Temel Kavramlar ve Sayılar

Question 101Question →

n

bir doğal sayı olmak üzere,

\frac{(n+1)! + n!}{(n-1)!} - 3n = 72

eşitliğini sağlayan

n

değeri kaçtır?

6

8

9

10

12

Show answer & explanation

Answer: 9

Answer

Eşitliği sağlayan n değeri 9'dur.

Verilen ifadede faktöriyeller en küçük terim olan

(n-1)!

parantezine alınarak sadeleştirildiğinde

n^2 + 2n

elde edilir. Bu ifadeden

3n

çıkarıldığında oluşan

n^2 - n - 72 = 0

denkleminin pozitif kökü 9'dur.

Step-by-Step Solution

1

Kesirli ifadenin pay kısmındaki faktöriyelleri en küçük olan

(n-1)!

cinsinden ifade et.

(n+1)! = (n+1) \cdot n \cdot (n-1)!

ve

n! = n \cdot (n-1)!

Faktöriyelli ifadelerde toplama veya çıkarma yapabilmek için ortak çarpan parantezine almak gerekir.

2

Payı

(n-1)!

ortak parantezine al ve ifadeyi sadeleştir.

\frac{(n-1)! \cdot [(n+1)n + n]}{(n-1)!} = (n+1)n + n

Pay ve paydadaki

(n-1)!

çarpanları birbirini götürür.

3

Elde edilen cebirsel ifadeyi düzenle.

(n^2 + n) + n = n^2 + 2n

Parantez dağıtılarak benzer terimler toplanır.

4

Ana denklemde yerine yaz ve oluşan ikinci dereceden denklemi çöz.

(n^2 + 2n) - 3n = 72 \Rightarrow n^2 - n - 72 = 0

Elde edilen ifade sorudaki yerine yazılır ve denklem sıfıra eşitlenir.

5

Denklemin köklerini bul ve doğal sayı olanı seç.

(n-9)(n+8) = 0 \Rightarrow n=9 \text{ veya } n=-8

.

n

doğal sayı olduğu için

n=9

Negatif sayıların faktöriyeli tanımlı değildir (ve soruda n doğal sayı denmiştir).

Key Concept

Faktöriyel Sadeleştirme ve İkinci Dereceden Denklemler

Hints

1

Pay kısmındaki

(n+1)!

ve

n!

ifadelerini, paydadaki

(n-1)!

cinsinden yazmayı dene.

2

(n+1)! = (n+1) \cdot n \cdot (n-1)!

eşitliğini kullanarak payı

(n-1)!

parantezine al.

3

Sadeleştirme sonrası elde edeceğin

n^2 - n - 72 = 0

denklemini çöz.

Practice More

Benzer mantıkla kurgulanmış, paydasında

(n-2)!

bulunan sorular çözülebilir.

Estimated Time:2m 30s

Question 102Question →

Pozitif ve negatif tam sayılarla dört işlem konusunu çalışan bir öğrenci, defterine aşağıdaki işlemi yazmıştır:

(-24) \div (-6) + (-3) \cdot (+5)

Buna göre, bu işlemin doğru sonucu aşağıdakilerden hangisidir?

-19

-11

-1

11

19

Show answer & explanation

Answer: -11

Answer

İşlemin doğru sonucu -11 olarak bulunur.

Verilen işlemde öncelikle bölme ve çarpma işlemleri yapılır.

(-24) \div (-6) = +4

ve

(-3) \cdot (+5) = -15

sonuçları elde edilir. Bu iki sonucun toplamı olan

4 + (-15)

işlemi ise

-11

sonucunu verir. Bu nedenle doğru cevap -11 değeridir.

Step-by-Step Solution

1

(-24) \div (-6)

bölme işlemini yapınız.

+4

Aynı işaretli iki sayının birbirine bölümü daima pozitiftir.

24 \div 6 = 4

olduğundan sonuç

+4

olur.

2

(-3) \cdot (+5)

çarpma işlemini yapınız.

-15

Zıt işaretli iki sayının çarpımı daima negatiftir.

3 \times 5 = 15

olduğundan sonuç

-15

olur.

3

Bulunan sonuçları toplayınız:

(+4) + (-15)

-11

Farklı işaretli iki sayı toplanırken, mutlak değerce büyük olan sayıdan (15) küçük olan sayı (4) çıkarılır ve mutlak değerce büyük olanın işareti verilir.

Key Concept

Tam sayılarda çarpma ve bölme işlemlerinde işaret kuralları ile işlem önceliği.

Hints

1

İşlem önceliğine dikkat ederek önce bölme ve çarpma işlemlerini yapmalısın.

2

Aynı işaretli sayıların bölümünün pozitif (+), farklı işaretli sayıların çarpımının ise negatif (-) olduğunu hatırla.

3

İşlem şu hale gelecektir:

(+4) + (-15)

. Şimdi bu iki tam sayıyı toplayarak sonuca ulaşabilirsin.

Practice More

İşaret kurallarını pekiştirmek için benzer bir soruyu bölme yerine çıkarma işlemi içeren bir ifadeyle çözmeyi deneyebilirsiniz.

Estimated Time:45s

Question 103Question →

\frac{6! - 5!}{4! + 0!}

işleminin sonucu kaçtır?

20

24

25

30

120

Show answer & explanation

Answer: 24

Answer

İşlemin sonucu 24'tür.

İşlemdeki tüm faktöriyel değerleri (

6! = 720, 5! = 120, 4! = 24, 0! = 1

) yerlerine yazıldığında pay kısmı

600

, payda kısmı ise

25

olmaktadır.

600

sayısının

25

ile bölümü sonucunda elde edilen 24 değeri doğru cevaptır.

Step-by-Step Solution

1

Pay kısmındaki faktöriyel değerlerini hesaplayın.

6! = 720

ve

5! = 120

Çıkarma işlemini gerçekleştirmek için önce ifadelerin sayısal değerleri bulunur.

2

Payda kısmındaki faktöriyel değerlerini hesaplayın.

4! = 24

ve

0! = 1

Sıfır faktöriyelin özel bir tanım olarak 1'e eşit olduğu unutulmamalıdır.

3

Pay ve paydadaki işlemleri tamamlayın.

Pay:

720 - 120 = 600

; Payda:

24 + 1 = 25

Kesirli ifadeyi sadeleştirmek için gruplandırılmış işlemler yapılır.

4

Elde edilen değerleri birbirine bölün.

600 / 25 = 24

Bölme işlemi sonucunda nihai cevaba ulaşılır.

Key Concept

Faktöriyel tanımı ve

0! = 1

özel durumu

Hints

1

İşleme başlamadan önce pay ve paydadaki faktöriyellerin (

6!, 5!, 4!

ve

0!

) değerlerini ayrı ayrı hesaplayın.

2

0!

değerinin her zaman

1

olduğunu hatırlayın; bu, faktöriyel konusundaki en önemli kurallardan biridir.

3

Pay kısmını

600

, payda kısmını

25

bulduğunuzdan emin olun ve ardından bölme işlemini yapın.

Practice More

Benzer şekilde

0!

ve

1!

değerlerinin toplamını içeren bölme işlemlerini çözerek konuyu pekiştirebilirsiniz.

Alternative Method

Pay kısmını ortak çarpan parantezine alarak da çözebilirsiniz:

6! - 5! = 5!(6-1) = 120 \times 5 = 600

.

Estimated Time:1m 30s

Question 104Question →

Bir kamu kurumunun arşiv biriminde dosyalar, $1$ 'den başlayarak $n$ 'ye kadar ardışık tam sayılarla numaralandırılmıştır. Yapılan bir denetim sırasında, dosyalardan birinin kaybolduğu tespit edilmiştir. Mevcut (kalan) dosyaların numaralarının aritmetik ortalaması $31,2$ olarak hesaplanmıştır.

Buna göre, kaybolan dosyanın numarası aşağıdakilerden hangisidir?

12

19

31

41

61

Show answer & explanation

Answer: 19

Answer

Kaybolan dosyanın numarası 19'dur.

Bu soruda iki bilinmeyen (

n

ve kayıp sayı

k

) varmış gibi görünse de, ortalamanın sınırları ve tam sayı olma şartı

n

'yi tek bir değere sabitler. 1'den

n

'ye kadar olan sayılardan biri çıkarıldığında, yeni ortalama

(A_{yeni})

, teorik ortalama olan

\frac{n+1}{2}

değerine çok yakındır. Kesin sınırlar:

\frac{n}{2} \le A_{yeni} \le \frac{n}{2} + 1

. Verilen

31,2

değeri için bu eşitsizlik

60,4 \le n \le 62,4

sonucunu verir. Ayrıca kalan dosya sayısı ile

31,2

çarpıldığında tam sayı (kalanların toplamı) elde edilmelidir.

31,2 = \frac{156}{5}

olduğundan kalan dosya sayısı 5'in katı olmalıdır. Bu aralıkta bu şartı sağlayan tek sayı

n=61

'dir. Toplam farkından kayıp sayı 19 bulunur.

Step-by-Step Solution

1

Kalan dosyaların ortalamasının sınırlarını kullanarak toplam dosya sayısı

n

'yi sınırla.

n

değeri

60,4

ile

62,4

arasındadır.

1'den

n

'ye kadar olan sayılardan en büyüğü (

n

) çıkarılırsa ortalama en az (

n/2

), en küçüğü (

1

) çıkarılırsa ortalama en çok (

n/2 + 1

) olur.

2

Ortalamanın kesirli kısmına bakarak

n

'nin tam sayı değerini belirle.

n = 61

olmalıdır.

Ortalama

31,2 = 156/5

olduğundan, kalan dosya sayısı (

n-1

) 5'in katı olmalıdır. Aralıktaki tam sayılardan (61, 62) sadece 61 bu şartı sağlar (

61-1=60

).

3

Toplam formülünü kullanarak kaybolan sayıyı (

k

) hesapla.

k = 1891 - 1872 = 19

.

Tüm toplam

\frac{61 \times 62}{2} = 1891

. Kalanların toplamı

60 \times 31,2 = 1872

. Fark kaybolan sayıdır.

Key Concept

Ardışık sayıların toplamı ve aritmetik ortalama sınırları arasındaki ilişki.

Hints

1

1'den n'ye kadar olan sayıların ortalaması yaklaşık n/2'dir. Verilen 31,2 ortalamasını kullanarak n için bir aralık tahmin edebilirsiniz.

2

Bir sayı çıkarıldığında ortalama en fazla 0,5 artar veya azalır. Yani n değeri 2 * 31,2 = 62,4 civarındadır.

3

Kalan dosya sayısı (n-1) ile 31,2 çarpıldığında sonuç bir tam sayı olmalıdır. 31,2 = 312/10 = 156/5 kesrini düşünün.

Alternative Method

Ortalama değişimi üzerinden çözüm: Orijinal ortalama (n+1)/2'dir. n=61 için ortalama 31'dir. Yeni ortalama 31,2 olduğuna göre artış 0,2'dir. Ortalama artışı (Çıkan Sayı Farkı / Kalan Sayı) formülüyle de ilişkilendirilebilir.

Estimated Time:4m 0s

Question 105Question →

İki basamaklı bir $AB$ asal sayısının rakamlarının yerleri değiştirildiğinde elde edilen iki basamaklı $BA$ sayısı da bir asal sayı oluyorsa $AB$ sayısına "simetrik asal sayı" denir.

Buna göre, aşağıdakilerden hangisi bir simetrik asal sayı değildir?

13

17

37

79

19

Show answer & explanation

Answer: 19

Answer

19 sayısı bir simetrik asal sayı değildir çünkü rakamları yer değiştirildiğinde elde edilen 91 sayısı asal değildir.

Simetrik asal sayı tanımına göre, bir sayının kendisi ve rakamları yer değiştirildiğinde elde edilen sayı asal olmalıdır. 19 sayısı asaldır, ancak rakamları yer değiştirildiğinde elde edilen 91 sayısı

7 \times 13

işleminin sonucu olduğu için asal değildir. Bu durum, 19'u simetrik asal sayı olmaktan çıkarır.

Step-by-Step Solution

1

Tanımı analiz et ve sayıların terslerini bul.

13 → 31, 17 → 71, 37 → 73, 79 → 97, 19 → 91

Simetrik asal sayı olması için hem sayının kendisinin hem de tersinin asal olması gerekir.

2

Ters çevrilen sayıların asallığını kontrol et.

31, 71, 73 ve 97 sayıları sadece 1'e ve kendilerine bölündükleri için asaldır.

Seçeneklerdeki ilk dört sayının simetrik asal olup olmadığını belirlemek için terslerinin asallığı teyit edilmelidir.

3

91 sayısının asallığını incele.

91 = 7 \times 13

olduğu için 91 asal bir sayı değildir.

Bir sayının asal olması için 1'den büyük olması ve kendisi ile 1 dışında hiçbir sayıya bölünmemesi gerekir. 91 sayısı 7 ve 13'e tam bölündüğü için bu tanıma uymaz.

Key Concept

Asal sayıların tanımı ve 91 sayısının çarpanlarına ayrılması (

7 \times 13

).

Hints

1

Seçeneklerdeki sayıların rakamlarını yer değiştirerek yeni sayılar oluşturun.

2

Oluşan yeni sayılardan (31, 71, 73, 97, 91) hangisinin başka çarpanları olduğunu düşünün.

3

91 sayısının 7'ye bölünüp bölünmediğini kontrol edin (

91 = 70 + 21

).

Practice More

İki basamaklı tüm simetrik asal sayıları (tersel asalları) listeleyerek bu sayıların özelliklerini inceleyebilirsiniz.

Alternative Method

Bölünebilme kurallarını kullanarak her sayının tersini hızlıca test edebilirsiniz. Özellikle 7 ile bölünebilme, 91 gibi 'yalancı asal' sayılar için kritiktir.

Estimated Time:1m 15s

Question 106Question →

a

ve

b

aralarında asal pozitif tam sayılar olmak üzere,

\text{EKOK}(a, b) + \text{EBOB}(a, b) = 121

eşitliği veriliyor. Buna göre,

a + b

toplamının alabileceği farklı değerlerin toplamı kaçtır?

95

193

216

238

278

Show answer & explanation

Answer: 216

Answer

Toplamın alabileceği farklı değerlerin toplamı 216'dır.

Aralarında asal sayıların çarpımı EKOK'a, 1 sayısı ise EBOB'a eşittir. Bu kuraldan

a \cdot b = 120

bulunur. 120'nin çarpanlarından aralarında asal olanlar (1,120), (3,40), (5,24) ve (8,15) çiftleridir. Bu çiftlerin toplamları sırasıyla 121, 43, 29 ve 23'tür. Hepsinin toplamı 216 eder.

Step-by-Step Solution

1

Aralarında asal sayıların özelliklerini hatırla ve denkleme uygula.

a

ve

b

aralarında asal ise

\text{EKOK}(a,b) = a \cdot b

ve

\text{EBOB}(a,b) = 1

olur. Denklem

a \cdot b + 1 = 121

haline gelir.

Aralarında asal sayıların en küçük ortak katı çarpımlarına, en büyük ortak böleni ise 1'e eşittir.

2

Çarpım değerini bul ve çarpan çiftlerini listele.

a \cdot b = 120

bulunur. 120'nin çarpan çiftleri: (1,120), (2,60), (3,40), (4,30), (5,24), (6,20), (8,15), (10,12).

a

ve

b

tam sayı olduğu için 120'yi veren tüm ikililer incelenmelidir.

3

Bu çiftlerden aralarında asal olanları belirle.

Aralarında asal olan çiftler: (1, 120), (3, 40), (5, 24), (8, 15).

Ortak böleni 1'den büyük olan çiftler (örneğin 2 ve 60, EBOB=2) elenmelidir.

4

Seçilen çiftler için

a+b

değerlerini hesapla ve topla.

1+120=121

,

3+40=43

,

5+24=29

,

8+15=23

. Toplam:

121 + 43 + 29 + 23 = 216

.

Soruda istenen, bu farklı toplam değerlerinin genel toplamıdır.

Key Concept

Aralarında asal sayıların EKOK'u çarpımlarına, EBOB'u 1'e eşittir.

Hints

1

Aralarında asal iki sayının EBOB'u daima 1'dir. Bunu denklemde yerine koyarak EKOK değerini, dolayısıyla sayıların çarpımını bulabilirsiniz.

2

Çarpımları bulunan sayı (120) için tüm çarpan çiftlerini (1.120, 2.60...) listeleyin.

3

Listelediğiniz çiftlerden sadece ortak böleni 1 olanları (aralarında asal olanları) seçin. 1 sayısının her sayıyla aralarında asal olduğunu unutmayın.

Estimated Time:2m 30s

Question 107Question →

Sıfırdan farklı

x, y

ve

z

gerçel sayıları için,

x^3 \cdot y^4 < 0

x - z > 0

y + z = 0

ifadeleri veriliyor.

Buna göre $x, y$ ve $z$ sayılarının küçükten büyüğe doğru sıralanışı aşağıdakilerden hangisidir?

z < x < y

x < z < y

z < y < x

y < x < z

x < y < z

Show answer & explanation

Answer: $z < x < y$

Answer

Doğru sıralama

z < x < y

şeklindedir.

Verilen ifadeler adım adım analiz edildiğinde; birinci ifadeden

x

'in negatif olduğu, üçüncü ifadeden

y

ve

z

'nin zıt işaretli olduğu, ikinci ifadeden ise

x

'in

z

'den büyük olduğu anlaşılır.

x

negatif ve

x > z

olduğu için

z

de negatiftir.

z

negatif ise

y

pozitiftir. Negatif sayılar arasında

z < x

ilişkisi vardır ve pozitif olan

y

hepsinden büyüktür. Sonuç olarak sıralama

z < x < y

olur.

Step-by-Step Solution

1

x

sayısının işaretini belirle.

x < 0

(Negatif)

y^4

çift kuvvet olduğu için kesinlikle pozitiftir. Çarpımın (

x^3 \cdot y^4

) negatif olabilmesi için

x^3

negatif olmalıdır, bu da

x

'in negatif olduğunu gösterir.

2

x

ve

z

arasındaki ilişkiyi incele.

z < x < 0

x - z > 0

eşitsizliği

x > z

anlamına gelir.

x

negatif olduğuna göre,

x

'ten daha küçük olan

z

sayısı da kesinlikle negatif olmalıdır.

3

y

sayısının işaretini ve konumunu belirle.

y > 0

(Pozitif)

y + z = 0

eşitliğinden

y = -z

bulunur.

z

negatif bir sayı olduğuna göre, ters işaretlisi olan

y

pozitif olmalıdır.

4

Tüm sayıları sırala.

z < x < y

z

ve

x

negatif sayılardır ve

z < x

ilişkisi vardır.

y

pozitif olduğu için en büyüktür. Birleştirildiğinde

z < x < y

elde edilir.

Key Concept

Negatif sayılarda sıralama yapılırken sayı sıfırdan uzaklaştıkça küçülür. Tek kuvvetler işareti korurken, çift kuvvetler sonucu daima pozitif yapar.

Hints

1

Önce

x^3 \cdot y^4 < 0

eşitsizliğini kullanarak

x

'in işaretini belirleyiniz. Çift kuvvetlerin (

y^4

) sonucu daima pozitiftir.

2

x

'in negatif olduğunu bulduktan sonra,

x - z > 0

eşitsizliğinden

x > z

olduğunu hatırlayınız. Negatif bir sayıdan daha küçük olan bir sayı da negatiftir.

3

z

negatif ise,

y + z = 0

eşitliğinden

y

'nin pozitif olduğunu görebilirsiniz. Pozitif sayılar negatiflerden daima büyüktür.

Practice More

Mutlak değerli eşitsizliklerde sıralama sorularını inceleyiniz.

Alternative Method

Sayı vererek deneme yöntemi: Eşitsizlikleri sağlayan örnek değerler seçin. Örneğin

x=-2

olsun.

x^3

negatiftir, uygundur.

x > z

olmalı,

z=-5

seçelim (

-2 > -5

sağlar).

y+z=0

ise

y=5

olur. Elde edilen değerler:

z=-5, x=-2, y=5

. Sıralama:

-5 < -2 < 5

yani

z < x < y

.

Estimated Time:2m 0s

Question 108Question →

Gerçel sayılar kümesinde tanımlı $a$ ve $b$ sayıları için aşağıdakilerden hangisi daima doğrudur?

a ve b irrasyonel sayılar ise a + b toplamı irrasyoneldir

a rasyonel ve b irrasyonel bir sayı ise a · b çarpımı irrasyoneldir

a² rasyonel bir sayı ise a rasyonel bir sayıdır

a + b ve a - b rasyonel sayılar ise a · b rasyonel bir sayıdır

a · b rasyonel bir sayı ise a ve b rasyonel sayılardır

Show answer & explanation

Answer: a + b ve a - b rasyonel sayılar ise a · b rasyonel bir sayıdır

Answer

Toplamları ve farkları rasyonel olan iki sayının çarpımı daima rasyoneldir.

Rasyonel sayılar kümesi dört işleme göre kapalıdır.

a+b

ve

a-b

rasyonel ise, bu iki ifadenin toplamının yarısı olan

a

ve farkının yarısı olan

b

de rasyonel olmak zorundadır. İki rasyonel sayının çarpımı da rasyonel olacağından, bu ifade daima doğrudur.

Step-by-Step Solution

1

Yanlış seçenekleri elemek için 'aksine örnek verme' (counter-example) yöntemini kullanın.

Örneğin, irrasyonel sayıların toplamı için

\sqrt{2} + (-\sqrt{2}) = 0

örneği verilebilir; 0 rasyoneldir.

Daima doğru ifadeleri bulmak için tek bir istisna yeterlidir.

2

Doğru seçeneği cebirsel olarak kanıtlayın.

a+b = x

ve

a-b = y

olsun, burada

x, y \in \mathbb{Q}

(Rasyonel).

Taraf tarafa toplama yapılırsa:

2a = x+y \implies a = \frac{x+y}{2}

.

Rasyonel sayılar kümesi toplama ve bölme işlemine göre kapalıdır, yani

a

rasyoneldir.

3

b

sayısını bulmak için taraf tarafa çıkarma yapın.

\mathbb{Q}

kümesinde işlem yapıldığından

b = \frac{x-y}{2}

de rasyoneldir.

Rasyonel sayıların farkı ve bölümü de rasyoneldir.

4

Bulunan

a

ve

b

değerlerini çarpın.

İki rasyonel sayının çarpımı (

a \cdot b

) rasyonel olmak zorundadır.

Rasyonel sayılar kümesi çarpma işlemine göre kapalıdır.

Key Concept

Sayı Kümelerinde Kapalılık Özellikleri

Hints

1

Seçeneklerin doğruluğunu test etmek için 'ters örnek' (aksine örnek) bulmaya çalışın. Özellikle

\sqrt{2}

ve

-\sqrt{2}

gibi birbirini yok eden sayıları kullanın.

2

Bir sayının rasyonel olması için, rasyonel iki sayının toplamı, farkı, çarpımı veya bölümü (sıfıra bölme hariç) şeklinde ifade edilebilmesi yeterlidir.

3

Toplamları ve farkları rasyonel olan iki denklemi taraf tarafa toplayarak

a

'yı yalnız bırakın.

a

'nın rasyonel sayılardan oluşup oluşmadığını kontrol edin.

Alternative Method

Değer Verme Yöntemi:

a+b=4

ve

a-b=2

olsun. Bu durumda

2a=6 \implies a=3

ve

b=1

bulunur. Çarpımları

3

(rasyonel) olur. Sadece bir örnek doğruluğu kanıtlamaz ancak eleme yapmanızı sağlar.

Estimated Time:2m 0s

Question 109Question →

$a = -6$ ve $b = 9$ tam sayıları veriliyor.

Buna göre, aşağıdakilerden hangisinin sonucu bir tek sayıdır?

a + b

a \cdot b

b - 1

a - 4

Show answer & explanation

Answer: $a + b$

Answer

Verilen sayılar yerine konulduğunda sonucu tek olan ifade

a + b

toplamıdır.

Verilen ifadede

a = -6

çift,

b = 9

ise tek bir sayıdır. Temel matematik kurallarına göre bir çift sayı ile bir tek sayının toplamı (Ç + T) her zaman tektir. Bu durumda

-6 + 9 = 3

sonucu bir tek sayıdır.

Step-by-Step Solution

1

Değişkenlerin teklik-çiftlik durumunu belirleme

a = -6

(çift sayı),

b = 9

(tek sayı)

Bir sayının 2 ile tam bölünüp bölünmediğine bakılır.

2

a + b

işlemini gerçekleştirme

-6 + 9 = 3

Zıt işaretli sayılar toplanırken büyük olanın işareti alınır ve fark bulunur.

3

Sonucun türünü kontrol etme

3 bir tek sayıdır.

Birler basamağı {1, 3, 5, 7, 9} olan sayılar tektir.

Key Concept

Tek ve Çift Sayıların Toplama ve Çarpma Özellikleri

Hints

1

Bir tam sayının son basamağına bakarak tek mi çift mi olduğunu belirleyebilirsin. Negatif olması bu durumu değiştirmez.

2

Temel kuralları hatırla: Çift + Tek = Tek, Çift × Tek = Çift.

3

a = -6

ve

b = 9

değerlerini seçeneklerde yerine koyarak basitçe hesaplama yapabilirsin.

Practice More

Ardışık iki tam sayının çarpımının her zaman çift olduğunu fark ettin mi? Bunu bir sonraki sorularda kullanabilirsin.

Alternative Method

Genel kuralı kullanarak hesaplama yapmadan da sonuca ulaşabilirsin:

a

(Çift) ve

b

(Tek) için,

a+b = Ç+T = T

kuralı gereği sonuç her zaman tektir.

Estimated Time:45s

Question 110Question →

$A$ , $B$ ve $C$ sıfırdan farklı, birbirinden farklı rakamlar ve $A > B > C$ olmak üzere; üç basamaklı $ABC$ ve $CBA$ doğal sayıları ile iki basamaklı $AB$ , $BC$ ve $CA$ doğal sayıları arasında

ABC - CBA = AB + BC + CA

eşitliği sağlanmaktadır. Buna göre,

A \cdot B \cdot C

çarpımı kaçtır?

12

24

126

192

210

Show answer & explanation

Answer: 210

Answer

Verilen şartları sağlayan

ABC

sayısı

765

olup rakamları çarpımı

210

olur.

Verilen denklemin çözümlenmiş hali

9(A-C) = A+B+C

şeklindedir. Buradan

8A - 10C = B

bağıntısı elde edilir.

A > B > C

şartını sağlayan tek rakam üçlüsü

A=7

,

B=6

ve

C=5

olup çarpımları

210

eder.

Step-by-Step Solution

1

Sayıların basamak çözümlemesinin yapılması

99(A - C) = 11(A + B + C)

ABC - CBA = (100A+10B+C) - (100C+10B+A) = 99A - 99C

ve

AB+BC+CA = (10A+B) + (10B+C) + (10C+A) = 11A+11B+11C

şeklindedir.

2

Eşitliğin sadeleştirilmesi ve düzenlenmesi

8A - 10C = B

99(A-C) = 11(A+B+C)

ifadesi 11 ile sadeleşince

9A - 9C = A+B+C

olur, buradan

B

yalnız bırakılır.

3

Rakam ve büyüklük şartlarına (

A > B > C

) göre değerlerin denenmesi

A=7, B=6, C=5

A-C=2

için

16-2C=B

denkleminde

C=5

yazıldığında

B=6

ve

A=7

bulunur. Bu durumda

7 > 6 > 5

şartı sağlanır.

4

İstenen çarpımın hesaplanması

7 \cdot 6 \cdot 5 = 210

Soruda rakamların çarpımı istenmiştir.

Key Concept

Basamak analizi sorularında çözümleme yapıldıktan sonra elde edilen denklemde rakamların kısıtları (sıfırdan farklı olma, birbirinden farklı olma, büyüklük sıralaması) mutlaka kontrol edilmelidir.

Question 111Question →

$a$ ve $b$ aralarında asal iki pozitif tam sayıdır.

a \cdot b = 60

olduğuna göre, $a + b$ toplamının alabileceği en küçük değer kaçtır?

16

17

19

23

61

Show answer & explanation

Answer: 17

Answer

Aralarında asal olan ve çarpımları 60 eden pozitif tam sayı çiftleri arasında toplamı en küçük olan 5 ve 12 çiftidir, bu nedenle cevap 17'dir.

Çarpımları 60 olan ve aralarında asal olma şartını sağlayan çiftler incelendiğinde; (1, 60), (3, 20), (4, 15) ve (5, 12) çiftleri bulunur. Bu çiftlerin toplamları sırasıyla 61, 23, 19 ve 17'dir. Birbirine en yakın olan 5 ve 12 çifti, toplamın en küçük olduğu 17 sonucunu verir.

Step-by-Step Solution

1

Çarpımları 60 olan pozitif tam sayı çiftlerini listeleyelim.

(1, 60), (2, 30), (3, 20), (4, 15), (5, 12), (6, 10)

Tüm olası çarpan çiftlerini bularak aralarından uygun olanları seçeceğiz.

2

Bu çiftlerin aralarında asal (ortak bölenleri sadece 1) olup olmadığını kontrol edelim.

Aralarında asal olanlar: (1, 60), (3, 20), (4, 15), (5, 12). Aralarında asal olmayanlar: (2, 30) → EBOB 2, (6, 10) → EBOB 2.

Soruda a ve b sayılarının aralarında asal olması şartı verilmiştir.

3

Aralarında asal olan çiftlerin toplamlarını hesaplayalım.

1 + 60 = 61, 3 + 20 = 23, 4 + 15 = 19, 5 + 12 = 17.

İstenen en küçük toplamı bulmak için adayların değerlerini karşılaştıracağız.

4

Hesaplanan toplamlar arasından en küçük olanı belirleyelim.

En küçük değer 17'dir.

61, 23, 19 ve 17 değerleri arasında sayısal olarak en küçük olan 17'dir.

Key Concept

Aralarında asal sayılar, 1'den başka pozitif ortak böleni olmayan sayılardır. İki sayının çarpımı sabitken, toplamın en küçük olması için sayılar birbirine en yakın seçilmelidir.

Hints

1

Çarpımları 60 olan sayı çiftlerini bir liste halinde yazarak işe başlayın.

2

Yazdığınız çiftlerden, her ikisini de bölen 1'den büyük bir sayı (örneğin 2, 3 veya 5) olup olmadığını kontrol edin.

3

Toplamın küçük olması için sayıların birbirine sayısal olarak yakın olması gerektiğini unutmayın. 5 ve 12 çiftini inceleyin.

Practice More

Toplamları sabit olan iki sayının çarpımının en büyük olması için sayıların aralarında asal seçilmesi gerekip gerekmediğini tartışan benzer sorular çözebilirsiniz.

Estimated Time:1m 30s

Question 112Question →

Sıfırdan farklı $x, y$ ve $z$ gerçel sayıları için aşağıda verilen eşitsizlikler sağlanmaktadır:

\frac{x}{y} < 0

x - y > 0

x < z

y + z < 0

Buna göre, aşağıdakilerden hangisi daima doğrudur?

y \cdot z > 0

z - x < 0

|y| < |z|

x + y < 0

x^2 > z^2

Show answer & explanation

Answer: $x + y < 0$

Answer

x + y < 0

ifadesi daima doğrudur.

Verilen öncüllerden

x

ve

z

'nin pozitif,

y

'nin negatif olduğu anlaşılır.

y+z<0

bilgisi, negatif olan

y

'nin mutlak değerce

z

'den (ve dolayısıyla

z

'den küçük olan

x

'ten) daha büyük olduğunu kanıtlar. Bu yüzden

x+y

toplamı kesinlikle negatif olmalıdır.

Step-by-Step Solution

1

x

ve

y

sayılarının işaretlerini belirle.

\frac{x}{y} < 0

olduğu için

x

ve

y

zıt işaretlidir.

x - y > 0

ise

x > y

demektir. Bu durumda pozitif olan büyük sayı

x

, negatif olan küçük sayı

y

'dir (

x > 0, y < 0

).

Zıt işaretli iki sayıdan büyük olanı pozitif olmak zorundadır.

2

z

sayısının işaretini ve

x

ile ilişkisini belirle.

x < z

verilmiştir.

x

pozitif olduğu için,

x

'ten büyük olan

z

sayısı da kesinlikle pozitiftir (

z > x > 0

).

Pozitif bir sayıdan daha büyük olan sayı da pozitiftir.

3

y

ve

z

arasındaki mutlak değer ilişkisini incele.

y + z < 0

verilmiştir.

y

negatif,

z

pozitiftir. Toplamın negatif olması için negatif sayının mutlak değerinin pozitif sayıdan büyük olması gerekir. Yani

|y| > |z|

'dir.

Zıt işaretli sayıların toplamı, mutlak değerce büyük olan sayının işaretini alır.

4

x

ve

y

toplamının işaretini belirle.

Sıralamamız

|y| > |z|

ve

z > x

şeklindedir. Bu durumda

|y| > x

olur.

y

negatif ve

x

pozitif olduğundan, mutlak değerce büyük olanın işareti geçerlidir. Sonuç:

x + y < 0

.

Negatif sayının büyüklüğü (şiddeti), pozitif sayının büyüklüğünden fazlaysa toplam negatif olur.

Key Concept

Eşitsizliklerde işaret incelemesi ve mutlak değerce büyüklük yorumu.

Hints

1

Önce

\frac{x}{y} < 0

ve

x - y > 0

eşitsizliklerini kullanarak

x

ve

y

'nin işaretlerini belirleyin.

2

x

pozitif ve

y

negatiftir.

x < z

olduğuna göre

z

'nin işareti ne olmalıdır? Sonrasında

y+z < 0

ifadesini mutlak değer cinsinden düşünün.

3

y+z < 0

olması, negatif olan

y

'nin mutlak değerinin pozitif olan

z

'den büyük olduğu anlamına gelir (

|y| > z

).

z

de

x

'ten büyüktür. Bu durumda

y

ile

x

'i toplarsanız sonuç ne olur?

Alternative Method

Sayı vererek deneme yöntemi: Eşitsizlikleri sağlayan örnek sayılar seçilebilir. Örneğin

z=5

olsun.

x < z

olduğundan

x=2

olsun (pozitif olmak zorunda).

x/y < 0

için

y

negatif olmalı.

y+z < 0

olması için

y

'nin -5'ten küçük olması gerekir, örneğin

y=-8

. Bu değerler için şıklar test edilebilir:

x+y = 2 + (-8) = -6 < 0

.

Estimated Time:1m 30s

Question 113Question →

x

ve

y

pozitif tam sayılar olmak üzere,

43! = 24^x \cdot y

eşitliği veriliyor. Buna göre,

x

'in alabileceği en büyük değer kaçtır?

13

14

19

39

43

Show answer & explanation

Answer: 13

Answer

x'in alabileceği en büyük değer 13'tür.

Doğru cevap 13'tür çünkü

24 = 2^3 \cdot 3

olduğundan, 43! içindeki

2^3

ve

3

çarpanlarının sayısı karşılaştırılmalıdır. 3 çarpanı 19 adet bulunurken, 2 çarpanı 39 adet bulunur. Ancak her 24 sayısı için üç adet 2 gerektiğinden (

2^3

), elimizdeki 2'ler sadece

\lfloor 39/3 \rfloor = 13

adet grup oluşturabilir. 13 < 19 olduğu için kısıtlayıcı faktör 2'lerdir ve en çok 13 adet 24 sayısı elde edilebilir.

Step-by-Step Solution

1

Taban sayısını asal çarpanlarına ayır.

24 = 2^3 \cdot 3^1

olarak yazılır. Bu, her bir 24 sayısı elde etmek için üç adet 2 ve bir adet 3 çarpanına ihtiyacımız olduğu anlamına gelir.

Bileşik sayı tabanlı sorularda işlem her zaman asal çarpanlar üzerinden yapılmalıdır.

2

43! içindeki 3 çarpanının sayısını bul (Legendre Yöntemi).

43 \div 3 = 14

,

14 \div 3 = 4

,

4 \div 3 = 1

. Bölümler toplamı:

14 + 4 + 1 = 19

.

Bu sonuç, elimizde 19 adet 24 oluşturmaya yetecek kadar 3 çarpanı olduğunu gösterir.

3

43! içindeki 2 çarpanının sayısını bul.

43 \div 2 = 21

,

21 \div 2 = 10

,

10 \div 2 = 5

,

5 \div 2 = 2

,

2 \div 2 = 1

. Bölümler toplamı:

21 + 10 + 5 + 2 + 1 = 39

.

Toplamda 39 adet 2 çarpanı vardır.

4

2 çarpanlarını gruplayarak kaç adet

2^3

oluşturulabileceğini hesapla.

Her grup için 3 adet 2 gerektiğinden:

\lfloor 39 / 3 \rfloor = 13

.

Toplam 2 sayısı, tabandaki 2'nin üssüne bölünerek kaç tam grup oluştuğu bulunur.

5

Kısıtlayıcı (küçük) olan değeri belirle.

3 çarpanları ile 19 tane,

2^3

grupları ile 13 tane 24 sayısı oluşturulabilir. Küçük olan değer (13) geçerlidir.

Bir ürünü oluşturmak için tüm bileşenler gereklidir; en az sayıda olan bileşen toplam üretim miktarını belirler.

Key Concept

Faktöriyelde Asal Çarpan Hesabı (Legendre Formülü)

Hints

1

Önce taban olan 24 sayısını asal çarpanlarına (

2^a \cdot 3^b

) ayırmalısınız.

2

43! içinde kaç tane 3 çarpanı olduğunu ve kaç tane 2 çarpanı olduğunu ayrı ayrı hesaplayın (sürekli bölme yöntemi ile).

3

Taban

2^3 \cdot 3

olduğu için, bulduğunuz toplam 2 sayısını 3'e bölerek kaç tane

2^3

grubu oluştuğunu bulun ve bunu 3 çarpanı sayısı ile kıyaslayın.

Practice More

Benzer mantıkla

40! = 12^x \cdot y

sorusunu çözerek bu sefer hangi asalın kısıtlayıcı olduğunu kontrol edebilirsiniz.

Alternative Method

Sadece 2 çarpanlarını kontrol etmek yeterli olabilir mi? Genellikle büyük asal sayı belirleyicidir ama taban kuvvetli ise (

2^3

) küçük asal sayı darboğaz yaratabilir. Emin olmak için ikisini de hesaplayın.

Estimated Time:2m 30s

Question 114Question →

$n$ elemanlı ardışık tek tam sayılardan oluşan bir $A$ kümesi ile $n$ elemanlı ardışık çift tam sayılardan oluşan bir $B$ kümesi veriliyor. $B$ kümesinin en küçük elemanı, $A$ kümesinin en büyük elemanından $5$ fazladır. Bu iki kümedeki tüm elemanların toplamı $1070$ ve $B$ kümesinin elemanları toplamı, $A$ kümesinin elemanları toplamından $230$ fazladır. Buna göre, $n$ kaçtır?

8

10

12

15

20

Show answer & explanation

Answer: 10

Answer

Kümelerin her birinde bulunan eleman sayısı 10'dur.

Verilen bilgilere göre

A

kümesinin toplamı

S_A = n(a+n-1)

ve

B

kümesinin toplamı

S_B = n(b+n-1)

olarak yazılabilir.

b-a = 2n+3

ilişkisi kullanıldığında toplamlar farkı

S_B - S_A = n(2n+3)

olur.

n(2n+3) = 230

denklemini sağlayan tek pozitif tam sayı 10'dur. Ayrıca

n=10

değeri toplamın 1070 olması şartını da sağlar (

S_A=420, S_B=650

).

Step-by-Step Solution

1

A

ve

B

kümelerinin elemanlarını ve toplamlarını temsil eden değişkenleri tanımlayın.

A = \{a, a+2, \dots, a+2n-2\}

ve

B = \{b, b+2, \dots, b+2n-2\}

olsun.

Ardışık tek ve çift sayılar arasındaki fark 2 olduğu için terimler bu şekilde ifade edilir.

2

B

kümesinin en küçük elemanı ile

A

kümesinin en büyük elemanı arasındaki ilişkiyi kurun.

b = (a + 2n - 2) + 5 \Rightarrow b = a + 2n + 3

Soruda

B

'nin en küçüğünün (

b

),

A

'nın en büyüğünden (

a+2n-2

) 5 fazla olduğu belirtilmiştir.

3

Kümelerin toplamları arasındaki farkı

n

cinsinden ifade edin.

S_B - S_A = n \times (b - a) = n \times (a + 2n + 3 - a) = n(2n + 3)

Terim sayıları aynı olan iki aritmetik dizinin toplamları farkı, karşılıklı terimlerin farklarının toplamına eşittir.

4

n(2n + 3) = 230

denklemini çözün.

2n^2 + 3n - 230 = 0 \Rightarrow (2n + 23)(n - 10) = 0 \Rightarrow n = 10

Eleman sayısı negatif olamayacağı için

n=10

kökü seçilir.

Key Concept

Ardışık sayı dizilerinde terim sayısı ve toplam formülleri arasındaki ilişkinin cebirsel yöntemlerle çözülmesi.

Question 115Question →

$K = \{-14, -9, 0, 15, 22\}$ kümesi veriliyor. Buna göre, bu kümenin elemanları ile ilgili aşağıdakilerden hangisi doğrudur?

Kümede 3 tane çift sayı bulunmaktadır.

Kümedeki tüm negatif sayılar tek sayıdır.

Pozitif elemanların çarpımı bir tek sayıdır.

Kümedeki tüm sayıların toplamı bir tek sayıdır.

Show answer & explanation

Answer: Kümede 3 tane çift sayı bulunmaktadır.

Answer

Kümede 3 tane çift sayı bulunmaktadır.

Kümedeki elemanlar incelendiğinde; -14 (çift), -9 (tek), 0 (çift), 15 (tek) ve 22 (çift) olduğu görülür. Bu durumda kümede toplam 3 tane çift sayı bulunmaktadır.

Step-by-Step Solution

1

Kümedeki her bir elemanın teklik-çiftlik durumunu belirlemek

-14: Çift, -9: Tek, 0: Çift, 15: Tek, 22: Çift

Bir sayının 2 ile tam bölünüp bölünmediğine bakılır (0 çift bir sayıdır).

2

Seçenekleri bu bilgilere göre değerlendirmek

Çift sayılar (-14, 0, 22) toplam 3 tanedir.

Doğru seçeneği bulmak için verilerle şıklar karşılaştırılır.

Key Concept

Tam sayılarda teklik ve çiftlik özellikleri (0 sayısının çift olması dahil)

Hints

1

0 sayısının çift bir sayı olduğunu unutmayın.

2

Negatif sayıların teklik-çiftlik durumu, pozitif karşılıkları ile aynıdır.

3

Kümedeki elemanları tek tek listeleyip yanlarına 'Tek' veya 'Çift' yazarak şıkları kontrol edin.

Practice More

Farklı işaretli sayıların toplamının tek mi çift mi olduğunu belirlemek için 'Tek + Tek = Çift' gibi temel kuralları tekrar edin.

Estimated Time:1m 15s

Question 116Question →

Bir inşaat ustası, her basamağında bir önceki basamaktan $1$ adet fazla tuğla kullanarak $10$ basamaklı bir merdiven yapacaktır. İlk (en üst) basamakta $1$ tuğla kullandığına göre, merdivenin tamamı için toplam kaç tuğla kullanılmıştır?

45

55

100

110

Show answer & explanation

Answer: 55

Answer

Merdiven için toplamda 55 adet tuğla kullanılmıştır.

Doğru cevap olan 55 değeri, ardışık tam sayıların toplam formülü olan

n(n+1)/2

ifadesinde

n=10

yazılarak elde edilir. Bu durum, merdiven basamaklarındaki tuğla sayılarının toplamını (

1+2+3+4+5+6+7+8+9+10

) tam olarak karşılamaktadır.

Step-by-Step Solution

1

Problemin matematiksel modelini kurma

1 + 2 + 3 + \dots + 10

Her basamakta bir öncekinden 1 fazla tuğla kullanıldığı ve 10 basamak olduğu için toplam tuğla sayısı 1'den 10'a kadar olan sayıların toplamıdır.

2

Gauss toplam formülünü uygulama

\frac{10 \times (10 + 1)}{2} = \frac{10 \times 11}{2}

1'den n'ye kadar olan ardışık tam sayıların toplamı

\frac{n(n+1)}{2}

formülü ile pratik şekilde hesaplanır.

3

İşlemi sonuçlandırma

5 \times 11 = 55

Sadeleştirme ve çarpma işlemleri yapılarak toplam tuğla sayısı bulunur.

Key Concept

Ardışık tam sayıların toplamı (Gauss Toplamı)

Hints

1

Bu bir ardışık sayı toplamı problemidir.

1

'den başlayarak her adımda

1

artan sayıları toplamanız gerekiyor.

2

1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9 + 10

işlemini tek tek toplamak yerine bir formül kullanabilirsiniz.

3

1

'den

n

'ye kadar olan sayıların toplamı için kullanılan

\frac{n(n+1)}{2}

formülünde

n

yerine

10

koyun.

Practice More

Eğer ilk basamakta 1 yerine 2 tuğla olsaydı ve ardışık çift sayılar şeklinde devam etseydi toplam nasıl değişirdi?

Alternative Method

Sayıları baştan ve sondan eşleştirerek de toplayabilirsiniz: (1+10) + (2+9) + (3+8) + (4+7) + (5+6). Her bir parantezin içi 11 olur ve toplamda 5 adet 11 elde edilir.

5 \times 11 = 55

bulunur.

Estimated Time:45s

Question 117Question →

$a, b$ ve $c$ tam sayıları için aşağıdaki bilgiler verilmiştir:

I. $a \cdot b + c$ ifadesi bir tek sayıdır.
II. $a + b \cdot c$ ifadesi bir çift sayıdır.

Buna göre, aşağıdakilerden hangisi daima doğrudur?

a

bir tek sayıdır

c

bir çift sayıdır

a \cdot c

çarpımı tek sayıdır

a + c

toplamı tek sayıdır

b + c

toplamı çift sayıdır

Show answer & explanation

Answer: $a + c$ toplamı tek sayıdır

Answer

a + c

toplamı tek sayıdır ifadesi doğrudur.

Verilen iki denklem sistemi analiz edildiğinde, sağlanan tek koşul

a

ve

b

sayılarının çift,

c

sayısının ise tek olmasıdır. Bu durumda çift bir sayı (

a

) ile tek bir sayının (

c

) toplamı her zaman tek sayı sonucunu verir.

Step-by-Step Solution

1

Birinci öncülü analiz et

a \cdot b + c

tek sayıdır. Bu durumda iki olasılık vardır: (1)

a \cdot b

çift,

c

tek; veya (2)

a \cdot b

tek,

c

çift.

İki tam sayının toplamının tek olması için, toplananlardan biri tek, diğeri çift olmalıdır.

2

İkinci öncülü analiz et ve durumları sına

a + b \cdot c

çift sayıdır. 1. Durumu (

a \cdot b

çift,

c

tek) deneyelim.

c

tek ise

b \cdot c

ifadesinin paritesi

b

'ye bağlıdır. Ancak

a \cdot b

çift olduğu için

a

veya

b

çifttir.

Olası durumları eleyerek tek doğru senaryoyu bulmak gerekir.

3

Mantıksal çıkarımı tamamla

Eğer

a

ve

b

her ikisi de tek olsaydı (Durum 2),

c

çift olurdu. Bu durumda

a + b \cdot c = \text{Tek} + \text{Çift} = \text{Tek}

olurdu. Ancak sonucun çift olması gerektiği verildiği için bu durum elenir. Geriye kalan tek geçerli durum:

a

çift,

b

çift ve

c

tektir. Sağlaması: I.

Ç \cdot Ç + T = T

(Doğru), II.

Ç + Ç \cdot T = Ç

(Doğru).

Çelişki yaratmayan tek sayı kümesi belirlenmelidir.

4

Seçenekleri değerlendir

Bulduğumuz (

a

: Çift,

b

: Çift,

c

: Tek) durumu için seçeneklere bakalım.

a + c = \text{Çift} + \text{Tek} = \text{Tek}

ifadesi kesinlikle doğrudur.

Belirlenen parite değerleri şıklarda yerine konularak doğru cevap bulunur.

Key Concept

Tek ve Çift Sayıların Özellikleri

Hints

1

Her iki ifadenin sonucunu (tek/çift) sağlayan

a, b, c

değerlerini deneme-yanılma yoluyla veya mantıksal çıkarımla belirlemeye çalışın.

2

Eğer

c

çift olsaydı, birinci ifade (

a \cdot b + c

) tek olabilir miydi? Bunu düşünerek

c

'nin kesin paritesini bulun.

3

c

mutlaka tek sayı olmalıdır.

c

tek ise, ikinci ifadenin (

a + b \cdot c

) çift olması için

a

ve

b

'nin ne olması gerektiğini inceleyin.

Practice More

Üç bilinmeyenli parite sorularında, çarpım durumundaki ifadelerden başlamak genellikle daha hızlı sonuç verir.

Estimated Time:1m 30s

Question 118Question →

İki basamaklı $ab$ doğal sayısı, rakamları toplamının 7 katına eşittir.

Buna göre, bu koşulu sağlayan kaç farklı $ab$ doğal sayısı vardır?

2

3

4

5

6

Show answer & explanation

Answer: 4

Answer

Koşulu sağlayan 4 farklı sayı vardır

Verilen

ab = 7(a+b)

eşitliği çözümlendiğinde

a = 2b

bağıntısı elde edilir. Bu bağıntıyı sağlayan

(a,b)

ikilileri

(2,1), (4,2), (6,3)

ve

(8,4)

olmak üzere 4 tanedir.

Step-by-Step Solution

1

Verilen sözel ifadeyi matematiksel denkleme dökün.

ab = 7 \cdot (a + b)

Soruda sayının, rakamları toplamının 7 katına eşit olduğu belirtilmiştir.

2

Sayının basamaklarını çözümleyerek denklemi düzenleyin.

10a + b = 7a + 7b \Rightarrow 3a = 6b \Rightarrow a = 2b

Basamak analizi kuralına göre

ab = 10a + b

şeklinde yazılır. Eşitliğin her iki tarafındaki benzer terimler bir araya toplanır.

3

Bulunan

a = 2b

bağıntısına uygun rakamları deneyerek sayıları listeleyin.

b=1 \Rightarrow a=2

(Sayı: 21)

b=2 \Rightarrow a=4

(Sayı: 42)

b=3 \Rightarrow a=6

(Sayı: 63)

b=4 \Rightarrow a=8

(Sayı: 84)

a

ve

b

birer rakam olduğu için (

0 \le a,b \le 9

ve

a \neq 0

), bu şartı sağlayan değerler bulunur.

b=5

için

a=10

olur ki bu bir rakam değildir.

4

Bulunan değerlerin sayısını belirleyin.

Toplam 4 farklı sayı vardır: 21, 42, 63, 84.

Olası tüm durumlar listelenmiştir.

Key Concept

Doğal sayıların basamaklarına ayrılarak (

ab = 10a + b

) denklemlerin çözülmesi.

Question 119Question →

İki basamaklı bir $AB$ doğal sayısının sağına 3 rakamı yazılarak üç basamaklı bir sayı, soluna 3 rakamı yazılarak başka bir üç basamaklı sayı elde ediliyor.

Elde edilen bu iki sayının farkı 288 olduğuna göre, $A+B$ toplamı kaçtır?

8

9

10

11

12

Show answer & explanation

Answer: 11

Answer

A+B

toplamı 11'dir.

İki basamaklı

AB

sayısının sağına 3 yazıldığında oluşan sayı

100A+10B+3

, soluna 3 yazıldığında oluşan sayı ise

300+10A+B

olur. Bu iki ifadenin farkı alındığında

(100A+10B+3) - (300+10A+B) = 90A+9B-297 = 288

eşitliği elde edilir. Denklemi sadeleştirdiğimizde

9(10A+B) = 585

ve buradan

10A+B = 65

bulunur. Dolayısıyla

AB

sayısı 65'tir ve rakamları toplamı

6+5=11

sonucunu verir.

Step-by-Step Solution

1

Verilen bilgilere göre üç basamaklı sayıları

AB

sayısı cinsinden ifade edelim.

Sağına 3 yazıldığında oluşan sayı:

10 \cdot (AB) + 3

Soluna 3 yazıldığında oluşan sayı:

300 + (AB)

Bir sayının sağına rakam eklemek sayıyı 10 ile çarpıp rakamı eklemek (basamak kaydırma), soluna eklemek ise o rakamı yüzler basamağına (300) yerleştirmektir.

2

Sayıların farkını 288'e eşitleyen denklemi kuralım.

(10 \cdot AB + 3) - (300 + AB) = 288

Soruda oluşturulan iki sayının farkının 288 olduğu belirtilmiştir.

3

Denklemi düzenleyerek

AB

sayısını bulalım.

9 \cdot AB - 297 = 288 \Rightarrow 9 \cdot AB = 585 \Rightarrow AB = 65

Benzer terimler sadeleştirilerek bilinmeyen sayı olan

AB

yalnız bırakılır.

4

Bulunan

AB

sayısının rakamları toplamını hesaplayalım.

A = 6, B = 5

olduğundan

A+B = 6+5 = 11

Soru kökünde bizden

A

ve

B

rakamlarının toplamı istenmektedir.

Key Concept

Basamak Analizi ve Sayı Çözümleme

Hints

1

AB

sayısını

10A + B

şeklinde çözümleyerek her iki yeni sayıyı da

A

ve

B

rakamları cinsinden yazmayı deneyin.

2

Oluşan sayılar

100A+10B+3

ve

300+10A+B

şeklindedir. Bunların farkını alırken eksi işaretini parantez içine dağıtmaya dikkat edin.

3

Elde ettiğiniz

90A+9B = 585

denklemini 9 parantezine alıp her iki tarafı 9'a bölerek

10A+B

(yani

AB

) değerini bulun.

Practice More

Benzer basamak analizi sorularında sayının rakamlarının yer değiştirmesi veya belirli bir rakamla çarpılması durumlarını inceleyerek yetkinliğinizi artırabilirsiniz.

Estimated Time:1m 30s

Question 120Question →

Aralarında asal olan

x

ve

y

pozitif tam sayıları için

2x + 3y = 84

eşitliği sağlanmaktadır. Buna göre,

x

'in alabileceği farklı değerlerin toplamı kaçtır?

78

99

126

147

273

Show answer & explanation

Answer: 78

Answer

x'in alabileceği değerler toplamı 78'dir.

Doğru cevap,

x

ve

y

'nin aralarında asal olma şartını sağlayan tüm

k

değerlerinin dikkatlice belirlenmesiyle bulunur.

2x + 3y = 84

denklemi parametrik olarak

x=3k, y=28-2k

şeklinde çözüldüğünde,

EBOB(3k, 28-2k)=1

şartını sağlayan

k

değerleri sadece

1, 3, 9

ve

13

'tür. Bu değerlere karşılık gelen

x

değerleri sırasıyla

3, 9, 27

ve

39

olup toplamları

78

'dir.

Step-by-Step Solution

1

Eşitliği düzenleyerek değişkenler arasındaki bağıntıyı kur.

2x = 84 - 3y \Rightarrow 2x = 3(28 - y)

. Bu eşitlikten

x

'in 3'ün katı olması gerektiği anlaşılır (

x=3k

).

x ve y tam sayı olduğu için katsayılar arası bölünebilme ilişkisi kurulmalıdır.

2

x yerine 3k yazarak y'yi k cinsinden ifade et ve k'nın alabileceği aralığı bul.

2(3k) + 3y = 84 \Rightarrow 2k + y = 28 \Rightarrow y = 28 - 2k

.

y > 0

olduğu için

28 - 2k > 0 \Rightarrow k < 14

. Yani

k \in \{1, 2, ..., 13\}

.

Pozitif tam sayı şartını sağlamak için çözüm aralığı sınırlandırılmalıdır.

3

Aralarında asallık şartını (

EBOB(x, y) = 1

) her k değeri için test et.

İncelenen çiftler:

k=1 \rightarrow (3, 26)

(OK),

k=3 \rightarrow (9, 22)

(OK),

k=9 \rightarrow (27, 10)

(OK),

k=13 \rightarrow (39, 2)

(OK). Diğerleri elenir.

x ve y aralarında asal olmalıdır. Çift sayılar (k çift ise), 3'ün katları (k=5, 11) ve 7'nin katları (k=7) elenmelidir.

4

Geçerli x değerlerini topla.

Geçerli x değerleri: 3, 9, 27, 39. Toplam:

3 + 9 + 27 + 39 = 78

.

Sonuç istenen toplamı verir.

Key Concept

Bu soru, doğrusal Diophantine denklemlerinin çözümü ile aralarında asallık kavramının sentezini gerektirir. Sadece denklem çözmek yetmez, bulunan köklerin ortak bölen analizi (sieve/eleme yöntemi) yapılmalıdır.

Hints

1

Denklemi

2x = 84 - 3y

şeklinde yazarak

x

'in hangi sayının katı olması gerektiğini düşünün.

2

x = 3k

dönüşümü yaparak

y

'yi

k

cinsinden ifade edin ve

k

'nın alabileceği en büyük değeri bulun.

3

x=3k

ve

y=28-2k

bulduktan sonra,

k

'nın 1'den 13'e kadar olan değerleri için

x

ve

y

'nin ortak böleni olup olmadığını tek tek kontrol edin (örneğin k=7 için x=21, y=14 olur).

Practice More

Benzer bir mantıkla

3x - 4y = 60

denkleminde

x+y

toplamının en küçük değerini soran bir soru çözülebilir.

Alternative Method

Modüler aritmetik kullanarak:

2x \equiv -3y \pmod p

analiziyle hangi asal çarpanların (2, 3, 7)

x

ve

y

'yi aynı anda bölebileceğini baştan belirleyip o

k

değerlerini eleyebilirsiniz.

Estimated Time:4m 0s

Answer

Step-by-Step Solution

Key Concept

Common Mistakes

Hints

Practice More

Answer

Step-by-Step Solution

Key Concept

Common Mistakes

Hints

Practice More

Answer

Step-by-Step Solution

Key Concept

Common Mistakes

Hints

Practice More

Alternative Method

Answer

Step-by-Step Solution

Key Concept

Common Mistakes

Hints

Alternative Method

Answer

Step-by-Step Solution

Key Concept

Common Mistakes

Hints

Practice More

Alternative Method

Answer

Step-by-Step Solution

Key Concept

Common Mistakes

Hints

Answer

Step-by-Step Solution

Key Concept

Common Mistakes

Hints

Practice More

Alternative Method

Answer

Step-by-Step Solution

Key Concept

Common Mistakes

Hints

Alternative Method

Answer

Step-by-Step Solution

Key Concept

Common Mistakes

Hints

Practice More

Alternative Method

Answer

Step-by-Step Solution

Key Concept

Common Mistakes

Answer

Step-by-Step Solution

Key Concept

Common Mistakes

Hints

Practice More

Answer

Step-by-Step Solution

Key Concept

Common Mistakes

Hints

Alternative Method

Answer

Step-by-Step Solution

Key Concept

Common Mistakes

Hints

Practice More