Temel Kavramlar ve Sayılar

301 questions

$a, b$ ve $c$ birer tam sayı olmak üzere,

I. $a \cdot b + c$ ifadesinin tek sayı,
II. $b \cdot c + a$ ifadesinin çift sayı

olduğu bilinmektedir.

Buna göre aşağıdakilerden hangisi daima tek sayıdır?

A
$a \cdot c + b$
B
$(a+c) \cdot b$
$a^2 + b^2 + c$ Answer
D
$c^2 + c + a$
E
$a + c + 1$

Answer

a^2 + b^2 + c

ifadesi daima tek sayıdır.

Verilen iki denklem sistemini aynı anda sağlayan tek durum;

a

b

sayılarının çift,

c

sayısının ise tek olmasıdır. Bu durumda

a^2

b^2

çift olacağından toplamları da çifttir. Bu toplama tek sayı olan

c

eklendiğinde sonuç (

Ç+T

) daima tek sayı olur.

Step-by-Step Solution

Verilen ifadeleri analiz et

a \cdot b + c = Tek

II.

b \cdot c + a = Çift

Soru kökündeki öncüllerden yola çıkarak

a, b, c

sayılarının tek veya çift olma durumlarını (paritelerini) belirlememiz gerekir.

II. ifadeden başlayarak durum analizi yap

b \cdot c + a = Çift

olması için iki durum vardır:
Durum 1:

b \cdot c

Tek ve

a

Tek
Durum 2:

b \cdot c

Çift ve

a

Çift

Toplamın çift olması için terimlerin ikisi de tek veya ikisi de çift olmalıdır.

Durum 1'i (T, T) I. ifadede test et

Eğer

b \cdot c

Tek ise (

b=T, c=T

) ve

a=T

ise;
I. ifade:

a \cdot b + c = T \cdot T + T = T + T = Çift

olur.
Fakat soruda I. ifadenin Tek olduğu verilmiş. Bu yüzden Durum 1 GEÇERSİZDİR.

Çelişki bulma yöntemiyle hatalı senaryoları eliyoruz.

Durum 2'yi (Ç, Ç) analiz et ve kesin yargıya var

Geriye kalan tek ihtimal:

a

Çifttir.

b \cdot c

Çift ve

a

Çift ise I. ifadeye bakalım:

a \cdot b + c = Ç \cdot b + c = Ç + c

. Sonucun Tek olması için

c

Tek olmalıdır.

c

Tek olduğuna göre,

b \cdot c

çarpımının Çift olması için

b

Çift olmalıdır.

Bu adımda

a, b, c

değerlerinin türlerini kesinleştirdik:

a

=Çift,

b

=Çift,

c

=Tek.

Bulunan değerleri (

a:Ç, b:Ç, c:T

) şıklarda dene

Doğru şık:

a^2 + b^2 + c = Ç^2 + Ç^2 + T = Ç + Ç + T = Tek

Daima tek sayı olan seçeneği belirliyoruz.

Key Concept

Tam sayılarda toplama ve çarpma işlemlerinin tek/çift (parite) özellikleri.

Hints

İkinci ifadeden (

b \cdot c + a = Çift

) başlayarak

a

b \cdot c

için olası Tek/Çift durumlarını yazın.

Birinci ifade (

a \cdot b + c = Tek

) yardımıyla, yazdığınız durumlardan hangisinin çelişki yarattığını bulun ve eleyin.

Tek geçerli durum:

a

çift,

b

çift ve

c

tek olmalıdır. Bunu şıklarda yerine koyun.

Practice More

Benzer mantıkla kurgulanmış fakat negatif sayıların kuvvetlerini içeren (işaret incelemesi gerektiren) sorular çözülebilir.

Alternative Method

Değer verme yöntemi: Şartları sağlayan en küçük sayıları seçin. Örneğin

a=2

(çift),

c=1

(tek) olsun. I. denklem

2b+1=Tek

ise

2b

çifttir, bu her

b

için sağlanır. II. denklem

b\cdot1 + 2 = Çift \Rightarrow b+2=Çift \Rightarrow b

Çift olmalıdır. Öyleyse

a=2, b=2, c=1

değerlerini şıklarda deneyebilirsiniz.

Estimated Time:2m 30s

Question 82Question →

Aşağıdaki sayılardan hangisi rasyonel sayılar kümesinin bir elemanı olduğu hâlde, tam sayılar kümesinin bir elemanı değildir?

A
$\frac{-15}{3}$
B
$\sqrt{49}$
C
$0$
D
$\sqrt{5}$
$-2,4$ Answer

Answer

Rasyonel olup tam sayı olmayan seçenek

-2,4

değeridir.

Doğru seçenek, rasyonel sayılar kümesinde (

\mathbb{Q}

) yer almasına rağmen tam sayılar kümesine (

\mathbb{Z}

) dahil olmayan bir ondalık sayıdır.

-2,4

sayısı

-\frac{24}{10} = -\frac{12}{5}

şeklinde kesir olarak yazılabilir, bu yüzden rasyoneldir. Ancak paydası 1 olacak şekilde tam bölünebilir bir sayı olmadığı için tam sayı değildir.

Step-by-Step Solution

Seçeneklerin sayısal değerlerini hesapla ve sadeleştir.

A) -5, B) 7, C) 0, D)

\approx 2,23...

, E)

-2,4

Her bir sayının hangi sayı kümesine ait olduğunu belirlemek için en sade hallerini veya değerlerini bulmamız gerekir.

Her sayıyı Rasyonel Sayılar (

\mathbb{Q}

) ve Tam Sayılar (

\mathbb{Z}

) kümelerine göre sınıflandır.

A, B ve C hem rasyonel hem tam sayıdır. D irrasyoneldir. E rasyoneldir fakat tam sayı değildir.

Soruda istenen 'Rasyonel olacak AMA Tam Sayı olmayacak' koşulunu sağlayan tek seçeneği tespit etmek için.

Key Concept

Sayı Kümeleri Arasındaki İlişki (

\mathbb{Z} \subset \mathbb{Q}

)

Question 83Question →

Matematikte sayılar, ondalık gösterimlerine ve kök dışına çıkabilme durumlarına göre sınıflandırılır. Buna göre, aşağıdaki sayılardan hangisi rasyonel sayılar kümesinin ( $\mathbb{Q}$ ) bir elemanıdır?

A
$\pi$
B
$\sqrt{3}$
$\sqrt{1,44}$ Answer
D
$2\sqrt{2}$
E
$0,101001000...$ (düzensiz)

Answer

Kök içindeki ondalık ifade rasyonel sayıya dönüşebildiği için doğru cevap

\sqrt{1,44}

ifadesidir.

İstenen cevap, rasyonel (

\mathbb{Q}

) olan sayıdır. Seçeneklerdeki

\sqrt{1,44}

sayısı

\sqrt{\frac{144}{100}} = \frac{12}{10} = 1,2

şeklinde yazılabildiği için rasyonel bir sayıdır.

Step-by-Step Solution

Verilen köklü ifadenin içindeki ondalık sayıyı kesirli hale getirin.

\sqrt{1,44} = \sqrt{\frac{144}{100}}

Ondalık sayıyı rasyonel kesre çevirmek kök dışına çıkarmayı kolaylaştırır.

Pay ve paydanın ayrı ayrı karekökünü alın.

\frac{\sqrt{144}}{\sqrt{100}} = \frac{12}{10}

144 sayısı 12'nin, 100 sayısı 10'un karesidir.

Sonucu ondalık sayıya çevirin ve küme üyeliğini kontrol edin.

1,2

. Bu sayı sonlu bir ondalık sayı olduğu için rasyoneldir (

\mathbb{Q}

\frac{a}{b}

şeklinde yazılabilen sayılar rasyoneldir.

Key Concept

Köklü sayılarda, kök içindeki ifade tam kare bir rasyonel sayı ise sonuç rasyoneldir; aksi takdirde irrasyoneldir.

Hints

Seçeneklerdeki köklü sayıların kök dışına tam çıkıp çıkamadığını kontrol edin.

\sqrt{1,44}

sayısını kesirli olarak

\sqrt{\frac{144}{100}}

biçiminde yazmayı deneyin.

144 sayısı 12'nin karesidir, 100 sayısı 10'un karesidir. Bu, sayının kökten kurtulmasını sağlar.

Estimated Time:45s

Question 84Question →

$a$ bir tam sayıdır.

a + (-7)

işleminin sonucu bir çift sayı olduğuna göre, aşağıdakilerden hangisinin sonucu her zaman bir çift sayıdır?

$a + 5$ Answer
B
$a + 4$
C
$a - 2$
D
$2 \times a + 3$

Answer

a + 5

ifadesinin sonucu

Verilen

a + (-7)

ifadesinin çift olması,

a

ve 7 sayılarının her ikisinin de tek veya her ikisinin de çift olmasını gerektirir. 7 bir tek sayı olduğuna göre

a

kesinlikle bir tek sayıdır. Tek bir sayı olan

a

ile yine tek bir sayı olan 5'in toplamı (

Tek + Tek

) her zaman çift bir sayı verecektir.

Step-by-Step Solution

Verilen ifadeyi düzenleme

a - 7

ifadesinin çift olması

a + (-7)

işlemi,

a

sayısından 7 çıkarmakla aynıdır.

a

sayısının türünü (tek/çift) belirleme

a

bir tek sayıdır

İki sayının farkı çift ise, bu sayılar aynı türdedir. 7 sayısı tek olduğu için

a

da tek olmalıdır (

Tek - Tek = Çift

Seçenekleri test etme

a + 5

işleminin çift çıkması

a

tek bir sayı olduğuna göre,

a = 1

alırsak

1 + 5 = 6

(Çift) olur. Diğer seçeneklerde sonuç her zaman tek çıkmaktadır.

Key Concept

Tek ve çift sayılarda toplama ve çıkarma işlemleri

Hints

a + (-7)

ifadesini

a - 7

olarak düşünebilirsiniz.

İki sayının farkı çift ise, bu sayıların her ikisi de tek ya da her ikisi de çifttir.

7

sayısı tek olduğuna göre

a

sayısının ne olması gerektiğini bulun ve bu değeri seçeneklerde yerine koyarak hangisinin çift çıktığını kontrol edin.

Practice More

Tek ve çift sayıların çarpma kurallarını (örneğin

Tek \times Çift = Çift

) hatırlayarak benzer soruları çözebilirsiniz.

Alternative Method

Değer verme yöntemini kullanabilirsiniz.

a + (-7)

sonucunun çift olması için

a

yerine rastgele bir tek sayı (örneğin

a = 1

) verin.

1 - 7 = -6

(çifttir). Şimdi seçeneklerde

a

yerine 1 yazarak hangisinin çift sonuç verdiğine bakın.

Estimated Time:45s

Question 85Question →

$x, y$ ve $z$ sıfırdan farklı birer gerçel sayı olmak üzere,

x \cdot y < 0

x < y

x + z = 0

\frac{y - z}{x} > 0

eşitsizlikleri veriliyor. Buna göre aşağıdakilerden hangisi daima doğrudur?

$x + y < 0$ Answer
B
$y - x < 0$
C
$z < y$
D
$|x| < y$
E
$x \cdot z > 0$

Answer

x + y < 0

eşitsizliği daima doğrudur.

Verilen

x + z = 0

eşitliğinden

x

z

'nin mutlak değerce eşit ve zıt işaretli olduğu (

x = -z

) anlaşılır.

x < y

x \cdot y < 0

şartlarından

x

'in negatif,

y

'nin pozitif olduğu belirlenir.

\frac{y - z}{x} > 0

eşitsizliğinde payda (

x

) negatif olduğundan pay (

y - z

) da negatif olmalıdır, bu da

y < z

sonucunu verir. Sonuç olarak

z > y

x = -z

olduğundan,

x + y = -z + y

ifadesi negatif bir sonuç verir.

Step-by-Step Solution

x \cdot y < 0

x < y

eşitsizliklerini incele.

x

y

zıt işaretlidir.

x < y

olduğu için

x

negatif (

x < 0

y

pozitif (

y > 0

) olmalıdır.

Zıt işaretli iki sayıdan küçük olan negatiftir.

x + z = 0

eşitliğini kullanarak

z

'nin işaretini ve büyüklüğünü belirle.

z = -x

olur.

x

negatif olduğu için

z

pozitif (

z > 0

) bir sayıdır. Ayrıca

|x| = z

eşitliği vardır.

Toplamları sıfır olan sayılar zıt işaretlidir ve mutlak değerce eşittir.

\frac{y - z}{x} > 0

eşitsizliğini çöz.

Kesrin paydası (

x

) negatiftir. Sonucun pozitif olması için payın (

y - z

) da negatif olması gerekir. Yani

y - z < 0 \implies y < z

Bölümün pozitif olması için pay ve payda aynı işaretli olmalıdır.

Bulunan tüm ilişkileri birleştir (

x < 0

0 < y < z

|x| = z

Sıralama

x < 0 < y < z

şeklindedir ve

x

'in mutlak değeri (

z

y

'den büyüktür.

Değişkenler arasındaki büyüklük ilişkisini kesinleştirmek.

Seçenekleri bu bilgilere göre değerlendir.

x + y

ifadesinde

x = -z

yazılırsa

-z + y

elde edilir.

y < z

olduğu için bu toplam negatiftir (

x + y < 0

Doğru seçeneği belirlemek.

Key Concept

Eşitsizlik Sistemleri ve İşaret İncelemesi

Hints

x \cdot y < 0

x < y

bilgilerini kullanarak

x

y

'nin işaretlerini belirleyerek başla.

x + z = 0

eşitliği,

x

z

'nin büyüklükleri hakkında ne söyler? Bu bilgiyi

x

'in işaretiyle birleştir.

Kesirli eşitsizlikte paydanın (

x

) işareti negatiftir. Sonucun pozitif olması için payın (

y-z

) işareti ne olmalıdır?

Practice More

Mutlak değer içeren eşitsizlik sistemlerinde sıralama soruları çöz.

Estimated Time:2m 30s

Question 86Question →

ab

ba

iki basamaklı doğal sayılardır.

ab - ba = 54

olduğuna göre,

a - b

farkı kaçtır?

A
$4$
B
$5$
$6$ Answer
D
$9$
E
$54$

Answer

Verilen iki basamaklı sayıların farkı alındığında

a - b

farkı

6

olarak bulunur.

Doğru cevap olan seçenek, basamak analizi kurallarına göre

ab

sayısını

10a + b

ba

sayısını

10b + a

şeklinde çözümledikten sonra farklarını alıp

9(a - b) = 54

denklemini doğru çözen seçenektir.

Step-by-Step Solution

ab

ba

sayılarını basamak değerlerine göre çözümleyin.

ab = 10a + b

ba = 10b + a

İki basamaklı sayıların içindeki rakamların değerini belirlemek için çözümleme yapılması gerekir.

Çözümlenmiş hallerini verilen denklemde yerine koyun ve çıkarma işlemini yapın.

(10a + b) - (10b + a) = 54 \Rightarrow 9a - 9b = 54

Eksi işareti parantez içindeki her iki terime de etki eder (

10a - a

b - 10b

İfadeyi

9

ortak parantezine alarak her iki tarafı

9

'a bölün.

9(a - b) = 54 \Rightarrow a - b = 6

Eşitliğin her iki tarafı aynı sayıya bölünerek bilinmeyen fark yalnız bırakılır.

Key Concept

İki basamaklı sayıların çözümlenmesi (

ab = 10a + b

)

Hints

İki basamaklı bir sayıyı basamak değerlerine göre yazmaya 'çözümleme' denir. Örneğin;

xy = 10x + y

şeklindedir.

Sorudaki

ab

ba

sayılarını çözümleyerek yerlerine koyun:

(10a + b) - (10b + a) = 54

Elde ettiğiniz ifadede benzer terimleri birbirinden çıkardığınızda

9a - 9b = 54

eşitliğine ulaşırsınız. Her iki tarafı

9

'a bölmeyi deneyin.

Practice More

Üç basamaklı

abc

cba

sayılarının farkı üzerine benzer bir soru çözerek basamak analizi mantığını pekiştirebilirsiniz.

Alternative Method

Pratik bir yol olarak, iki basamaklı iki sayının farkı her zaman

9

'un katıdır (

ab - ba = 9(a-b)

). Bu bilgiyi kullanarak doğrudan

54 / 9 = 6

diyebilirsiniz.

Estimated Time:45s

Question 87Question →

\frac{4! + 3!}{3!} + 0!

işleminin sonucu kaçtır?

A
4
B
5
6Answer
D
7
E
10

Answer

İşlemin sonucu 6'dır.

Verilen ifadede

4! = 24

3! = 6

olarak hesaplanır. Kesirli kısım

\frac{24 + 6}{6} = \frac{30}{6} = 5

sonucunu verir. Bu sonuca

0! = 1

değeri eklendiğinde

5 + 1 = 6

cevabına ulaşılır.

Step-by-Step Solution

İfadede yer alan faktöriyel değerlerini hesaplayalım.

4! = 4 \times 3 \times 2 \times 1 = 24

3! = 3 \times 2 \times 1 = 6

ve özel durum olarak

0! = 1

İşlemi yapabilmek için temel faktöriyel tanımlarını kullanmamız gerekir.

Hesapladığımız değerleri kesirli ifadede yerine koyalım.

\frac{24 + 6}{6}

Kesrin payındaki toplama işlemini tamamlamak için değerleri yerleştiriyoruz.

Kesir işlemini sonuçlandıralım.

\frac{30}{6} = 5

Paydaki toplama yapıldıktan sonra paydaya bölme işlemi gerçekleştirilir.

Elde edilen sonuca

0!

değerini ekleyelim.

5 + 1 = 6

İfadenin tamamı kesirli kısım ile

0!

değerinin toplamından oluşmaktadır.

Key Concept

Faktöriyel Tanımı ve 0! Özel Durumu

Hints

Faktöriyel (

!

), bir sayının 1'e kadar olan çarpımıdır. Örneğin

3! = 3 \times 2 \times 1

İşlemdeki en kritik nokta

0!

değeridir.

0!

her zaman 1'e eşittir.

Önce

4!

3!

değerlerini bulun, kesrin payını toplayıp paydaya bölün, en son

0!

değerini ekleyin.

Practice More

Faktöriyel değerlerini

6!

değerine kadar ezbere bilmek hız kazandıracaktır.

Alternative Method

Kesri

\frac{4!}{3!} + \frac{3!}{3!}

şeklinde parçalayarak da çözebilirsiniz. Bu durumda

4 + 1 = 5

olur. Sonra

0! = 1

ekleyerek

5 + 1 = 6

sonucuna ulaşırsınız.

Estimated Time:45s

Question 88Question →

Pozitif tam sayılar kümesindeki 3'ün katı olan sayılar ( $3, 6, 9, \dots$ ) küçükten büyüğe doğru sıralanarak aşağıdaki kurala göre gruplara ayrılıyor:

- 1. grup: $\{3\}$
- 2. grup: $\{6, 9\}$
- 3. grup: $\{12, 15, 18\}$

Her gruptaki sayı adedi grup numarasına eşittir (örneğin $n$ . grupta $n$ adet sayı bulunmaktadır). Bu kurala göre oluşturulan gruplardan birinin elemanları toplamı $12.030$ olduğuna göre, bu grup kaçıncı gruptur?

A
19
20Answer
C
21
D
28
E
40

Answer

Elemanları toplamı 12.030 olan grup 20. gruptur.

Soru, ardışık sayı grupları içindeki bir örüntüyü ve toplam formülünü kurmayı gerektirir. n. gruptan önce toplam n(n-1)/2 adet sayı kullanılmıştır. n. grup n adet 3'ün katı olan sayıdan oluşur. Bu grubun toplamı formülize edildiğinde S = (3/2)(n³ + n) elde edilir. Bu ifade 12.030'a eşitlendiğinde n³ + n = 8020 denklemi bulunur. 20 sayısının küpü 8000 olduğundan, n=20 değeri denklemi tam olarak sağlar.

Step-by-Step Solution

Grupların yapısını ve terim sayılarını analiz et.

1. grupta 1, 2. grupta 2, ..., (n-1). grupta (n-1) adet sayı vardır. n. gruptan önceki toplam terim sayısı: 1 + 2 + ... + (n-1) = n(n-1)/2'dir.

Her grubun ilk terimini bulmak için önceki gruplarda kaç terim kullanıldığını bilmemiz gerekir.

n. grubun ilk terimini ve terimler dizisini belirle.

Dizi 3'ün katlarıdır (3k). n. grubun ilk terimi, [n(n-1)/2 + 1]. sıradaki terimdir. Değeri: 3 * [ (n²-n)/2 + 1 ].

n. grup, önceki tüm sayıların bittiği yerden başlar.

n. grubun elemanları toplamı formülünü oluştur.

n. grupta n terim vardır. Bu bir aritmetik dizidir. Ortanca terim yaklaşık 3 * (n²/2)'dir. Kesin toplam formülü: S_n = (3n(n² + 1)) / 2.

Ardışık sayıların toplamı = Terim Sayısı * Ortanca Terim formülünden türetilir.

Denklemi kur ve n değerini bul.

3n(n² + 1) / 2 = 12030 => n(n² + 1) = 8020. n=20 için 20 * (400 + 1) = 8020 sağlar.

Verilen toplam değerini formüle eşitleyerek n tam sayısını buluruz.

Key Concept

Ardışık Sayı Gruplarının Toplamı

Hints

n. gruptan önce kaç tane sayı kullanıldığını (1'den n-1'e kadar olan sayıların toplamı) bularak n. grubun kaçıncı sayıyla başladığını hesaplayın.

n. grubun ilk terimini bulduktan sonra, bu grubun n tane 3'ün katı olan ardışık sayıdan oluştuğunu (3k, 3(k+1)...) hatırlayın ve ardışık toplam formülünü uygulayın.

Practice More

Benzer bir mantıkla kurulan 'Ardışık tek sayıların oluşturduğu piramitte n. satırın toplamı' sorusunu inceleyebilirsiniz.

Alternative Method

Yaklaşık değer yöntemi: n. gruptaki sayıların ortalaması yaklaşık olarak 3 * (toplam terim sayısı) civarındadır. Toplam terim sayısı ~n²/2 olduğundan, ortalama ~3n²/2'dir. Grup toplamı = n * Ortalama ≈ 3n³/2. Buradan 12030 ≈ 1.5 n³ => n³ ≈ 8020 tahmini ile n=20 hızlıca denenebilir.

Estimated Time:3m 0s

Question 89Question →

Rakamları sıfırdan farklı, üç basamaklı $ABC$ doğal sayısı, rakamları toplamının $21$ katına eşittir. Buna göre, $A+B+C$ toplamı kaçtır?

A
15
18Answer
C
19
D
21
E
24

Answer

Doğru cevap 18 değeridir.

Denklem

79A = 11B + 20C

şeklinde sadeleştirilir. Rakam kısıtlamaları (1-9 arası) dikkate alındığında, bu eşitliği sağlayan tek çözüm kümesi

A=3

B=7

C=8

olarak bulunur. Bu rakamların toplamı

3+7+8=18

değeridir.

Step-by-Step Solution

Verilen sözel ifadeyi matematiksel denkleme dökün.

ABC = 21 \cdot (A + B + C)

Soruda sayının, rakamları toplamının 21 katı olduğu belirtilmiştir.

ABC

sayısını basamak değerlerine göre çözümleyin.

100A + 10B + C = 21A + 21B + 21C

Üç basamaklı sayıyı çözümleyerek rakamlar arasındaki ilişkiyi bulmak gerekir.

Benzer terimleri bir araya getirerek denklemi sadeleştirin.

79A = 11B + 20C

100A - 21A = 79A

21B - 10B = 11B

21C - C = 20C

A

B

C

birer rakam olduğu için (

0 < A,B,C \le 9

A

için olası değerleri test edin.

Eşitliğin sağ tarafının maksimum değeri

11(9) + 20(9) = 279

olduğundan,

79A \le 279

olmalıdır. Bu durumda

A

sadece 1, 2 veya 3 olabilir.

Rakamlar 9'dan büyük olamayacağı için A'nın alabileceği değerler sınırlıdır.

A=3

değerini denklemde yerine koyarak

B

C

'yi bulun.

79(3) = 237

237 = 11B + 20C

. Bu eşitliği sağlayan tek rakam ikilisi

B=7

C=8

'dir (

11 \cdot 7 + 20 \cdot 8 = 77 + 160 = 237

A=1

A=2

için tamsayı çözüm bulunamaz.

A=3

için çözüm

ABC = 378

sayısıdır.

Bulunan rakamların toplamını hesaplayın.

A+B+C = 3 + 7 + 8 = 18

Sonuç istenmektedir.

Key Concept

Basamak Analizi ve Diophantine Denklemler

Hints

ABC

sayısını

100A + 10B + C

şeklinde çözümleyerek verilen eşitliği yazınız.

Eşitliği sadeleştirdiğinizde

79A = 11B + 20C

denklemini elde edeceksiniz. Burada

A

'nın alabileceği maksimum değeri bulmaya çalışın.

B

C

en fazla 9 olabilir, bu nedenle

79A

sayısı 279'dan büyük olamaz.

A=3

değerini deneyerek

B

C

'yi bulun.

Alternative Method

Denklem

79A - 11B = 20C

şeklinde yazılabilir. Sağ taraf 10'un katı olduğu için sol tarafın da birler basamağı 0 olmalıdır.

79A

'nın birler basamağı ile

11B

'nin birler basamağı aynı olmalıdır.

A=3

için

79 \cdot 3 = 237

(sonu 7),

B=7

için

11 \cdot 7 = 77

(sonu 7). Farkları

237-77=160

, buradan

C=8

bulunur.

Estimated Time:2m 30s

Question 90Question →

Bir matematik yazılımı, girilen $k$ pozitif çift tam sayısından başlayarak $n$ tane ardışık çift tam sayıyı toplamakta ve sonucu ekrana yansıtmaktadır. Yazılıma aynı $k$ değeri girilip terim sayısı $n+3$ olarak ayarlandığında, hesaplanan toplamın ilk duruma göre $192$ arttığı görülmüştür. Buna göre, yazılımın ilk durumda topladığı sayı dizisinin en büyük elemanı kaçtır?

A
58
60Answer
C
62
D
64
E
66

Answer

İlk dizinin en büyük elemanı 60'tır.

Verilen iki durum arasındaki fark denklemi kurulduğunda

2n + k = 62

eşitliği elde edilir. İlk dizinin en büyük elemanı (son terim),

k + (n-1)2

formülü ile bulunur. Bu ifade

k + 2n - 2

şeklinde düzenlenip elde edilen eşitlik yerine yazıldığında sonuç

62 - 2 = 60

olarak bulunur.

Step-by-Step Solution

İlk durumdaki toplamı (

S_1

) formüle dök.

S_1 = \frac{n}{2}(2k + (n-1)2) = n(k + n - 1)

Ardışık çift sayıların toplam formülü:

\frac{\text{Terim Sayısı}}{2}(\text{İlk} + \text{Son})

veya

\frac{n}{2}(2a_1 + (n-1)d)

İkinci durumdaki toplamı (

S_2

) formüle dök (

n+3

terim için).

S_2 = \frac{n+3}{2}(2k + (n+3-1)2) = (n+3)(k + n + 2)

Terim sayısı 3 artmıştır, başlangıç sayısı

k

aynıdır.

İki toplam arasındaki farkı verilen değere eşitle ve denklemi çöz.

(n+3)(k+n+2) - n(k+n-1) = 192 \implies 6n + 3k + 6 = 192 \implies 2n + k = 62

Parantezler açılıp sadeleştirme yapıldığında

nk + n^2 + 2n + 3k + 3n + 6 - nk - n^2 + n = 192

elde edilir.

İlk dizinin en büyük elemanını bul.

Son Terim =

k + (n-1)2 = k + 2n - 2

2n+k=62

olduğuna göre, Son Terim =

62 - 2 = 60

Ardışık dizilerde son terim

a_n = a_1 + (n-1)d

formülüyle bulunur.

Key Concept

Ardışık çift sayıların toplamı ve genel terim formülü arasındaki cebirsel ilişki.

Hints

Ardışık çift sayıların toplam formülünü hatırlayın: Terim Sayısı

\times

Ortanca Terim veya

\frac{n}{2}(2a_1 + (n-1)d)

Practice More

Ardışık tek sayılar için benzer bir fark problemi çözerek

(n)^2

kuralını pekiştirin.

Estimated Time:2m 30s

Question 91Question →

$A = 43! + 44!$ olduğuna göre, $A$ sayısının sondan kaç basamağı sıfırdır?

A
8
B
9
10Answer
D
11
E
12

Answer

A sayısının sondan 10 basamağı sıfırdır.

Verilen ifade çarpım haline getirildiğinde

43! \cdot 45

elde edilir.

43!

içinde 9 adet,

45

sayısında ise 1 adet 5 çarpanı vardır. Toplam 10 adet 5 çarpanı olduğu için sondan 10 basamak sıfırdır.

Step-by-Step Solution

İfadeyi ortak çarpan parantezine alarak çarpım durumuna getir.

A = 43! + 44! = 43!(1 + 44) = 43! \cdot 45

Sondan kaç basamağın sıfır olduğunu bulmak için ifadenin içindeki 10 (yani 2 ve 5) çarpanlarının sayısına bakılmalıdır. Toplam durumundaki ifadeler önce çarpım haline getirilmelidir.

43!

içindeki 5 çarpanlarının sayısını ardışık bölme yöntemiyle bul.

43 \div 5 = 8

(Bölüm),

8 \div 5 = 1

(Bölüm). Toplam:

8 + 1 = 9

adet.

Bir faktöriyel ifadesinde sondan gelen sıfır sayısı, içindeki 5 çarpanlarının sayısına eşittir (çünkü 2 çarpanı her zaman daha fazladır).

Diğer çarpan olan 45 sayısının içindeki 5 çarpanlarını bul ve topla.

45 = 9 \times 5 = 3^2 \times 5^1

. Buradan 1 adet 5 çarpanı gelir. Toplam 5 çarpanı:

9 + 1 = 10

Çarpım durumundaki ifadelerin 5 çarpanları toplanır.

Key Concept

Bir doğal sayının faktöriyelinin sondan kaç basamağının sıfır olduğunu bulmak için, o sayının içindeki 5 asal çarpanlarının sayısı (ardışık bölme ile) hesaplanır.

Hints

Faktöriyeller toplam halindeyken işlem yapmak zordur. Küçük olan faktöriyel (

43!

) parantezine alarak ifadeyi çarpım durumuna getirin.

43! + 44! = 43!(1 + 44) = 43! \cdot 45

. Şimdi her iki çarpanın içindeki 5 asallarını saymanız gerekir.

43!

içinde ardışık bölme ile 5 çarpanlarını bulun.

45

sayısı da

9 \times 5

olduğu için buradan da bir tane 5 geleceğini unutmayın.

Practice More

23! + 24!

toplamının sondan kaç basamağının sıfır olduğunu hesaplayarak pratiğinizi pekiştirebilirsiniz.

Estimated Time:1m 30s

Question 92Question →

Sıfırdan ve birbirinden farklı $A$ , $B$ ve $C$ rakamları kullanılarak oluşturulan üç basamaklı $ABC$ ve $CBA$ doğal sayıları için aşağıdaki eşitlikler verilmiştir:

ABC - CBA = 594

B^2 = A \cdot C

Buna göre, bu koşulları sağlayan $ABC$ sayısının rakamları toplamı kaçtır?

A
12
14Answer
C
15
D
16
E
18

Answer

Koşulları sağlayan ABC sayısının rakamları toplamı 14'tür.

Verilen

ABC - CBA = 594

eşitliği çözümlendiğinde

A - C = 6

bulunur.

B^2 = A \cdot C

şartını sağlayan tek rakam çifti

A=8

C=2

olduğunda

B=4

olur. Rakamlar toplamı 14'tür.

Step-by-Step Solution

Verilen ilk eşitlikte basamak çözümlemesi yap.

(100A + 10B + C) - (100C + 10B + A) = 99(A - C) = 594

Üç basamaklı sayıların değerini rakamları cinsinden ifade ederek denklemi sadeleştirmek için.

Sadeleşmiş denklemden A ve C arasındaki farkı bul.

A - C = \frac{594}{99} = 6

Rakamlar arasındaki ilişkiyi netleştirmek için.

Farkı 6 olan (A, C) rakam çiftlerini belirle (C sıfırdan farklı olduğu için 0 hariç tutulur).

Olası çiftler:

(7, 1), (8, 2), (9, 3)

A ve C birer rakam olduğu için sadece bu değerler farkı 6 şartını sağlar.

İkinci eşitlik olan

B^2 = A \cdot C

şartını sağlayan çifti kontrol et.

(7, 1) \rightarrow B^2 = 7

(tam sayı değil)

(8, 2) \rightarrow B^2 = 16 \rightarrow B = 4

(uygun)

(9, 3) \rightarrow B^2 = 27

(tam sayı değil)

B bir rakam olduğu için karesi tam kare olmalıdır.

Bulunan A, B, C değerlerini topla.

A=8, B=4, C=2 \implies 8 + 4 + 2 = 14

Soruda istenen nihai sonucu bulmak için.

Key Concept

Basamak analizi, sayıların çözümlenmesi ve rakamların özelliklerinin (geometrik ortalama) birlikte kullanılması.

Hints

Önce

ABC - CBA

ifadesini basamak değerlerini kullanarak açın (örneğin

100A+10B+C...

). Sadeleştirme yapın.

A - C

farkını bulduktan sonra, bu farkı sağlayan rakam çiftlerini listeleyin.

Bulduğunuz

(A, C)

çiftlerinden hangisinin çarpımı bir tam sayının (

B

'nin) karesine eşittir?

Practice More

Benzer mantıkla

ABC + CBA

toplamının belirli bir kurala uyduğu durumları inceleyen sorular çözülebilir.

Estimated Time:2m 30s

Question 93Question →

Sıfırdan farklı $x, y$ ve $z$ gerçel sayıları hakkında aşağıdaki bilgiler verilmiştir:

* $x$ ile $y$ sayılarının toplamı sıfırdır.
* $x$ ile $z$ sayılarının çarpımı negatiftir.
* $y$ sayısı $z$ sayısından büyüktür.
* $y$ sayısının mutlak değeri, $z$ sayısının mutlak değerinden küçüktür.

Buna göre, bu sayıların küçükten büyüğe doğru sıralanışı aşağıdakilerden hangisidir?

$z < y < x$ Answer
B
$x < y < z$
C
$y < z < x$
D
$z < x < y$
E
$y < x < z$

Answer

Sayıların doğru sıralaması

z < y < x

şeklindedir.

Verilen bilgiler ışığında; y ve z sayılarının her ikisinin de negatif olduğu, z'nin mutlak değerce daha büyük olduğu (yani daha küçük olduğu), x'in ise bu sayılarla zıt işaretli olduğu için pozitif olduğu anlaşılmaktadır. Bu nedenle en küçük z, sonra y, en büyük ise x sayısıdır.

Step-by-Step Solution

x + y = 0

bilgisini analiz et.

y = -x

sonucuna ulaşılır. Bu,

x

y

'nin mutlak değerce eşit ancak zıt işaretli olduğunu gösterir.

Zıt işaretli sayıların tespiti için ilk adımdır.

x \cdot z < 0

bilgisini ve işaret durumlarını incele.

x

ile

z

zıt işaretlidir. 1. adımdan

x

ile

y

de zıt işaretliydi. O halde

y

ile

z

AYNI işaretlidir.

Üç sayının işaret gruplarını belirlemek için gereklidir.

y > z

|y| < |z|

eşitsizliklerini birlikte değerlendirerek sayıların işaretini kesinleştir.

Eğer

y

z

pozitif olsaydı,

|y| < |z|

durumu

y < z

sonucunu verirdi, ancak

y > z

verilmiş. Çelişki var. Demek ki

y

z

NEGATİF sayılardır. Bu durumda

|y| < |z|

iken

y > z

(sıfıra daha yakın olan büyüktür) kuralı sağlanır.

Sayıların pozitif mi negatif mi olduğunu kesin olarak belirleyen kritik mantık adımıdır.

Tüm işaretleri ve büyüklükleri birleştirerek sıralama yap.

y

z

negatiftir.

y > z

olduğu için

z

en küçüktür (

z < y

x

y

zıt işaretli olduğundan ve

y

negatif olduğundan,

x

pozitiftir. Pozitif sayı negatiflerden büyüktür.

Sonuç sıralamasını oluşturmak için.

Key Concept

Negatif sayılarda sıralama yapılırken mutlak değer büyüdükçe sayının değeri küçülür (Sıfırdan uzaklaşır).

Hints

Toplamları sıfır olan iki sayı (

x

y

) zıt işaretlidir (biri pozitif, diğeri negatiftir).

y

ile

z

'nin işaretini bulmak için şu mantığı kullanın: Eğer ikisi de pozitif olsaydı, mutlak değeri küçük olan (

y

) diğerinden (

z

) daha küçük olurdu (

y < z

). Ancak soruda

y > z

verilmiş.

Çelişkiyi gidermek için

y

z

'nin negatif olması gerekir. Negatif sayılarda 'sıfıra yakın olan büyüktür' kuralını hatırlayın.

Estimated Time:2m 30s

Question 94Question →

Sayı kümeleri arasındaki hiyerarşiyi ve kapsam ilişkilerini çalışan bir öğrenci, tahtadaki şu listeyi incelemektedir:

Sayı	Türü
$0$	?
$\frac{2}{3}$	?
$\sqrt{2}$	?
$-5$	?
$2,1\overline{6}$	?

Buna göre, tabloda verilen sayılardan hangisi rasyonel sayılar ( $\mathbb{Q}$ ) kümesinin bir elemanı değildir?

A
$0$
B
$\frac{2}{3}$
$\sqrt{2}$ Answer
D
$-5$
E
$2,1\overline{6}$

Answer

İki tam sayının oranı şeklinde yazılamayan ve kök dışına tam çıkamayan karekök iki sayısı rasyonel bir sayı değildir.

Karekök iki (

\sqrt{2}

) sayısı, ondalık basamakları belli bir düzen içerisinde (devir) devam etmeyen ve iki tam sayının oranı şeklinde ifade edilemeyen bir sayıdır. Bu özelliği nedeniyle rasyonel sayılar kümesine değil, irrasyonel sayılar kümesine aittir.

Step-by-Step Solution

Rasyonel sayı tanımını hatırla.

Rasyonel sayılar (

\mathbb{Q}

a

b

tam sayı ve

b \neq 0

olmak üzere

\frac{a}{b}

biçiminde yazılabilen sayılardır.

Bir sayının rasyonel olup olmadığını belirlemek için temel tanım kullanılır.

Seçeneklerdeki sayıları bu tanıma göre değerlendir.

0 = \frac{0}{1}

-5 = \frac{-5}{1}

\frac{2}{3}

rasyoneldir. Devirli sayılar da rasyoneldir.

Tam sayıların ve devirli sayıların rasyonel sayı özelliğini taşıdığını teyit etmek gerekir.

İrrasyonel sayıları belirle.

\sqrt{2}

sayısı tam olarak hesaplanamaz ve rasyonel biçimde yazılamaz.

Karekök dışına tam çıkamayan sayılar irrasyonel (

\mathbb{Q}'

) sayılardır.

Key Concept

Rasyonel ve İrrasyonel Sayıların Ayrımı

Hints

Rasyonel sayılar iki tam sayının bölümü olarak yazılabilir. Hangisinin yazılamayacağını düşün.

Tam sayılar ve devirli sayılar aslında rasyonel sayılardır. Kök dışına çıkamayan ifadelere odaklan.

\sqrt{2}

sayısı yaklaşık olarak

1,414...

şeklinde devam eder ve hiçbir devir kuralına uymaz.

Practice More

Diğer köklü ifadelerin (örneğin

\sqrt{4}

ile

\sqrt{5}

) hangi kümelere ait olduğunu karşılaştırarak öğrenmeni pekiştirebilirsin.

Alternative Method

Sayıları rasyonel forma (a/b) çevirmeyi dene. Karekök iki (

\sqrt{2}

) için bunu yapamayacağını göreceksin.

Estimated Time:45s

Question 95Question →

$a, b$ ve $c$ birbirinden farklı asal sayılar olmak üzere,

(a-2) \cdot (b+4) = c

eşitliği sağlanmaktadır.
Buna göre,

a + b + c

toplamının alabileceği en küçük değer kaçtır?

A
13
B
17
21Answer
D
23
E
33

Answer

a + b + c toplamının en küçük değeri 21'dir.

Verilen eşitlikte

c

asal olduğundan çarpanlardan biri 1 olmalıdır.

b

asal olduğu için

b+4

1 olamaz, dolayısıyla

a-2=1

olur ve buradan

a=3

bulunur. Geriye

c = b+4

kalır.

b

değerleri denenerek

a, b, c

'nin birbirinden farklı asal sayılar olduğu en küçük durum

a=3, b=7, c=11

olarak bulunur. Toplamları 21'dir.

Step-by-Step Solution

Eşitliğin yapısını ve asal sayı tanımını analiz et.

c

bir asal sayı olduğundan, çarpanlarından biri mutlaka 1, diğeri kendisi (

c

) olmalıdır.

Asal sayıların 1 ve kendisinden başka pozitif tam sayı böleni yoktur.

Hangi çarpanın 1 olabileceğini belirle.

b

bir asal sayı olduğundan en az 2'dir. Dolayısıyla

b+4 \ge 6

olur. Bu durumda

b+4

çarpanı 1 olamaz. O halde zorunlu olarak

a-2 = 1

olmalıdır.

Pozitif tam sayılarda çarpan analizi.

a

değerini bul.

a - 2 = 1 \Rightarrow a = 3

Birinci çarpanın 1'e eşitlenmesi.

Denklemi sadeleştir ve

b, c

ilişkisini kur.

1 \cdot (b+4) = c \Rightarrow c = b + 4

. Yani aradaki farkı 4 olan iki asal sayı aranmalıdır.

Bulunan

a

değerini yerine koyma.

b

değerlerini deneyerek en küçük toplamı sağlayan farklı asal sayıları bul.

1. Deneme:

b=3

için

c=7

. Ancak

a=3

olduğundan

a

b

farklı değildir. (Elenir)
2. Deneme:

b=5

için

c=9

. 9 asal değildir. (Elenir)
3. Deneme:

b=7

için

c=11

a=3, b=7, c=11

hepsi asaldır ve birbirinden farklıdır. (Geçerli)

Asal sayı değerlerini sırayla deneyerek hem asallık hem de 'birbirinden farklı olma' şartını kontrol etme.

Toplamı hesapla.

a + b + c = 3 + 7 + 11 = 21

Bulunan değerlerin toplanması.

Key Concept

Asal sayıların çarpan özelliği ve temel tanımı.

Question 96Question →

Sıfırdan farklı

a

b

gerçel sayıları için,

\frac{|a|}{a} + \frac{|b|}{b} = 0

a - b < 0

a^2 < b^2

eşitsizlikleri ve eşitliği sağlanmaktadır.

Buna göre, aşağıdakilerden hangisi daima doğrudur?

A
$a + b < 0$
$\frac{a + b}{a} < 0$
Answer
C
$a \cdot b > 0$
D
$|a| - b > 0$
E
$\frac{a}{b} + 1 < 0$

Answer

Daima doğru olan ifade:

\frac{a + b}{a} < 0

Verilen şartlar altında

a

negatif,

b

pozitiftir ve

b

'nin mutlak değeri

a

'dan büyüktür (

|b| > |a|

). Bu durumda

a+b

toplamı pozitif olur.

a

sayısı negatif olduğundan, pozitif bir sayının negatif bir sayıya bölümü (

\frac{a+b}{a}

) daima negatif çıkar.

Step-by-Step Solution

Birinci eşitliği analiz et:

\frac{|a|}{a} + \frac{|b|}{b} = 0

Bu toplamın 0 olması için terimlerden biri 1, diğeri -1 olmalıdır. Bu,

a

b

sayılarının zıt işaretli olduğunu gösterir.

Bir sayının mutlak değerine bölümü, sayı pozitifse 1, negatifse -1'dir.

İkinci eşitsizliği analiz et:

a - b < 0 \Rightarrow a < b

Zıt işaretli iki sayıdan küçük olanı negatif, büyük olanı pozitif olmak zorundadır. Yani

a < 0

b > 0

Eğer

a

pozitif olsaydı,

b

negatif olurdu ve

a > b

çıkardı ki bu eşitsizlikle çelişirdi.

Üçüncü eşitsizliği analiz et:

a^2 < b^2

Her iki tarafın karekökü alınırsa

|a| < |b|

elde edilir. Yani pozitif olan

b

sayısı, negatif olan

a

sayısından mutlak değerce daha büyüktür (Sıfıra daha uzaktır).

Kare alma işlemi işaretleri yok eder ve büyüklük kıyaslaması sağlar.

Doğru seçeneği test et:

\frac{a + b}{a}

Pay (

a+b

|b| > |a|

b

pozitif olduğu için toplam pozitiftir (

+

). Payda (

a

): Negatiftir (

-

). Sonuç:

(+) / (-) = (-)

. Bu ifade daima sıfırdan küçüktür.

İşaret incelemesi sonucu kesinlik kazanır.

Key Concept

Zıt işaretli sayılarda mutlak değerce büyük olanın işareti, toplamın işaretini belirler.

Hints

\frac{|x|}{x}

ifadesi,

x

pozitifse 1, negatifse -1 değerini alır. Toplamın 0 olması için sayılardan biri pozitif, diğeri negatif olmalıdır.

a

b

zıt işaretli ise,

a - b < 0

(yani

a < b

) eşitsizliği hangisinin negatif, hangisinin pozitif olduğunu kesinleştirir.

a^2 < b^2

eşitsizliği

|a| < |b|

anlamına gelir. Yani pozitif olan sayı (b), negatif olanın (a) büyüklüğünden fazladır. Buna göre

a+b

toplamının işaretini bulun.

Estimated Time:2m 30s

Question 97Question →

$ABC$ üç basamaklı ve $AB$ iki basamaklı birer doğal sayıdır.

ABC + AB + A = 458

olduğuna göre, $A + B + C$ toplamı kaçtır?

A
6
B
7
8Answer
D
9
E
10

Answer

Verilen şartları sağlayan

ABC

sayısı 413'tür ve rakamları toplamı 8'dir.

Verilen denklem çözümlendiğinde

111A + 11B + C = 458

eşitliğine ulaşılır. Burada en büyük katsayıya sahip olan

A

için deneme yapıldığında, 458'e en yakın ve geçmeyen değerin

A=4

(

444

) olduğu görülür. Kalan 14 değerini sağlamak için

11B + C

ifadesinde

B=1

alınmalıdır (zira

B=0

olsa

C=14

olur ki bu bir rakam değildir). Buradan

B=1

C=3

bulunur. Rakamların toplamı

4+1+3=8

olarak hesaplanır.

Step-by-Step Solution

Sayıları basamak değerlerine göre çözümleyin.

ABC = 100A + 10B + C

AB = 10A + B

Çok basamaklı sayılar arasındaki toplama işlemlerini tek bir değişkenli denkleme dönüştürmek için çözümleme yapılır.

Çözümlenmiş ifadeleri ana denklemde yerine yazarak düzenleyin.

(100A + 10B + C) + (10A + B) + A = 458

111A + 11B + C = 458

Aynı türden basamakların (yüzler, onlar, birler) katsayılarını birleştirerek denklemi basitleştiririz.

A

rakamının değerini katsayı analizi ile belirleyin.

A = 4

Eğer

A=5

olsaydı

111 \times 5 = 555 > 458

olurdu. Eğer

A=3

olsaydı

111 \times 3 = 333

olurdu ve kalan

458 - 333 = 125

değeri

11B + C

(maksimum

11 \times 9 + 9 = 108

) ile sağlanamazdı.

A=4

değerini yerine koyarak

B

C

rakamlarını bulun.

111 \times 4 + 11B + C = 458 \Rightarrow 444 + 11B + C = 458

11B + C = 14 \Rightarrow B = 1, C = 3

11B + C = 14

eşitliğinde

B=1

dışında bir rakam değeri (0 veya 2) verildiğinde

C

rakam olma özelliğini kaybeder.

Bulunan rakamların toplamını hesaplayın.

4 + 1 + 3 = 8

Soruda istenen nihai değer rakamların toplamıdır.

Key Concept

Basamak Analizi ve Sayı Çözümleme

Hints

ABC

sayısını

100A + 10B + C

şeklinde çözümleyerek işe başlayın.

Denklemi düzenledikten sonra

111A + 11B + C = 458

ifadesini elde edeceksiniz. Burada

A

rakamının alabileceği tek bir değer vardır.

A=4

için

11B + C = 14

olur.

C

bir rakam olduğuna göre

B

kaç olmalıdır?

Practice More

Benzer bir mantıkla

AB + BA = 132

A - B = 2

şartlarını sağlayan

AB

sayısını bulmayı deneyebilirsiniz.

Estimated Time:1m 30s

Question 98Question →

Sıfırdan farklı bir $a$ rasyonel sayısı ile bir $b$ irrasyonel sayısı veriliyor.

Buna göre;
I. $a \cdot b$
II. $b^{2}$
III. $a + b$

ifadelerinden hangileri her zaman bir irrasyonel sayıdır?

A
Yalnız I
B
Yalnız III
C
I ve II
I ve IIIAnswer
E
I, II ve III

Answer

Sıfırdan farklı bir rasyonel sayı ile irrasyonel sayının çarpımı ve toplamı her zaman irrasyoneldir; dolayısıyla I ve III numaralı ifadeler doğrudur.

Sıfırdan farklı bir rasyonel sayı ile bir irrasyonel sayının çarpımı (

a \cdot b

) ve toplamı (

a + b

) her zaman irrasyonel bir sayı kümesinin elemanıdır. Bu temel bir matematiksel özelliktir.

Step-by-Step Solution

Sayı kümelerinin tanımlarını yapma

a \in \mathbb{Q} \setminus \{0\}

b \in \mathbb{I}

(veya

\mathbb{R} \setminus \mathbb{Q}

)

Soruda verilen öncülleri sayı kümesi kurallarına göre test etmek için değişkenlerin sınırlarını belirlemek gerekir.

I. öncülün (

a \cdot b

) incelenmesi

İrrasyonel sonuç

Sıfırdan farklı bir rasyonel sayı ile irrasyonel bir sayının çarpımı her zaman irrasyoneldir. Eğer sonuç rasyonel olsaydı,

b

sayısının rasyonel olması gerekirdi.

II. öncülün (

b^{2}

) incelenmesi

Belirsiz (Rasyonel veya İrrasyonel olabilir)

b = \sqrt{2}

(irrasyonel) ise

b^2 = 2

(rasyonel) olur.

b = \sqrt[4]{2}

(irrasyonel) ise

b^2 = \sqrt{2}

(irrasyonel) olur. Bu nedenle her zaman irrasyonel değildir.

III. öncülün (

a + b

) incelenmesi

İrrasyonel sonuç

Bir rasyonel sayı ile bir irrasyonel sayının toplamı her zaman irrasyoneldir. Rasyonel bir sayıdan rasyonel bir sayı çıkarıldığında sonuç rasyonel kalacağı için toplam rasyonel olamaz.

Key Concept

Rasyonel ve İrrasyonel Sayılar Arasındaki İşlemler

Hints

Rasyonel ve irrasyonel sayıların toplamının neden rasyonel olamayacağını, çelişki yöntemini düşünerek değerlendirin.

İrrasyonel sayı olarak

\sqrt{2}

'yi örnek alarak öncülleri test etmeyi deneyin.

\sqrt{2}

'nin karesinin bir tam sayı (ve dolayısıyla rasyonel) olduğunu hatırlayın; bu durum II. öncülü eler.

Practice More

Benzer bir soruda 'iki irrasyonel sayının toplamı'nın durumunu inceleyebilirsiniz.

Alternative Method

Öncülleri test ederken

a = 1

(rasyonel) ve

b = \sqrt{2}

(irrasyonel) değerlerini vererek hangi sonuçların irrasyonel kalıp hangilerinin rasyonel olabildiğini hızlıca görebilirsiniz.

Estimated Time:1m 30s

Question 99Question →

$x, y$ ve $z$ birbirinden farklı asal sayılardır.

x \cdot y = 11z + 20

olduğuna göre, $x + y + z$ toplamının alabileceği en küçük değer kaçtır?

A
57
61Answer
C
65
D
69
E
73

Answer

Doğru cevap 61'dir (

x=3, y=47, z=11

Verilen

x \cdot y = 11z + 20

eşitliğinde,

z=11

değeri denendiğinde eşitlik

x \cdot y = 141

olur.

141

sayısı

3 \cdot 47

şeklinde çarpanlarına ayrılır. 3, 47 ve 11 sayıları birbirinden farklı asal sayılar olduğu için şartlar sağlanır. Bu sayıların toplamı

3 + 47 + 11 = 61

değerini verir.

Step-by-Step Solution

Eşitliğin teklik-çiftlik durumunu analiz et.

x \cdot y = 11z + 20

. Eğer

z=2

olursa

xy = 22+20=42

. 42'nin asal çarpanları (2,3,7) iki asal sayının çarpımı şeklinde yazılamaz (

6\cdot7

veya

2\cdot21

asal değil). Bu nedenle

z \neq 2

, yani

z

tektir.

Asal sayılarda çift olan tek sayı 2'dir. Diğer tüm asallar tektir.

x

y

'nin durumunu belirle.

z

tek olduğuna göre

11z

tektir.

11z + 20

(Tek + Çift) işlemi sonucunda

x \cdot y

tek sayı olmalıdır. Bu durumda

x

y

de tek asal sayılardır.

İki sayının çarpımı tek ise, çarpanların her ikisi de tek olmalıdır.

z

için küçük tek asal sayıları deneyerek

x

y

'yi bul.

z=3

için:

x \cdot y = 33 + 20 = 53

. 53 asaldır, çarpanları 1 ve 53'tür. 1 asal olmadığından çözüm yok.
-

z=5

için:

x \cdot y = 55 + 20 = 75

75 = 3 \cdot 25

veya

5 \cdot 15

(çarpanlar asal değil).
-

z=7

için:

x \cdot y = 77 + 20 = 97

. 97 asaldır, çözüm yok.
-

z=11

için:

x \cdot y = 121 + 20 = 141

141 = 3 \cdot 47

. Hem 3 hem 47 asaldır. Bu geçerli bir çözümdür.

Deneme yanılma yoluyla şartları sağlayan en küçük asal sayıları tespit etmek gerekir.

Bulunan değerleri topla.

x=3, y=47, z=11

(veya

x=47, y=3

). Hepsi birbirinden farklı asallardır. Toplam:

3 + 47 + 11 = 61

Sonuç hesabı.

Key Concept

Asal Sayıların Özellikleri ve Teklik-Çiftlik Analizi

Hints

Eşitliğin sağ tarafındaki

11z + 20

ifadesinin tek mi yoksa çift mi olabileceğini düşünün. Asal sayılar içinde sadece 2 çifttir.

z=2

olduğunda eşitliğin sağlanıp sağlanmadığını kontrol edin. Sağlanmıyorsa

z

'nin tek sayı olduğu durumlara (

z=3, 5, 7, \dots

) odaklanın.

141 sayısının rakamları toplamına bakarak 3'e bölünüp bölünmediğini kontrol edin.

Alternative Method

Modüler aritmetik kullanarak:

xy \equiv 20 \equiv 9 \pmod{11}

. Eğer

x=3

denersek

3y \equiv 9 \pmod{11} \implies y \equiv 3 \pmod{11}

y

'nin 3, 14, 25, 36, 47... değerleri için asallık kontrolü yapılabilir.

Estimated Time:2m 30s

Question 100Question →

$x$ ve $y$ birer pozitif tam sayı olmak üzere,

x = \frac{8! + 7!}{6!}

y = \frac{6! - 5!}{4!}

eşitlikleri veriliyor. Buna göre,

x + y

toplamının değeri kaçtır?

A
81
88Answer
C
93
D
98
E
105

Answer

Verilen işlemlere göre x ve y değerlerinin toplamı 88'dir.

Verilen ifadeler sadeleştirildiğinde

x = 63

y = 25

değerleri elde edilir. Bu iki değerin toplamı 88 sonucunu verir.

Step-by-Step Solution

x

ifadesindeki payı

7!

parantezine alarak sadeleştirme yapınız.

x = \frac{7!(8 + 1)}{6!} = \frac{9 \cdot 7 \cdot 6!}{6!} = 63

Faktöriyelli ifadelerde toplama işlemi yapılırken en küçük faktöriyel parantezine almak işlemi kolaylaştırır.

y

ifadesindeki payı

5!

parantezine alarak sadeleştirme yapınız.

y = \frac{5!(6 - 1)}{4!} = \frac{5 \cdot 5 \cdot 4!}{4!} = 25

Pay kısmındaki çıkarma işlemini yaparak sadeleştirme sağlamak için en küçük terim olan 5! parantezi kullanılır.

Bulunan

x

y

değerlerini toplayınız.

63 + 25 = 88

Soruda istenen toplam değerine ulaşmak için bulunan sonuçlar birleştirilir.

Key Concept

Faktöriyel İfadelerde Ortak Paranteze Alma ve Sadeleştirme

Hints

Pay kısmındaki ifadeleri en küçük faktöriyel teriminin parantezine almayı deneyin.

8! = 8 \cdot 7 \cdot 6!

7! = 7 \cdot 6!

olduğunu kullanarak sadeleştirme yapabilirsiniz.

x

ifadesinde payı

6!

cinsinden yazıp sadeleştirdiğinizde tam sayı bir sonuç elde etmelisiniz.

Practice More

Faktöriyelli denklemlerde içler dışlar çarpımı gerektiren sadeleştirme sorularını inceleyebilirsiniz.

Alternative Method

Her bir faktöriyeli açıp çarpmak yerine, rasyonel ifadeleri parçalayarak da çözebilirsiniz:

x = \frac{8!}{6!} + \frac{7!}{6!}

y = \frac{6!}{4!} - \frac{5!}{4!}

. Bu durumda

x = (8 \cdot 7) + 7 = 56 + 7 = 63

y = (6 \cdot 5) - 5 = 30 - 5 = 25

bulunur.

Estimated Time:1m 15s

PreviousPage 5 / 16Next

Temel Kavramlar ve Sayılar

Answer

Step-by-Step Solution

Key Concept

Common Mistakes

Hints

Practice More

Alternative Method

Answer

Step-by-Step Solution

Key Concept

Common Mistakes

Answer

Step-by-Step Solution

Key Concept

Common Mistakes

Hints

Answer

Step-by-Step Solution

Key Concept

Common Mistakes

Hints

Practice More

Alternative Method

Answer

Step-by-Step Solution

Key Concept

Common Mistakes

Hints

Practice More

Answer

Step-by-Step Solution

Key Concept

Common Mistakes

Hints

Practice More

Alternative Method

Answer

Step-by-Step Solution

Key Concept

Common Mistakes

Hints

Practice More

Alternative Method

Answer

Step-by-Step Solution

Key Concept

Common Mistakes

Hints

Practice More

Alternative Method

Answer

Step-by-Step Solution

Key Concept

Common Mistakes

Hints

Alternative Method

Answer

Step-by-Step Solution

Key Concept

Common Mistakes

Hints

Practice More

Answer

Solution Supporting Visual

Step-by-Step Solution

Key Concept

Common Mistakes

Hints

Practice More

Answer

Step-by-Step Solution

Key Concept

Common Mistakes

Hints

Practice More

Answer

Step-by-Step Solution

Key Concept

Common Mistakes