-1) = 6

birim. Yükseklik

4 - 1 = 3

birim. Alan =

\frac{6 \times 3}{2} = 9

birimkare.

Üçgen alanı formülü (Taban x Yükseklik / 2) uygulanır.

Key Concept

Mutlak Değerli Eşitsizliklerin Grafiği ve Bölge Alanı

Hints

1

Eşitsizliği sağlayan bölgeyi çizmek için önce mutlak değerlerin kritik noktalarını (içini sıfır yapan değerler) bulun.

2

|x - 2| + |y| = 4

denklemi, merkezi

(2, 0)

olan bir kare (eşkenar dörtgen) oluşturur. Tepe noktalarını belirleyin.

3

Bölge,

y=1

doğrusu ile kesildiğinde üstte kalan kısım bir üçgendir. Bu üçgenin taban noktalarını bulmak için denklemde

y=1

yazın.

Practice More

Benzer mantıkla,

|x| + |y| \le 6

ve

y \ge x

eşitsizliklerinin kesişim alanını hesaplayınız.

Alternative Method

Yamuk alanı yöntemi:

y \ge 0

bölgesinin alanı (yarım kare) 16'dır.

0 \le y \le 1

arasındaki yamuğun alanı ise Alt Taban=8, Üst Taban=6, Yükseklik=1 olduğundan (8+6)/2 * 1 = 7'dir. İstenen alan 16 - 7 = 9 bulunur.

Estimated Time:2m 30s

Question 387Question →

Bir $ABCD$ eşkenar dörtgeninde, $D$ köşesinden $[AB]$ kenarına indirilen $[DH]$ dikmesi, $[AB]$ kenarını iki eş parçaya bölmektedir.

Eşkenar dörtgenin çevresi $32$ cm olduğuna göre, bu eşkenar dörtgenin alanı kaç $\text{cm}^2$ dir?

16\sqrt{3}

32

32\sqrt{3}

48

64

Show answer & explanation

Answer: $32\sqrt{3}$

Answer

Eşkenar dörtgenin alanı

32\sqrt{3}

\text{cm}^2

dir.

Verilen çevre uzunluğundan bir kenar 8 cm bulunur. İndirilen dikmenin kenarı ikiye bölmesi, oluşan üçgenin eşkenar olmasını ve dolayısıyla taban açısının 60 derece olmasını gerektirir. Buradan yükseklik

4\sqrt{3}

cm bulunur ve alan

32\sqrt{3}

cm

^2

olarak hesaplanır.

Step-by-Step Solution

1

Eşkenar dörtgenin bir kenar uzunluğunu bul.

Çevre =

4a = 32

cm olduğundan, bir kenar uzunluğu

a = 8

cm'dir.

Eşkenar dörtgenin tüm kenar uzunlukları eşittir.

2

Verilen geometrik özelliği kullanarak üçgenin yapısını belirle.

[DH]

hem yükseklik hem de kenarortay (

|AH|=|HB|=4

) olduğu için

ADB

üçgeni ikizkenardır (

|AD|=|DB|

).

|AD|=a=8

olduğundan

|DB|=8

olur. Üç kenarı da

8

cm olduğu için

ADB

eşkenar üçgendir.

Bir üçgende yükseklik aynı zamanda kenarortay ise o üçgen ikizkenardır.

3

Eşkenar dörtgenin yüksekliğini (

h

) hesapla.

ADB

eşkenar üçgen olduğundan

m(\widehat{DAB}) = 60^\circ

dir.

ADH

dik üçgeninde (veya eşkenar üçgen yüksekliği formülünden):

h = |DH| = 8 \cdot \sin(60^\circ) = 8 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = 4\sqrt{3}

cm.

30-60-90 üçgeni özellikleri veya trigonometrik oranlar.

4

Alanı hesapla.

Alan = Taban

\cdot

Yükseklik =

8 \cdot 4\sqrt{3} = 32\sqrt{3}

\text{cm}^2

.

Paralelkenar ve eşkenar dörtgende alan formülü.

Key Concept

Eşkenar dörtgende bir köşeden inilen dikme kenarı ortalıyorsa, oluşan üçgen eşkenardır ve dar açı

60^\circ

dir.

Question 388Question →

Bir $ABC$ üçgeninde $|AB| = 8$ cm, $|AC| = 15$ cm ve $m(\widehat{BAC}) < 90^\circ$ olduğu bilinmektedir.

Buna göre, $ABC$ üçgeninin üçüncü kenarı olan $|BC|$ uzunluğunun santimetre cinsinden alabileceği kaç farklı tam sayı değeri vardır?

5

8

9

15

16

Show answer & explanation

Answer: 9

Answer

9 farklı tam sayı değeri vardır.

Üçgenin var olabilmesi için

|BC|

uzunluğu öncelikle üçgen eşitsizliğini (

7 < x < 23

) sağlamalıdır. Ayrıca soruda verilen

m(\widehat{A}) < 90^\circ

şartı gereği, kenar uzunluğu Pisagor teoremindeki hipotenüs değerinden küçük olmalıdır (

x < 17

). Bu iki koşulun kesişimi

7 < x < 17

aralığını verir. Bu aralıktaki tam sayılar 8'den 16'ya kadardır ve toplam 9 tanedir.

Step-by-Step Solution

1

Üçgen eşitsizliğini uygula.

|15 - 8| < |BC| < 15 + 8 \Rightarrow 7 < |BC| < 23

Bir üçgenin bir kenar uzunluğu, diğer iki kenarın toplamından küçük, farkının mutlak değerinden büyüktür.

2

Açı şartını (Dar Açı) uygula.

|BC|^2 < 8^2 + 15^2 \Rightarrow |BC|^2 < 64 + 225 \Rightarrow |BC|^2 < 289 \Rightarrow |BC| < 17

m(\widehat{A}) < 90^\circ

ise,

a^2 < b^2 + c^2

(Pisagor eşitsizliği) geçerlidir.

3

İki eşitsizliği birleştirerek ortak çözüm aralığını bul.

7 < |BC|

ve

|BC| < 17

olduğundan ortak aralık:

7 < |BC| < 17

Kenar uzunluğu her iki koşulu da aynı anda sağlamalıdır.

4

Aralıktaki tam sayıları say.

Değerler:

8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16

. Toplam 9 tane.

Sonlu aralıktaki tam sayı adedi:

(Üst Sınır - Alt Sınır) - 1 = 17 - 7 - 1 = 9

.

Key Concept

Üçgende kenar uzunlukları hem temel üçgen eşitsizliğini (

|b-c| < a < b+c

) hem de açıya bağlı özel durumları (Pisagor eşitsizlikleri) sağlamalıdır.

Hints

1

Bir üçgende bir kenar uzunluğu, diğer iki kenarın toplamından küçük, farkından büyük olmalıdır.

2

m(\widehat{A}) = 90^\circ

olsaydı

|BC|

kaç olurdu? Açı

90^\circ

'den küçük olduğuna göre

|BC|

nasıl etkilenir?

3

8-15-17 özel üçgenini hatırlayın. Açı dar olduğuna göre

|BC|

kenarı 17'den küçük olmalıdır.

Practice More

Benzer şekilde

m(\widehat{A}) > 90^\circ

(Geniş Açı) koşulu verildiğinde çözüm aralığının nasıl değişeceğini inceleyiniz.

Estimated Time:2m 0s

Question 389Question →

Bir $ABC$ dik üçgeninde $[AB] \perp [AC]$ olarak verilmiştir. $A$ köşesinin $[BC]$ hipotenüsüne olan en kısa uzaklığı 6 cm, $[BC]$ kenarının orta noktasına olan uzaklığı ise 12 cm'dir. $m(\widehat{ABC}) > m(\widehat{ACB})$ olduğuna göre, $m(\widehat{ACB})$ kaç derecedir?

15

22,5

30

45

75

Show answer & explanation

Answer: 15

Answer

Aranan açı 15 derecedir.

Dik üçgende hipotenüse çizilen kenarortay (

|AD|

), hipotenüsün ayırdığı parçalara eşittir (

|DC|

). Bu durum

ADC

üçgeninin ikizkenar olmasını sağlar. Yükseklik üçgeninde (

AHD

) hipotenüs (

12

), dik kenarın (

6

) iki katı olduğu için tepe açısı (kenarortayın tabanla yaptığı açı)

30^\circ

bulunur. İkizkenar

ADC

üçgeninde dış açı

30^\circ

ise, taban açısı olan

C

açısı

15^\circ

olmalıdır.

Step-by-Step Solution

1

Verilen uzunlukları tanımlayalım.

A

köşesinden inilen dikme ayağına

H

, orta noktaya

D

diyelim.

|AH| = 6

cm (yükseklik),

|AD| = 12

cm (kenarortay) olur.

En kısa uzaklık yüksekliktir; orta noktaya olan uzaklık kenarortaydır.

2

AHD

dik üçgeninde açıları inceleyelim.

Hipotenüs

|AD|=12

ve dik kenar

|AH|=6

olduğu için bu bir 30-60-90 üçgenidir.

\sin(\widehat{ADH}) = \frac{6}{12} = \frac{1}{2}

olduğundan

m(\widehat{ADH}) = 30^\circ

olur.

Bir dik üçgende dik kenar hipotenüsün yarısı ise, o kenarı gören açı

30^\circ

dir.

3

Muhteşem üçlü kuralını ve ikizkenar üçgen özelliklerini kullanalım.

Dik üçgende hipotenüse ait kenarortay hipotenüsün yarısına eşittir (

|AD| = |DC| = |BD|

). Dolayısıyla

ADC

üçgeni ikizkenardır.

Muhteşem üçlü kuralı gereği

|AD| = |DC|

.

4

Dış açı kuralı ile

C

açısını hesaplayalım.

ADC

üçgeninde

m(\widehat{DAC}) = m(\widehat{ACD}) = x

dersek, iki iç açının toplamı komşu olmayan dış açıya (

m(\widehat{ADH})

) eşittir.

2x = 30^\circ \Rightarrow x = 15^\circ

.

Bir üçgende iki iç açının toplamı, kendilerine komşu olmayan bir dış açıya eşittir.

Key Concept

Dik üçgende hipotenüse ait kenarortay, hipotenüsün yarısına eşittir (Muhteşem Üçlü) ve yükseklik ile kenarortay arasındaki açı ilişkisi.

Hints

1

Dik üçgende hipotenüse ait kenarortayı çizin. Bu kenarortayın uzunluğu ile ayırdığı parçalar arasındaki ilişkiyi hatırlayın (Muhteşem Üçlü).

2

Oluşan dik üçgende hipotenüs 12 cm, bir dik kenar 6 cm'dir. Bu size hangi özel üçgeni hatırlatıyor?

3

Kenarortayın hipotenüsle yaptığı açı

30^\circ

'dir. Kenarortay hipotenüsün yarısına eşit olduğundan oluşan ikizkenar üçgende dış açı kuralını uygulayın.

Alternative Method

Formül Yöntemi: Bir dik üçgende yükseklik (

h

) ile kenarortay (

V_a

) arasındaki açı

\alpha = |B - C|

'dir.

AHD

üçgeninde

\cos(\alpha) = 6/12 = 1/2 \Rightarrow \alpha = 60^\circ

.

|B - C| = 60^\circ

ve

B + C = 90^\circ

. Bu denklem sistemi çözülerek

2C = 30^\circ \Rightarrow C = 15^\circ

bulunur.

Estimated Time:2m 30s

Question 390Question →

Bir $ABC$ dik üçgeninde $[BA] \perp [AC]$ ve $m(\widehat{ACB}) = 30^\circ$ olarak verilmiştir. $B$ köşesine ait açıortay $[AC]$ kenarını $D$ noktasında kesmektedir.

$|AD| = 6$ cm olduğuna göre, $|BC|$ uzunluğu kaç santimetredir?

6\sqrt{3}

12

12\sqrt{3}

18

24

Show answer & explanation

Answer: $12\sqrt{3}$

Answer

12\sqrt{3}

cm

Verilen

ABC

dik üçgeninde

C

açısı

30^\circ

olduğundan

B

açısı

60^\circ

olur. Açıortay bu açıyı

30^\circ-30^\circ

böler. Oluşan

ABD

üçgeni (30-60-90) kullanılarak

|AB|=6\sqrt{3}

cm bulunur. Büyük üçgende ise hipotenüs

|BC|

,

|AB|

'nin 2 katıdır; yani

12\sqrt{3}

cm'dir.

Step-by-Step Solution

1

Üçgenin açılarını belirle

ABC

üçgeninde

A=90^\circ

ve

C=30^\circ

olduğundan,

B=60^\circ

'dir.

BD

açıortay olduğu için

B

açısını

30^\circ

ve

30^\circ

olarak ikiye böler.

Üçgenin iç açıları toplamı

180^\circ

'dir ve açıortay açıyı iki eş parçaya ayırır.

2

ABD

üçgenini analiz et

ABD

üçgeninde

A=90^\circ

ve

m(\widehat{ABD})=30^\circ

'dir. Bu bir 30-60-90 üçgenidir.

30^\circ

karşısındaki kenar

|AD|=6

cm ise,

60^\circ

karşısındaki kenar

|AB| = 6\sqrt{3}

cm olur.

30-60-90 üçgeninde

60^\circ

'nin karşısındaki kenar,

30^\circ

'nin karşısındaki kenarın

\sqrt{3}

katıdır.

3

ABC

büyük üçgeninde hipotenüsü (

|BC|

) hesapla

Büyük

ABC

üçgeni de bir 30-60-90 üçgenidir.

30^\circ

'nin karşısındaki kenar

|AB|=6\sqrt{3}

cm olduğuna göre,

90^\circ

'nin karşısındaki hipotenüs

|BC| = 2 \cdot (6\sqrt{3}) = 12\sqrt{3}

cm bulunur.

30-60-90 üçgeninde hipotenüs,

30^\circ

'nin karşısındaki kenarın 2 katıdır.

Key Concept

30-60-90 Üçgeni Özellikleri ve Açıortay

Hints

1

Üçgenin iç açılar toplamından

B

açısının tamamını bulun ve açıortayın bu açıyı nasıl böldüğünü düşünün.

2

ABD

üçgeni bir özel üçgendir (30-60-90).

30^\circ

'nin karşısı 6 cm ise, diğer dik kenar (

AB

) ne olur?

3

|AB|

uzunluğunu bulduktan sonra büyük üçgen (

ABC

) için 30-60-90 özelliğini tekrar kullanın: Hipotenüs (

BC

),

30^\circ

'nin karşısındaki kenarın 2 katıdır.

Alternative Method

m(\widehat{DBC}) = 30^\circ

ve

m(\widehat{C}) = 30^\circ

olduğu için

BDC

üçgeni ikizkenardır (

|BD|=|DC|

).

ABD

üçgeninde hipotenüs

|BD|=12

bulunur, dolayısıyla

|DC|=12

olur. Buradan

|AC|=18

bulunur.

\sin(60^\circ) = |AC|/|BC| \Rightarrow \sqrt{3}/2 = 18/|BC|

işlemiyle de sonuca gidilebilir.

Estimated Time:2m 30s

Question 391Question →

Şekildeki $O$ merkezli dairenin yarıçapı $|OA| = 4$ cm'dir. Buna göre, bu dairenin alanı kaç $\text{cm}^2$ 'dir? ( $\pi = 3$ alınız.)

48

24

16

12

96

Show answer & explanation

Answer: 48

Answer

Dairenin alanı 48

\text{cm}^2

'dir.

Dairenin alanı

\pi r^2

formülü ile hesaplanır. Yarıçapı

4

cm olan bir dairede,

\pi

sayısı

3

olarak alındığında alan

3 \times 4^2 = 3 \times 16 = 48

\text{cm}^2

olarak bulunur.

Step-by-Step Solution

1

Dairenin yarıçapını (

r

) belirleyin.

r = 4

cm

Soruda

|OA|

uzunluğu yarıçap olarak verilmiştir.

2

Dairenin alan formülünü uygulayın.

Alan = \pi \times r^2

Dairenin yüzey büyüklüğünü bulmak için alan formülü kullanılır.

3

Verilen değerleri formülde yerine yazın.

Alan = 3 \times 4^2

\pi = 3

ve

r = 4

olarak belirtilmiştir.

4

İşlemi sonuçlandırın.

3 \times 16 = 48

\text{cm}^2

Önce üslü sayı (

4^2=16

), sonra çarpma işlemi yapılır.

Key Concept

Dairenin Alanı

Hints

1

Dairenin alanını bulmak için yarıçapın karesini kullanmalısınız.

2

Alan formülü

\pi \times r^2

şeklindedir. Burada

\pi = 3

ve

r = 4

cm'dir.

3

Önce

4

'ün karesini (

4 \times 4

) bulun, ardından çıkan sonucu

3

ile çarpın.

Practice More

Yarıçapı iki katına çıkarılan bir dairenin alanının kaç katına çıkacağını hesaplayarak benzerlik ilişkisini pekiştirebilirsiniz.

Alternative Method

Eğer çap verilseydi (

d=8

), alan formülü

\frac{\pi d^2}{4}

şeklinde de kullanılabilirdi:

\frac{3 \times 8^2}{4} = \frac{3 \times 64}{4} = 3 \times 16 = 48

.

Estimated Time:45s

Question 392Question →

Ayrıt uzunlukları $3\text{ cm}$ , $4\text{ cm}$ ve $12\text{ cm}$ olan bir dikdörtgenler prizması aşağıda modellenmiştir. Bu prizmanın birbirine en uzak iki köşesini birleştiren cisim köşegeninin uzunluğu kaç $\text{cm}$ 'dir?

13

15

17

19

21

Show answer & explanation

Answer: 13

Answer

Dikdörtgenler prizmasının cisim köşegeni uzunluğu

13\text{ cm}

olarak bulunur.

Verilen

3

,

4

ve

12

ayrıt uzunlukları için cisim köşegeni

\sqrt{3^2 + 4^2 + 12^2} = \sqrt{9 + 16 + 144} = \sqrt{169} = 13

olarak hesaplanır.

Step-by-Step Solution

1

Prizmanın ayrıtlarını

a

,

b

ve

c

olarak belirleyin.

a = 3\text{ cm}

,

b = 4\text{ cm}

ve

c = 12\text{ cm}

Cisim köşegeni formülünü uygulamak için temel boyutların bilinmesi gerekir.

2

Cisim köşegeni formülünü (

d = \sqrt{a^2 + b^2 + c^2}

) uygulayın.

d = \sqrt{3^2 + 4^2 + 12^2} = \sqrt{9 + 16 + 144}

Bir dikdörtgenler prizmasında cisim köşegeni, üç farklı ayrıtın karelerinin toplamının kareköküne eşittir.

3

Kök içindeki toplamı hesaplayın ve karekökünü alın.

\sqrt{169} = 13

13^2 = 169

olduğu için sonuç rasyonel bir sayıdır.

Key Concept

Dikdörtgenler prizmasında cisim köşegeni uzunluğu

d = \sqrt{a^2 + b^2 + c^2}

formülüyle hesaplanır.

Hints

1

Cisim köşegeni, bir kutunun içinde çizilebilecek en uzun doğru parçasıdır.

2

Önce tabandaki

3

ve

4

birimlik kenarlardan oluşan dik üçgenin hipotenüsünü (taban köşegenini) bulun, sonra bu uzunluğu ve yüksekliği kullanarak ikinci bir Pisagor yapın.

3

Ayrıtları

a, b, c

olan prizmanın cisim köşegeni

\sqrt{a^2 + b^2 + c^2}

formülüyle bulunur.

3^2 + 4^2 + 12^2

işleminin sonucuna odaklanın.

Practice More

Bir ayrıtı

a

olan bir küpün cisim köşegeninin neden

a\sqrt{3}

olduğunu bu formülden türetmeye çalışın.

Alternative Method

İki aşamalı Pisagor: 1) Taban köşegeni

k = \sqrt{3^2 + 4^2} = 5

. 2) Cisim köşegeni

d = \sqrt{k^2 + 12^2} = \sqrt{5^2 + 12^2} = 13

.

Estimated Time:1m 15s

Question 393Question →

$ABC$ bir üçgen, $[DE] \parallel [BC]$ 'dir. Şekilde verilen $|AD| = 4$ cm, $|DB| = 2$ cm ve $|AE| = 6$ cm değerlerine göre, $|EC|$ kaç cm'dir?

2

3

4

8

12

Show answer & explanation

Answer: 3

Answer

Üçgende benzerlik ve temel orantı teoremi kurallarına göre

|EC| = 3

cm'dir.

Üçgenin bir kenarına çizilen paralel doğru, diğer kenarları orantılı böler.

AD

uzunluğunun

DB

uzunluğuna oranı

4/2 = 2

olduğundan,

AE

uzunluğunun

EC

uzunluğuna oranı da

2

olmalıdır.

6/3 = 2

eşitliğinden

|EC|

uzunluğu

3

cm olarak bulunur.

Step-by-Step Solution

1

Paralellik durumunda kenarlar arasındaki orantıyı belirle.

[DE] \parallel [BC]

olduğu için Temel Orantı Teoremi (Thales) gereği

\frac{|AD|}{|DB|} = \frac{|AE|}{|EC|}

eşitliği yazılır.

Bir üçgenin bir kenarına paralel olan ve diğer iki kenarı kesen bir doğru, kestiği kenarları orantılı parçalara ayırır.

2

Verilen sayısal değerleri formülde yerine koy.

\frac{4}{2} = \frac{6}{|EC|}

|AD|=4, |DB|=2

ve

|AE|=6

bilgileri soruda verilmiştir.

3

Bilinmeyen

|EC|

değerini hesapla.

2 = \frac{6}{|EC|} \Rightarrow |EC| = 3

cm

Eşitliğin sol tarafındaki

4/2

oranı

2

'ye eşittir.

2

ile ne çarpılırsa

6

eder veya

6

neye bölünürse

2

eder mantığıyla sonuç bulunur.

Key Concept

Temel Orantı Teoremi

Hints

1

[DE]

ve

[BC]

doğrularının birbirine paralel olması, üçgenler arasında bir benzerlik veya kenarlar arasında bir orantı olduğunu gösterir.

2

Temel orantı teoremini hatırla: Üçgenin içindeki paralel doğru kenarları hangi oranda bölüyorsa, karşı kenarı da aynı oranda böler.

3

AD

uzunluğu

DB

uzunluğunun tam

2

katıdır (

4 = 2 \times 2

). Aynı kat ilişkisi karşı tarafta

AE

ve

EC

arasında da olmalıdır.

Practice More

Bu soruda

|EC|

yerine tüm

|AC|

uzunluğu da sorulabilirdi. Benzerlik oranını kullanarak taban uzunlukları (

DE

ve

BC

) arasındaki ilişkiyi de inceleyebilirsin.

Estimated Time:45s

Question 394Question →

Bir dışbükey dörtgenin üç iç açısının ölçüsü sırasıyla $80^\circ$ , $110^\circ$ ve $70^\circ$ olarak verilmiştir. Buna göre, bu dörtgenin dördüncü iç açısının ölçüsü kaç derecedir?

100^\circ

80^\circ

90^\circ

110^\circ

120^\circ

Show answer & explanation

Answer: $100^\circ$

Answer

Dörtgenin dördüncü iç açısının ölçüsü

100^\circ

'dir.

Dörtgenlerin iç açılarının toplamı

360^\circ

kuralına dayanarak, verilen

80^\circ

,

110^\circ

ve

70^\circ

açılarının toplamı olan

260^\circ

değeri

360^\circ

değerinden çıkarıldığında sonuç

100^\circ

olarak bulunur.

Step-by-Step Solution

1

Dörtgenin temel açı özelliğini hatırla.

Tüm dışbükey dörtgenlerin iç açılarının toplamı her zaman

360^\circ

'dir.

Dörtgenler, bir köşegenle iki adet üçgene ayrılabildiği için (

180^\circ + 180^\circ

) toplam

360^\circ

eder.

2

Verilen üç açının toplamını hesapla.

80^\circ + 110^\circ + 70^\circ = 260^\circ

Bilinmeyen açıyı bulmak için öncelikle bilinen açıların toplam miktarını bilmemiz gerekir.

3

Toplam açıdan bilinenleri çıkararak dördüncü açıyı bul.

360^\circ - 260^\circ = 100^\circ

Dörtgenin iç açılar toplamı kuralını tamamlamak için eksik olan parça hesaplanır.

Key Concept

Dörtgenlerin iç açılarının toplamı her zaman

360^\circ

'dir.

Hints

1

Bir dörtgenin iç açılarını topladığımızda elde edeceğimiz sabit bir sayı vardır.

2

Dörtgenin iç açılar toplamı, bir üçgenin iç açılar toplamının iki katıdır.

3

İç açılar toplamı olan

360^\circ

değerinden, bildiğiniz üç açının toplamını çıkarın.

Practice More

İç açıları verilen bir paralelkenarda dördüncü açıyı bulma egzersizleri yaparak bu kuralı pekiştirebilirsiniz.

Alternative Method

Dörtgeni bir köşegenle iki üçgene ayırdığınızı hayal edin. Her bir üçgen

180^\circ

ise toplam

360^\circ

olur. Verilenleri toplayıp bu sayıdan çıkararak dördüncü açıyı elde edersiniz.

Estimated Time:45s

Question 395Question →

Merkezleri çakışık (eş merkezli) iki daireden oluşan bir sistemde, iki daire arasında kalan halkanın alanı, içteki küçük dairenin alanına eşittir. Büyük dairenin, küçük daireye teğet olan kirişinin uzunluğu $12$ cm olduğuna göre, küçük dairenin yarıçapı kaç cm'dir?

3\sqrt{2}

4

6

6\sqrt{2}

12

Show answer & explanation

Answer: $6$

Answer

Küçük dairenin yarıçapı 6 cm'dir.

Merkezden kirişe indirilen dikme kirişi ikiye böler (6 cm). Pisagor teoreminden

R^2 - r^2 = 36

bulunur. Soruda halka alanının (

\pi(R^2 - r^2)

) iç daire alanına (

\pi r^2

) eşit olduğu verilmiştir. Buradan

36\pi = \pi r^2

eşitliği ile

r=6

elde edilir.

Step-by-Step Solution

1

Verilen geometrik yapıyı ve değişkenleri tanımla.

Büyük dairenin yarıçapı

R

, küçük dairenin yarıçapı

r

olsun. Kiriş uzunluğu

12

cm verildiğinden, teğet noktasında kiriş iki eşit parçaya bölünür:

6

cm ve

6

cm.

Merkezden teğet noktasına çizilen yarıçap, kirişi dik ortalar.

2

Pisagor bağıntısını kullanarak

R

ve

r

arasındaki ilişkiyi kur.

Oluşan dik üçgende hipotenüs

R

, dik kenarlar

r

ve

6

cm'dir. Bağıntı:

R^2 = r^2 + 6^2 \Rightarrow R^2 - r^2 = 36

.

Halka alanı formülü için

R^2 - r^2

ifadesine ihtiyaç vardır.

3

Problemde verilen alan eşitliğini matematiksel denkleme dök.

Halka Alanı = Küçük Daire Alanı

\Rightarrow \pi(R^2 - r^2) = \pi r^2

.

Soruda verilen temel koşul budur.

4

Bulunan eşitlikleri birleştirerek

r

değerini hesapla.

İkinci denklemde

R^2 - r^2

yerine 36 yazılır:

36\pi = \pi r^2 \Rightarrow r^2 = 36 \Rightarrow r = 6

cm.

İki bilinmeyenli denklem sistemini çözerek sonuca ulaşılır.

Key Concept

Halka Alanı ve Pisagor Bağıntısı

Hints

1

Şekli çiziniz: İç içe iki çember ve büyük çemberin kirişi küçük çembere teğet. Merkez ile teğet noktasını birleştiren yarıçapı çizin.

2

Merkezden kirişe indirilen dikme, kirişi iki eşit parçaya böler. Burada oluşan dik üçgende Pisagor bağıntısını yazın (

R

,

r

ve

6

arasında).

3

Halka alanı

\pi(R^2 - r^2)

formülü ile bulunur. Bu ifadeyi Pisagor'dan bulduğunuz değerle (

36

) eşleştirip, soruda verilen 'halka alanı = iç daire alanı' eşitliğinde kullanın.

Practice More

Benzer bir soruda, halkanın alanı verilip kiriş uzunluğunun sorulduğu durumu inceleyiniz.

Alternative Method

Pratik Kural: Bir halkada, iç çembere teğet olan kirişin uzunluğu

2x

ise, halkanın alanı yarıçapı

x

olan bir dairenin alanına eşittir (

\pi x^2

). Burada

2x=12 \Rightarrow x=6

. Halka alanı

36\pi

olur.

36\pi = \pi r^2

eşitliğinden

r=6

bulunur.

Estimated Time:2m 30s

Question 396Question →

$ABC$ bir üçgen, $D \in [BC]$ , $E \in [AC]$ ve $F \in [AB]$ noktaları işaretlenmiştir. $|BD| = |BF|$ , $|CD| = |CE|$ ve $m(\widehat{BAC}) = 80^\circ$ olduğuna göre, $m(\widehat{FDE}) = \alpha$ kaç derecedir?

40

50

60

80

100

Show answer & explanation

Answer: $50$

Answer

İç açı toplamları ve ikizkenar üçgen özellikleri kullanıldığında

\alpha

açısı

50^\circ

olarak bulunur.

ABC

üçgeninde tepe açısı

80^\circ

ise taban açılarının toplamı

100^\circ

olur.

D

noktasındaki doğru açı bütünlüğü kullanıldığında,

\alpha

açısı bu iki taban açısı toplamının yarısına eşit çıkmaktadır (

100/2=50

).

Step-by-Step Solution

1

ABC

üçgeninin iç açılarını belirleme.

m(\widehat{B}) + m(\widehat{C}) = 180^\circ - 80^\circ = 100^\circ

Üçgenin iç açıları toplamı her zaman

180^\circ

derecedir.

2

İkizkenar üçgenlerin taban açılarını ifade etme.

m(\widehat{BDF}) = \frac{180^\circ - m(\widehat{B})}{2}

ve

m(\widehat{CDE}) = \frac{180^\circ - m(\widehat{C})}{2}

|BD| = |BF|

ve

|CD| = |CE|

olduğu için bu üçgenler ikizkenardır ve taban açıları eşittir.

3

Doğru açı özelliğini kullanarak

\alpha

açısını hesaplama.

\alpha = 180^\circ - (m(\widehat{BDF}) + m(\widehat{CDE})) = 180^\circ - [180^\circ - \frac{m(\widehat{B}) + m(\widehat{C})}{2}] = \frac{m(\widehat{B}) + m(\widehat{C})}{2} = \frac{100^\circ}{2} = 50^\circ

BC

doğrusu üzerindeki

D

noktasında oluşan açıların toplamı

180^\circ

derecedir.

Key Concept

Üçgende iç açılar toplamı ve ikizkenar üçgenin taban açılarının eşitliği.

Hints

1

B

ve

C

açılarının toplamını bularak işe başlayın.

2

BD=BF

ve

CD=CE

eşitliklerini kullanarak

D

noktası etrafındaki komşu açıları bulun.

3

D

noktasındaki üç açının toplamının

180^\circ

olduğunu kullanarak

\alpha

'yı çekin.

Practice More

Tepe açısı

80^\circ

yerine farklı bir değer verildiğinde sonucun nasıl değiştiğini gözlemlemek için benzer bir soru çözülebilir.

Estimated Time:1m 30s

Question 397Question →

Taban ayrıtları $6$ cm ve $8$ cm, yüksekliği $12$ cm olan dikdörtgenler prizması şeklindeki boş bir kabın içinde $9$ cm yüksekliğinde su bulunmaktadır. Bu kabın içerisine, bir ayrıtının uzunluğu $6$ cm olan demir bir küp tamamen batacak şekilde bırakılıyor. Buna göre, kaptan taşan suyun hacmi kaç $\text{cm}^3$ olur?

48

72

108

144

216

Show answer & explanation

Answer: $72$

Answer

Kaptan taşan suyun hacmi 72 cm^3 olur.

Prizmanın taban alanı

48 \text{ cm}^2

ve boş yüksekliği

3

cm'dir, dolayısıyla

144 \text{ cm}^3

boş alan vardır. İçeriye atılan küpün hacmi

216 \text{ cm}^3

olduğundan, bu hacmin

144 \text{ cm}^3

kısmı boşluğu doldurur, geriye kalan

72 \text{ cm}^3

ise dışarı taşar.

Step-by-Step Solution

1

Prizmanın taban alanını ve suyun üzerindeki boş kısmın hacmini hesapla.

Taban Alanı =

6 \times 8 = 48 \text{ cm}^2

. Boş kısmın yüksekliği =

12 - 9 = 3

cm. Boş hacim =

48 \times 3 = 144 \text{ cm}^3

.

Kaba atılan nesnenin taşmaya neden olması için önce kaptaki boşluğu doldurması gerekir.

2

Kaba atılan demir küpün hacmini hesapla.

Hacim =

a^3 = 6^3 = 216 \text{ cm}^3

.

Batan her cisim, kendi hacmi kadar suyun yerini değiştirir.

3

Taşan suyun hacmini bulmak için küpün hacminden boş hacmi çıkar.

Taşan Hacim =

216 - 144 = 72 \text{ cm}^3

.

Küpün hacmi boşluktan büyük olduğu için aradaki fark kadar su dışarı taşar.

Key Concept

Batan cisimlerin hacmi ve sıvı taşma prensibi

Hints

1

Cisim kaba girdiğinde önce suyun üzerindeki boşluğu doldurur.

2

Prizmanın boş kısmının hacmini (Taban Alanı x Boş Yükseklik) ve küpün hacmini (

a^3

) ayrı ayrı hesaplayın.

3

Taşan su = (Küpün Hacmi) - (Prizmanın Boş Hacmi) formülünü kullanın.

Practice More

Eğer cisim tamamen batmasaydı veya su seviyesi değişimi sorulsaydı nasıl bir yol izlenirdi?

Estimated Time:1m 30s

Question 398Question →

Bir $ABC$ dik üçgeninde $[AB] \perp [AC]$ ve $m(\widehat{ACB}) = 15^\circ$ olarak verilmiştir. $A$ köşesinden hipotenüse indirilen dikmenin ayağı $H$ ve $[BC]$ kenarının orta noktası $K$ noktasıdır. Eğer $|HK| = 2\sqrt{3}$ cm ise, hipotenüs uzunluğu $|BC|$ kaç santimetredir?

4

6

8

12

16

Show answer & explanation

Answer: 8

Answer

Hipotenüs uzunluğu 8 cm'dir.

Soruda verilen

15-75-90

üçgeni özelliği gereği yükseklik hipotenüsün dörtte biridir (

h_{a} = |BC|/4

). Kenarortay ise hipotenüsün yarısıdır (

|AK| = |BC|/2 = 2h_{a}

). Oluşan

AHK

dik üçgeninde hipotenüs

2h

, dik kenar

h

olduğundan bu bir

30-60-90

üçgenidir ve diğer dik kenar

|HK| = h\sqrt{3}

olur. Verilen

|HK|=2\sqrt{3}

eşitliğinden

h=2

bulunur. Buradan hipotenüs

|BC|=4h=8

cm elde edilir.

Step-by-Step Solution

1

15-75-90

üçgeninde hipotenüse ait yüksekliğin (

h

), hipotenüsün (

|BC|

) dörtte biri olduğunu hatırlayalım.

|AH| = h

ve

|BC| = 4h

.

15-75-90

üçgeninin temel özelliği:

h_{hyp} = \frac{1}{4} \cdot Hyp

.

2

Muhteşem üçlü kuralını kullanarak kenarortay uzunluğunu (

|AK|

)

h

cinsinden ifade edelim.

|AK| = \frac{|BC|}{2} = \frac{4h}{2} = 2h

.

Bir dik üçgende hipotenüse ait kenarortay, hipotenüsün yarısına eşittir.

3

AHK

dik üçgeninde Pisagor bağıntısını uygulayarak

h

değerini bulalım.

h^2 + (2\sqrt{3})^2 = (2h)^2 \Rightarrow h^2 + 12 = 4h^2 \Rightarrow 3h^2 = 12 \Rightarrow h = 2

.

AHK

üçgeninde hipotenüs

2h

, bir dik kenar

h

ise diğer dik kenar

h\sqrt{3}

'tür (30-60-90 üçgeni).

4

Bulunan

h

değerini kullanarak

|BC|

uzunluğunu hesaplayalım.

|BC| = 4h = 4 \cdot 2 = 8

cm.

Soruda istenen hipotenüs uzunluğudur.

Key Concept

15-75-90 üçgeninde yükseklik-hipotenüs ilişkisi (

h=4a

) ve muhteşem üçlü kuralının bir arada kullanımı.

Hints

1

Bir dik üçgende hipotenüse ait kenarortay uzunluğu, hipotenüsün yarısına eşittir (Muhteşem Üçlü).

2

15-75-90 üçgeninde hipotenüse ait yükseklik (

h

) ile hipotenüs (

a

) arasında

h = a/4

bağıntısı vardır.

Practice More

Benzer şekilde, 22.5-67.5-90 üçgeninde yükseklik ile hipotenüs arasındaki ilişkiyi (

h = a / 2\sqrt{2}

) inceleyiniz.

Estimated Time:2m 30s

Question 399Question →

$O$ merkezli ve yarıçapı $6$ cm olan bir çeyrek daire içine; $[OB]$ yarıçapını çap kabul eden bir yarım daire ile hem bu yarım daireye, hem $[OA]$ yarıçapına, hem de çeyrek dairenin yayına teğet olan $M$ merkezli küçük bir çember çiziliyor.

Buna göre, $M$ merkezli küçük çemberin yarıçapı kaç cm'dir?

1,5

2

1

1,2

2,4

Show answer & explanation

Answer: 1,5

Answer

Küçük çemberin yarıçapı 1,5 cm'dir.

Küçük çemberin yarıçapı

r

olsun. Merkezini koordinat sisteminde

(r, y)

olarak alabiliriz (y-eksenine teğet olduğu için). Büyük çeyrek daireye içten teğet olduğu için orijine uzaklığı

6-r

, yarım daireye dıştan teğet olduğu için yarım daire merkezine

(3,0)

uzaklığı

3+r

olur. Bu iki koşuldan elde edilen

y^2 = 12r

ve

y^2 = 36-12r

denklemleri eşitlendiğinde

24r = 36

bulunur, buradan

r=1,5

cm elde edilir.

Step-by-Step Solution

1

Çeyrek daireyi koordinat düzlemine yerleştirme ve merkezleri belirleme

O(0,0)

orijin olsun.

OA

y ekseni üzerinde,

OB

x ekseni üzerinde olsun. Yarım dairenin çapı

OB

üzerinde olduğundan, merkezi

K(3,0)

ve yarıçapı

3

cm olur.

Geometrik şekillerin konumlarını analitik düzlemde ifade etmek, teğetlik koşullarını denkleme dökmeyi kolaylaştırır.

2

Küçük çemberin merkez koordinatlarını ve teğetlik koşullarını yazma

Küçük çemberin yarıçapı

r

olsun.

OA

(y-ekseni) doğrusuna teğet olduğu için merkezinin x koordinatı

r

olur. Merkeze

M(r, y)

diyelim.

Bilinmeyen yarıçap

r

ile merkez koordinatları arasında ilişki kurmak gerekir.

3

Pisagor bağıntılarını kurma (İki çember arası uzaklık)

1. Küçük çember ile büyük çeyrek daire (yarıçap 6) içten teğet:

|OM| = 6 - r \Rightarrow r^2 + y^2 = (6-r)^2

. 2. Küçük çember ile yarım daire (yarıçap 3, merkez

(3,0)

) dıştan teğet:

|MK| = 3 + r \Rightarrow (r-3)^2 + y^2 = (3+r)^2

.

Teğet çemberlerin merkezleri arasındaki uzaklık, yarıçapların toplamına (dıştan teğet) veya farkına (içten teğet) eşittir.

4

Denklem sistemini çözme

İkinci denklemden:

r^2 - 6r + 9 + y^2 = r^2 + 6r + 9 \Rightarrow y^2 = 12r

. Birinci denklemden:

r^2 + y^2 = 36 - 12r + r^2 \Rightarrow y^2 = 36 - 12r

. Eşitleyelim:

12r = 36 - 12r \Rightarrow 24r = 36 \Rightarrow r = 1,5

.

İki bilinmeyenli denklem sistemini çözerek yarıçapı bulmak.

Key Concept

Çemberlerde Teğetlik ve Pisagor Bağıntısı

Hints

1

Şekli analitik düzleme (koordinat sistemi) yerleştirmeyi deneyin. O noktası orijin olsun.

2

Yarım dairenin merkezi (3,0) noktasıdır. Küçük çemberin merkezi ile yarım dairenin merkezi arasındaki uzaklığı yazın.

3

Küçük çemberin yarıçapına

r

, merkezinin ordinatına

y

diyerek iki farklı Pisagor denklemi kurun: Biri orijine

(0,0)

göre, diğeri yarım daire merkezine

(3,0)

göre.

Practice More

Benzer bir soruyu, yarım daire yerine çeyrek daire içine çizilen tam daire (Sangaku problemi) üzerinden sorarak pekiştirme yapılabilir.

Alternative Method

Descartes Çember Teoremi (Soddy Circles) genelleştirilmiş haliyle de çözülebilir ancak bu müfredat dışı ve daha karmaşıktır. En pratik yol dik üçgenler kurmaktır.

Estimated Time:3m 0s

Question 400Question →

Şekildeki $ABC$ üçgeninde $D \in [AB]$ ve $E \in [AC]$ noktaları alınmıştır. $[DE] \parallel [BC]$ ve $[BE]$ doğru parçası $\widehat{ABC}$ açısının açıortayıdır. $m(\widehat{BAC}) = 64^\circ$ ve $m(\widehat{DEB}) = 28^\circ$ olduğuna göre, $m(\widehat{ACB})$ kaç derecedir?

56

58

60

64

88

Show answer & explanation

Answer: 60

Answer

60^\circ

Soruda verilen

[DE] \parallel [BC]

paralelliği sayesinde 'Z kuralı' (iç ters açılar) uygulanır ve

m(\widehat{EBC}) = 28^\circ

bulunur.

[BE]

'nin açıortay olması nedeniyle

m(\widehat{ABC})

açısının tamamı

2 \times 28^\circ = 56^\circ

olur.

ABC

üçgeninin iç açıları toplamı (

180^\circ

) kullanılarak

64^\circ + 56^\circ + m(\widehat{ACB}) = 180^\circ

denkleminden cevap

60^\circ

bulunur.

Step-by-Step Solution

1

Paralellikten yararlanarak iç ters açıları belirle.

[DE] \parallel [BC]

olduğu için Z kuralı gereği

m(\widehat{EBC}) = m(\widehat{DEB}) = 28^\circ

.

Paralel doğrular arasındaki iç ters açılar birbirine eşittir.

2

Açıortay özelliğini kullanarak B açısının tamamını bul.

[BE]

açıortay olduğundan

m(\widehat{ABE}) = m(\widehat{EBC}) = 28^\circ

. Dolayısıyla

m(\widehat{ABC}) = 28^\circ + 28^\circ = 56^\circ

.

Açıortay bir açıyı iki eş parçaya böler.

3

Üçgenin iç açıları toplamını kullanarak C açısını hesapla.

m(\widehat{ABC}) + m(\widehat{BAC}) + m(\widehat{ACB}) = 180^\circ \Rightarrow 56^\circ + 64^\circ + m(\widehat{ACB}) = 180^\circ

. Buradan

120^\circ + m(\widehat{ACB}) = 180^\circ \Rightarrow m(\widehat{ACB}) = 60^\circ

.

Bir üçgenin iç açıları toplamı

180^\circ

'dir.

Key Concept

Paralel doğrularda açılar (Z kuralı) ve üçgenin iç açıları toplamı.

Geometri

Answer

Step-by-Step Solution

Key Concept

Common Mistakes

Hints

Practice More

Alternative Method

Answer

Step-by-Step Solution

Key Concept

Common Mistakes

Hints

Answer

Step-by-Step Solution

Key Concept

Common Mistakes

Hints

Practice More

Alternative Method

Answer

Step-by-Step Solution

Key Concept

Common Mistakes

Hints

Practice More

Alternative Method

Answer

Step-by-Step Solution

Key Concept

Common Mistakes

Hints

Answer

Step-by-Step Solution

Key Concept

Common Mistakes

Hints

Practice More

Alternative Method

Answer

Step-by-Step Solution

Key Concept

Common Mistakes

Answer

Step-by-Step Solution

Key Concept

Common Mistakes

Hints

Practice More

Answer

Step-by-Step Solution

Key Concept

Common Mistakes

Hints

Alternative Method

Answer

Step-by-Step Solution

Key Concept

Common Mistakes

Hints

Alternative Method

Answer

Step-by-Step Solution

Key Concept

Common Mistakes

Hints

Practice More

Alternative Method

Answer

Step-by-Step Solution

Key Concept

Common Mistakes

Hints

Practice More

Alternative Method

Answer

Step-by-Step Solution

Key Concept

Common Mistakes

Hints