Examkin

Temel Kavramlar ve Sayılar

301 questions

Question 261Question →
nn pozitif bir tam sayı olmak üzere,
Kn=1!⋅2!⋅3!⋅⋯⋅n! K_n = 1! \cdot 2! \cdot 3! \cdot \dots \cdot n!

şeklinde tanımlanıyor.

KnK_n sayısının sondan 24 basamağı sıfır olduğuna göre, nn kaçtır?

Show answer & explanation

Answer: 17

Answer

Sondan 24 basamağı sıfır yapan nn değeri 17'dir.
Sondan gelen sıfır sayısı, çarpımdaki toplam 5 çarpanı sayısına eşittir. 1!1!'den 14!14!'e kadar olan faktöriyellerin sıfır sayıları toplamı 15'tir. 15!, 16! ve 17! sayılarının her biri sonuca 3'er sıfır daha ekler. 15+3+3+3=2415 + 3 + 3 + 3 = 24 olduğundan doğru cevap 17'dir.

Step-by-Step Solution

1
Problemi analiz et
KnK_n çarpımının sonundaki sıfır sayısı, çarpımı oluşturan her bir faktöriyel sayısının (1!,2!,…,n!1!, 2!, \dots, n!) sonundaki sıfır sayılarının toplamına eşittir. Bir sayının sonundaki sıfır sayısı, içindeki 5 çarpanlarının sayısına bağlıdır.
Çarpma işleminde tabanların toplanması kuralı gereği, her terimden gelen 10 çarpanı (2 ve 5 çifti) sonuca bir sıfır ekler. 2 çarpanı bol olduğu için belirleyici olan 5 çarpanıdır.
2
Aralıkların sıfır katkılarını hesapla
1!1! ile 4!4! arası: 0 sıfır.
5!5! ile 9!9! arası: Her biri 1 sıfır (Toplam 5 terim).
10!10! ile 14!14! arası: Her biri 2 sıfır (Toplam 5 terim).
15!15! ile 19!19! arası: Her biri 3 sıfır.
k<5k < 5 için 5 çarpanı yoktur. 5≤k<105 \le k < 10 için bir adet 5 çarpanı vardır. 10≤k<1510 \le k < 15 için iki adet (5 ve 10'dan gelen) 5 çarpanı vardır. 15≤k<2015 \le k < 20 için üç adet (5, 10, 15'ten gelen) 5 çarpanı vardır.
3
Kümülatif toplamı hesapla
n=4n=4 için toplam: 0
n=9n=9 için toplam: 0+5×1=50 + 5 \times 1 = 5
n=14n=14 için toplam: 5+5×2=155 + 5 \times 2 = 15
Şu ana kadar 14!14!'e kadar olan çarpımda toplam 15 tane sıfır elde ettik. Hedefimiz 24 sıfıra ulaşmak.
4
Hedef değere ulaşana kadar adım adım ilerle
n=15n=15 için: 15+3=1815 + 3 = 18
n=16n=16 için: 18+3=2118 + 3 = 21
n=17n=17 için: 21+3=2421 + 3 = 24
15'ten itibaren her faktöriyel sayı (15!, 16!, 17!...) toplam sıfır sayısına 3 ekler. n=17n=17 olduğunda tam olarak 24 sıfıra ulaşılır.

Key Concept

Faktöriyel çarpımlarında sondan gelen sıfır sayısı kümülatif olarak artar ve her terimin içindeki 5 çarpanı sayısı kadar ekleme yapılır.

Hints

1
Bir sayının sonundaki sıfır sayısı, o sayının içindeki 5 çarpanlarının sayısı ile belirlenir. KnK_n bir çarpım olduğu için, her bir faktöriyelden gelen 5 çarpanlarını toplamalısınız.
2
1!1! ile 4!4! arasında 5 çarpanı yoktur. 5!5! ile 9!9! arasındaki her sayı 1 tane 5 çarpanı (1 sıfır) getirir. 10!10! ile 14!14! arası 2 tane getirir. Bu şekilde birikimli toplayın.
3
14!14!'e kadar toplam 15 sıfır birikir. 15!15! sayısı ise 3 tane 5 çarpanı içerir. 15'ten itibaren 24'e ulaşmak için kaç adım gitmeniz gerektiğini hesaplayın.

Practice More

Benzer mantıkla KnK_n sayısının sondan kaç basamağının 9 olduğunu soran sorular (yani Kn+1K_n + 1 sayısı) da bu konuyu pekiştirir.

Alternative Method

Tablo yöntemi: nn değerlerini gruplayarak (1-4, 5-9, 10-14, 15-19) her grubun toplam sıfır katkısını yazıp kümülatif toplamın 24 olduğu noktayı bulabilirsiniz.
Estimated Time:3m 0s
Question 262Question →
Sıfırdan farklı xx ve yy gerçel sayıları için,
xy \frac{x}{y}

ifadesinin bir rasyonel sayı olduğu bilinmektedir.

Buna göre, aşağıdakilerden hangisi daima doğrudur?

Show answer & explanation

Answer: x irrasyonel sayı ise y de irrasyonel sayıdır.

Answer

x irrasyonel sayı ise y de irrasyonel sayıdır.
Sıfırdan farklı bir oranın (x/yx/y) rasyonel olabilmesi için, xx ve yy sayılarının 'türdeş' olması gerekir. Yani ya her ikisi de rasyonel olmalı ya da her ikisi de birbiriyle sadeleşebilen köklü (irrasyonel) ifadeler içermelidir. Eğer xx bir irrasyonel sayı ise (örneğin 2\sqrt{2}), sonucun rasyonel çıkabilmesi için yy sayısının da bunu sadeleştirecek bir irrasyonel çarpanı (örneğin 2\sqrt{2}) olmalıdır. Eğer yy rasyonel olsaydı, İrrasyonel/Rasyonel = İrrasyonel olurdu ve hipotezle çelişirdi. Bu nedenle xx irrasyonel ise yy de kesinlikle irrasyoneldir.

Step-by-Step Solution

1
Verilen koşulu analiz et
x/y = q (q ∈ ℚ ve q ≠ 0) şeklinde yazılabilir. Buradan x = y . q veya y = x/q eşitliği elde edilir.
Soruda x/y ifadesinin rasyonel sayı olduğu belirtilmiştir.
2
Doğru seçeneği (C) sına
Eğer x irrasyonel bir sayı ise (x ∈ ℚ'), y sayısı rasyonel olamaz. Çünkü 'İrrasyonel / Rasyonel = İrrasyonel'dir. Ancak sonucun (x/y) rasyonel çıkması gerektiği için, y de mutlaka irrasyonel olmalıdır.
Sıfırdan farklı bir rasyonel sayı ile irrasyonel sayının bölümü/çarpımı daima irrasyoneldir.
3
Diğer seçenekler için karşıt örnek bul
B seçeneği için: x = ⁴√2 ve y = ⁴√2 olsun. x/y = 1 (Rasyonel). Ancak x.y = √2 (İrrasyonel). Bu yüzden x.y daima rasyonel değildir.
Daima doğru olması için tek bir istisna bile ifadeyi yanlış yapar.

Key Concept

İrrasyonel Sayıların Özellikleri ve Kapalılık

Hints

1
Bir rasyonel sayı (q) ile irrasyonel bir sayının (i) çarpımı veya bölümü ne tür bir sayı verir? Bunu düşünün.
2
x=y⋅kx = y \cdot k (k rasyonel) eşitliğini kurun. Eğer x irrasyonel ise ve k rasyonel ise, y sayısı rasyonel olabilir mi?
3
Rasyonel sayı ile Rasyonel sayının işlemi Rasyoneldir. Ancak İrrasyonel / Rasyonel = İrrasyoneldir. Soruda sonucun Rasyonel olduğu verilmiş.

Alternative Method

Değer vererek eleme yöntemi: x=2x=\sqrt{2} ve y=2y=\sqrt{2} vererek seçenekleri deneyin. Sonra x=2x=2 ve y=2y=2 vererek tekrar deneyin. Her iki durumda da doğru kalan tek seçeneği bulun.
Estimated Time:2m 0s
Question 263Question →

Üç basamaklı ABCABC doğal sayısı, rakamları toplamının 51 katına eşittir.

ABC=51⋅(A+B+C)ABC = 51 \cdot (A + B + C)

Buna göre, bu koşulu sağlayan ABCABC sayısı için A⋅C−BA \cdot C - B ifadesinin değeri kaçtır?

Show answer & explanation

Answer: 71

Answer

71
Verilen eşitlik 100A+10B+C=51(A+B+C)100A + 10B + C = 51(A+B+C) şeklinde açılıp düzenlendiğinde 49A=41B+50C49A = 41B + 50C elde edilir. Bu denklemi sağlayan tek rakam üçlüsü A=9,B=1,C=8A=9, B=1, C=8 şeklindedir (918=51×18918 = 51 \times 18). İstenen değer 9×8−1=719 \times 8 - 1 = 71 olarak bulunur.

Step-by-Step Solution

1
Verilen sözel ifadeyi matematiksel denkleme dök ve çözümle.
100A+10B+C=51(A+B+C)100A + 10B + C = 51(A + B + C)
Basamak analizi kuralına göre ABC=100A+10B+CABC = 100A + 10B + C şeklinde açılır.
2
Parantezi dağıt ve benzer terimleri bir araya getirerek sadeleştir.
100A+10B+C=51A+51B+51C  ⟹  49A=41B+50C100A + 10B + C = 51A + 51B + 51C \implies 49A = 41B + 50C
Eşitliğin her iki tarafındaki A, B ve C terimleri gruplandırılır.
3
Elde edilen 49A=41B+50C49A = 41B + 50C eşitliğinde modüler aritmetik veya değer verme yöntemini kullan.
Eşitliğin birler basamağına (mod 10) bakalım. 49A49A'nın son basamağı ile 41B+50C41B + 50C'nin son basamağı aynı olmalıdır. 50C50C'nin son basamağı 0 olduğundan, 9A9A ile 1B1B'nin son basamağı aynı olmalıdır (9A≡B(mod10)9A \equiv B \pmod{10}).
B ve C birer rakam olduğu için katsayıların büyüklüğü çözüm kümesini sınırlar.
4
Olası A rakamlarını dene ve uygun B, C değerlerini bul.
A=9A=9 için: 9A9A'nın sonu 1, yani B=1B=1 olmalı. Denklemde yerine koyalım: 49(9)=44149(9) = 441. 41(1)+50C=441  ⟹  41+50C=441  ⟹  50C=400  ⟹  C=841(1) + 50C = 441 \implies 41 + 50C = 441 \implies 50C = 400 \implies C=8. Bu geçerli bir çözümdür (ABC=918ABC = 918).
Diğer A değerleri (örn. A=8, B=2) denendiğinde C tam sayı veya rakam çıkmaz (Örn: 49(8)=39249(8)=392, 41(2)=8241(2)=82, 392−82=310392-82=310, 310/50310/50 tam sayı değil).
5
Bulunan rakamlarla istenen A⋅C−BA \cdot C - B işlemini yap.
A=9,B=1,C=8A=9, B=1, C=8 olduğuna göre; 9⋅8−1=72−1=719 \cdot 8 - 1 = 72 - 1 = 71.
Sorunun son kısmı sonuç değerini istemektedir.

Key Concept

Basamak Analizi ve Diophantine Denklemler

Hints

1
Sayımızı 100A+10B+C100A + 10B + C olarak çözümleyip verilen eşitliği düzenleyin.
2
Düzenleme sonucunda 49A=41B+50C49A = 41B + 50C eşitliğini elde etmelisiniz.
3
50C50C terimi 50'nin katı olduğu için sonu 0 ile biter. Bu durumda 49A49A ile 41B41B'nin birler basamağının aynı olması gerekir.

Practice More

İki basamaklı ABAB sayısı rakamları toplamının xx katı ise xx en çok kaç olabilir?

Alternative Method

Deneme-yanılma yöntemi ile 51'in katları incelenebilir, ancak 3 basamaklı sayılar içinde 51'in katı olan ve rakamları toplamının 51 katı olan sayıyı bulmak (örneğin 51x10=510, toplam=6, 51x6=306!=510) zaman alabilir.
Estimated Time:2m 30s
Question 264Question →

Pozitif tam sayılar kümesi üzerinde bir TT fonksiyonu şu şekilde tanımlanmıştır:

Her nn pozitif tam sayısı için T(n)T(n); nn sayısından başlayarak ardışık nn tane tam sayının toplamına eşittir.

Örneğin; T(3)=3+4+5=12T(3) = 3 + 4 + 5 = 12 ve T(4)=4+5+6+7=22T(4) = 4 + 5 + 6 + 7 = 22 dir.

Buna göre, T(n)−T(n−1)=223T(n) - T(n-1) = 223 eşitliğini sağlayan nn tam sayısı kaçtır?

Show answer & explanation

Answer: 75

Answer

Eşitliği sağlayan n değeri 75'tir.
Soruda verilen tanıma göre T(n)T(n), ilk terimi nn olan ve nn tane ardışık sayıdan oluşan bir dizinin toplamıdır. Bu toplam Gauss yöntemiyle Terim Sayısı2(I˙lk Terim+Son Terim)\frac{\text{Terim Sayısı}}{2}(\text{İlk Terim} + \text{Son Terim}) şeklinde ifade edilebilir. T(n)=n2(n+2n−1)=3n2−n2T(n) = \frac{n}{2}(n + 2n-1) = \frac{3n^2-n}{2} formülü elde edilir. Aynı mantıkla T(n−1)=3(n−1)2−(n−1)2T(n-1) = \frac{3(n-1)^2-(n-1)}{2} bulunur. Bu iki ifadenin farkı alındığında sonuç 3n−23n-2 çıkar. 3n−2=2233n-2 = 223 denklemi çözüldüğünde n=75n=75 bulunur.

Step-by-Step Solution

1
T(n) ve T(n-1) ifadelerini açık biçimde yaz.
T(n)=n+(n+1)+⋯+(2n−1)T(n) = n + (n+1) + \dots + (2n-1) ve T(n−1)=(n−1)+n+⋯+(2n−3)T(n-1) = (n-1) + n + \dots + (2n-3)
Tanım gereği T(n), n'den başlayan n terimi; T(n-1) ise (n-1)'den başlayan (n-1) terimi toplar.
2
İki ifade arasındaki farkı terim terim analiz et veya formülleştir.
T(n)T(n) ifadesinde nn terim, T(n−1)T(n-1) ifadesinde n−1n-1 terim vardır. Ortak terimler çıkarıldığında geriye kalan ilişki bulunur.
Cebirsel çıkarma işlemi çözümün anahtarıdır.
3
Alternatif olarak Gauss toplam formülünü uygula.
T(n)=n2(n+2n−1)=3n2−n2T(n) = \frac{n}{2}(n + 2n - 1) = \frac{3n^2 - n}{2}
Ardışık sayıların toplam formülü: (Terim Sayısı / 2) * (İlk Terim + Son Terim).
4
T(n) ve T(n-1) için genel denklemi kur ve farkı hesapla.
T(n)−T(n−1)=3n2−n2−3(n−1)2−(n−1)2=3n−2T(n) - T(n-1) = \frac{3n^2 - n}{2} - \frac{3(n-1)^2 - (n-1)}{2} = 3n - 2
İşlemler yapıldığında farkın her zaman 3n−23n - 2 olduğu görülür.
5
Bulunan cebirsel ifadeyi verilen sayıya eşitle ve n'i bul.
3n−2=223⇒3n=225⇒n=753n - 2 = 223 \Rightarrow 3n = 225 \Rightarrow n = 75
Sonuç denkleminin çözümü.

Key Concept

Ardışık sayı dizilerinde genel terim bulma ve cebirsel fark hesabı.

Hints

1
Önce T(n)T(n) ifadesini açık bir şekilde, terimleri görerek yazmaya çalışın: T(n)=n+(n+1)+...T(n) = n + (n+1) + ...
2
T(n)T(n) toplamında nn tane terim vardır ve son terim (2n−1)(2n-1)'dir. Ardışık sayılar toplam formülünü kullanarak T(n)T(n)'i nn cinsinden cebirsel bir ifadeye dönüştürün.
3
T(n)=3n2−n2T(n) = \frac{3n^2 - n}{2} eşitliğini bulduktan sonra, nn yerine (n−1)(n-1) koyarak T(n−1)T(n-1)'i bulun ve birbirinden çıkarın.

Alternative Method

Terimler alt alta yazılıp çıkarılabilir: T(n)T(n) toplamındaki terimler: n,n+1,...,2n−2,2n−1n, n+1, ..., 2n-2, 2n-1. T(n−1)T(n-1) terimleri: n−1,n,...,2n−3n-1, n, ..., 2n-3. Çıkarma yapıldığında ortak olan nn den 2n−32n-3'e kadar olan kısım değil, terim kaydırmasıyla sadeleştirme yapılabilir. T(n)−T(n−1)=[(2n−2)+(2n−1)]−(n−1)=4n−3−n+1=3n−2T(n) - T(n-1) = [(2n-2) + (2n-1)] - (n-1) = 4n - 3 - n + 1 = 3n - 2.
Question 265Question →
xx ve yy doğal sayılar olmak üzere,
x!=120⋅y!x! = 120 \cdot y!

eşitliğini sağlayan xx ve yy değerleri için, x+yx+y toplamının alabileceği farklı değerlerin toplamı kaçtır?
Show answer & explanation

Answer: 259

Answer

Doğru cevap, x+y toplamının alabileceği tüm değerlerin toplamı olan 259'dur.
Verilen eşitliği sağlayan dört farklı (x,y)(x,y) ikilisi vardır. Bunlar:
1. x=120,y=119x=120, y=119 (Toplam: 239)
2. x=6,y=3x=6, y=3 (Çünkü 6.5.4=1206.5.4=120, Toplam: 9)
3. x=5,y=1x=5, y=1 (Çünkü 120=5!120=5!, 1!=11!=1, Toplam: 6)
4. x=5,y=0x=5, y=0 (Çünkü 120=5!120=5!, 0!=10!=1, Toplam: 5)
Bu değerlerin toplamı 239+9+6+5=259239 + 9 + 6 + 5 = 259 eder.

Step-by-Step Solution

1
Eşitliği x!/y!=120x! / y! = 120 şeklinde düzenleyip 120 sayısını ardışık çarpanlar şeklinde yazabileceğimiz durumları analiz et.
x!=120⋅y!x! = 120 \cdot y! ifadesini incelemeye başla.
Faktöriyel tanımı gereği x!=x⋅(x−1)⋅...⋅(y+1)⋅y!x! = x \cdot (x-1) \cdot ... \cdot (y+1) \cdot y! olduğundan, 120120 sayısı ardışık sayıların çarpımı olmalıdır.
2
1. Durum: Ardışık tek sayı durumu. x!=120⋅119!x! = 120 \cdot 119! olabilir.
x=120x=120 ve y=119y=119. Bu durumda x+y=120+119=239x+y = 120 + 119 = 239.
Her nn sayısı için n!=n⋅(n−1)!n! = n \cdot (n-1)! eşitliği geçerlidir.
3
2. Durum: Ardışık üç sayı çarpımı. 120=6⋅5⋅4120 = 6 \cdot 5 \cdot 4.
x=6x=6 seçilirse, 6⋅5⋅4⋅3!=6!6 \cdot 5 \cdot 4 \cdot 3! = 6! olacağından y=3y=3 olur. x+y=6+3=9x+y = 6+3=9.
6!/3!=(720/6)=1206! / 3! = (720/6) = 120 eşitliği sağlanır.
4
3. Durum: 120 sayısının kendisinin bir faktöriyel olup olmadığını kontrol et. 120=5!120 = 5!.
x=5x=5 seçilirse, 5!=120⋅y!⇒120=120⋅y!⇒y!=15! = 120 \cdot y! \Rightarrow 120 = 120 \cdot y! \Rightarrow y!=1 olur.
y!=1y!=1 eşitliğini sağlayan iki farklı doğal sayı vardır: y=1y=1 ve y=0y=0.
5
y!=1y!=1 durumundan gelen kökleri bul ve toplamları hesapla.
y=1y=1 için x=5⇒x+y=6x=5 \Rightarrow x+y = 6. y=0y=0 için x=5⇒x+y=5x=5 \Rightarrow x+y = 5.
0!=10! = 1 ve 1!=11! = 1 olduğu unutulmamalıdır.
6
Bulunan tüm x+yx+y değerlerini topla.
239+9+6+5=259239 + 9 + 6 + 5 = 259.
Soruda tüm olası değerlerin toplamı istenmiştir.

Key Concept

Faktöriyel kavramında n!=n(n−1)!n! = n(n-1)! özelliği ve 0!=10! = 1 kuralı.

Hints

1
Faktöriyel tanımını hatırlayın: x!/y!x! / y! ifadesi ardışık sayıların çarpımı olmalıdır. 120 sayısını ardışık sayıların çarpımı olarak kaç farklı şekilde yazabilirsiniz?
2
120 sayısı 5!5!'e eşittir. Bu durumda y!y! kaç olmalıdır? y!=1y! = 1 denkleminin kaç farklı doğal sayı çözümü vardır?
3
Olası durumlar: 1) 120⋅119!120 \cdot 119!, 2) 6⋅5⋅46 \cdot 5 \cdot 4 (yani 6!'den geriye), 3) 5!⋅1!5! \cdot 1!, 4) 5!⋅0!5! \cdot 0!. 0!=10!=1 olduğunu unutmayın.
Estimated Time:2m 30s
Question 266Question →

x,yx, y ve zz pozitif tam sayılar olmak üzere,

I. x⋅y+zx \cdot y + z
II. x+y⋅zx + y \cdot z

ifadelerinden birincisinin tek, ikincisinin ise çift sayı olduğu bilinmektedir.

Buna göre aşağıdakilerden hangisi daima çift sayıdır?

Show answer & explanation

Answer: (x+y)⋅z(x + y) \cdot z

Answer

(x + y) \cdot z ifadesi daima çift sayıdır.
Verilen iki denklem analiz edildiğinde tek geçerli durumun xx ve yy'nin çift, zz'nin ise tek sayı olduğu görülür. Buna göre (x+y)(x+y) ifadesi (Çift + Çift) çift sayı olur. Çift bir sayının herhangi bir tam sayı ile (zz) çarpımı daima çifttir.

Step-by-Step Solution

1
Verilen ifadelerin teklik-çiftlik durumlarını analiz et.
I. x⋅y+z=Tekx \cdot y + z = \text{Tek} ve II. x+y⋅z=C¸iftx + y \cdot z = \text{Çift}.
Soruda verilen öncüllerden yola çıkarak değişkenlerin karakterini belirlememiz gerekir.
2
Olası durumları tablolayarak çelişki testi uygula.
Tek geçerli durum: xx Çift, yy Çift, zz Tek.
Eğer xx ve yy tek olsaydı, I. ifade (T.T)+z=Tek => z Çift olurdu. Ancak bu durumda II. ifade T+(T.Ç) = T+Ç = Tek olurdu (Çift olması gerekiyordu). Benzer şekilde diğer kombinasyonlar denenerek elenir.
3
Bulunan değerleri (x=Ç, y=Ç, z=T) şıklarda test et.
(x+y)⋅z=(C¸+C¸)⋅T=C¸⋅T=C¸ift(x + y) \cdot z = (\text{Ç} + \text{Ç}) \cdot \text{T} = \text{Ç} \cdot \text{T} = \text{Çift}.
Doğru seçeneği bulmak için kesinleşen pariteleri yerine koyarız.

Key Concept

Tam sayılarda işlemlerin teklik-çiftlik özellikleri ve mantıksal çıkarım.

Hints

1
Bir çarpma işleminin sonucu tek ise (örneğin a⋅b=Teka \cdot b = \text{Tek}), çarpanların her ikisi de tek olmalıdır.
2
İkinci ifadenin (x+y⋅zx + y \cdot z) çift olması için ya (xx Çift, y⋅zy \cdot z Çift) ya da (xx Tek, y⋅zy \cdot z Tek) olmalıdır. Bu durumları birinci ifade ile test edin.
3
Tek tutarlı senaryo: xx ve yy sayılarının çift, zz sayısının tek olmasıdır.

Practice More

İki bilinmeyenli ve üslü ifadeler içeren (örn. ab+ca^b + c) teklik-çiftlik soruları çözülebilir.
Estimated Time:2m 30s
Question 267Question →
AA sayısı,
A=5⋅5!+6⋅6!+7⋅7!+⋯+44⋅44! A = 5 \cdot 5! + 6 \cdot 6! + 7 \cdot 7! + \dots + 44 \cdot 44!

şeklinde tanımlanıyor.

Buna göre, A+120A + 120 sayısının sondan kaç basamağı sıfırdır?

Show answer & explanation

Answer: 10

Answer

10
Verilen toplam, k⋅k!=(k+1)!−k!k \cdot k! = (k+1)! - k! özdeşliği kullanıldığında teleskopik bir seri oluşturur. Terimler sadeleştiğinde A=45!−5!A = 45! - 5! elde edilir. Soruda A+120A + 120 sorulduğu ve 120=5!120 = 5! olduğu için, istenen değer 45!45!'dir. 45! sayısının sonundaki sıfır sayısı, 45 sayısının sürekli 5'e bölünmesiyle bulunan bölümlerin toplamıdır (9 + 1 = 10).

Step-by-Step Solution

1
Verilen AA ifadesindeki her terimi k⋅k!=(k+1)!−k!k \cdot k! = (k+1)! - k! özdeşliğini kullanarak yeniden yaz.
A=(6!−5!)+(7!−6!)+⋯+(45!−44!)A = (6! - 5!) + (7! - 6!) + \dots + (45! - 44!)
Faktöriyel serilerinde teleskopik toplama yöntemi ile sadeleştirme yapmak için bu dönüşüm gereklidir.
2
Teleskopik toplamdaki birbirini götüren terimleri sadeleştir.
A=−5!+45!=45!−120A = -5! + 45! = 45! - 120
Serideki her pozitif terim bir sonraki parantezdeki negatif terimle sadeleşir, geriye sadece en büyük pozitif ve en küçük negatif terim kalır.
3
Soruda istenen A+120A + 120 ifadesini hesapla.
A+120=(45!−120)+120=45!A + 120 = (45! - 120) + 120 = 45!
Sabit sayıların sadeleşmesiyle işlem tek bir faktöriyel ifadesine dönüşür.
4
45! sayısının sondan kaç basamağının sıfır olduğunu bulmak için 5 çarpanlarının sayısını hesapla (Legendre Teoremi).
45÷5=945 \div 5 = 9 (Bölüm), 9÷5=19 \div 5 = 1 (Bölüm). Toplam: 9+1=109 + 1 = 10
Bir faktöriyel ifadesinin sonundaki sıfır sayısı, içindeki 5 asal çarpanının sayısına eşittir. Bu da sayının sürekli 5'e bölünmesiyle bulunur.

Key Concept

Faktöriyel toplam sembolü özdeşlikleri (k⋅k!=(k+1)!−k!k \cdot k! = (k+1)! - k!) ve faktöriyelde sondan gelen sıfır sayısının hesabı.

Hints

1
Genel terimi (k+1−1)⋅k!(k+1-1) \cdot k! şeklinde düşünerek parantezi açmayı deneyin.
2
k⋅k!=(k+1)!−k!k \cdot k! = (k+1)! - k! eşitliğini kullanarak toplamı açık bir şekilde yazın. Birçok terimin birbirini götürdüğünü göreceksiniz.
3
Toplamın sonucu 45!−5!45! - 5! olacaktır. Soruda bu değere 120 (yani 5!) eklenmesi isteniyor. Sonuçta sadece 45!45! kalır.

Practice More

Benzer teleskopik toplam mantığıyla çözülen 1k!−1(k+1)!\frac{1}{k!} - \frac{1}{(k+1)!} serileri üzerine çalışılması önerilir.

Alternative Method

Küçük değerler için örüntü kurarak: 1⋅1!=2!−1!1\cdot1! = 2!-1!, 1⋅1!+2⋅2!=3!−1!1\cdot1! + 2\cdot2! = 3!-1!. Buradan genelleme ile ∑k=1nk⋅k!=(n+1)!−1!\sum_{k=1}^n k\cdot k! = (n+1)! - 1! olduğu görülebilir. Soruda başlangıç 5 olduğu için (45)!−5!(45)! - 5! bulunur.
Estimated Time:4m 0s
Question 268Question →
a,ba, b ve cc birer tam sayı olmak üzere,
a⋅b+c=2a+4b+2023 a \cdot b + c = 2a + 4b + 2023

eşitliği veriliyor.

Buna göre, aşağıdakilerden hangisi her zaman doğrudur?

Show answer & explanation

Answer: a · b · c çarpımı çift sayıdır

Answer

a · b · c çarpımı çift sayıdır
Verilen eşitlikte sağ taraf (2a+4b+20232a + 4b + 2023) kesinlikle tek sayıdır. Bu nedenle sol taraf olan a⋅b+ca \cdot b + c ifadesi de tek sayı olmalıdır. Bu durum, a⋅ba \cdot b ve cc sayılarından birinin tek, diğerinin çift olmasını gerektirir.

İki olası senaryo vardır:
1. cc çifttir: Bu durumda çarpım (a⋅b⋅ca \cdot b \cdot c) içinde çift bir çarpan olduğu için sonuç çifttir.
2. cc tektir: Bu durumda a⋅ba \cdot b çarpımı çift olmak zorundadır. a⋅ba \cdot b çift ise aa veya bb'den en az biri çifttir. Dolayısıyla çarpım (a⋅b⋅ca \cdot b \cdot c) yine çifttir.

Her iki durumda da a⋅b⋅ca \cdot b \cdot c çarpımı kesinlikle çift sayıdır.

Step-by-Step Solution

1
Eşitliğin sağ tarafının teklik-çiftlik durumunu incele.
2a + 4b + 2023 ifadesinde 2a ve 4b her zaman çifttir. 2023 tek sayı olduğundan, Çift + Çift + Tek = Tek sayıdır.
Tam sayı katsayılı (2 ve 4 gibi) ifadelerin paritesini belirlemek için.
2
Sol taraftaki a·b + c ifadesini sağ tarafın sonucuyla eşleştir.
a·b + c toplamı Tek sayı olmalıdır.
Eşitliğin korunması için sol tarafın da tek sayı olması gerekir.
3
Toplamın tek sayı olması için gereken durumları (senaryoları) belirle.
İki sayının toplamı tek ise, sayılardan biri Tek, diğeri Çift olmalıdır. İki durum vardır:
Durum 1: (a·b) Çift ve c Tek.
Durum 2: (a·b) Tek ve c Çift.
Teklik-çiftlik kurallarına göre T+Ç=T veya Ç+T=T olmalıdır.
4
Her iki durumu da analiz ederek kesin doğruluğu kontrol et.
Durum 1'de: a·b Çift ise a veya b'den en az biri çifttir. Dolayısıyla a·b·c çarpımında en az bir çift çarpan vardır → Sonuç Çift.
Durum 2'de: c Çift olduğundan, a·b·c çarpımında c çarpanı çifttir → Sonuç Çift.
Her iki durumda da çarpım çifttir.
Seçeneklerin her zaman doğru olup olmadığını test etmek için.

Key Concept

Tam sayılarda işlemlerin teklik ve çiftlik özellikleri (Parite Analizi).

Hints

1
Eşitliğin sağ tarafındaki 2a2a ve 4b4b terimlerinin çift sayı olduğunu fark ederek başlayın.
2
Eşitliğin sağ tarafı tek sayı çıktığına göre, sol taraftaki a⋅b+ca \cdot b + c toplamı da tek sayı olmalıdır.
3
a⋅ba \cdot b ve cc sayılarından biri tek, diğeri çift olmak zorundadır. Bu iki durumu ayrı ayrı inceleyerek çarpımlarının sonucunu düşünün.

Practice More

Benzer mantıkla 3a+5b=4c+13a + 5b = 4c + 1 gibi denklemler kurarak farklı katsayıların parite üzerindeki etkisini inceleyen sorular çözebilirsiniz.

Alternative Method

Değer verme yöntemi kullanılabilir ancak dikkatli olunmalıdır. En az iki farklı durumu test edin: 1) a=1,b=1a=1, b=1 verip cc'yi bulun, 2) a=2,b=1a=2, b=1 verip cc'yi bulun. Her iki durumda da seçeneklerin doğruluğunu kontrol edin.
Estimated Time:2m 0s
Question 269Question →

a,ba, b ve cc pozitif tam sayılar olmak üzere,

ab+bc a^b + b^c

ifadesi tek sayı,

bc+ca b^c + c^a

ifadesi çift sayı,

a+b+c a + b + c

ifadesi çift sayıdır.

Buna göre, aşağıdakilerden hangisi daima çift sayıdır?

Show answer & explanation

Answer: ba+cb^a + c

Answer

ba+cb^a + c ifadesi daima çift sayıdır.
Verilen üç koşul birleştirildiğinde, aa sayısının çift, bb ve cc sayılarının ise tek olduğu saptanır. bb sayısı tek olduğu için her türlü pozitif tam sayı kuvveti (burada aa kuvveti) tektir. Tek bir sayı olan bab^a ile yine tek bir sayı olan cc toplandığında sonuç daima çift olur.

Step-by-Step Solution

1
ab+bca^b + b^c ifadesinin tekliğini analiz etme.
aa ve bb değişkenlerinden biri tek, diğeri çifttir.
İki sayının toplamının tek olması için sayılardan birinin tek, diğerinin çift olması gerekir (Üsler pozitif tam sayı olduğu için tabanın tekliği korunur).
2
bc+cab^c + c^a ifadesinin çiftliğini analiz etme.
bb ve cc değişkenleri aynı tekliğe sahiptir.
İki sayının toplamının çift olması için her iki sayının da tek veya her iki sayının da çift olması gerekir.
3
a+b+ca + b + c toplamının çift olması şartını kontrol etme.
aa çift, bb tek ve cc tek olmalıdır.
Eğer bb çift olsaydı, cc çift ve aa tek olurdu; bu durumda a+b+ca+b+c toplamı tek çıkardı. bb tek olduğunda ise cc tek ve aa çift olur, bu durumda toplam çift çıkar.
4
Bulunan değerleri seçeneklerde yerine koyma.
ba+cb^a + c ifadesi Tek+Tek=C¸ift\text{Tek} + \text{Tek} = \text{Çift} sonucunu verir.
Tek bir sayının pozitif tam sayı kuvveti tek, iki tek sayının toplamı ise her zaman çifttir.

Key Concept

Tek ve çift sayılarda toplama, çarpma ve üs alma işlemleri.
Estimated Time:2m 0s
Question 270Question →

Sıfırdan farklı m,nm, n ve kk gerçel sayıları için aşağıda verilen eşitsizlikler sağlanmaktadır:

m⋅k2>0m \cdot k^2 > 0

mn<0\frac{m}{n} < 0

m−n>k2m - n > k^2

Buna göre, aşağıdakilerden hangisi kesinlikle pozitiftir?

Show answer & explanation

Answer: m - n

Answer

m - n ifadesi kesinlikle pozitiftir.
Verilen eşitsizliklerden mm'nin pozitif, nn'nin negatif olduğu kesinleşmiştir. m−nm - n ifadesi, pozitif bir sayıdan negatif bir sayının çıkarılması anlamına gelir. Matematiksel olarak a−(−b)=a+ba - (-b) = a + b olduğundan, bu işlem iki pozitif büyüklüğün toplanmasına dönüşür ve sonuç kesinlikle sıfırdan büyük (pozitif) olur.

Step-by-Step Solution

1
İlk eşitsizliği analiz et (m⋅k2>0m \cdot k^2 > 0).
Bir gerçel sayının karesi (k2k^2) daima pozitiftir. Çarpımın pozitif olması için mm sayısı da pozitif (+) olmalıdır.
Pozitif ile pozitifin çarpımı pozitiftir.
2
İkinci eşitsizliği analiz et (mn<0\frac{m}{n} < 0).
mm pozitif olduğu için, bölümün negatif olması ancak nn sayısının negatif (-) olmasıyla mümkündür.
Zıt işaretli sayıların bölümü negatiftir.
3
kk sayısının işaretini değerlendir.
k2>0k^2 > 0 olması sadece k≠0k \neq 0 olduğunu gösterir. kk pozitif de olabilir negatif de olabilir.
Kare alma işlemi işaret bilgisini gizler.
4
Seçenekleri bu işaretlere göre (m>0m>0, n<0n<0) kontrol et.
m−nm - n ifadesinde; mm pozitif, nn negatiftir. İşlem m−(−sayı)=m+sayım - (-sayı) = m + sayı şekline dönüşür ve iki pozitif değer toplanmış olur.
Büyük sayıdan küçük sayının çıkarılması veya pozitiften negatifin çıkarılması daima pozitiftir.

Key Concept

İşaret İncelemesi ve Eşitsizlik Özellikleri

Hints

1
Bir sayının karesi (k2k^2) her zaman pozitiftir. Bunu kullanarak mm'nin işaretini bulmaya çalışın.
2
mm ve nn'nin çarpımı veya bölümü negatif ise, bu sayılar zıt işaretlidir. mm'yi bulduktan sonra nn'nin işaretini belirleyin.

Practice More

İşaret incelemesi yaparken çift kuvvetlerin (x2,x4x^2, x^4) daima pozitif olduğunu, ancak tabandaki sayının işaretini gizlediğini unutmayın. Tek kuvvetlerde (x3,x5x^3, x^5) ise işaret korunur.
Question 271Question →

Sayfa numaraları 11'den başlayarak nn'ye kadar ardışık tam sayılarla belirlenmiş bir not defterinden, ardışık iki sayfa numarasını içeren tek bir yaprak koparılıyor. Koparılan bu yaprak dışındaki tüm sayfaların numaraları toplamı 325325 olarak hesaplanmıştır.

Buna göre, koparılan yaprakta bulunan sayfa numaralarının çarpımı kaçtır?

Show answer & explanation

Answer: 702

Answer

Koparılan yaprakta bulunan sayfa numaralarının çarpımı 702'dir.
Ardışık sayıların toplamı n(n+1)/2n(n+1)/2 formülü ile bulunur. Kopan yapraktaki sayfalar ardışık (x,x+1x, x+1) olduğundan, toplamları (2x+12x+1) tek sayı olmalıdır. Kalan toplam 325325 olduğuna göre, tam toplamın 325325'ten büyük ve farkın tek sayı olduğu en küçük nn değeri denenmelidir. n=27n=27 için toplam 378378 olur ve fark 5353'tür (2x+1=53⇒x=262x+1=53 \Rightarrow x=26). Sayfalar 2626 ve 2727 olup çarpımları 702702'dir.

Step-by-Step Solution

1
Toplam sayfa sayısını (n) tahmin etmek için sınırları belirle
n yaklaşık 26 veya 27 olmalıdır.
Kalan toplam 325 olduğuna göre, tam toplam n(n+1)/2 bu değerden biraz büyük olmalıdır. n=26 için 351, n=27 için 378'dir.
2
n=26 durumu için kopan sayfaların toplamını kontrol et
Fark = 351 - 325 = 26. Bu imkansızdır.
Kopan iki ardışık sayfa x ve x+1 ise toplamları 2x+1 (tek sayı) olmalıdır. 26 çifttir.
3
n=27 durumu için kopan sayfaların toplamını kontrol et
Fark = 378 - 325 = 53. Bu geçerlidir.
n(n+1)/2 formülünden 27*28/2 = 378. Fark tek sayıdır.
4
Kopan sayfa numaralarını bul
x + (x+1) = 53 => 2x = 52 => x = 26. Sayfalar 26 ve 27'dir.
Kopan sayfalar ardışık iki tam sayıdır.
5
Sayfa numaralarının çarpımını hesapla
26 * 27 = 702.
Soruda çarpım istenmektedir.

Key Concept

Ardışık sayıların toplam formülü ve tek-çift sayı analizi kullanılarak bilinmeyen terim sayısının bulunması.

Hints

1
1'den n'ye kadar olan sayıların toplam formülünü (n(n+1)/2n(n+1)/2) hatırlayın.
2
Kopan sayfalar ardışık iki sayı (xx ve x+1x+1) olduğuna göre, toplamları (2x+12x+1) mutlaka tek sayı olmalıdır. Bu, n sayısı için deneme yaparken size yol gösterecektir.
3
Toplamı 325'ten büyük olan ilk birkaç üçgensel sayıyı (n(n+1)/2n(n+1)/2) kontrol edin. Aradaki farkın, kopması mümkün olan bir sayfa çiftine (yani 2n2n'den küçük bir tek sayıya) eşit olup olmadığına bakın.

Practice More

Benzer bir soruda, kopan sayfaların toplamının verilip n değerinin istendiği durumları çalışabilirsiniz.

Alternative Method

Yaklaşık değer tahmini: n(n+1)/2≈325n(n+1)/2 \approx 325 ise n2≈650n^2 \approx 650, buradan n≈25−26n \approx 25-26 bulunur. n=26 ve n=27 denenerek kesin sonuca ulaşılabilir.
Estimated Time:2m 30s
Question 272Question →

Matematik öğretmeni sayı kümelerinin özelliklerini ve bu kümeler arasındaki hiyerarşik ilişkileri anlatırken tahtaya bazı önermeler yazmıştır. Buna göre, sayı kümeleriyle ilgili aşağıda verilen ifadelerden hangisi yanlıştır?

Show answer & explanation

Answer: Sayı doğrusu üzerindeki her bir noktaya karşılık gelen sayı rasyoneldir.

Answer

Sayı doğrusu üzerindeki her bir noktaya karşılık gelen sayının rasyonel olduğu ifadesi yanlıştır; çünkü sayı doğrusu (gerçel sayılar) rasyonel ve irrasyonel sayıların birleşiminden oluşur.
Doğru yanıt olan seçenek, sayı doğrusu üzerindeki her noktanın rasyonel olduğunu iddia etmektedir. Ancak sayı doğrusu (gerçel sayılar), hem rasyonel hem de irrasyonel sayıları kapsar. İrrasyonel sayılar (3\sqrt{3}, π\pi, ee gibi) rasyonel olmadıkları halde sayı doğrusu üzerinde birer noktaya karşılık gelirler.

Step-by-Step Solution

1
Sayı kümelerinin tanımlarını hatırla.
Tam sayılar (Z\mathbb{Z}), rasyonel sayılar (Q\mathbb{Q}), irrasyonel sayılar (Q′\mathbb{Q}') ve gerçel sayılar (R\mathbb{R}) tanımları gözden geçirilir.
Kümeler arasındaki kapsama ilişkisini belirlemek için tanım bilgisi esastır.
2
Seçenekleri karşılaştır.
Rasyonel sayılar kümesinin sayı doğrusunda yoğun olduğu ancak tam olarak doldurmadığı (tamlık özelliği) bilgisi kullanılır.
Sayı doğrusundaki boşlukların irrasyonel sayılar tarafından doldurulduğunu anlamak gerekir.
3
Yanlış olan önermeyi belirle.
Sayı doğrusu üzerindeki her noktanın rasyonel olduğu iddiası, irrasyonel sayıların varlığıyla (örneğin 2≈1,41...\sqrt{2} \approx 1,41... noktası) çürütülür.
Bir gerçel sayı rasyonel değilse mutlaka irrasyoneldir; dolayısıyla tüm noktalar rasyonel olamaz.

Key Concept

Gerçel Sayılar Sisteminin Yapısı ve Sayı Doğrusu

Hints

1
Sayı doğrusunun sadece rasyonel sayılardan mı yoksa rasyonel ve irrasyonel sayıların toplamından mı oluştuğunu düşünün.
2
Devirli ondalık sayıların kesre dönüştürülme formülünü hatırlayın; bu onları rasyonel yapar mı?
3
π\pi sayısı sayı doğrusu üzerinde bir yer kaplar mı? Eğer kaplıyorsa bu nokta rasyonel bir sayı mıdır?

Practice More

İrrasyonel sayıların sayı doğrusundaki yerini anlamak için 'Karekök 2'nin geometrik gösterimini inceleyebilirsiniz.
Estimated Time:1m 15s
Question 273Question →

a,ba, b ve cc ardışık çift tam sayılar ve a<b<ca < b < c olmak üzere,

(c−a)2+(b−a)a+b+c=14 \frac{(c-a)^2 + (b-a)}{a + b + c} = \frac{1}{4}


eşitliği sağlanmaktadır. Buna göre, bu sayıların en büyüğü olan cc kaçtır?
Show answer & explanation

Answer: 26

Answer

En büyük sayı 26'dır
Ardışık çift sayılar arasındaki fark sabittir (b−a=2b-a=2, c−a=4c-a=4). Bu sabit değerler paydaki bilinmeyenleri ortadan kaldırır. Payda ise üç sayının toplamı olduğundan ortanca sayının 3 katıdır (3b3b). Denklem çözüldüğünde ortanca sayı 24 bulunur, en büyük sayı ise bundan 2 fazladır.

Step-by-Step Solution

1
Ardışık çift sayılar arasındaki farkları belirle
b=a+2b = a + 2 ve c=a+4c = a + 4 olduğu için; (b−a)=2(b-a) = 2 ve (c−a)=4(c-a) = 4 olur.
Ardışık çift tam sayılar ikişer ikişer artar. Bu sabit farklar, denklemdeki bilinmeyenleri azaltmak için kullanılır.
2
Paydadaki ifadeyi ortanca terim cinsinden yaz
Ardışık sayıların toplamı, terim sayısı ile ortanca terimin çarpımına eşittir: a+b+c=3ba + b + c = 3b.
İşlemleri basitleştirmek için toplamı tek bir değişken cinsinden ifade etmek gerekir.
3
Bulunan değerleri denklemde yerine yaz ve denklemi çöz
42+23b=14⇒16+23b=14⇒183b=14\frac{4^2 + 2}{3b} = \frac{1}{4} \Rightarrow \frac{16 + 2}{3b} = \frac{1}{4} \Rightarrow \frac{18}{3b} = \frac{1}{4}
Sabit farkları yerine koyarak denklemi tek bilinmeyenli hale getirmek.
4
b değerini bul ve istenen c değerini hesapla
6b=14⇒b=24\frac{6}{b} = \frac{1}{4} \Rightarrow b = 24
. En büyük sayı c=b+2c = b + 2 olduğundan, c=24+2=26c = 24 + 2 = 26 bulunur.
Soruda en büyük sayı (cc) istendiği için bulunan ortanca değere (bb) ekleme yapılır.

Key Concept

Ardışık çift sayılar arasındaki farkın sabit (2) olması ve aritmetik dizide toplamın ortanca terimle ilişkisi.

Hints

1
Ardışık çift tam sayılar arasındaki fark daima 2'dir. b−ab-a ve c−ac-a değerlerini sayısal olarak bulabilirsiniz.
2
b−a=2b-a=2 ve c−a=4c-a=4 değerlerini paydaki ifadede yerine yazın. Payda için ise a+c=2ba+c=2b eşitliğini hatırlayın.
3
Denklem 16+23b=14\frac{16+2}{3b} = \frac{1}{4} haline gelir. Buradan bb'yi bulup 2 ekleyerek cc'ye ulaşabilirsiniz.

Practice More

Ardışık tek sayılar için benzer bir fark/oran sorusu çözülebilir.

Alternative Method

Sayıları x,x+2,x+4x, x+2, x+4 şeklinde yazarak da denklem kurulabilir: (4)2+23x+6=14\frac{(4)^2 + 2}{3x+6} = \frac{1}{4}. Buradan xx (en küçük sayı) bulunur.
Estimated Time:1m 30s
Question 274Question →

Pozitif tam sayılar kümesinde tanımlı "aralarında asallık" kavramı ile ilgili aşağıdakilerden hangisi yanlıştır?

Show answer & explanation

Answer: Aralarında asal olan sayıların en az biri asal sayı olmalıdır

Answer

Aralarında asal olan sayıların en az biri asal sayı olmalıdır ifadesi yanlıştır.
Yanlış olan seçenek, 'Aralarında asal olan sayıların en az biri asal sayı olmalıdır' ifadesidir. Aralarında asal olmak için sayıların bireysel olarak asal olması gerekmez. Örneğin, 8 ve 9, 14 ve 15 veya 25 ve 26 gibi ardışık veya ortak çarpanı olmayan bileşik sayılar da aralarında asaldır.

Step-by-Step Solution

1
Aralarında asallık tanımını hatırla.
İki pozitif tam sayının 1'den başka ortak pozitif tam sayı böleni yoksa bu sayılara aralarında asal sayılar denir.
Soruyu çözmek için temel tanıma ihtiyaç vardır.
2
'Aralarında asal olan sayıların en az biri asal sayı olmalıdır' ifadesini analiz et.
Bu ifade yanlıştır. Çünkü her ikisi de bileşik (asal olmayan) sayı olduğu halde aralarında asal olan sayı çiftleri vardır.
Yanlış olan seçeneği belirlemek için karşıt örnek (counter-example) bulunmalıdır.
3
Karşıt örnek (aksine örnek) vererek ispatla.
Örneğin 8 ve 9 sayılarını inceleyelim. 8'in bölenleri: 1, 2, 4, 8 (Asal değil). 9'un bölenleri: 1, 3, 9 (Asal değil). Ortak bölenleri sadece 1'dir. Yani 8 ve 9 aralarında asaldır ama ikisi de asal değildir.
Somut bir örnekle ifadenin yanlışlığı kesinleştirilir.

Key Concept

Aralarında asallık kavramı, sayıların asal olmasını gerektirmez; sadece ortak bölenlerinin 1 olmasını gerektirir.

Hints

1
Seçeneklerin doğruluğunu kontrol etmek için her bir ifadeye uyan veya uymayan sayı örnekleri vermeyi deneyin.
2
Özellikle 'asal sayı olmak zorundadır' gibi kesinlik bildiren ifadelere odaklanın. Asal olmayan sayıları düşünün.
3
8 ve 9 sayılarını düşünün. Bu sayılar asal mıdır? Peki, bu sayılar aralarında asal mıdır?

Practice More

Ardışık sayıların aralarında asallığı ile ilgili sorular çözülebilir.
Estimated Time:1m 30s
Question 275Question →
aa, bb ve cc sıfırdan farklı rakamlar olmak üzere; abcabc, bcabca ve cabcab üç basamaklı doğal sayıları için
abc+bca+cab=1665abc + bca + cab = 1665

eşitliği veriliyor.

Buna göre, a<b<ca < b < c koşulunu sağlayan kaç farklı abcabc sayısı vardır?

Show answer & explanation

Answer: 8

Answer

Toplam 8 farklı abc sayısı yazılabilir.
Verilen eşitlik basamaklarına ayrıldığında 111(a+b+c)=1665111(a+b+c) = 1665 bulunur, buradan a+b+c=15a+b+c=15 elde edilir. a<b<ca<b<c koşulu altında rakamlar sıfırdan farklı olduğu için sistemli değer verme yöntemiyle;
a=1a=1 için: (1,5,9),(1,6,8)(1,5,9), (1,6,8) →\rightarrow 2 durum
a=2a=2 için: (2,4,9),(2,5,8),(2,6,7)(2,4,9), (2,5,8), (2,6,7) →\rightarrow 3 durum
a=3a=3 için: (3,4,8),(3,5,7)(3,4,8), (3,5,7) →\rightarrow 2 durum
a=4a=4 için: (4,5,6)(4,5,6) →\rightarrow 1 durum
olmak üzere toplam 8 farklı sayı yazılabilir.

Step-by-Step Solution

1
Verilen sayıları basamak değerlerine göre çözümle
abc=100a+10b+cabc = 100a + 10b + c, bca=100b+10c+abca = 100b + 10c + a, cab=100c+10a+bcab = 100c + 10a + b
Sayıların basamak değerlerini kullanarak denklemi rakamlar cinsinden ifade etmek için gereklidir.
2
Çözümlenen ifadeleri topla ve sadeleştir
(100a+10b+c)+(100b+10c+a)+(100c+10a+b)=111a+111b+111c=111(a+b+c)(100a+10b+c) + (100b+10c+a) + (100c+10a+b) = 111a + 111b + 111c = 111(a+b+c)
Denklemi en sade hale getirerek a, b ve c toplamını bulmak için gereklidir.
3
Denklemden rakamların toplamını bul
111(a+b+c)=1665⇒a+b+c=15111(a+b+c) = 1665 \Rightarrow a+b+c = 15
Hangi rakam kombinasyonlarını arayacağımızı belirlemek için gereklidir.
4
a < b < c koşuluna ve toplamın 15 olmasına göre olası üçlüleri belirle
a=1 için (1,5,9), (1,6,8); a=2 için (2,4,9), (2,5,8), (2,6,7); a=3 için (3,4,8), (3,5,7); a=4 için (4,5,6)
Sıralama koşulunu sağlayan tüm geçerli durumları sistematik olarak listelemek için gereklidir.
5
Bulunan durum sayısını topla
2+3+2+1=82 + 3 + 2 + 1 = 8 farklı durum vardır.
Soruda istenen toplam sayı adedine ulaşmak için.

Key Concept

Basamak Analizi ve Sayı Kümeleri Problemleri

Hints

1
Sayıları çözümleyerek abc=100a+10b+cabc = 100a + 10b + c şeklinde yazıp toplayın. Ortak çarpan parantezine almaya çalışın.
2
İfadeyi 111(a+b+c)=1665111(a+b+c) = 1665 haline getirebilirsiniz. Buradan a+b+ca+b+c toplamını bulun.
3
a+b+c=15a+b+c=15 ve a<b<ca<b<c şartını sağlayan üçlüleri bulmak için aa'ya en küçük değerden (1'den) başlayarak değer verin.

Practice More

Benzer bir mantıkla abc−cba=495abc - cba = 495 koşulunu sağlayan kaç sayı olduğunu araştırınız.

Alternative Method

Toplamı 15 olan 3 farklı rakamın tüm kombinasyonlarını düşünüp, her kombinasyon için sadece 1 tane sıralı (a<b<c) durumun geçerli olduğunu fark edebilirsiniz.
Estimated Time:2m 30s
Question 276Question →

Üç basamaklı ABCABC ve ACBACB doğal sayılarının toplamı 488'dir. Buna göre, bu sayıların rakamları toplamı olan A+B+CA + B + C kaçtır?

Show answer & explanation

Answer: 10

Answer

Rakamlar toplamı 10'dur.
Sayılar çözümlendiğinde elde edilen 200A+11(B+C)=488200A + 11(B + C) = 488 denkleminde, AA yerine yazılabilecek tek uygun rakam 2'dir. Bu durumda B+CB + C toplamı 8 olarak bulunur. Tüm rakamların toplamı ise 2+8=102 + 8 = 10 olur.

Step-by-Step Solution

1
Sayıları basamak değerlerine göre çözümle.
ABC=100A+10B+CABC = 100A + 10B + C ve ACB=100A+10C+BACB = 100A + 10C + B
Basamak analizi sorularında çözümleme yapmak sayısal ilişkiyi kurmayı sağlar.
2
Sayıları toplayarak verilen sonuca eşitle.
(100A+10B+C)+(100A+10C+B)=488⇒200A+11B+11C=488(100A + 10B + C) + (100A + 10C + B) = 488 \Rightarrow 200A + 11B + 11C = 488
Denklemi sadeleştirerek değişkenler arasındaki ilişkiyi bulmak gerekir.
3
Denklemi ortak paranteze alarak düzenle.
200A+11(B+C)=488200A + 11(B + C) = 488
BB ve CC değerlerinin katsayıları aynı olduğu için gruplandırılabilir.
4
AA rakamı için uygun değeri belirle.
A=2A = 2 için 400+11(B+C)=488⇒11(B+C)=88⇒B+C=8400 + 11(B + C) = 488 \Rightarrow 11(B + C) = 88 \Rightarrow B + C = 8. (A=1A=1 için B+CB+C tam sayı çıkmaz, A≥3A \geq 3 için toplam 488'i geçer.)
AA bir rakam ve sıfırdan farklı olmalıdır. Eşitliği sağlayan tek rakam 2'dir.
5
A+B+CA + B + C toplamını hesapla.
A+(B+C)=2+8=10A + (B + C) = 2 + 8 = 10
Soru kökünde istenen tüm rakamların toplamıdır.

Key Concept

Basamak Çözümleme ve Denklem Kurma

Hints

1
ABCABC sayısını 100A+10B+C100A + 10B + C şeklinde çözümleyerek işe başlayın.
2
Toplama işlemini yaptığınızda 200A+11(B+C)=488200A + 11(B + C) = 488 denklemini elde edeceksiniz.
3
AA rakamı 2'den büyük olamaz çünkü 200×3=600200 \times 3 = 600 olur ve 488'i geçer. A=2A=2 vererek B+CB+C değerini bulun.

Practice More

Benzer şekilde ABC−CBA=495ABC - CBA = 495 şartını sağlayan rakamları farklı en büyük ABCABC sayısını bulmaya çalışın.
Estimated Time:1m 15s
Question 277Question →

xx bir gerçel sayı olmak üzere,

I. x3x^3 ve x2+xx^2 + x birer rasyonel sayı ise xx rasyonel sayıdır.
II. x4x^4 ve x6x^6 birer rasyonel sayı ise xx rasyonel sayıdır.
III. x2+2xx^2 + 2x bir rasyonel sayı ise xx rasyonel sayıdır.

ifadelerinden hangileri her zaman doğrudur?

Show answer & explanation

Answer: Yalnız I

Answer

Sadece I. öncül her zaman doğrudur.
I. öncülde verilen x3x^3 ve x2+xx^2+x ifadeleri kullanılarak xx değişkeni, rasyonel sayıların toplamı ve oranı şeklinde ifade edilebilmektedir. Paydayı sıfır yapan bir gerçel sayı bulunmadığı için xx her zaman rasyonel bir değer alır.

Step-by-Step Solution

1
I. öncülün analizini yapalım.
x3=q1x^3 = q_1 ve x2+x=q2x^2 + x = q_2 olsun (q1,q2∈Qq_1, q_2 \in \mathbb{Q}). x2=q2−xx^2 = q_2 - x yazılıp x3x^3 ifadesinde yerine konulursa: x3=x⋅x2=x(q2−x)=q2x−x2=q2x−(q2−x)=(q2+1)x−q2x^3 = x \cdot x^2 = x(q_2 - x) = q_2x - x^2 = q_2x - (q_2 - x) = (q_2 + 1)x - q_2 elde edilir.
x3x^3 ifadesini rasyonel katsayılar ve xx cinsinden ifade etmek için.
2
xx değişkenini yalnız bırakalım.
x=q1+q2q2+1x = \frac{q_1 + q_2}{q_2 + 1} bulunur. Paydanın sıfır olması için x2+x=−1x^2 + x = -1 yani x2+x+1=0x^2 + x + 1 = 0 olmalıdır. Bu denklemin diskriminantı Δ=−3<0\Delta = -3 < 0 olduğundan hiçbir gerçel xx sayısı paydayı sıfır yapmaz. Dolayısıyla xx daima rasyoneldir.
Rasyonel sayıların birbirine oranı (payda sıfır değilse) rasyoneldir.
3
II. öncülü karşı örnekle inceleyelim.
x=2x = \sqrt{2} olsun. x4=4x^4 = 4 ve x6=8x^6 = 8 rasyonel sayılardır ancak x=2x = \sqrt{2} irrasyonel bir sayıdır.
Bir öncülün her zaman doğru olmadığını göstermek için tek bir karşı örnek yeterlidir.
4
III. öncülü karşı örnekle inceleyelim.
x=2−1x = \sqrt{2} - 1 olsun. x2+2x=(x+1)2−1=(2)2−1=1x^2 + 2x = (x+1)^2 - 1 = (\sqrt{2})^2 - 1 = 1 rasyoneldir ancak x=2−1x = \sqrt{2} - 1 irrasyoneldir.
İkinci dereceden ifadelerin rasyonel olması değişkenin rasyonel olmasını garanti etmez.

Key Concept

Rasyonel ve irrasyonel sayılar arasındaki işlemler ve kuvvet ilişkileri.
Estimated Time:2m 30s
Question 278Question →

Sıfırdan farklı xx ve yy gerçel sayıları için aşağıda verilen önermelerden hangileri her zaman doğrudur?

I. x+yx+y ve x−yx-y ifadeleri birer rasyonel sayı ise xx ve yy rasyonel sayılardır.
II. x⋅yx \cdot y ve xy\frac{x}{y} ifadeleri birer rasyonel sayı ise xx ve yy rasyonel sayılardır.
III. x3x^3 ve x2x^2 ifadeleri birer rasyonel sayı ise xx rasyonel sayıdır.

Buna göre, yukarıdaki ifadelerden hangileri doğrudur?

Show answer & explanation

Answer: I ve III

Answer

I ve III ifadeleri her zaman doğrudur.
I. öncülde toplam ve farkın rasyonel olması, sayıların tek tek rasyonel olmasını zorunlu kılar. III. öncülde üslerin farkı 1 olduğu için (3−2=13-2=1) bölme işlemi ile sayının kendisi elde edilir ve rasyonellik korunur. Bu nedenle I ve III kesinlikle doğrudur.

Step-by-Step Solution

1
I. öncülü analiz et.
Doğru.
(x+y)+(x−y)=2x(x+y) + (x-y) = 2x olur. İki rasyonel sayının toplamı rasyonel olduğundan 2x2x rasyoneldir, dolayısıyla xx rasyoneldir. Benzer şekilde (x+y)−x=y(x+y) - x = y işlemi ile yy'nin de rasyonel olduğu kanıtlanır.
2
II. öncül için karşıt örnek (aksine örnek) ara.
Yanlış.
x=2x = \sqrt{2} ve y=2y = \sqrt{2} olsun (irrasyonel sayılar). x⋅y=2x \cdot y = 2 (rasyonel) ve xy=1\frac{x}{y} = 1 (rasyonel) olur. Ancak xx ve yy rasyonel değildir. Bu durum önermeyi çürütür.
3
III. öncülü üsler arasındaki ilişkiyi kullanarak analiz et.
Doğru.
x3x^3 ve x2x^2 rasyonel ve x≠0x \neq 0 olduğu için, bölme işlemi x3x2=x1=x\frac{x^3}{x^2} = x^1 = x sonucunu verir. İki rasyonel sayının bölümü (payda 0 olmadıkça) rasyonel olduğundan xx mutlaka rasyoneldir.

Key Concept

Rasyonel Sayılarda İşlemler ve Kapalılık

Alternative Method

III. öncül için x3=r1x^3 = r_1 ve x2=r2x^2 = r_2 (rasyonel sayılar) diyelim. x=r1/r2x = r_1 / r_2 olacağından, rasyonel sayıların bölümü yine rasyoneldir.
Estimated Time:2m 0s
Question 279Question →

Bir şehirdeki ana caddede bulunan aydınlatma direkleri, caddenin başından sonuna doğru 11'den başlayarak nn'ye kadar ardışık tam sayılarla numaralandırılmıştır. Şiddetli bir fırtına sonucunda bu direklerden biri yıkılmış ve sistem dışı kalmıştır. Sağlam kalan direklerin numaralarının aritmetik ortalaması hesaplandığında sonucun 3030 olduğu görülmüştür. Yıkılan direğin, caddenin en başında veya en sonunda bulunan direk olmadığı bilindiğine göre, bu direğin numarası kaçtır?

Show answer & explanation

Answer: 30

Answer

Yıkılan direğin numarası 30'dur.
Ardışık sayı dizisinden bir sayı çıkarıldığında ortalama değişmiyorsa (veya çok az değişiyorsa), çıkarılan sayı dizinin ortanca değerine çok yakındır. Denklem çözüldüğünde n=59n=59 ve x=30x=30 bulunur. 3030, 11'den 5959'a kadar olan sayıların tam ortasındaki sayıdır.

Step-by-Step Solution

1
Toplam direk sayısına nn, yıkılan direğin numarasına xx diyelim. Kalan direklerin toplamını ve ortalamasını ifade edelim.
Toplam =n(n+1)2−x= \frac{n(n+1)}{2} - x, Kalan Sayısı =n−1= n-1. Ortalama denklemimiz: n(n+1)2−xn−1=30\frac{\frac{n(n+1)}{2} - x}{n-1} = 30
Aritmetik ortalama tanımı gereği, toplam değerin eleman sayısına bölünmesi gerekir.
2
Denklemi xx'i yalnız bırakacak şekilde düzenleyelim.
n(n+1)2−x=30(n−1)⇒n(n+1)−2x=60(n−1)⇒2x=n2+n−60n+60⇒2x=n2−59n+60\frac{n(n+1)}{2} - x = 30(n-1) \Rightarrow n(n+1) - 2x = 60(n-1) \Rightarrow 2x = n^2 + n - 60n + 60 \Rightarrow 2x = n^2 - 59n + 60
xx değerini nn cinsinden ifade ederek, xx'in 11 ile nn arasında olması şartını kullanacağız.
3
1≤x≤n1 \le x \le n eşitsizliğini kullanarak nn için olası değerleri bulalım.
2≤2x≤2n2 \le 2x \le 2n olduğuna göre; n2−59n+60n^2 - 59n + 60 ifadesini incelediğimizde nn değerinin 58, 59 veya 60 olabileceğini görürüz.
Bu ikinci dereceden eşitsizlikler, nn için çok dar bir aralık verir (2×Ortalama2 \times \text{Ortalama} civarında).
4
Bulunan nn değerleri için xx'i hesaplayıp 'baştan veya sondan olmama' şartını kontrol edelim.
n=58n=58 için x=1x=1 (BAŞTA - RED);
n=60n=60 için x=60x=60 (SONDA - RED);
n=59n=59 için x=30x=30 (ORTADA - KABUL).
Soruda verilen kısıtlama (en başta veya en sonda olmama) tek bir doğru cevabı belirlememizi sağlar.

Key Concept

Ardışık sayıların ortalaması ile simetri ilişkisi. Eğer bir kümeden eleman çıkarıldığında ortalama değişmiyorsa, çıkarılan eleman kümenin ortalamasına eşittir.

Hints

1
Kalan direklerin ortalaması 30 olduğuna göre, direk sayısı yaklaşık olarak 2×30=602 \times 30 = 60 civarında olmalıdır.
2
Toplam direk sayısına nn, yıkılan direğe xx diyerek; Toplam−xn−1=30\frac{\text{Toplam} - x}{n-1} = 30 denklemini kurunuz.
3
xx'i yalnız bıraktığınızda 2x=n2−59n+602x = n^2 - 59n + 60 elde edersiniz. xx'in 11 veya nn olamayacağını unutmayın.

Practice More

Ortalamanın tam sayı olmadığı (30.530.5 gibi) bir senaryoda nn ve xx değerlerinin nasıl değişeceğini inceleyiniz.

Alternative Method

Mantıksal Yaklaşım: 11'den nn'ye kadar sayıların ortalaması yaklaşık n/2n/2'dir. Eğer ortalama 3030 ise, nn yaklaşık 59−6059-60'tır. Bir sayı çıkarıldığında ortalama değişmiyorsa (veya tamsayı kalıyorsa), çıkarılan sayı genellikle dizinin 'denge noktası' olan ortalamaya eşittir. Bu durumda x=30x=30 ilk denenmesi gereken değerdir.
Estimated Time:3m 0s
Question 280Question →

99 tane ardışık tek tam sayının toplamı xx olduğuna göre, bu sayıların en küçüğünün xx türünden eşiti aşağıdakilerden hangisidir?

Show answer & explanation

Answer: x−729\frac{x - 72}{9}

Answer

En küçük sayının xx cinsinden ifadesi x−729\frac{x - 72}{9} şeklindedir.
En küçük terime nn dendiğinde, 9 tane ardışık tek sayı nn ile n+16n+16 arasındadır. Bu terimlerin toplamı 9n+729n + 72 yapar. Toplam xx olduğuna göre 9n+72=x9n + 72 = x denkleminden n=(x−72)/9n = (x-72)/9 elde edilir.

Step-by-Step Solution

1
Terimleri en küçük sayı cinsinden tanımlayın.
n,n+2,n+4,n+6,n+8,n+10,n+12,n+14,n+16n, n+2, n+4, n+6, n+8, n+10, n+12, n+14, n+16
Ardışık tek sayılar arasındaki fark daima 2'dir.
2
Tanımlanan terimleri toplayarak xx değerine eşitleyin.
9n+(2+4+6+8+10+12+14+16)=x9n + (2 + 4 + 6 + 8 + 10 + 12 + 14 + 16) = x
9 adet nn terimi ve her birinin ilk terime göre olan fazlalıkları toplanır.
3
Fazlalıkların toplamını hesaplayın.
2×(1+2+3+4+5+6+7+8)=2×8×92=722 \times (1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8) = 2 \times \frac{8 \times 9}{2} = 72
Gauss toplam formülü kullanılarak çift sayıların toplamı bulunur.
4
Denklemi nn değerini yalnız bırakacak şekilde çözün.
9n+72=x⇒9n=x−72⇒n=x−7299n + 72 = x \Rightarrow 9n = x - 72 \Rightarrow n = \frac{x - 72}{9}
En küçük sayı olan nn, toplamdan fazlalıklar çıkarılıp terim sayısına bölünerek bulunur.

Key Concept

Ardışık sayı dizilerinde toplam, (Terim Sayısı ×\times Ortanca Terim) formülü ile veya her terimi ilk terim cinsinden yazarak bulunabilir.

Hints

1
En küçük sayıya nn diyerek diğer sayıları nn cinsinden yazmayı deneyin.
2
Ardışık tek sayılar n,n+2,n+4...n, n+2, n+4... şeklinde devam eder. 9. sayı n+16n+16 olacaktır.
3
Tüm sayıları topladığınızda 9n+72=x9n + 72 = x denklemini elde edersiniz. Buradan nn'yi çekin.

Practice More

Benzer bir soruyu ardışık çift sayılar veya belirli bir katın katları olan sayılar için çözerek kuralı pekiştirebilirsiniz.

Alternative Method

Ortanca terim üzerinden çözüm yapılabilir. 9 terimli bir dizinin toplamı xx ise ortanca (5.) terim x/9x/9'dur. En küçük (1.) terim ortancadan 4 basamak geridedir. Her basamakta 2 azaldığı için en küçük terim: (x/9)−(4×2)=(x/9)−8=(x−72)/9(x/9) - (4 \times 2) = (x/9) - 8 = (x - 72)/9 olur.
Estimated Time:1m 30s
PreviousPage 14 / 16Next