Examkin

Sayma ve Olasılık

293 questions

Question 121Question →

Bir Kalkınma Ajansı, bölgesel kalkınma planı hazırlıkları kapsamında 55 farklı Doğu Anadolu bölgesi ve 44 farklı Güneydoğu Anadolu bölgesi arasından inceleme yapmak üzere toplam 33 bölgeyi seçecektir. Seçilecek bölgeler arasında her iki gruptan da en az birer tane bölge bulunması şartıyla, bu seçim kaç farklı şekilde yapılabilir?

Show answer & explanation

Answer: 7070

Answer

Seçim, koşulları sağlayan durumların toplamı olan 70 farklı şekilde yapılabilir.
Doğru cevap olan 70, soruda belirtilen 'her iki gruptan en az birer bölge seçilmesi' şartına uyan iki farklı senaryonun toplamıdır: (1 Doğu, 2 Güneydoğu) seçimi 30 farklı yolla, (2 Doğu, 1 Güneydoğu) seçimi ise 40 farklı yolla yapılır. Toplamda 70 farklı seçim imkanı doğar.

Step-by-Step Solution

1
Koşullara uygun durumları belirle.
Durum 1: 1 Doğu ve 2 Güneydoğu bölgesi. Durum 2: 2 Doğu ve 1 Güneydoğu bölgesi.
Toplam 3 bölge seçilmesi gerektiği ve her iki gruptan da en az birer tane olması şartı bu iki senaryoyu zorunlu kılar.
2
Durum 1 için kombinasyonları hesapla.
(51)×(42)=5×6=30\binom{5}{1} \times \binom{4}{2} = 5 \times 6 = 30.
5 Doğu bölgesinden 1 tane ve 4 Güneydoğu bölgesinden 2 tane seçme işlemidir.
3
Durum 2 için kombinasyonları hesapla.
(52)×(41)=10×4=40\binom{5}{2} \times \binom{4}{1} = 10 \times 4 = 40.
5 Doğu bölgesinden 2 tane ve 4 Güneydoğu bölgesinden 1 tane seçme işlemidir.
4
Elde edilen sonuçları topla.
30+40=7030 + 40 = 70.
Farklı seçim senaryoları toplama kuralı ile birleştirilir.

Key Concept

Kombinasyon (Seçme) ve Gruplandırma

Hints

1
Soruda 'en az bir' şartı varsa, olası tüm senaryoları (1D-2G veya 2D-1G) ayrı ayrı düşünmelisiniz.
2
Doğu bölgesi için (5r)\binom{5}{r} ve Güneydoğu bölgesi için (4k)\binom{4}{k} kombinasyonlarını çarpıp sonuçları toplayın.
3
(51)⋅(42)+(52)⋅(41)\binom{5}{1} \cdot \binom{4}{2} + \binom{5}{2} \cdot \binom{4}{1} işleminin sonucunu bulun.

Practice More

Seçilecek bölge sayısı 4 olsaydı ve şart aynı kalsaydı çözüm nasıl değişirdi?

Alternative Method

Tüm durumlardan kısıta uymayanları çıkarabilirsiniz. Tüm durumlar (93)=84\binom{9}{3} = 84. Kısıta uymayanlar: Sadece Doğu seçilmesi (53)=10\binom{5}{3} = 10, Sadece Güneydoğu seçilmesi (43)=4\binom{4}{3} = 4. 84−(10+4)=7084 - (10 + 4) = 70.
Estimated Time:1m 30s
Question 122Question →

Bir kamu kütüphanesinde çalışan memur, 3 farklı tarih ve 2 farklı coğrafya kitabını bir rafa yan yana dizecektir. Tarih kitaplarının tamamının bir arada olması koşuluyla bu kitaplar kaç farklı şekilde sıralanabilir?

Show answer & explanation

Answer: 3636

Answer

Kitaplar toplamda 36 farklı şekilde sıralanabilir.
Tarih kitaplarını tek bir nesne kabul ettiğimizde, elimizde toplam 3 nesne olur ve bunlar 3!=63! = 6 şekilde sıralanır. Ayrıca tarih kitapları da kendi içinde 3!=63! = 6 şekilde yer değiştirebildiğinden, toplam dizilim sayısı 6×6=366 \times 6 = 36 olarak bulunur.

Step-by-Step Solution

1
Tarih kitaplarını 'paketleme' yöntemiyle gruplandırın.
3 tarih kitabı tek bir nesne (paket) gibi düşünülür.
Soruda tarih kitaplarının 'bir arada' olması istendiği için onları ayıramayız.
2
Toplam birim sayısını belirleyip sıralayın.
11 (tarih paketi) + 22 (coğrafya kitabı) = 33 birim. Sıralama: 3!=3×2×1=63! = 3 \times 2 \times 1 = 6.
Paket ve diğer kitaplar raf üzerinde kendi aralarında yer değiştirebilir.
3
Paket içindeki kitapların kendi aralarındaki sıralamasını hesaplayın.
3 tarih kitabı kendi arasında 3!=63! = 6 farklı şekilde sıralanır.
Tarih kitapları kendi içlerinde de yer değiştirdikçe farklı dizilimler oluşur.
4
Çarpma kuralını uygulayarak sonucu bulun.
6×6=366 \times 6 = 36.
Sıralama işlemleri birbirine bağlı olaylar olduğu için sonuçlar çarpılır.

Key Concept

Permütasyonda 'bir arada olma' (paketleme) yöntemi

Hints

1
Bir arada olması istenen nesneleri tek bir 'blok' veya 'paket' olarak düşünün.
2
Şu an elinizde 1 paket (tarihler) ve 2 ayrı coğrafya kitabı var. Toplam kaç birimi sıralamanız gerekiyor?
3
Bulduğunuz bu dış sıralama sonucunu, paket içindeki kitapların kendi aralarındaki 3!3! sıralamasıyla çarpmayı unutmayın.

Practice More

Eğer kitaplardan biri rafın başında olmak zorunda olsaydı sonuç nasıl değişirdi?

Alternative Method

Tüm durumları hayal ederek; (T T T) C C, C (T T T) C, C C (T T T) gibi 3 ana konum vardır. Her konum için tarihlerin iç sıralaması (3!3!) ve coğrafyaların sıralaması (2!2!) çarpılır: 3×6×2=363 \times 6 \times 2 = 36.
Estimated Time:45s
Question 123Question →

A={1,2,3,4,5}A = \{1, 2, 3, 4, 5\} kümesinin elemanları kullanılarak rakamları birbirinden farklı üç basamaklı doğal sayılar yazılıyor.

Bu sayılar arasından rastgele seçilen bir sayının 300300'den büyük olduğu bilindiğine göre, bu sayının tek sayı olma olasılığı kaçtır?

Show answer & explanation

Answer: 712\frac{7}{12}

Answer

Seçilen sayının 300'den büyük olduğu bilindiğine göre tek olma olasılığı 712\frac{7}{12}'dir.
Soruda '300'den büyük olduğu bilindiğine göre' ifadesi, örnek uzayın kısıtlandığını gösterir. Öncelikle yüzler basamağı 3, 4 veya 5 olan rakamları farklı tüm sayıların adedi (payda) bulunur: 3×4×3=363 \times 4 \times 3 = 36. Ardından bu küme içinde tek olanlar (pay) hesaplanır: Yüzler basamağı 3 iken sonu {1,5} olabilir (6 adet), yüzler basamağı 4 iken sonu {1,3,5} olabilir (9 adet), yüzler basamağı 5 iken sonu {1,3} olabilir (6 adet). Toplam istenen durum 21'dir. Olasılık 2136=712\frac{21}{36} = \frac{7}{12} olarak bulunur.

Step-by-Step Solution

1
Koşullu örnek uzayın (E') eleman sayısını belirle.
s(E′)=36s(E') = 36
300'den büyük sayılar için yüzler basamağı {3, 4, 5} olabilir. Her durum için kalan 4 rakamdan 2'si seçilip sıralanır: 3×(4×3)=363 \times (4 \times 3) = 36.
2
Koşulu sağlayan istenen durumların (A) eleman sayısını hesapla.
s(A)=21s(A) = 21
300'den büyük VE tek olan sayılar incelenir: 3xx (sonu 1,5) →2×3=6\rightarrow 2 \times 3 = 6 durum; 4xx (sonu 1,3,5) →3×3=9\rightarrow 3 \times 3 = 9 durum; 5xx (sonu 1,3) →2×3=6\rightarrow 2 \times 3 = 6 durum. Toplam: 6+9+6=216+9+6=21.
3
Olasılık oranını hesapla.
2136=712\frac{21}{36} = \frac{7}{12}
İstenen durum sayısı / Koşullu örnek uzay sayısı.

Key Concept

Koşullu olasılıkta örnek uzay, verilen koşula göre daraltılır. P(A∣B)=s(A∩B)s(B)P(A|B) = \frac{s(A \cap B)}{s(B)} formülü kullanılır.

Hints

1
Öncelikle '300'den büyük' şartını sağlayan kaç farklı sayı yazılabileceğini (yeni örnek uzayınızı) hesaplayın.
2
300'den büyük sayıları yüzler basamağına göre gruplandırın (300'lü, 400'lü, 500'lü). Her grup için kaç tane tek sayı yazılabildiğini ayrı ayrı bulun.
3
Yüzler basamağı 3 veya 5 olduğunda, birler basamağına yazılabilecek tek rakam sayısı azalır (çünkü 3 ve 5 tektir). Yüzler basamağı 4 olduğunda ise azalmaz. Bu ayrımı yaparak toplayın.

Alternative Method

Tüm durumlardan (300'den büyük olanlar) çift olanları çıkararak da tek sayıların adedine ulaşabilirsiniz: 36 (toplam) - 15 (çift) = 21 (tek).
Estimated Time:2m 30s
Question 124Question →

Bir kamu kurumu tarafından açılan hizmet binası ihalesine A, B ve C olmak üzere üç farklı inşaat firması katılmıştır. İhaleyi A firmasının kazanma olasılığı %40, B firmasının %35 ve C firmasının %25'tir. İhaleyi kazanan firmaya göre inşaatın belirlenen sürede tamamlanamama (gecikme) olasılıkları sırasıyla %10, %20 ve %40 olarak öngörülmüştür. İnşaat süreci sonunda binanın zamanında teslim edildiği bilinmektedir.

Buna göre, ihaleyi B firmasının kazanmış olma olasılığı kaçtır?

Show answer & explanation

Answer: 2879\frac{28}{79}

Answer

İnşaatın zamanında teslim edildiği bilindiğine göre, ihaleyi B firmasının kazanmış olma olasılığı 2879\frac{28}{79}'dur.
Soruda bir olayın gerçekleştiği bilindiğinde (inşaatın zamanında bitmesi), bunun belirli bir sebepten (B firması) kaynaklanma olasılığı sorulmaktadır. Bu klasik bir Bayes Teoremi problemidir. Doğru çözümde önce her firmanın zamanında bitirme olasılıkları (1−gecikme1 - \text{gecikme}) bulunur. Sonra toplam olasılık kuralı ile tüm 'zamanında bitme' olasılığı hesaplanır (0,790,79). Son olarak, B firmasının bu duruma katkısı (0,280,28), toplam olasılığa bölünerek 2879\frac{28}{79} sonucuna ulaşılır.

Step-by-Step Solution

1
Olayları ve verilen olasılıkları tanımlayalım.
Firmaların kazanma olasılıkları: P(A)=0,40P(A)=0,40, P(B)=0,35P(B)=0,35, P(C)=0,25P(C)=0,25.
Gecikme (G) olasılıkları verilmiştir: P(G∣A)=0,10P(G|A)=0,10, P(G∣B)=0,20P(G|B)=0,20, P(G∣C)=0,40P(G|C)=0,40.
Bizden istenen durum 'Zamanında Teslim' (ZZ) olduğu için, her firma için zamanında teslim olasılıklarını (1−P(G)1 - P(G)) bulalım:
P(Z∣A)=1−0,10=0,90P(Z|A) = 1 - 0,10 = 0,90
P(Z∣B)=1−0,20=0,80P(Z|B) = 1 - 0,20 = 0,80
P(Z∣C)=1−0,40=0,60P(Z|C) = 1 - 0,40 = 0,60
Soruda 'zamanında teslim edildiği bilindiğine göre' dendiği için gecikme olasılıklarını değil, zamanında teslim olasılıklarını kullanmalıyız.
2
Toplam zamanında teslim edilme olasılığını (P(Z)P(Z)) hesaplayalım (Toplam Olasılık Kanunu).
P(Z)=P(Z∣A)⋅P(A)+P(Z∣B)⋅P(B)+P(Z∣C)⋅P(C)P(Z) = P(Z|A)\cdot P(A) + P(Z|B)\cdot P(B) + P(Z|C)\cdot P(C)
P(Z)=(0,90⋅0,40)+(0,80⋅0,35)+(0,60⋅0,25)P(Z) = (0,90 \cdot 0,40) + (0,80 \cdot 0,35) + (0,60 \cdot 0,25)
P(Z)=0,36+0,28+0,15=0,79P(Z) = 0,36 + 0,28 + 0,15 = 0,79
Bayes teoreminin paydasını oluşturmak için tüm olası 'zamanında teslim' senaryolarının toplamını bulmamız gerekir.
3
Koşullu olasılığı hesaplayalım (Bayes Teoremi).
Bizden istenen: P(B∣Z)=P(Z∣B)⋅P(B)P(Z)P(B | Z) = \frac{P(Z|B) \cdot P(B)}{P(Z)}
Pay: B firmasının kazanıp zamanında bitirme olasılığı = 0,280,28
Payda: Toplam zamanında bitme olasılığı = 0,790,79
Sonuç: 0,280,79=2879\frac{0,28}{0,79} = \frac{28}{79}
Koşullu olasılık formülü gereği, istenen durumun (B ve Zamanında) olasılığını, bilinen koşulun (Tüm Zamanında) toplam olasılığına oranlarız.

Key Concept

Bayes Teoremi ve Toplam Olasılık
Question 125Question →
(2x−y2)n(2x - y^2)^n
ifadesinin açılımında terimlerden biri A⋅x4⋅y6A \cdot x^4 \cdot y^6 olduğuna göre, AA katsayısı kaçtır?
Show answer & explanation

Answer: -560

Answer

Binom açılımında verilen terimin katsayısı −560-560 olarak bulunur.
Verilen terimde y6y^6 elde etmek için (−y2)(-y^2) ifadesinin küpü (r=3r=3) alınmalıdır. x4x^4 elde etmek için ise (2x)(2x) ifadesinin 4. kuvveti (n−r=4n-r=4) alınmalıdır. Buradan n=7n=7 bulunur. Katsayı (73)⋅24⋅(−1)3=35⋅16⋅(−1)=−560\binom{7}{3} \cdot 2^4 \cdot (-1)^3 = 35 \cdot 16 \cdot (-1) = -560 olarak hesaplanır.

Step-by-Step Solution

1
nn ve rr değerlerini belirlemek için genel terim formülünü yazın.
(nr)(2x)n−r(−y2)r=A⋅x4⋅y6\binom{n}{r} (2x)^{n-r} (-y^2)^r = A \cdot x^4 \cdot y^6
Binom açılımında her terim (nr)an−rbr\binom{n}{r} a^{n-r} b^r formuna uygundur.
2
yy değişkeninin üssünden faydalanarak rr değerini bulun.
(−y2)r=(−1)ry2r⇒2r=6⇒r=3(-y^2)^r = (-1)^r y^{2r} \Rightarrow 2r = 6 \Rightarrow r = 3
y6y^6 terimine ulaşmak için y2y^2 ifadesinin 3. kuvveti alınmalıdır.
3
xx değişkeninin üssünden faydalanarak nn değerini bulun.
xn−r=x4⇒n−3=4⇒n=7x^{n-r} = x^4 \Rightarrow n - 3 = 4 \Rightarrow n = 7
Açılımdaki terimlerin üsleri toplamı nn değerine eşittir (n−r+rn-r+r değil, orijinal terimlerin üsleri toplamı).
4
Katsayıyı (AA) hesaplayın.
A=(73)⋅27−3⋅(−1)3=35⋅24⋅(−1)=35⋅16⋅(−1)=−560A = \binom{7}{3} \cdot 2^{7-3} \cdot (-1)^3 = 35 \cdot 2^4 \cdot (-1) = 35 \cdot 16 \cdot (-1) = -560
Kombinasyon, katsayı kuvveti ve terim işaretinin çarpımı katsayıyı verir.

Key Concept

Binom Açılımında Genel Terim Bulma

Hints

1
Genel terim formülünü kullanın:
(nr)an−rbr\binom{n}{r} a^{n-r} b^r
2
(−y2)r(-y^2)^r
ifadesinin
y6y^6
verebilmesi için rr kaç olmalıdır?
3
r=3r=3 ve n−r=4n-r=4 olduğunda katsayıyı hesaplarken hem 242^4 ifadesini hem de (−1)3(-1)^3 işaretini unutmayın.

Practice More

Benzer şekilde, sabit terim veya rasyonel terimlerin katsayılarını bulma soruları çözülebilir.
Estimated Time:1m 30s
Question 126Question →

Matematikte nn bir doğal sayı olmak üzere; 11’den nn’ye kadar olan ardışık doğal sayıların çarpımına "nn faktöriyel" denir ve n!n! ile gösterilir. Bu tanıma göre 0!=10! = 1 olarak kabul edilmektedir.

Buna göre,
5!−4!3!\frac{5! - 4!}{3!}


işleminin sonucu kaçtır?
Show answer & explanation

Answer: 16

Answer

İşlemin sonucu 16'dır.
Doğru cevap 16'dır çünkü 5!5! değeri 120'ye, 4!4! değeri 24'e eşittir. Pay kısmındaki 120−24120 - 24 işlemi 96 sonucunu verir. Bu sonuç, 3!=63! = 6 değerine bölündüğünde 96/6=1696/6 = 16 elde edilir.

Step-by-Step Solution

1
Pay ve paydadaki faktöriyel değerlerini tek tek hesaplayalım.
5!=1205! = 120, 4!=244! = 24 ve 3!=63! = 6
İşlemi gerçekleştirmek için temel faktöriyel tanımlarını sayısal değerlere dönüştürmeliyiz.
2
Pay kısmındaki çıkarma işlemini uygulayalım.
120−24=96120 - 24 = 96
Kesir çizgisinin üstündeki ifade bir bütün olarak hesaplanmalıdır.
3
Bulduğumuz farkı paydadaki değere bölelim.
96/6=1696 / 6 = 16
Kesir işlemi bölme işlemini temsil eder.

Key Concept

Faktöriyel Tanımı ve Dört İşlem

Hints

1
Faktöriyel sayılarını açık çarpım halleriyle yazarak işe başlayın.
2
5!=1205! = 120 ve 4!=244! = 24 olduğunu hatırlayın.
3
Önce 120−24120 - 24 işlemini yapın, ardından bulduğunuz sonucu 3!=63! = 6 sayısına bölün.

Practice More

Benzer bir şekilde (6!+5!)/4!(6! + 5!) / 4! işlemini yaparak toplama durumundaki sadeleştirmeleri pekiştirebilirsiniz.

Alternative Method

Pay kısmındaki ifadeyi ortak çarpan parantezine alarak da çözebilirsiniz:
5!−4!3!=5⋅4!−4!3!=4!(5−1)3!=4!⋅43!\frac{5! - 4!}{3!} = \frac{5 \cdot 4! - 4!}{3!} = \frac{4! (5 - 1)}{3!} = \frac{4! \cdot 4}{3!}

Burada 4!=4⋅3!4! = 4 \cdot 3! olduğu için:
4⋅3!⋅43!=4⋅4=16\frac{4 \cdot 3! \cdot 4}{3!} = 4 \cdot 4 = 16
Estimated Time:45s
Question 127Question →

A={0,1,2,3,4,5}A = \{0, 1, 2, 3, 4, 5\} kümesinin elemanları kullanılarak rakamları birbirinden farklı, 3000'den büyük ve çift olan dört basamaklı kaç farklı doğal sayı yazılabilir?

Show answer & explanation

Answer: 96

Answer

İstenen şartları sağlayan 96 farklı doğal sayı yazılabilir.
Sayı 3000'den büyük ve çift olmalıdır. Binler basamağı {3,4,5}\{3, 4, 5\} ve birler basamağı {0,2,4}\{0, 2, 4\} olabilir. 4 rakamı her iki kümede de bulunduğu için işlem iki duruma ayrılır:

1. Binler basamağı 3 veya 5 ise:
- Binler: 2 seçenek (3, 5)
- Birler: 3 seçenek (0, 2, 4)
- Ara basamaklar: Kalan 4 rakamdan 2'si (4×3=124 \times 3 = 12)
- Toplam: 2×3×12=722 \times 3 \times 12 = 72

2. Binler basamağı 4 ise:
- Binler: 1 seçenek (4)
- Birler: 2 seçenek (0, 2) (4 kullanıldığı için)
- Ara basamaklar: Kalan 4 rakamdan 2'si (4×3=124 \times 3 = 12)
- Toplam: 1×2×12=241 \times 2 \times 12 = 24

Sonuç olarak toplam 72+24=9672 + 24 = 96 farklı sayı yazılabilir.

Step-by-Step Solution

1
Sorudaki kısıtlamaları belirle.
Rakamlar: {0,1,2,3,4,5}\{0, 1, 2, 3, 4, 5\}, Sayı: 4 basamaklı, Rakamları farklı, Çift, >3000>3000.
Permütasyon hesabında kullanılacak şartları netleştirmek gerekir.
2
Binler basamağına gelebilecek rakamları belirle.
Sayı 3000'den büyük olacağı için binler basamağı {3,4,5}\{3, 4, 5\} olabilir.
Sayının büyüklük şartı en soldaki basamağı belirler.
3
Birler basamağına gelebilecek rakamları belirle ve çakışma durumunu analiz et.
Sayı çift olacağı için birler basamağı {0,2,4}\{0, 2, 4\} olabilir. 4 rakamı hem binler hem birler basamağı kümelerinde ortaktır.
Kümelerdeki ortak eleman (4), seçme işleminin sonucunu değiştireceği için durumlar ayrı ayrı incelenmelidir.
4
Durum 1: Binler basamağı 3 veya 5 (Tek Sayı) ise hesapla.
Binler basamağı (3, 5) için 2 seçenek. Birler basamağı {0,2,4}\{0, 2, 4\} (hiçbiri kullanılmadı) için 3 seçenek. Aradaki 2 basamak için kalan 4 rakamdan 2'si seçilir (4×3=124 \times 3 = 12). Hesap: 2×3×12=722 \times 3 \times 12 = 72.
Başlangıç rakamı tek olduğunda birler basamağındaki çift sayı seçenekleri azalmaz.
5
Durum 2: Binler basamağı 4 (Çift Sayı) ise hesapla.
Binler basamağı (4) için 1 seçenek. Birler basamağı {0,2}\{0, 2\} (4 kullanıldı) için 2 seçenek. Aradaki 2 basamak için yine 4×3=124 \times 3 = 12. Hesap: 1×2×12=241 \times 2 \times 12 = 24.
Başlangıç rakamı çift olduğunda birler basamağı için bir seçenek eksilir.
6
Tüm durumları topla.
72+24=9672 + 24 = 96.
Ayrık durumların (veya olayların) toplamı toplam permütasyon sayısını verir.

Key Concept

Permütasyon problemlerinde, eğer bir eleman birden fazla kısıtlama kümesinde (hem başta hem sonda) yer alıyorsa, işlemler bu elemanın durumuna göre ayrı ayrı incelenip toplanmalıdır (Toplama Kuralı).

Hints

1
Sayının 3000'den büyük olması için binler basamağı hangi rakamlar olabilir? Sayının çift olması için birler basamağı hangileri olabilir?
2
4 rakamı hem binler basamağı kümesinde (büyüklük şartı) hem de birler basamağı kümesinde (çiftlik şartı) yer almaktadır. Bu durumda tek bir çarpma işlemi yapmak yerine durumları ayırmalısın.
3
İki durumu ayrı ayrı topla: 1) Binler basamağının 4 olduğu durum. 2) Binler basamağının 3 veya 5 olduğu durum.
Estimated Time:2m 30s
Question 128Question →

Bir Bakanlığın Teftiş Kurulu Başkanlığında görevli 44 müfettiş, 55 uzman ve 33 denetçi arasından, yürütülecek özel bir soruşturma için 44 kişilik bir çalışma grubu oluşturulacaktır.

Bu grupta her unvandan (müfettiş, uzman ve denetçi) en az bir kişinin bulunması zorunludur. Ayrıca, müfettişlerden biri olan Ahmet Bey ile uzmanlardan biri olan Banu Hanım'ın, geçmişte aynı dosyada görev aldıkları için bu grupta birlikte yer almamaları gerekmektedir.

Buna göre, bu çalışma grubu kaç farklı şekilde oluşturulabilir?

Show answer & explanation

Answer: 246

Answer

Çalışma grubu 246 farklı şekilde oluşturulabilir.
Sorunun çözümü iki aşamada gerçekleştirilir. İlk aşamada, özel kısıtlama (Ahmet ve Banu durumu) yok sayılarak, 'her unvandan en az bir kişi' şartını sağlayan tüm olası gruplar hesaplanır. 4 kişilik bir ekip 3 farklı unvana şu şekillerde dağılabilir: (2M, 1U, 1D), (1M, 2U, 1D) veya (1M, 1U, 2D). Bu durumların toplamı 270'tir. İkinci aşamada, Ahmet ve Banu'nun birlikte olduğu durumlar hesaplanır. Ahmet ve Banu seçildiğinde geriye 2 kişi seçilmelidir ve bu kişiler kalan havuzdan seçilirken 'en az bir Denetçi' şartı korunmalıdır. Bu hesaptan 24 istenmeyen durum bulunur. Sonuç 270 - 24 = 246'dır.

Step-by-Step Solution

1
Tüm gruplardan en az bir kişinin bulunması şartını sağlayan dağılımları belirle.
3 farklı dağılım senaryosu vardır: (2 Müfettiş, 1 Uzman, 1 Denetçi), (1 Müfettiş, 2 Uzman, 1 Denetçi) ve (1 Müfettiş, 1 Uzman, 2 Denetçi).
Toplam 4 kişi seçilecek ve 3 farklı unvan var. Bu durumda bir unvandan 2 kişi, diğerlerinden 1'er kişi seçilmelidir.
2
Her senaryo için 'birlikte bulunmama' şartı olmaksızın toplam durum sayısını hesapla.
Senaryo 1: C(4,2)·C(5,1)·C(3,1) = 6·5·3 = 90. Senaryo 2: C(4,1)·C(5,2)·C(3,1) = 4·10·3 = 120. Senaryo 3: C(4,1)·C(5,1)·C(3,2) = 4·5·3 = 60. Toplam: 270.
Kombinasyon formülü C(n,r) kullanılarak her grubun seçim sayısı çarpılır ve senaryolar toplanır.
3
Ahmet Bey ve Banu Hanım'ın BİRLİKTE bulunduğu istenmeyen durumları hesapla.
Ahmet (Müfettiş) ve Banu (Uzman) seçildiğinde, kalan 2 kişi için en az 1 Denetçi şartı sağlanmalıdır. Kalan havuz: 3 Müfettiş, 4 Uzman, 3 Denetçi. Seçimler: (1D, 1M), (1D, 1U) veya (2D).
Grupta zaten 1 Müfettiş ve 1 Uzman olduğu için, kalan 2 kişinin seçimi Denetçi şartına göre yapılmalıdır.
4
İstenmeyen durumların sayısal değerini bul.
(1 Denetçi, 1 Müfettiş): C(3,1)·C(3,1) = 9. (1 Denetçi, 1 Uzman): C(3,1)·C(4,1) = 12. (2 Denetçi): C(3,2) = 3. Toplam İstenmeyen = 9 + 12 + 3 = 24.
Ahmet ve Banu'nun yanına eklenecek kişilerin kombinasyonları hesaplanır.
5
Toplam durum sayısından istenmeyen durum sayısını çıkar.
270 - 24 = 246.
Tüm geçerli dağılımlardan kısıtlanan özel durumu çıkarmak (Tüm Durumlar - İstenmeyen Durum) en güvenilir yöntemdir.

Key Concept

Kombinasyon (Koşullu Seçme ve Ayrık Durumlar)

Hints

1
Önce Ahmet Bey ve Banu Hanım kısıtlamasını görmezden gelerek, 4 kişilik ekibin unvanlara göre nasıl dağılabileceğini (örneğin kaç müfettiş, kaç uzman...) düşünün.
2
Toplam 4 kişi seçilecek ve 3 unvan var. Dağılım ancak (2,1,1) şeklinde olabilir. Üç farklı durumu (Müfettiş çoğunlukta, Uzman çoğunlukta, Denetçi çoğunlukta) ayrı ayrı toplayın.
3
Tüm durumlardan (270), Ahmet ve Banu'nun BİRLİKTE olduğu durumları çıkarın. Ahmet ve Banu zaten seçiliyse, yanlarına 2 kişi daha gerekir ve bunlardan en az biri Denetçi olmalıdır.

Practice More

Benzer mantıkla, 'en az bir' şartı yerine 'en çok bir' şartı olan ve yine belirli kişilerin çakışmasını içeren sorular çözebilirsiniz.

Alternative Method

Doğrudan Yöntem: Ahmet Var/Banu Yok + Ahmet Yok/Banu Var + Ahmet Yok/Banu Yok durumlarını ayrı ayrı hesaplayıp toplayabilirsiniz. Ancak bu yöntem daha uzun sürer ve işlem hatası riski daha yüksektir.
Estimated Time:3m 30s
Question 129Question →

Bir ABCABC üçgeninin kenarları üzerinde, köşeler de dahil olmak üzere; [AB][AB] kenarında 5, [BC][BC] kenarında 6 ve [AC][AC] kenarında 4 farklı nokta işaretlenmiştir. Buna göre, köşeleri bu noktalardan seçilen kaç farklı üçgen çizilebilir?

Show answer & explanation

Answer: 186

Answer

186
Toplam 12 nokta vardır. Tüm 3'lü seçimlerden (220220), aynı kenar üzerinde bulunan ve üçgen oluşturmayan 3'lü seçimler (10+20+4=3410+20+4=34) çıkarıldığında geriye 186186 üçgen kalır.

Step-by-Step Solution

1
Toplam nokta sayısını belirle.
Kenarlardaki nokta sayıları toplanıp ortak köşeler (3 köşe) bir kez sayılacak şekilde düzenlenir: 5+6+4−3=125 + 6 + 4 - 3 = 12 nokta.
Köşeler her iki kenar için de sayıldığından, toplamdan mükerrer sayılan 3 köşe çıkarılmalıdır.
2
Tüm üçlü kombinasyonların sayısını hesapla.
(123)=12×11×103×2×1=220\binom{12}{3} = \frac{12 \times 11 \times 10}{3 \times 2 \times 1} = 220.
Hiçbir şart olmasaydı 12 noktadan seçilecek her 3 nokta bir üçgen oluştururdu.
3
Üçgen oluşturmayan (doğrusal) durumları her kenar için ayrı ayrı hesapla.
[AB][AB] için (53)=10\binom{5}{3}=10, [BC][BC] için (63)=20\binom{6}{3}=20, [AC][AC] için (43)=4\binom{4}{3}=4.
Aynı doğru üzerindeki noktalardan seçilen 3 nokta üçgen oluşturmaz, bu durumlar toplamdan düşülmelidir.
4
Toplam durumdan üçgen oluşturmayan durumları çıkar.
220−(10+20+4)=220−34=186220 - (10 + 20 + 4) = 220 - 34 = 186.
Geçersiz durumların (doğrusal üçlülerin) elenmesi gerekir.

Key Concept

Kombinasyon ile Üçgen Sayısı Bulma (Doğrusal Noktaları Çıkarma Yöntemi)

Hints

1
Önce üçgenin toplam kaç noktaya sahip olduğunu hesaplayın. Köşelerin ortak olduğunu unutmayın.
2
Tüm noktalar rastgele dağılmış olsaydı kaç üçgen oluşurdu? Sonra hangi durumlarda üçgen oluşmayacağını düşünün.
3
Toplam kombinasyon sayısından ((123)\binom{12}{3}), her bir kenar üzerindeki noktalarla yapılabilecek üçlü seçimleri ((53),(63),(43)\binom{5}{3}, \binom{6}{3}, \binom{4}{3}) çıkarın.

Practice More

Benzer bir soruyu, noktaların bir kısmı çember üzerinde bir kısmı doğru üzerinde olacak şekilde çözün.
Estimated Time:2m 30s
Question 130Question →

Bir kamu kurumunun lojistik biriminde; 33 tanesi kırtasiye malzemesi, 33 tanesi temizlik ürünü ve 33 tanesi elektronik cihaz içeren toplam 99 koli bir rafa yan yana dizilecektir. Aynı tür içeriğe sahip koliler kendi aralarında özdeş olduğuna göre, bu koliler raf üzerinde kaç farklı şekilde dizilebilir?

Show answer & explanation

Answer: 1680

Answer

Koliler raf üzerinde 1680 farklı şekilde dizilebilir.
Soruda belirtilen koliler kendi aralarında özdeş gruplar oluşturduğu için tekrarlı permütasyon formülü uygulanmalıdır. Toplam 99 kolinin dizilimi 9!9! iken, her biri 33 elemanlı olan 33 farklı grup için payda 3!⋅3!⋅3!3! \cdot 3! \cdot 3! olur. 9!3!⋅3!⋅3!=1680\frac{9!}{3! \cdot 3! \cdot 3!} = 1680 hesaplanır.

Step-by-Step Solution

1
Toplam nesne sayısını ve özdeş nesne gruplarının sayılarını belirleyin.
Toplam koli sayısı: n=9n = 9; Kırtasiye: n1=3n_1 = 3, Temizlik: n2=3n_2 = 3, Elektronik: n3=3n_3 = 3.
Tekrarlı permütasyon formülünü uygulamak için her bir grubun eleman sayısına ihtiyaç vardır.
2
Tekrarlı permütasyon formülünü kurun.
Dizilim sayısı = n!n1!⋅n2!⋅n3!=9!3!⋅3!⋅3!\frac{n!}{n_1! \cdot n_2! \cdot n_3!} = \frac{9!}{3! \cdot 3! \cdot 3!}
Özdeş nesnelerin yer değiştirmesi farklı bir dizilim oluşturmadığı için toplam sıralama sayısı özdeş grupların faktöriyellerine bölünür.
3
Faktöriyelleri açarak sadeleştirme yapın ve sonucu hesaplayın.
3628806⋅6⋅6=362880216=1680\frac{362880}{6 \cdot 6 \cdot 6} = \frac{362880}{216} = 1680
İşlemi sonuçlandırmak için sayısal değerler hesaplanır.

Key Concept

Tekrarlı Permütasyon

Hints

1
Kolilerin bir kısmı birbiriyle aynı (özdeş) olduğu için 'Tekrarlı Permütasyon' formülünü düşünmelisiniz.
2
Toplam 99 koli var. Bunların 3,33, 3 ve 33 tanesi aynı türden. Formülde paydaya bu sayıların faktöriyellerini yazmalısınız.
3
Hesaplamanız gereken ifade şudur: 9!3!⋅3!⋅3!\frac{9!}{3! \cdot 3! \cdot 3!}. Faktöriyelleri sadeleştirerek işlemi kolaylaştırabilirsiniz.

Practice More

Benzer bir soruyu, toplam koli sayısını değiştirerek veya gruplardan birini farklı sayıda alarak çözmeyi deneyebilirsiniz.
Estimated Time:1m 30s
Question 131Question →

Bir kamu kurumunun lojistik planlama dairesi, acil durum malzemelerinin sevkiyatı için bir Dağıtım Kodlama Sistemi geliştirmektedir. Bu sistemde oluşturulacak her bir sevkiyat kodu, sırasıyla Depo, Güzergâh ve Araç olmak üzere üç aşamalı bir seçimle belirlenmektedir.

Seçenekler kümeler halinde aşağıda verilmiştir:
* **Depo (DD):** {D1,D2,D3,D4,D5}\{D_1, D_2, D_3, D_4, D_5\} (5 seçenek)
* **Güzergâh (GG):** {G1,G2,G3,G4}\{G_1, G_2, G_3, G_4\} (4 seçenek)
* **Araç (AA):** {A1,A2,A3}\{A_1, A_2, A_3\} (3 seçenek)

Sistemin güvenlik ve kapasite protokolleri gereği şu kısıtlamalar uygulanmaktadır:
1. Eğer **D1D_1 deposu seçilirse, G1G_1** güzergâhı kullanılamaz.
2. Eğer **G1G_1 güzergâhı kullanılırsa (herhangi bir uygun depo için), A1A_1** aracı tercih edilemez.

Buna göre, bu sistemde kurallara uygun kaç farklı sevkiyat kodu oluşturulabilir?

Show answer & explanation

Answer: 53

Answer

Kurallara uygun toplam 53 farklı sevkiyat kodu oluşturulabilir.
Doğru cevap, problemin kısıtlamalara göre ayrık durumlara bölünmesiyle bulunur. D1D_1 seçildiğinde G1G_1 kullanılamadığı için 1×3×3=91 \times 3 \times 3 = 9 durum oluşur. Diğer 4 depo (D2−D5D_2-D_5) seçildiğinde ise iki ihtimal vardır: G1G_1 kullanılırsa araç kısıtlanır (4×1×2=84 \times 1 \times 2 = 8), G1G_1 kullanılmazsa kısıtlama yoktur (4×3×3=364 \times 3 \times 3 = 36). Toplamda 9+8+36=539+8+36=53 kod üretilebilir.

Step-by-Step Solution

1
Problemi birbirini etkileyen kısıtlamalara göre ayrık durumlara (vakalara) ayır.
Durum 1: Depo D1D_1 seçildiği durum. Durum 2: Diğer depoların (D2,D3,D4,D5D_2, D_3, D_4, D_5) seçildiği durum.
D1D_1 seçimi G1G_1'i doğrudan yasakladığı için bu durum diğerlerinden ayrılmalıdır.
2
Durum 1 (D1D_1 seçimi) için olasılıkları hesapla.
Depo (11) ×\times Güzergâh (33) ×\times Araç (33) = 99 farklı kod.
D1D_1 seçildiğinde G1G_1 yasak olduğu için Güzergâh kümesi {G2,G3,G4}\{G_2, G_3, G_4\} olur (3 seçenek). Araç için kısıtlama yoktur (3 seçenek).
3
Durum 2'yi (Diğer depolar) kendi içinde Güzergâh kısıtlamasına göre iki alt duruma ayır: G1G_1 seçilenler ve seçilmeyenler.
Alt Durum 2a (G1G_1 seçimi) ve Alt Durum 2b (G1G_1 dışı seçimler).
G1G_1 seçildiğinde Araç seçimi kısıtlanmaktadır (A1A_1 yasak), diğer güzergâhlarda kısıtlama yoktur.
4
Alt Durum 2a (Diğer Depolar + G1G_1) hesabını yap.
Depo (44) ×\times Güzergâh (11) ×\times Araç (22) = 88 farklı kod.
Depolar {D2..D5}\{D_2..D_5\} (4 seçenek). Güzergâh G1G_1 (1 seçenek). Kural gereği G1G_1 seçilince A1A_1 yasak, Araç {A2,A3}\{A_2, A_3\} kalır (2 seçenek).
5
Alt Durum 2b (Diğer Depolar + G1G_1 dışı) hesabını yap.
Depo (44) ×\times Güzergâh (33) ×\times Araç (33) = 3636 farklı kod.
Depolar (4 seçenek). Güzergâh {G2,G3,G4}\{G_2, G_3, G_4\} (3 seçenek). Araç için kısıtlama yok (3 seçenek).
6
Tüm ayrık durumların sonuçlarını topla.
9+8+36=539 + 8 + 36 = 53.
Toplama kuralı gereği ayrık durumlar toplanır.

Key Concept

Sayma Kuralları (Ayrık Durumlara Bölme ve Toplama Kuralı)

Hints

1
Problemi tek bir çarpma işlemiyle çözmeye çalışmak yerine, 'D1 deposunun seçildiği' ve 'D1 dışındaki depoların seçildiği' durumlar olarak ikiye ayırın.
2
D1 dışındaki depoları hesaplarken, G1 güzergahını kullanıp kullanmamaları araç seçimini etkilemektedir. Bu yüzden bu kısmı da ikiye ayırmalısınız.
3
Üç parçayı toplayın: 1) D1 seçilen durumlar (G1 yasak), 2) Diğer depolarla G1 seçilen durumlar (A1 yasak), 3) Diğer depolarla G1 dışı güzergah seçilen durumlar (Yasak yok).

Practice More

Benzer bir mantıkla, 'A kenti ile B kenti arasında gidilen yol dönüşte kullanılmamak şartıyla kaç farklı şekilde gidilip dönülebilir?' sorusu çözülebilir.

Alternative Method

Tüm Durumlar - İstenmeyen Durumlar Yöntemi: Toplam durum (60) - [D1 ve G1'in seçildiği durumlar (1x1x3=3)] - [G1 ve A1'in birlikte seçildiği durumlar (Dikkat: D1 zaten G1 ile olamaz, bu yüzden sadece D2-D5 arası: 4x1x1=4)]. Sonuç: 60 - 3 - 4 = 53.
Estimated Time:2m 30s
Question 132Question →
aa ve bb pozitif tam sayılardır.
42!=24a⋅b 42! = 24^a \cdot b

eşitliğinde bb sayısı çift bir tam sayı olduğuna göre, aa'nın alabileceği en büyük değer kaçtır?
Show answer & explanation

Answer: 12

Answer

eşitlikte bb sayısının çift kalabilmesi için aa en fazla 12 olabilir
42! sayısı 24a⋅b24^a \cdot b şeklinde yazıldığında, aa'nın en büyük değeri için hem 2 hem de 3 çarpanlarının yeterli olması gerekir. 24=23⋅324 = 2^3 \cdot 3 olduğundan, her bir aa için üç adet 2 ve bir adet 3 çarpanına ihtiyaç vardır. 42! içinde 39 adet 2 çarpanı ve 19 adet 3 çarpanı bulunur. Normal şartlarda 3a≤393a \le 39 işleminden a=13a=13 bulunabilirdi. Ancak soruda bb'nin çift sayı olduğu belirtilmiştir. Bu, bb sayısının içinde en az bir adet 2 çarpanı kalması gerektiği anlamına gelir. Dolayısıyla 24a24^a için kullanılabilecek 2 çarpanı sayısı en fazla 39−1=3839-1=38 olabilir. 3a≤383a \le 38 eşitsizliğinden aa en fazla 12 olabilir.

Step-by-Step Solution

1
24 sayısını asal çarpanlarına ayır.
24=23⋅3124 = 2^3 \cdot 3^1
42! içindeki 2 ve 3 çarpanlarının sayısını bularak aa'nın sınırını belirlemek için.
2
42! içerisindeki 3 çarpanlarının sayısını hesapla.
Bölümler toplamı: 14+4+1=1914 + 4 + 1 = 19. Yani a≤19a \le 19.
24a24^a ifadesindeki 3a3^a için gerekli 3 sayısı.
3
42! içerisindeki 2 çarpanlarının sayısını hesapla.
Bölümler toplamı: 21+10+5+2+1=3921 + 10 + 5 + 2 + 1 = 39.
24a24^a ifadesindeki 23a2^{3a} için gerekli 2 sayısı.
4
bb sayısının çift olma şartını değerlendir.
bb çift ise, bb içinde en az bir adet 2 çarpanı kalmalıdır. Kullanılabilir 2 sayısı: 39−1=3839 - 1 = 38.
Eğer tüm 2 çarpanları 24a24^a içine alınırsa, geriye kalan bb sayısı tek olur.
5
2 çarpanı için aa değerini sınırla.
3a≤38  ⟹  a≤12,66...3a \le 38 \implies a \le 12,66... Buradan amax=12a_{max} = 12.
Her bir aa değeri için 3 adet 2 çarpanı gereklidir (23a2^{3a}).
6
Sınırları karşılaştır ve sonucu belirle.
3 çarpanına göre a≤19a \le 19, 2 çarpanına göre a≤12a \le 12. Küçük olan değer 12'dir.
Her iki asal çarpanın da yeterli sayıda olması gerekir.

Key Concept

Faktöriyel içindeki asal çarpan sayısını bulma ve bölen analizi

Hints

1
Önce 24 sayısını asal çarpanlarına ayırın (23⋅32^3 \cdot 3). Bu, aa tane 24 elde etmek için kaçar tane 2 ve 3 gerektiğini gösterir.
2
42! sayısının içinde toplam kaç tane 2 çarpanı olduğunu zincirleme bölme yöntemiyle bulun.
3
bb sayısının çift olması demek, eldeki tüm 2 çarpanlarını 24a24^a için harcamamanız, en az bir tanesini bb'ye ayırmanız gerektiği anlamına gelir.

Practice More

Benzer bir soruyu 'b sayısı 3'e tam bölünmektedir' şartıyla çözmeyi deneyin.

Alternative Method

Sağlamasını yapmak için: a=13a=13 olsaydı, kullanılan 2 sayısı 13×3=3913 \times 3 = 39 olurdu. 42! içindeki toplam 2 sayısı da 39'dur. Hiç 2 artmazdı, bu da kalan sayının (bb) tek olmasına neden olurdu.
Estimated Time:2m 30s
Question 133Question →
a=(6!)2 a = (6!)^2

b=5!⋅7! b = 5! \cdot 7!

c=4!⋅8! c = 4! \cdot 8!

olduğuna göre; a,ba, b ve cc sayılarının küçükten büyüğe doğru sıralanışı aşağıdakilerden hangisidir?

Show answer & explanation

Answer: a<b<ca < b < c

Answer

Sayıların küçükten büyüğe doğru sıralanışı a<b<ca < b < c şeklindedir.
Verilen sayılar birbirine oranlandığında; bb sayısının aa'nın 76\frac{7}{6} katı, cc sayısının ise bb'nin 85\frac{8}{5} katı olduğu görülür. Her iki oran da 1'den büyük olduğu için a<b<ca < b < c sıralaması elde edilir.

Step-by-Step Solution

1
aa ve bb sayılarını birbirine oranlayarak karşılaştıralım.
ba=5!⋅7!6!⋅6!=5!⋅7⋅6!6⋅5!⋅6!=76\frac{b}{a} = \frac{5! \cdot 7!}{6! \cdot 6!} = \frac{5! \cdot 7 \cdot 6!}{6 \cdot 5! \cdot 6!} = \frac{7}{6}
Sayıları sadeleştirmek için büyük olan faktöriyelleri bir küçük olanlar cinsinden ifade ediyoruz (7!=7⋅6!7! = 7 \cdot 6! ve 6!=6⋅5!6! = 6 \cdot 5!).
2
Elde edilen oranı yorumlayalım.
76>1 oldug˘u ic¸in b>a’dır.\frac{7}{6} > 1 \text{ olduğu için } b > a \text{'dır.}
İki pozitif sayının oranı 1'den büyükse, pay paydadan büyüktür.
3
bb ve cc sayılarını birbirine oranlayarak karşılaştıralım.
cb=4!⋅8!5!⋅7!=4!⋅8⋅7!5⋅4!⋅7!=85\frac{c}{b} = \frac{4! \cdot 8!}{5! \cdot 7!} = \frac{4! \cdot 8 \cdot 7!}{5 \cdot 4! \cdot 7!} = \frac{8}{5}
Benzer şekilde 8!=8⋅7!8! = 8 \cdot 7! ve 5!=5⋅4!5! = 5 \cdot 4! dönüşümlerini yaparak sadeleştirme uyguluyoruz.
4
Elde edilen oranı yorumlayalım.
85>1 oldug˘u ic¸in c>b’dir.\frac{8}{5} > 1 \text{ olduğu için } c > b \text{'dir.}
Oran 1'den büyük çıktığı için cc sayısı bb'den daha büyüktür.
5
Elde edilen tüm eşitsizlikleri birleştirelim.
a<b ve b<c⇒a<b<ca < b \text{ ve } b < c \Rightarrow a < b < c
Sıralama bağıntısının geçişme özelliği gereği nihai sıralama bu şekilde oluşur.

Key Concept

Faktöriyel ifadelerin sadeleştirilmesi ve birbirine oranlanarak karşılaştırılması.

Hints

1
Faktöriyel sayıların değerlerini hesaplamak imkansızdır, bu yüzden sayıları birbirine oranlayarak sadeleştirmeyi deneyin.
2
bb sayısını aa cinsinden yazmak için 6!=6⋅5!6! = 6 \cdot 5! ve 7!=7⋅6!7! = 7 \cdot 6! ifadelerini kullanın.
3
ba=76\frac{b}{a} = \frac{7}{6} ve cb=85\frac{c}{b} = \frac{8}{5} oranlarını bulduktan sonra, her ikisinin de 1'den büyük olması size sıralamayı verecektir.

Practice More

Bu kuralı 3!⋅9!3! \cdot 9! ve 2!⋅10!2! \cdot 10! sayıları için de test ederek mantığı pekiştirebilirsiniz.

Alternative Method

Toplamları sabit olan (burada hepsinde 12) iki sayının faktöriyellerinin çarpımında, sayılar arasındaki fark arttıkça çarpımın sonucu da büyür. aa için fark 00, bb için fark 22 (7−57-5), cc için fark 44 (8−48-4)'tür. Dolayısıyla a<b<ca < b < c olur.
Estimated Time:1m 30s
Question 134Question →

Bir İl Sağlık Müdürlüğü bünyesinde görevlendirilmek üzere oluşturulacak 33 kişilik bir mobil sağlık ekibi için 55 doktor ve 66 hemşire arasından seçim yapılacaktır.

Oluşturulacak bu ekipte en az bir doktor ve en az bir hemşire bulunması zorunlu olduğuna göre, bu ekip kaç farklı şekilde oluşturulabilir?

Show answer & explanation

Answer: 135

Answer

Ekipte en az bir doktor ve bir hemşire bulunması şartıyla toplam 135 farklı seçim yapılabilir.
Doğru yanıt olan 135, problemin gerektirdiği her iki geçerli durumu (1 doktor - 2 hemşire veya 2 doktor - 1 hemşire) kapsar. Alternatif bir yöntem olarak, tüm durumların sayısından ((113)=165\binom{11}{3}=165), istenmeyen durumlar olan 'hiç doktor olmaması' ((63)=20\binom{6}{3}=20) ve 'hiç hemşire olmaması' ((53)=10\binom{5}{3}=10) çıkarılarak da 165−20−10=135165 - 20 - 10 = 135 sonucuna ulaşılabilir.

Step-by-Step Solution

1
Geçerli senaryoları belirle
Durum 1: 1 Doktor ve 2 Hemşire, Durum 2: 2 Doktor ve 1 Hemşire
Toplam 3 kişi seçilecek ve her gruptan en az birer kişi olması gerekmektedir.
2
Birinci durum için kombinasyonları hesapla
(51)×(62)=5×15=75\binom{5}{1} \times \binom{6}{2} = 5 \times 15 = 75
5 doktor arasından 1, 6 hemşire arasından 2 kişi seçilir.
3
İkinci durum için kombinasyonları hesapla
(52)×(61)=10×6=60\binom{5}{2} \times \binom{6}{1} = 10 \times 6 = 60
5 doktor arasından 2, 6 hemşire arasından 1 kişi seçilir.
4
Bulunan sonuçları topla
75+60=13575 + 60 = 135
İki farklı bağımsız durumun toplamı genel sonucu verir.

Key Concept

Belirli kısıtlamalar altında alt küme oluşturma (Kombinasyon)

Hints

1
3 kişilik ekipte en az bir doktor ve en az bir hemşire olması gerekiyorsa, ekipte kaç doktor olabilir?
2
Ekip ya '1 doktor, 2 hemşire' ya da '2 doktor, 1 hemşire' şeklinde olmalıdır. Bu iki durumu ayrı ayrı hesaplayıp toplayın.
3
Tüm olası 3'lü seçimlerin sayısından, sadece doktorlardan veya sadece hemşirelerden oluşan seçimleri çıkararak daha hızlı sonuca ulaşabilirsiniz.

Practice More

Seçilecek kişi sayısı 4'e çıkarılsaydı ve şartlar aynı kalsaydı çözüm nasıl değişirdi?

Alternative Method

Tüm durumlar - (Sadece Doktorlar + Sadece Hemşireler) = (113)−((53)+(63))=165−(10+20)=135\binom{11}{3} - (\binom{5}{3} + \binom{6}{3}) = 165 - (10 + 20) = 135.
Estimated Time:1m 30s
Question 135Question →

Sağlık Bakanlığı tarafından ithal edilen tıbbi cihazlar üzerinde yapılan kalite kontrol denetimlerinde, cihazların teknik şartnameye uygun olup olmadığı test edilmektedir. İthal edilen cihazların 110\frac{1}{10}'unun teknik şartnameye uygun olmadığı (kusurlu olduğu) bilinmektedir.

Denetimlerde kullanılan test cihazı:
* Gerçekte kusurlu olan cihazların 1920\frac{19}{20}'sini doğru bir şekilde "kusurlu" olarak tespit etmekte,
* Gerçekte sağlam (şartnameye uygun) olan cihazların ise 120\frac{1}{20}'sini hatalı bir şekilde "kusurlu" olarak etiketlemektedir.

Buna göre, test cihazı tarafından "kusurlu" olarak etiketlenen rastgele seçilmiş bir tıbbi cihazın, gerçekte sağlam olma olasılığı kaçtır?

Show answer & explanation

Answer: 928\frac{9}{28}

Answer

Test sonucunda kusurlu etiketlenen cihazın aslında sağlam olma olasılığı 928\frac{9}{28}'dir.
Soru bizden, bir cihazın 'kusurlu' olarak etiketlendiği bilindiğinde, bu cihazın aslında 'sağlam' olma olasılığını istemektedir. Bu, klasik bir koşullu olasılık problemidir. Toplamda her 200 cihazdan 19 tanesi gerçekten kusurlu olduğu için, 9 tanesi ise sağlam olduğu halde yanlışlıkla kusurlu etiketlenir. Yani toplam 28 cihaz 'kusurlu' etiketini alır. Bu 28 cihazdan 9'u aslında sağlamdır. Cevap 928\frac{9}{28}'dir.

Step-by-Step Solution

1
Olayları ve verilen olasılıkları tanımla.
KK: Cihaz Kusurlu, SS: Cihaz Sağlam, EE: Etiket Kusurlu. Verilenler: P(K)=110P(K) = \frac{1}{10}, P(S)=910P(S) = \frac{9}{10}. Koşullu olasılıklar: P(E∣K)=1920P(E|K) = \frac{19}{20}, P(E∣S)=120P(E|S) = \frac{1}{20}.
Problemi matematiksel sembollerle ifade etmek çözüm yolunu netleştirir.
2
Kusurlu olarak etiketlenme durumunun gerçekleşebileceği iki farklı yolu (dalı) hesapla.
1. Yol (Gerçekten Kusurlu ve Tespit Edildi): P(K∩E)=110⋅1920=19200P(K \cap E) = \frac{1}{10} \cdot \frac{19}{20} = \frac{19}{200}.
2. Yol (Sağlam ama Yanlış Etiketlendi): P(S∩E)=910⋅120=9200P(S \cap E) = \frac{9}{10} \cdot \frac{1}{20} = \frac{9}{200}.
Bayes teoremi veya ağaç diyagramı mantığıyla, sonucun (etiketin) ortaya çıkabileceği tüm ayrık olasılıkları bulmamız gerekir.
3
Toplam 'Kusurlu Etiketlenme' olasılığını (P(E)P(E)) bul.
Toplam Olasılık = 19200+9200=28200\frac{19}{200} + \frac{9}{200} = \frac{28}{200}.
Örnek uzayımızı artık sadece 'kusurlu etiketlenenler' ile sınırlıyoruz.
4
İstenen koşullu olasılığı hesapla: P(Sag˘lam∣Etiket)=P(Sag˘lam∩Etiket)P(ToplamEtiket)P(Sağlam | Etiket) = \frac{P(Sağlam \cap Etiket)}{P(Toplam Etiket)}.
9/20028/200=928\frac{9/200}{28/200} = \frac{9}{28}.
Kusurlu etiketlenenler içinde, hatayla etiketlenmiş olan sağlam cihazların oranını buluyoruz.

Key Concept

Koşullu Olasılık (Bayes Teoremi)

Hints

1
Örnek uzayınızı (tüm durumları) 'test sonucunda kusurlu etiketlenen tüm cihazlar' olarak sınırlayın.
2
Bir ağaç diyagramı çizin: İlk dalda cihazın gerçek durumu (Kusurlu/Sağlam), ikinci dalda test sonucu (Etiketli/Etiketsiz) olsun.
3
200 adet hayali cihaz olduğunu varsayın. Bunların kaçı gerçekten kusurludur? Kaçı sağlamdır? Bu gruplardan kaçar tanesi 'kusurlu' etiketi alır? Hesaplayın.

Practice More

Benzer bir senaryoda, testin pozitif çıkması durumunda hastalığın gerçekte var olma olasılığını soran bir soru çözün.

Alternative Method

Sayı Verme Yöntemi: Toplam 200 cihaz olsun. 20'si kusurlu (1/10), 180'i sağlamdır. Kusurluların 19/20'si yani 19'u etiketlenir. Sağlamların 1/20'si yani 180/20 = 9'u etiketlenir. Toplam etiketlenen = 19 + 9 = 28. Bunlardan sağlam olanlar = 9. Olasılık = 9/28.
Estimated Time:3m 0s
Question 136Question →

Bir bakanlığın düzenlediği hizmet içi eğitim programına katılan 45 uzman yardımcısı ile ilgili aşağıdaki bilgiler verilmiştir:

* 28 kişi Kamu İhale Kanunu eğitimi almıştır.
* 20 kişi Devlet Muhasebesi eğitimi almıştır.
* 5 kişi ise bu iki eğitimi de almamıştır.

Buna göre, bu gruptan rastgele seçilen bir kişinin Devlet Muhasebesi eğitimi aldığı bilindiğine göre, bu kişinin Kamu İhale Kanunu eğitimi de almış olma olasılığı kaçtır?

Show answer & explanation

Answer: 25\frac{2}{5}

Answer

Seçilen kişinin Kamu İhale Kanunu eğitimi de almış olma olasılığı 25\frac{2}{5}'tir.
Koşullu olasılık, örnek uzayın daraltılması ilkesine dayanır. Soruda kişinin 'Devlet Muhasebesi eğitimi aldığı bilindiği' belirtilmiştir. Bu durumda tüm grup (45 kişi) yerine sadece Devlet Muhasebesi eğitimi alan 20 kişiyi 'yeni örnek uzay' olarak kabul ederiz. Bu 20 kişi arasından, aynı zamanda Kamu İhale Kanunu eğitimi de almış olanları (kesişim kümesini) bulmamız gerekir. Küme formülleriyle kesişim 8 kişi olarak bulunur. Olasılık 820=25\frac{8}{20} = \frac{2}{5} olarak hesaplanır.

Step-by-Step Solution

1
Verilen sayıları kümeler teorisi yardımıyla analiz et.
Tüm grup (EE) = 45 kişi. Hiçbirini almayan (E∖(A∪B)E \setminus (A \cup B)) = 5 kişi. Dolayısıyla en az bir eğitim alanların sayısı (Birleşim Kümesi, s(A∪B)s(A \cup B)) = 45−5=4045 - 5 = 40 kişidir.
Kesişim kümesini bulmak için önce birleşim kümesinin eleman sayısını belirlemek gerekir.
2
Her iki eğitimi de alan kişi sayısını (kesişim kümesi) hesapla.
Birleşim formülü: s(A∪B)=s(A)+s(B)−s(A∩B)s(A \cup B) = s(A) + s(B) - s(A \cap B). Değerleri yerine koyarsak: 40=28+20−s(A∩B)⇒40=48−s(A∩B)⇒s(A∩B)=840 = 28 + 20 - s(A \cap B) \Rightarrow 40 = 48 - s(A \cap B) \Rightarrow s(A \cap B) = 8.
Koşullu olasılık hesabında pay kısmına yazılacak olan 'her iki durumu da sağlayan' kişi sayısını bulmak zorunludur.
3
Koşullu olasılık formülünü uygula.
İstenen Olasılık = Kesis¸im SayısıKos¸ul Ku¨mesi Sayısı=s(A∩B)s(Muhasebe)=820\frac{\text{Kesişim Sayısı}}{\text{Koşul Kümesi Sayısı}} = \frac{s(A \cap B)}{s(\text{Muhasebe})} = \frac{8}{20}.
Soru 'Devlet Muhasebesi eğitimi aldığı bilindiğine göre' dediği için örnek uzay tüm sınıf (45) değil, sadece muhasebe eğitimi alanlar (20) olur.
4
Sonucu sadeleştir.
820=25\frac{8}{20} = \frac{2}{5}.
Seçeneklerdeki sonuçlar en sade haliyle verilmiştir.

Key Concept

Koşullu Olasılık ve Kümelerde Kesişim
Question 137Question →

Bir kamu kurumu tarafından açılan uzmanlık sınavına giren adayların %60\%60’ı Ankara, geri kalanı ise İstanbul merkezinde sınava katılmıştır. Ankara merkezinde sınava girenlerin %10\%10’u, İstanbul merkezinde sınava girenlerin ise %20\%20’si sınavda başarılı olmuştur.

Buna göre, bu adaylar arasından rastgele seçilen birinin başarılı olduğu bilindiğine göre, bu kişinin İstanbul merkezinde sınava girmiş olma olasılığı kaçtır?

Show answer & explanation

Answer: 47\frac{4}{7}

Answer

Seçilen kişinin başarılı olduğu bilindiğine göre, İstanbul merkezinden gelmiş olma olasılığı 47\frac{4}{7}'dir.
Doğru cevap seçeneği olan değer, İstanbul merkezinden gelen başarılı adayların (8k8k), sınavdaki toplam başarılı aday sayısına (14k14k) oranlanmasıyla elde edilen 47\frac{4}{7} sonucudur.

Step-by-Step Solution

1
Aday sayılarını sembolik bir değer üzerinden belirleyin.
Toplam aday sayısı 100k100k olsun. Ankara adayları: 60k60k, İstanbul adayları: 40k40k olur.
Yüzde hesaplamalarını kolaylaştırmak için toplamı 100 ve katları seçmek uygundur.
2
Her merkezdeki başarılı aday sayılarını hesaplayın.
Ankara Başarılı: 60k×%10=6k60k \times \%10 = 6k. İstanbul Başarılı: 40k×%20=8k40k \times \%20 = 8k.
Koşullu olasılık için hem kesişim kümesinin hem de koşul kümesinin eleman sayıları gereklidir.
3
Koşul olan 'başarılı olma' durumunun toplam sayısını bulun.
Toplam Başarılı (P(B)P(B)): 6k+8k=14k6k + 8k = 14k.
Koşullu olasılıkta verilen bilgi örnek uzayı daraltır; yeni örnek uzayımız tüm başarılı adaylardır.
4
İstenen durumun örnek uzaya oranını bulun.
Olasılık = I˙stanbul ve Bas¸arılıToplam Bas¸arılı=8k14k=47\frac{\text{İstanbul ve Başarılı}}{\text{Toplam Başarılı}} = \frac{8k}{14k} = \frac{4}{7}.
Koşullu olasılık formülü P(A∣B)=P(A∩B)P(B)P(A|B) = \frac{P(A \cap B)}{P(B)} uygulanmıştır.

Key Concept

Koşullu olasılıkta, verilen bir bilginin (koşulun) gerçekleştiği bilindiğinde, örnek uzay sadece o koşulu sağlayan elemanlarla sınırlanır.

Hints

1
'Bilindiğine göre' ifadesinden sonra gelen kısım (başarılı olanlar), yeni örnek uzayınızdır.
2
Toplam 100 aday olduğunu varsayarak Ankara ve İstanbul'dan kaçar kişinin başarılı olduğunu ayrı ayrı hesaplayın.
3
Pay kısmına sadece İstanbul'dan gelen başarılıları, payda kısmına ise hem Ankara hem İstanbul'dan gelen tüm başarılıları yazın.

Practice More

Benzer bir soruyu, adayların başarılı olmadığı bilindiğinde Ankara'dan gelmiş olma olasılığı üzerinden çözerek pekiştirebilirsiniz.

Alternative Method

Ağaç diyagramı yöntemi kullanılabilir. İlk dalda Ankara (%60) ve İstanbul (%40) ayrılır. İkinci dalda bu şehirlerden başarılı olanlar (%10 ve %20) belirlenir. İstenen yolun olasılığı, başarılı çıkan tüm yolların toplam olasılığına bölünür.
Estimated Time:1m 30s
Question 138Question →

Bir kamu kurumuna personel alımı için mülakata katılan 3030 adaydan oluşan bir grupta adayların cinsiyetleri ve bildikleri yabancı dillere göre dağılımı aşağıdaki tabloda verilmiştir:

CinsiyetİngilizceAlmanca
Erkek4488
Kadın101088

Bu gruptan rastgele seçilen bir adayın erkek olduğu bilindiğine göre, bu adayın İngilizce biliyor olma olasılığı kaçtır?

Show answer & explanation

Answer: 13\frac{1}{3}

Answer

Seçilen adayın İngilizce bilen bir erkek olma olasılığı 1/31/3 olarak bulunur.
Seçilen adayın erkek olduğu kesin bir bilgidir. Bu nedenle toplam aday sayısı olan 3030 yerine sadece erkek adayların toplamı olan 1212 sayısını paydaya yazmalıyız. Bu 1212 erkek arasından İngilizce bilenlerin sayısı 44 olduğu için doğru cevap 4/124/12 yani 1/31/3 olur.

Step-by-Step Solution

1
Koşulu belirleyerek örnek uzayı kısıtla.
Örnek uzay sadece erkek adaylardan oluşur: 4+8=124 + 8 = 12 kişi.
Soruda seçilen kişinin erkek olduğu 'bilindiğine göre' ifadesi, tüm grup yerine sadece erkekleri dikkate almamız gerektiğini belirtir.
2
Kısıtlanmış örnek uzay içindeki istenen durum sayısını bul.
Erkek adaylar arasından İngilizce bilenlerin sayısı 44 kişidir.
Koşullu olasılıkta istenen olay, koşul kümesinin (erkekler) bir alt kümesi olmalıdır.
3
Olasılık değerini hesapla.
P(I˙ngilizce∣Erkek)=412=13P(\text{İngilizce} | \text{Erkek}) = \frac{4}{12} = \frac{1}{3}
Olasılık, istenen durum sayısının örnek uzaydaki toplam durum sayısına bölünmesiyle bulunur.

Key Concept

Koşullu olasılıkta, 'olduğu bilindiğine göre' ifadesinden sonra gelen bilgi örnek uzayımızı daraltır. Formül olarak P(A∣B)=s(A∩B)s(B)P(A|B) = \frac{s(A \cap B)}{s(B)} şeklinde ifade edilir.

Hints

1
'Erkek olduğu bilindiğine göre' ifadesi, kadın adayları tamamen görmezden gelebileceğiniz anlamına gelir.
2
Yeni örnek uzayınız tablodaki 'Erkek' satırındaki sayıların toplamıdır.
3
Sadece erkeklerin olduğu bir oda hayal edin. Bu odada 4 İngilizce, 8 Almanca bilen var. Bu odadan rastgele birini seçerseniz İngilizce bilme olasılığı ne olur?

Practice More

Benzer bir tablo sorusunda, 'İngilizce bildiği bilindiğine göre kadın olma olasılığı' gibi koşulu değiştirerek pratik yapabilirsiniz.
Estimated Time:45s
Question 139Question →

Bir kalkınma ajansının teknik heyeti; tarım, sanayi, enerji, çevre, eğitim ve sağlık olmak üzere 66 farklı sektöre ait projeyi aynı gün içerisinde sırasıyla inceleyecektir. Çevre projesinin, enerji projesinden daha önce incelenmesi planlandığına göre, bu 66 projenin inceleme sırası kaç farklı şekilde belirlenebilir?

Show answer & explanation

Answer: 360360

Answer

İnceleme sırası 360360 farklı şekilde belirlenebilir.
Toplam 66 projenin dizilimi 6!=7206! = 720 farklı şekilde yapılabilir. Herhangi bir dizilimde Çevre (C\cÇ) ve Enerji (EE) projeleri için iki ihtimal vardır: Ya C\cÇ projesi EE'den öncedir ya da EE projesi C\cÇ'den öncedir. Bu iki durumun gerçekleşme sayıları birbirine eşit olduğundan, toplam durumun yarısında istenen şart sağlanır. Bu da 720/2=360720 / 2 = 360 sonucunu verir.

Step-by-Step Solution

1
Toplam proje sayısını ve kısıtsız sıralama durumunu belirleme
6!=7206! = 720
66 farklı projenin herhangi bir kısıtlama olmaksızın kendi aralarındaki tüm dizilimlerinin sayısı 66 faktöriyel ile hesaplanır.
2
Belirli iki proje arasındaki sıralama durumunu analiz etme
22 durum (Önce veya Sonra)
Herhangi bir sıralamada çevre projesi ya enerji projesinden öncedir ya da sonradır. Bu iki durum birbirine simetriktir.
3
Kısıtlı sıralama sayısını hesaplama
7202=360\frac{720}{2} = 360
Tüm durumların tam yarısında çevre projesi enerji projesinden önce yer alacağı için toplam durumu ikiye böleriz.

Key Concept

Sıralama kısıtı içeren permütasyon problemleri

Hints

1
Önce hiçbir kısıtlama yokmuş gibi 66 projenin toplam kaç farklı şekilde sıralanabileceğini hesaplayın.
2
Herhangi bir sıralamada çevre projesinin enerji projesinden önce olma ihtimali ile sonra olma ihtimali eşittir.
3
Toplam sıralama sayısını, iki projenin kendi arasındaki yer değiştirme sayısı olan 2!2! değerine bölerek sonuca ulaşabilirsiniz.

Practice More

Eğer Çevre, Enerji ve Eğitim projelerinin kendi aralarındaki sırası Çevre > Enerji > Eğitim şeklinde sabit olsaydı sonuç ne olurdu? (İpucu: 6!/3!6! / 3!)

Alternative Method

Genel bir kural olarak, nn tane nesne sıralanırken rr tanesinin kendi aralarındaki sırası belirli ise (örneğin A, B'den önce gelmeli gibi), tüm durumlar bu rr nesnenin kendi aralarındaki yer değiştirme sayısına (r!r!) bölünür. Burada r=2r=2 (Çevre ve Enerji) olduğu için 6!/2!=720/2=3606! / 2! = 720 / 2 = 360 bulunur.
Estimated Time:1m 15s
Question 140Question →

Bir Uluslararası İlişkiler Başkanlığı bünyesinde, yurtdışı temsil görevi için 6 diplomat ve 5 tercüman arasından 5 kişilik bir heyet oluşturulacaktır. Oluşturulacak bu heyette diplomat sayısının tercüman sayısından fazla olması ve Diplomat Ahmet ile Tercüman Canan'ın heyette ya birlikte bulunmaları ya da hiç bulunmamaları gerekmektedir. Buna göre, bu heyet kaç farklı şekilde seçilebilir?

Show answer & explanation

Answer: 131

Answer

Belirtilen şartlara uygun heyet 131 farklı şekilde oluşturulabilir.
Soruda iki temel kısıtlama vardır: Diplomat sayısının tercüman sayısından fazla olması (D > T) ve Ahmet ile Canan'ın ayrılmaz ikili olması. Bu tür 'ya birlikte ya hiç' sorularında en güvenli yöntem durumu ikiye ayırmaktır.

1. Ahmet ve Canan'ın Seçildiği Durum:
Heyete 2 kişi (1D, 1T) zaten yerleşmiştir. Kalan 3 koltuk için kalan havuzdan (5D, 4T) seçim yapılır. Toplamda D > T olması için kalan 3 koltuk ya '3D, 0T' ya da '2D, 1T' şeklinde doldurulmalıdır.
- (3D seçimi): C(5,3)=10C(5,3) = 10
- (2D, 1T seçimi): C(5,2)×C(4,1)=10×4=40C(5,2) \times C(4,1) = 10 \times 4 = 40
Bu durum için toplam: 10+40=5010 + 40 = 50 yol.

2. Ahmet ve Canan'ın Seçilmediği Durum:
Bu kişiler elendiği için heyet, kalan (5D, 4T) arasından 5 kişi olarak seçilecektir. D > T şartı için:
- (5D, 0T): C(5,5)=1C(5,5) = 1
- (4D, 1T): C(5,4)×C(4,1)=5×4=20C(5,4) \times C(4,1) = 5 \times 4 = 20
- (3D, 2T): C(5,3)×C(4,2)=10×6=60C(5,3) \times C(4,2) = 10 \times 6 = 60
Bu durum için toplam: 1+20+60=811 + 20 + 60 = 81 yol.

Genel Toplam: 50+81=13150 + 81 = 131.

Step-by-Step Solution

1
Problemi iki ana duruma ayır: 1. Durum (Ahmet ve Canan'ın heyette olduğu) ve 2. Durum (Ahmet ve Canan'ın heyette olmadığı).
İki ayrı hesaplama yapılacak.
Ahmet ve Canan'ın durumu birbirine bağlıdır ('ya hep ya hiç' kuralı), bu yüzden bu iki özel kişi için şartlar sabitlenerek kalan seçimler yapılmalıdır.
2
1. Durumu (Ahmet ve Canan HEYETTE) hesapla. Geriye kalan 5 diplomat ve 4 tercüman arasından, heyet tamamlanacak (toplam 5 kişi) ve diplomat > tercüman şartı sağlanacak.
Ahmet (D) ve Canan (T) seçildiği için heyette şu an 1 Diplomat, 1 Tercüman var. Kalan 3 kişi için olası senaryolar:
- 3 Diplomat (Toplam: 4D, 1T) -> C(5,3) = 10 durum.
- 2 Diplomat, 1 Tercüman (Toplam: 3D, 2T) -> C(5,2) × C(4,1) = 10 × 4 = 40 durum.
Toplam: 10 + 40 = 50.
Heyette çoğunluğun diplomat olması şartı (D > T) sağlanmalıdır. (4D, 1T) ve (3D, 2T) bu şartı sağlar.
3
2. Durumu (Ahmet ve Canan HEYETTE YOK) hesapla. Geriye kalan 5 diplomat ve 4 tercüman arasından 5 kişi seçilecek ve diplomat > tercüman şartı sağlanacak.
Ahmet ve Canan havuzdan çıkarıldı. Kalanlardan D > T şartını sağlayan senaryolar:
- 5 Diplomat, 0 Tercüman -> C(5,5) = 1 durum.
- 4 Diplomat, 1 Tercüman -> C(5,4) × C(4,1) = 5 × 4 = 20 durum.
- 3 Diplomat, 2 Tercüman -> C(5,3) × C(4,2) = 10 × 6 = 60 durum.
Toplam: 1 + 20 + 60 = 81.
Havuz daraldığı için seçimler kalan 5 diplomat ve 4 tercüman üzerinden yapılır.
4
İki durumun sonuçlarını topla.
50 (1. Durum) + 81 (2. Durum) = 131.
Bu iki durum ayrık olaylardır (bir durum diğerini kapsamaz), bu yüzden toplama kuralı uygulanır.

Key Concept

Koşullu Kombinasyon ve Durum Analizi

Hints

1
Soruda 'ya birlikte bulunmaları ya da hiç bulunmamaları' ifadesi, problemi iki ayrı senaryo halinde çözmeniz gerektiğini gösterir.
2
Birinci senaryoda Ahmet ve Canan'ı heyete koyun, kalan kontenjanı (3 kişi) belirleyin. İkinci senaryoda Ahmet ve Canan'ı havuzdan tamamen çıkarın, tüm heyeti (5 kişi) kalanlardan seçin.

Practice More

Benzer bir mantıkla; 'En az 2 diplomat bulunmak şartıyla' gibi alt sınır içeren sorular çözülebilir.

Alternative Method

Tüm durumdan istenmeyen durumu çıkarma yöntemi de kullanılabilir ancak bu soruda 'D > T' şartı da olduğu için doğrudan durumları (Case Analysis) toplamak daha az hata riski taşır.
Estimated Time:2m 30s
PreviousPage 7 / 15Next
Sayma ve Olasılık — KPSS Genel Yetenek - Genel Kültür — Page 7 | Examkin