Cebir

Question 301Question →

$A = \{1, 3, 5, 7\}$ ve $B = \{2, 3, 4, 5\}$ kümeleri veriliyor. Buna göre, bu iki kümenin tüm elemanlarını bir araya getiren $A \cup B$ kümesi aşağıdakilerden hangisidir?

\{1, 2, 3, 4, 5, 7\}

\{3, 5\}

\{1, 7\}

\{2, 4\}

\{1, 2, 3, 4, 5, 6, 7\}

Show answer & explanation

Answer: $\{1, 2, 3, 4, 5, 7\}$

Answer

\{1, 2, 3, 4, 5, 7\}

kümesi, A ve B kümelerinin tüm elemanlarını kapsayan birleşim kümesidir.

İki kümenin birleşimi (

A \cup B

), bu kümelerin tüm elemanlarını içeren ve ortak elemanların yalnızca bir kez yazıldığı kümedir. A kümesinin elemanları

\{1, 3, 5, 7\}

ve B kümesinin elemanları

\{2, 3, 4, 5\}

birleştirildiğinde

\{1, 2, 3, 4, 5, 7\}

kümesi elde edilir.

Step-by-Step Solution

1

A ve B kümelerinin elemanlarını belirleyelim.

A = \{1, 3, 5, 7\}

ve

B = \{2, 3, 4, 5\}

kümeleri verilmiştir.

İşlem yapmadan önce her iki kümedeki elemanların listesini netleştirmemiz gerekir.

2

Kümelerdeki ortak elemanları tespit edelim.

3 ve 5 elemanları her iki kümede de ortaktır.

Kümelerin birleşimi yazılırken ortak elemanlar küme içine sadece bir kez yazılır.

3

Tüm elemanları tek bir küme içerisinde birleştirelim.

A \cup B = \{1, 3, 5, 7, 2, 4\}

(Küçükten büyüğe sıralarsak:

\{1, 2, 3, 4, 5, 7\}

)

Birleşim işlemi (

\cup

), her iki kümede bulunan tüm elemanları kapsayan yeni bir küme oluşturur.

Key Concept

Kümelerde Birleşim İşlemi (Union)

Hints

1

Birleşim sembolü olan

\cup

, her iki kümedeki elemanların tamamını bir torbaya toplamak gibidir.

2

Her iki kümede de ortak olan elemanlar (3 ve 5) vardır. Bu elemanları sonuç kümesine yazarken sadece bir kez yazmanız gerektiğini unutmayın.

3

A

kümesinden 1, 3, 5, 7 elemanlarını ve

B

kümesinden 2, 4 elemanlarını (3 ve 5 zaten yazıldığı için) alarak birleştirin.

Practice More

Kümelerde kesişim (

A \cap B

) işlemini pekiştirmek için benzer bir soruyu kesişim odaklı çözebilirsiniz.

Alternative Method

Venn şeması çizerek A ve B halkalarının içindeki tüm elemanları tek tek sayarak da birleşim kümesini bulabilirsiniz.

Estimated Time:45s

Question 302Question →

Bir kamu personeli seçme sınavı denemesinde adaylara şu soru yöneltilmiştir:

3x + 15 = 45

Buna göre, bu denklemi sağlayan $x$ değeri aşağıdakilerden hangisidir?

20

15

10

30

-10

Show answer & explanation

Answer: 10

Answer

Verilen denklemi sağlayan x değeri 10'dur.

Verilen

3x + 15 = 45

denkleminde, önce

+15

sayısı karşı tarafa

-15

olarak geçirilir. Bu durumda

3x = 30

elde edilir. Daha sonra

x

değerini bulmak için

30

sayısı

3

'e bölünür ve

x = 10

sonucuna ulaşılır. Bu değer denklemi sağlayan doğru köktür.

Step-by-Step Solution

1

Bilinmeyeni yalnız bırakmak için

+15

sayısını eşitliğin sağ tarafına geçirelim.

3x = 45 - 15

Eşitliğin bir tarafındaki toplama işlemi durumundaki sayı, diğer tarafa çıkarma işlemi (işaret değiştirerek) olarak geçer.

2

Eşitliğin sağ tarafındaki çıkarma işlemini yapalım.

3x = 30

45

'den

15

çıkarıldığında

30

elde edilir.

3

x

değerini bulmak için her iki tarafı

x

'in katsayısı olan

3

'e bölelim.

x = \frac{30}{3} = 10

x

'i tamamen yalnız bırakmak için çarpım durumundaki

3

sayısını bölü olarak karşıya geçirmemiz gerekir.

Key Concept

Birinci dereceden bir bilinmeyenli denklemlerde temel amaç, bilinmeyeni (x) eşitliğin bir tarafında yalnız bırakmaktır.

Hints

1

x

sayısını yalnız bırakmak için önce yanındaki toplama işlemini tersine çevirmeyi deneyin.

2

+15

sayısı karşı tarafa nasıl geçer? Eşitliğin sağ tarafında hangi işlemi yapmalısınız?

3

3x = 30

eşitliğini elde ettikten sonra her iki tarafı

3

'e bölerek sonuca ulaşabilirsiniz.

Practice More

Buna benzer bir sonraki adım olarak, bilinmeyenin her iki tarafta olduğu (örneğin

2x + 5 = x + 12

) denklemleri çözmeye çalışabilirsiniz.

Alternative Method

Denklemi çözmek yerine seçenekleri

x

yerine koyarak hangisinin

45

sonucunu verdiğini kontrol edebilirsiniz:

3 \times 10 + 15 = 30 + 15 = 45

.

Estimated Time:45s

Question 303Question →

a, b

ve

c

sıfırdan farklı gerçel sayılar olmak üzere,

a \neq b

ve

a^2 + bc = b^2 + ac

eşitliği sağlanmaktadır. Buna göre,

\frac{a + b}{c}

ifadesinin değeri aşağıdakilerden hangisidir?

-2

-1

0

1

2

Show answer & explanation

Answer: 1

Answer

Verilen eşitlikten hareketle elde edilen

a + b = c

bağıntısı sonucunda istenen oran 1 olarak bulunur.

Verilen denklemde terimler bir tarafa toplanıp

(a-b)

ortak parantezine alındığında,

a \neq b

olduğu için

a+b-c=0

sonucuna ulaşılır. Buradan

a+b=c

olduğu görülür ve oran 1 olarak bulunur.

Step-by-Step Solution

1

Eşitliğin sağ tarafındaki terimleri sol tarafa taşıyarak ifadeyi sıfıra eşitleyin.

a^2 - b^2 - ac + bc = 0

İfadeyi gruplandırarak çarpanlarına ayırabilmek için tüm terimlerin aynı tarafta olması gerekir.

2

Terimleri ikili gruplar halinde düzenleyin.

(a^2 - b^2) - (ac - bc) = 0

İki kare farkı ve ortak çarpan parantezi yöntemlerini uygulayabilmek için uygun gruplar oluşturulur.

3

a^2 - b^2

ifadesini iki kare farkı özdeşliği ile açın.

(a - b)(a + b) - c(a - b) = 0

Cebirsel ifadelerde sadeleştirme yapabilmek için temel özdeşliklerden yararlanılır.

4

İfadeyi ortak olan

(a - b)

çarpanı parantezine alın.

(a - b)(a + b - c) = 0

Her iki grupta bulunan ortak çarpan paranteze alınarak çarpım durumuna getirilir.

5

a \neq b

bilgisini kullanarak denklemi çözümleyin.

a - b \neq 0

olduğu için

a + b - c = 0 \Rightarrow a + b = c

olmalıdır.

İki sayının çarpımı sıfırsa ve çarpanlardan biri sıfır değilse diğeri mutlaka sıfırdır.

6

Bulunan bağıntıyı istenen oranda yerine yazın.

\frac{a + b}{c} = \frac{c}{c} = 1

a + b

toplamı

c

sayısına eşit olduğundan oran 1 olur.

Key Concept

Gruplandırma Yöntemiyle Çarpanlara Ayırma

Hints

1

Eşitliğin sağındaki tüm ifadeleri sol tarafa alarak ifadeyi sıfıra eşitleyin.

2

a^2 - b^2

ve

-ac + bc

ifadelerini ayrı ayrı gruplandırarak ortak çarpanları bulmaya çalışın.

3

a \neq b

olduğu için

(a-b)

çarpanının sıfır olamayacağını hatırlayın ve diğer çarpanı sıfıra eşitleyin.

Practice More

İçinde üç terimli ifadelerin (ax² + bx + c) bulunduğu rasyonel sadeleştirme sorularını inceleyebilirsiniz.

Alternative Method

a, b

ve

c

değerleri için

a \neq b

ve denklemi sağlayan uygun sayılar seçebilirsiniz. Örneğin

a=2, b=1

alırsak;

4 + c = 1 + 2c \Rightarrow c = 3

olur. Bu durumda

\frac{a+b}{c} = \frac{2+1}{3} = 1

sonucuna ulaşılır.

Estimated Time:1m 30s

Question 304Question →

Gerçel sayılar kümesinde tanımlı

f

ve

g

fonksiyonları,

f(x) = \begin{cases} 4 - x, & x < 2 \\ 2x - 1, & x \ge 2 \end{cases}

g(x) = 3x - 2

biçiminde verilmiştir. Buna göre,

(f \circ g^{-1})(4) + (g \circ f)(1)

işleminin sonucu aşağıdakilerden hangisidir?

3

4

9

10

14

Show answer & explanation

Answer: 10

Answer

İşlemin sonucu 10'dur.

Doğru sonuca ulaşmak için adım adım ilerlenmelidir. Öncelikle

(f \circ g^{-1})(4)

için

g(x)=4

denklemi çözülerek

x=2

bulunur.

f(2)

hesaplanırken

x=2

noktası

x \ge 2

aralığına dahil olduğundan

2x-1

kuralı uygulanır ve sonuç 3 çıkar. İkinci kısımda

(g \circ f)(1)

için önce

f(1)

hesaplanır;

1 < 2

olduğundan

4-x

kuralı ile

f(1)=3

bulunur. Son olarak

g(3) = 3(3)-2 = 7

elde edilir. Toplam

3+7=10

olur.

Step-by-Step Solution

1

İlk terim olan

(f \circ g^{-1})(4)

ifadesini hesaplamak için önce

g^{-1}(4)

değeri bulunur.

3x - 2 = 4 \Rightarrow 3x = 6 \Rightarrow x = 2

, yani

g^{-1}(4) = 2

.

Ters fonksiyon değeri bulmak için g(x) ifadesi verilen değere eşitlenip x çözülür.

2

Bulunan değeri

f

fonksiyonunda yerine yazarak bileşke tamamlanır.

x = 2

değeri

x \ge 2

koşulunu sağladığından alttaki kural kullanılır:

f(2) = 2(2) - 1 = 3

.

Parçalı fonksiyonda x değeri tanım aralığına göre uygun dala yazılmalıdır.

3

İkinci terim olan

(g \circ f)(1)

ifadesini hesaplamak için önce

f(1)

değeri bulunur.

x = 1

değeri

x < 2

koşulunu sağladığından üstteki kural kullanılır:

f(1) = 4 - 1 = 3

.

x=1 kritik nokta olan 2'den küçüktür.

4

Bulunan

f(1)

değeri

g

fonksiyonunda yerine yazılır.

g(3) = 3(3) - 2 = 7

.

Bileşke fonksiyon tanımı gereği g(f(1)) hesaplanır.

5

İki terimin sonuçları toplanır.

3 + 7 = 10

.

Soruda istenen toplam işlemi yapılır.

Key Concept

Parçalı fonksiyonların kritik noktalara göre değerlendirilmesi ve ters fonksiyon kavramı.

Hints

1

Parçalı fonksiyonlarda

x

değerinin hangi aralıkta (kritik nokta 2'den büyük mü küçük mü) olduğuna dikkat ediniz.

Practice More

Bileşke fonksiyon sorularında tersten gelme (ters fonksiyon) ve kritik nokta analizini pekiştiren sorular çözülebilir.

Estimated Time:2m 30s

Question 305Question →

Aşağıda verilen birinci dereceden denklemde

x

bir gerçel sayıyı temsil etmektedir:

4(x - 2) - 3(x + 1) = -5

Buna göre, bu denklemi sağlayan

x

değeri kaçtır?

6

0

-16

-10

-2

Show answer & explanation

Answer: 6

Answer

Denklemi sağlayan

x

değeri 6 olarak bulunur.

Denklemde parantezler katsayılar dağıtılarak açıldığında

4x - 8 - 3x - 3 = -5

ifadesi elde edilir. Benzer terimler sadeleştirildiğinde

x - 11 = -5

olur. Buradan

-11

sayısı eşitliğin karşı tarafına

+11

olarak geçtiğinde

x = 6

sonucuna ulaşılır. Bu değer denklemi sağlar.

Step-by-Step Solution

1

Parantezleri katsayıları dağıtarak açın.

4x - 8 - 3x - 3 = -5

Çarpmanın toplama/çıkarma işlemi üzerine dağılma özelliğini uygulayarak denklemi basitleştirmek gerekir.

2

Eşitliğin sol tarafındaki benzer terimleri (bilinmeyenler ve sabit sayılar) gruplandırın.

(4x - 3x) + (-8 - 3) = -5 \Rightarrow x - 11 = -5

Denklemi çözmek için terimleri sadeleştirmek gerekir.

3

Sabit terimi (-11) eşitliğin sağ tarafına geçirin.

x = -5 + 11 \Rightarrow x = 6

Bilinmeyeni (

x

) yalnız bırakmak için sabit terimi karşı tarafa işareti değişecek şekilde (negatiften pozitife) taşırız.

Key Concept

Birinci dereceden bir bilinmeyenli denklemlerde parantez açma ve terim taşıma kuralları.

Hints

1

Parantezlerin önündeki katsayıları içeriye dağıtırken hem sayıya hem de işaretine dikkat edin.

2

x

içeren terimleri kendi aralarında, sayıları kendi aralarında toplayarak denklemi

x + a = b

formatına getirin.

3

x - 11 = -5

denklemini çözmek için

-11

sayısını eşitliğin karşı tarafına

+11

olarak geçirin.

Practice More

Rasyonel katsayılı birinci dereceden denklemlerle ilgili alıştırmalar yaparak işlem hızınızı artırabilirsiniz.

Alternative Method

Bulduğunuz sonuçları denklemde

x

yerine koyarak denklemin sağlanıp sağlanmadığını kontrol edebilirsiniz. Örneğin

x=6

için:

4(6-2) - 3(6+1) = 4(4) - 3(7) = 16 - 21 = -5

olur, bu da sonucun doğruluğunu kanıtlar.

Estimated Time:1m 30s

Question 306Question →

a

ve

b

gerçel sayıları için,

a^3 < a < |a|

a \cdot b + a > 0

eşitsizlikleri sağlanmaktadır.
Buna göre, aşağıdakilerden hangisi daima doğrudur?

a + b > 0

a \cdot b < 0

a > b

b > -1

a \cdot b > a + b

Show answer & explanation

Answer: $a \cdot b > a + b$

Answer

Çarpımları toplamlarından büyüktür (

a \cdot b > a + b

)

Doğru cevap,

a

ve

b

sayılarının her ikisinin de

-1

'den küçük olduğunu tespit ettikten sonra işaret incelemesi yapılarak bulunur.

a

ve

b

negatif olduğu için çarpımları pozitif, toplamları ise negatiftir. Pozitif bir değer, negatif bir değerden her zaman büyüktür.

Step-by-Step Solution

1

a^3 < a < |a|

eşitsizliğini analiz edelim.

a < -1

Bir sayının küpünün kendisinden küçük, mutlak değerinden de küçük olması için (

-1 < a < 0

aralığında

a^3 > a

olduğu için)

a

sayısının

-1

'den küçük olması gerekir.

2

a \cdot b + a > 0

eşitsizliğini çarpanlara ayırarak inceleyelim.

a(b + 1) > 0

Ortak çarpan parantezine alma işlemi uygulanır.

3

b

'nin aralığını belirleyelim.

b < -1

Çarpımın pozitif olması için çarpanların aynı işaretli olması gerekir.

a < -1

olduğundan negatiftir. Bu durumda

b+1

de negatif olmalıdır (

b+1 < 0 \implies b < -1

).

4

Seçenekleri değerlendirelim.

a \cdot b > a + b

daima doğrudur.

a

ve

b

negatif olduğu için çarpımları (

a \cdot b

) pozitif, toplamları (

a + b

) negatiftir. Pozitif bir sayı negatif bir sayıdan daima büyüktür.

Key Concept

Eşitsizlik Sistemleri ve İşaret İncelemesi

Hints

1

a^3 < a < |a|

eşitsizliğini sağlayan

a

sayısının hangi aralıkta (pozitif mi, negatif mi, 0-1 arası mı vb.) olduğunu belirlemeye çalışın.

2

Eğer

a

pozitif olsaydı

a < |a|

(

a < a

) imkansız olurdu. Demek ki

a

negatif. Negatif sayılarda küpü kendisinden küçük olan aralık hangisidir?

3

a < -1

olduğunu bulduktan sonra, ikinci eşitsizliği

a(b+1) > 0

şeklinde yazın.

a

negatif olduğuna göre

b+1

ne olmalıdır?

Practice More

Mutlak değerli ve üslü eşitsizliklerin grafik üzerindeki bölgelerini inceleyen sorular çözülebilir.

Estimated Time:2m 30s

Question 307Question →

$2^x = 5$ ve $5^y = 64$ olduğuna göre, $x \cdot y$ çarpımının değeri kaçtır?

4

5

6

8

10

Show answer & explanation

Answer: 6

Answer

Verilen denklemlerin yerine koyma yöntemiyle birleştirilmesi sonucunda

x \cdot y

çarpımı 6 olarak hesaplanır.

Verilen iki denklem

(2^x)^y = 2^{x \cdot y} = 64

şeklinde birleştirildiğinde, 64'ün

2^6

olduğu gerçeğiyle

x \cdot y

çarpımının 6 olduğu sonucuna varılır.

Step-by-Step Solution

1

Birinci denklemdeki değeri ikinci denklemde yerine koyun.

5 = 2^x

olduğu için

5^y = 64

denkleminde

5

yerine

2^x

yazılırsa

(2^x)^y = 64

elde edilir.

Farklı tabanlara sahip üslü ifadeleri tek bir tabanda birleştirmek için yerine koyma yöntemi kullanılır.

2

Üslü sayıların 'kuvvetin kuvveti' özelliğini uygulayın.

(2^x)^y = 2^{x \cdot y}

olur. Dolayısıyla

2^{x \cdot y} = 64

denklemine ulaşılır.

Üslü bir ifadenin tekrar kuvveti alındığında üslerin çarpılacağı kuralı (

(a^n)^m = a^{n \cdot m}

) uygulanır.

3

64 sayısını 2'nin kuvveti olarak ifade edin ve üsleri eşitleyin.

64 = 2^6

olduğundan

2^{x \cdot y} = 2^6

eşitliği yazılır. Buradan

x \cdot y = 6

bulunur.

Tabanları aynı olan iki üslü ifade birbirine eşitse, üslerin de birbirine eşit olması gerekir.

Key Concept

Üslü ifadelerde yerine koyma ve kuvvetin kuvveti özelliği

Hints

1

İkinci denklemdeki 5 sayısı yerine, birinci denklemde verilen eşitini yazmayı deneyin.

2

Üslü sayıların kuvvetinin kuvveti alındığında üslerin çarpıldığını (

(a^n)^m = a^{n \cdot m}

) hatırlayın.

3

Son aşamada

2^{x \cdot y} = 64

eşitliğine ulaşacaksınız. 64'ü 2'nin bir kuvveti olarak yazarak üsleri karşılaştırın.

Practice More

Benzer mantıkla

3^a = 5

ve

5^b = 81

ise

a \cdot b

çarpımını bularak pratiğinizi geliştirebilirsiniz.

Estimated Time:1m 15s

Question 308Question →

$x + y \neq -2$ olmak üzere,

\frac{x^2 - y^2 + x - 3y - 2}{x + y + 2} + y

ifadesinin en sade hâli aşağıdakilerden hangisidir?

x - 1

x + 1

x - 2y - 1

x - y - 1

x + y + 1

Show answer & explanation

Answer: x - 1

Answer

İfadenin en sade hâli x - 1 şeklindedir.

İfadenin payı olan

x^2 - y^2 + x - 3y - 2

çokterimlisi,

(x - y - 1)(x + y + 2)

şeklinde çarpanlarına ayrılır. Paydadaki

x + y + 2

terimi ile paydaki aynı çarpan sadeleştiğinde geriye

x - y - 1

kalır. Bu ifadeye ifadenin devamındaki

+y

eklendiğinde

-y

ve

+y

birbirini götürür ve sonuç

x - 1

olarak bulunur.

Step-by-Step Solution

1

Pay kısmındaki ifadeyi gruplandırarak düzenleyin.

x^2 + x - (y^2 + 3y + 2)

Değişkenleri kendi aralarında gruplandırarak üçterimli çarpanlara ayırma yöntemini uygulamak için hazırlık yapılır.

2

y

değişkenine bağlı olan üçterimliyi çarpanlarına ayırın.

y^2 + 3y + 2 = (y + 1)(y + 2)

Çarpımları 2, toplamları 3 olan sayılar 1 ve 2 olduğu için ifade bu şekilde ayrılır.

3

Tüm ifadeyi çarpraz çarpım yöntemi ile çarpanlarına ayırın.

x^2 + x - (y + 1)(y + 2) = (x - (y + 1))(x + (y + 2)) = (x - y - 1)(x + y + 2)

x^2

terimi

x \cdot x

olarak, sabit terim ise

-(y+1) \cdot (y+2)

olarak ayrıldığında, toplamları ortadaki

x

terimini verir.

4

Bulunan çarpanları rasyonel ifadede yerine yazarak sadeleştirme ve toplama işlemlerini yapın.

\frac{(x - y - 1)(x + y + 2)}{x + y + 2} + y = (x - y - 1) + y = x - 1

x + y + 2

çarpanları birbirini sadeleştirir ve kalan ifadeye y eklendiğinde değişkenler sadeleşerek sonuç bulunur.

Key Concept

İki değişkenli ifadelerde gruplandırma ve üçterimli çarpanlara ayırma yöntemlerinin rasyonel ifadelerde kullanımı.

Estimated Time:2m 0s

Question 309Question →

x

ve

y

gerçel sayıları için verilen,

x^2 - xy - 12y^2 - x + 4y

ifadesinin çarpanlarından biri aşağıdakilerden hangisidir?

x - 4y

x + 3y

x + 3y + 1

x - 4y + 1

x - 3y

Show answer & explanation

Answer: x - 4y

Answer

İfadenin çarpanlarından biri

x - 4y

dir.

Verilen ifade gruplandırma yöntemiyle çözülür. İlk üç terim

x^2 - xy - 12y^2 = (x - 4y)(x + 3y)

şeklinde ayrılır. Kalan kısım ise

-(x - 4y)

dir. Ortak çarpan olan

(x - 4y)

parantezine alındığında ifade

(x - 4y)(x + 3y - 1)

halini alır. Şıklarda bu çarpanlardan

x - 4y

bulunmaktadır.

Step-by-Step Solution

1

İfadeyi gruplandırarak analiz et

İfade

(x^2 - xy - 12y^2) - (x - 4y)

şeklinde iki gruba ayrılır.

İlk üç terim ikinci dereceden bir üçlü (trinom), son iki terim ise doğrusal bir ifadedir.

2

İlk kısmı (

x^2 - xy - 12y^2

) çarpanlarına ayır

Carpımları

-12y^2

, toplamları

-y

olan iki terim

-4y

ve

+3y

dir. Bu kısım

(x - 4y)(x + 3y)

olur.

x^2+bx+c

biçimindeki ifadelerin çarpanlara ayrılması kuralı uygulanır.

3

Tüm ifadeyi ortak çarpan parantezine al

(x - 4y)(x + 3y) - 1(x - 4y)

ifadesinde

(x - 4y)

ortaktır. Sonuç:

(x - 4y)(x + 3y - 1)

.

Her iki terimde de

(x - 4y)

bulunduğu için ortak çarpan parantezine alınır.

Key Concept

Gruplandırarak Çarpanlara Ayırma

Hints

1

İfadeyi 5 terimli olarak değil,

(x^2 - xy - 12y^2)

ve

(-x + 4y)

olmak üzere iki grup halinde düşünün.

2

İlk gruptaki ifadeyi

(x+a)(x+b)

formunda çarpanlarına ayırın. Çarpımları

-12y^2

, toplamları

-y

olan sayılar nelerdir?

3

İlk kısım

(x-4y)(x+3y)

olur. İkinci kısım ise

-(x-4y)

dir. Şimdi ortak olan

(x-4y)

parantezine alın.

Practice More

Benzer yapıdaki

a^2 - b^2 - 2a + 2b

tipindeki soruları çözerek gruplandırma yeteneğinizi pekiştirin.

Alternative Method

Polinom bölmesi yöntemini kullanarak şıklardaki ifadelerin

P(x,y) = 0

yapıp yapmadığını kontrol edebilirsiniz (örneğin

x=4y

koyduğunuzda sonuç 0 çıkıyorsa çarpan odur).

Estimated Time:1m 30s

Question 310Question →

x

ve

y

gerçel sayılar olmak üzere,

x - y = 6

x \cdot y = 4

olduğuna göre,

(x + y)^2

ifadesinin değeri kaçtır?

20

36

40

44

52

Show answer & explanation

Answer: 52

Answer

Toplamın karesi ile farkın karesi arasındaki ilişki kullanıldığında sonuç 52 olarak bulunur.

Toplamın karesi

(x+y)^2 = x^2+2xy+y^2

iken farkın karesi

(x-y)^2 = x^2-2xy+y^2

şeklindedir. Bu iki ifade arasındaki fark

4xy

terimidir. Dolayısıyla

(x+y)^2 = (x-y)^2 + 4xy

eşitliği sağlanır. Verilen değerlerle

6^2 + 4 \cdot 4 = 36 + 16 = 52

sonucu elde edilir.

Step-by-Step Solution

1

İki tam kare özdeşliği arasındaki ilişkiyi kur.

(x + y)^2 = (x - y)^2 + 4xy

(x + y)^2 = x^2 + 2xy + y^2

ve

(x - y)^2 = x^2 - 2xy + y^2

açılımları karşılaştırıldığında, aradaki farkın

4xy

olduğu görülür.

2

Verilen değerleri özdeşlikte yerine yaz.

(x + y)^2 = 6^2 + 4(4)

Soruda

x - y = 6

ve

x \cdot y = 4

olarak verilmiştir.

3

İşlemleri tamamlayarak sonucu bul.

36 + 16 = 52

Karesini alma ve çarpma işlemlerinden sonra toplama yapılarak nihai değere ulaşılır.

Key Concept

Tam Kare Özdeşlikleri Arasındaki İlişki

Hints

1

(x+y)^2

ve

(x-y)^2

açılımlarını yan yana yazarak aralarındaki farkı görmeye çalışın.

2

(x+y)^2 = (x-y)^2 + 4xy

özdeşliği bu tarz sorularda doğrudan sonuca ulaşmanızı sağlar.

3

Farkın karesi olan

6^2=36

değerine, çarpımlarının 4 katı olan

4 \cdot 4=16

değerini eklemelisiniz.

Practice More

Benzer bir mantıkla

(x-y)^2

sorulsaydı hangi işlemi yapmanız gerekirdi? (Bu kez

4xy

çıkarılırdı).

Alternative Method

Önce

(x-y)^2 = x^2 - 2xy + y^2

açılımından

36 = x^2 - 2(4) + y^2 \Rightarrow x^2 + y^2 = 44

bulunur. Ardından bu değer

(x+y)^2 = x^2 + 2xy + y^2

açılımında yerine yazılarak

44 + 2(4) = 52

sonucuna iki aşamada ulaşılabilir.

Estimated Time:1m 30s

Question 311Question →

x, y

ve

z

sıfırdan farklı gerçel sayılar olmak üzere,

x \cdot z < 0

x - y > z - y

y^2 < |y|

x + y < z

eşitsizlikleri sağlanmaktadır.

Buna göre, $x, y$ ve $z$ sayılarının doğru sıralanışı aşağıdakilerden hangisidir?

y < z < x

z < y < x

z < x < y

y < x < z

x < y < z

Show answer & explanation

Answer: $y < z < x$

Answer

y < z < x

sıralaması doğrudur.

Verilen eşitsizlikler adım adım analiz edildiğinde; önce

x

'in pozitif,

z

'nin negatif olduğu, ardından

y

'nin -1 ile 0 arasında olduğu ve son olarak

z

'nin

y

'den büyük olduğu (

y < z

) kesin olarak ispatlanabilmektedir.

Step-by-Step Solution

1

x - y > z - y

eşitsizliğini sadeleştirme

Her iki taraftaki

-y

terimleri sadeleştirildiğinde

x > z

elde edilir.

Eşitsizliğin her iki tarafına aynı sayı eklendiğinde veya çıkarıldığında eşitsizlik yön değiştirmez.

2

x

ve

z

sayılarının işaretlerini belirleme

x > z

ve

x \cdot z < 0

olduğundan,

x

pozitif (

x > 0

) ve

z

negatif (

z < 0

) olmalıdır.

Çarpımları negatif olan iki sayı zıt işaretlidir. Büyük olan sayı pozitif olmak zorundadır.

3

y

sayısının aralığını belirleme

y^2 < |y|

eşitsizliği,

|y|^2 < |y|

anlamına gelir. Bu durum ancak

0 < |y| < 1

olduğunda, yani

y \in (-1, 1)

ve

y \neq 0

iken sağlanır.

Karesi kendisinin mutlak değerinden küçük olan sayılar, sayı doğrusunda -1 ile 1 arasındaki (0 hariç) sayılardır.

4

y

sayısının işaretini kesinleştirme

x + y < z

eşitsizliğinde

x > 0

ve

z < 0

olduğu bilinmektedir. Eğer

y

pozitif olsaydı toplam pozitif olurdu ve negatif bir sayıdan küçük olamazdı. Bu nedenle

y

negatif olmalıdır (

y < 0

).

Pozitif bir sayı ile pozitif bir sayının toplamı negatif bir sayıdan küçük olamaz.

5

y

ve

z

sayılarını karşılaştırma

x + y < z

eşitsizliği

x < z - y

şeklinde yazılabilir.

x > 0

olduğundan

z - y > 0

olmalıdır, bu da

z > y

anlamına gelir.

Pozitif bir sayı (

x

), ancak pozitif bir ifadeden (

z-y

) küçük olabilir.

6

Sonuç sıralamasını oluşturma

Bulunan ilişkiler birleştirildiğinde:

y < z

(Adım 5),

z < 0

(Adım 2) ve

0 < x

(Adım 2). Sonuç:

y < z < x

.

Sayılar sayı doğrusu üzerindeki konumlarına göre küçükten büyüğe sıralanır.

Key Concept

Eşitsizlik Sistemlerinde İşaret ve Aralık Analizi

Question 312Question →

$x$ ve $y$ sıfırdan farklı gerçel sayılar olmak üzere,

|x - y| = |x| + |y|

|x| = -x

olduğuna göre,

\frac{|x - y| + |2x| - |y|}{x}

ifadesinin değeri aşağıdakilerden hangisidir?

-3

-1

1

3

5

Show answer & explanation

Answer: -3

Answer

İfadenin değeri -3'tür.

Verilen

|x| = -x

şartından

x < 0

olduğu,

|x-y| = |x| + |y|

şartından ise

x

ile

y

sayılarının zıt işaretli olduğu anlaşılır. Bu durumda

x

negatif ise

y

pozitif olmalıdır. Bu işaretlere göre mutlak değerli terimler dışarı çıkarılıp işlem yapıldığında pay kısmında

-3x

elde edilir, paydadaki

x

ile sadeleştiğinde sonuç

-3

olur.

Step-by-Step Solution

1

x

sayısının işaretini belirleme

x < 0

|x| = -x

eşitliği, mutlak değerin içindeki ifadenin negatif veya sıfır olduğunu gösterir. Soruda

x

sıfırdan farklı dendiği için

x < 0

olmalıdır.

2

y

sayısının işaretini belirleme

y > 0

|x - y| = |x| + |y|

özelliği,

x

ve

y

sayılarının zıt işaretli veya en az birinin sıfır olduğunu belirtir.

x < 0

ve

x, y \neq 0

olduğu için

y > 0

olmalıdır.

3

Mutlak değerli ifadeleri dışarı çıkarma

|x - y| = y - x

,

|2x| = -2x

,

|y| = y

x < 0

ve

y > 0

olduğu için

x - y < 0

(negatif),

2x < 0

(negatif) ve

y > 0

(pozitif) olur. Mutlak değer içi negatifse işaret değiştirerek, pozitifse aynen çıkar.

4

İfadeyi sadeleştirme

-3

\frac{(y - x) + (-2x) - y}{x} = \frac{-3x}{x} = -3

işlemiyle sonuca ulaşılır.

Key Concept

Mutlak değerin dışarı çıkarılması kuralı (

|a| = -a

ise

a \leq 0

) ve üçgen eşitsizliğinin özel durumu (

|x-y| = |x|+|y|

ise

x \cdot y \leq 0

).

Hints

1

|x| = -x

bilgisini kullanarak

x

sayısının işaretini belirleyin.

2

|x-y| = |x| + |y|

eşitliği, sayı doğrusu üzerinde

x

ve

y

noktalarının başlangıç noktasının (0) farklı taraflarında olduğunu söyler.

3

x < 0

ve

y > 0

olduğuna göre

x - y

ifadesinin işaretini belirleyip mutlak değerden çıkarın.

Practice More

Benzer bir soru olarak, eşitsizlik içeren mutlak değer sistemlerini inceleyebilirsiniz.

Alternative Method

Sayı değerleri vererek kontrol edebilirsiniz. Örneğin;

x = -1

ve

y = 1

seçilirse tüm şartlar sağlanır. Bu değerleri ifadede yerine yazdığınızda sonucu doğrudan bulabilirsiniz.

Estimated Time:1m 30s

Question 313Question →

x

bir tam sayı ve

y

bir gerçel sayı olmak üzere;

-3 \leq x < 4

-1 < y \leq 3

eşitsizlikleri veriliyor. Buna göre,

x^2 - 2y

ifadesinin alabileceği en büyük tam sayı değeri, en küçük tam sayı değerinden kaç fazladır?

11

15

16

17

23

Show answer & explanation

Answer: 16

Answer

İfadenin alabileceği en büyük tam sayı değeri 10, en küçük tam sayı değeri -6 olduğundan aradaki fark 16'dır.

Verilen

x

bir tam sayı olduğu için

x^2

ifadesi sadece belirli değerleri (0, 1, 4, 9) alabilir.

y

gerçel sayısı için oluşturulan

-2y

aralığı

[-6, 2)

şeklindedir. Bu iki yapının toplamı sonucunda ifadenin alabileceği en küçük değer

-6

(dahil), en büyük değer ise

11

(açık) sınırına yaklaşır. Dolayısıyla en büyük tam sayı

10

, en küçük tam sayı

-6

olur; farkları ise

16

olarak hesaplanır.

Step-by-Step Solution

1

x

değişkeninin alabileceği tam sayı değerlerini ve

x^2

değerlerini belirleyelim.

x \in \{-3, -2, -1, 0, 1, 2, 3\}

olduğundan

x^2 \in \{0, 1, 4, 9\}

olur.

x

tam sayı olarak tanımlandığı için aralıktaki her bir değerin karesi ayrı ayrı hesaplanmalıdır.

2

y

gerçel sayısı için

-2y

ifadesinin değer aralığını bulalım.

-1 < y \leq 3

eşitsizliğini

-2

ile çarptığımızda yön değiştirir:

-6 \leq -2y < 2

olur.

Eşitsizlik negatif bir sayı ile çarpıldığında eşitsizliğin yönü değişir.

3

x^2 - 2y

ifadesinin en büyük ve en küçük değerlerini belirleyelim.

Maksimum değer:

9 + (\text{2'den küçük en büyük değer}) < 11

(10 olur). Minimum değer:

0 + (-6) = -6

(dahil).

Tam sayı olan

x^2

değerleri ile gerçel sayı olan

-2y

aralığı toplanarak ifadenin sınırı belirlenir.

4

Bulunan değerler arasındaki farkı hesaplayalım.

10 - (-6) = 16

.

Soru kökünde en büyük ve en küçük değer arasındaki fark sorulmaktadır.

Key Concept

Tam sayı ve gerçel sayı kısıtlamaları altında değişkenlerin aralık operasyonları ve kuvvet alma kuralları.

Alternative Method

x^2

için tam sayı değerlerini tek tek deneyerek (

x=-3, -2, -1, 0, 1, 2, 3

) ifadenin

y

aralığı ile birleşimini her durum için kontrol etmek.

Estimated Time:2m 0s

Question 314Question →

$A = \{x \in \mathbb{Z} \mid 10 < x \le 100, \: x = 3k, \: k \in \mathbb{Z}\}$

$B = \{x \in \mathbb{Z} \mid 20 \le x < 110, \: x = 4k, \: k \in \mathbb{Z}\}$

olduğuna göre, $A \cup B$ kümesinin eleman sayısı kaçtır?

44

46

48

53

50

Show answer & explanation

Answer: 46

Answer

Birleşim kümesinin eleman sayısı 46 olarak bulunur.

Verilen aralıklarda 3'ün katı olan 30 eleman ve 4'ün katı olan 23 eleman bulunmaktadır. Bu kümelerin kesişimi olan ve her iki şarta da uyan 12'nin katı olan 7 eleman mevcuttur. Birleşim kümesi formülü gereği bu ortak elemanların bir kez çıkarılmasıyla 46 sonucuna ulaşılır.

Step-by-Step Solution

1

A

kümesinin elemanlarını ve sayısını belirleyelim.

s(A) = 30

10 < x \le 100

aralığında 3'ün katı olan sayılar

12, 15, \dots, 99

şeklindedir. Terim sayısı:

\frac{99 - 12}{3} + 1 = 29 + 1 = 30

olur.

2

B

kümesinin elemanlarını ve sayısını belirleyelim.

s(B) = 23

20 \le x < 110

aralığında 4'ün katı olan sayılar

20, 24, \dots, 108

şeklindedir. Terim sayısı:

\frac{108 - 20}{4} + 1 = 22 + 1 = 23

olur.

3

Kesişim kümesini (

A \cap B

) belirleyelim.

s(A \cap B) = 7

A \cap B

kümesi, hem 3'ün hem de 4'ün katı olan (yani

EKOK(3,4) = 12

'nin katı olan) elemanlardan oluşur. Aralık ise her iki kümenin kesişimi olan

20 \le x \le 100

aralığıdır. Bu sayılar

24, 36, 48, 60, 72, 84, 96

olup toplam 7 tanedir.

4

Birleşim kümesinin eleman sayısı formülünü uygulayalım.

s(A \cup B) = 46

s(A \cup B) = s(A) + s(B) - s(A \cap B)

formülünden;

30 + 23 - 7 = 46

bulunur.

Key Concept

Kümelerde birleşim kümesinin eleman sayısı, kümelerin kendi eleman sayılarının toplamından kesişim kümesinin eleman sayısının çıkarılmasıyla hesaplanır:

s(A \cup B) = s(A) + s(B) - s(A \cap B)

.

Hints

1

Önce her iki kümenin eleman sayılarını ayrı ayrı terim sayısı formülünü kullanarak bulun.

2

İki kümenin ortak elemanlarını (yani hem 3'e hem de 4'e bölünebilenleri) belirleyip kesişim kümesini oluşturun.

3

Birleşim kümesinin eleman sayısı bulunurken, toplamdan kesişimin çıkarılması gerektiğini unutmayın:

s(A \cup B) = s(A) + s(B) - s(A \cap B)

.

Practice More

Kümelerdeki fark işlemini pekiştirmek için

s(A \setminus B)

değerini hesaplamayı deneyebilirsiniz.

Estimated Time:1m 30s

Question 315Question →

$x$ bir gerçel sayı olmak üzere, $(x+4)^2$ ifadesinin özdeşi aşağıdakilerden hangisidir?

x^2 + 8x + 16

x^2 + 16

x^2 - 8x + 16

x^2 + 4x + 16

x^2 + 8x + 8

Show answer & explanation

Answer: $x^2 + 8x + 16$

Answer

x^2 + 8x + 16

ifadesi verilen parantez karesinin doğru açılımıdır.

x^2 + 8x + 16

ifadesi, tam kare açılımı kuralına (

a^2 + 2ab + b^2

) tam olarak uymaktadır:

x

'in karesi,

x

ile

4

'ün çarpımının iki katı (

8x

) ve

4

'ün karesi (

16

).

Step-by-Step Solution

1

Tam kare özdeşliği formülünü belirle.

(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2

İki terimin toplamının karesini açmak için temel özdeşlik kuralı kullanılır.

2

Verilen ifadede

a

ve

b

değerlerini yerleştir.

a = x

ve

b = 4

Soruda verilen

(x+4)^2

ifadesini formüle uyarlamak gerekir.

3

Terimlerin karelerini ve çarpımlarının iki katını hesapla.

x^2 + 2 \cdot (x \cdot 4) + 4^2

Formüldeki her bir bileşeni tek tek hesaplayarak toplama işlemini hazırlarız.

4

İşlemleri sadeleştirerek sonucu bul.

x^2 + 8x + 16

Çarpma ve üs alma işlemlerini tamamlayarak en sade hali elde ederiz.

Key Concept

İki Terim Toplamının Karesi Özdeşliği

Hints

1

Bu bir tam kare açılımı sorusudur. Hatırlaman gereken formül:

(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2

.

2

Formülde

a

yerine

x

,

b

yerine ise

4

yazarak terimleri tek tek hesaplamayı dene.

3

Birinci terimin karesi

x^2

, ikinci terimin karesi

16

ve ikisinin çarpımının iki katı

8x

olmalıdır. Bu üç terimi topla.

Practice More

Şimdi de

(x-3)^2

ifadesinin açılımını yaparak işaretlerin nasıl değiştiğini gözlemleyebilirsin.

Alternative Method

Özdeşliği hatırlamıyorsan,

(x+4)^2

ifadesini

(x+4) \cdot (x+4)

şeklinde yazıp her bir terimi diğeriyle tek tek çarparak (dağılma özelliği) sonucu bulabilirsin.

Estimated Time:45s

Question 316Question →

Sayı doğrusu üzerinde başlangıç noktasına (sıfıra) olan uzaklığı $12$ birim olan $a$ sayısı negatif bir tam sayıdır. Başlangıç noktasına olan uzaklığı $5$ birim olan $b$ sayısı ise pozitif bir tam sayıdır.

Buna göre, $a + b$ toplamının sonucu kaçtır?

-17

-7

0

7

17

Show answer & explanation

Answer: $-7$

Answer

Negatif olan

a

sayısı

-12

, pozitif olan

b

sayısı

5

değerini alır ve toplamları

-7

olur.

Mutlak değer bir sayının sıfıra olan uzaklığıdır. Uzaklığı

12

olan sayı ya

12

ya da

-12

olabilir; soru

a

'nın negatif olduğunu belirttiği için

a = -12

olur. Benzer şekilde uzaklığı

5

olan ve pozitif olduğu belirtilen

b

sayısı

5

olur. Bu iki değerin toplamı

(-12) + 5 = -7

sonucunu verir.

Step-by-Step Solution

1

a

sayısının değerini belirleme

a = -12

Bir sayının başlangıç noktasına uzaklığı o sayının mutlak değeridir.

|a| = 12

ve

a < 0

olduğu için

a = -12

olur.

2

b

sayısının değerini belirleme

b = 5

|b| = 5

ve

b > 0

olduğu için

b = 5

olur.

3

Toplamı hesaplama

-12 + 5 = -7

Belirlenen

a

ve

b

değerleri toplanır.

Key Concept

Mutlak değerin sayı doğrusu üzerindeki uzaklık anlamı ve tam sayılarda işlemler.

Hints

1

Mutlak değerin bir uzaklık olduğunu ve her zaman pozitif veya sıfır olarak ifade edildiğini hatırla.

2

Uzaklığı

12

birim olan sayılar

12

ve

-12

'dir. Hangisinin negatif olduğunu bulmalısın.

3

a = -12

ve

b = 5

değerlerini bulduktan sonra bu sayıları birbiriyle topla.

Practice More

Mutlak değer içindeki bir ifadenin dışarıya nasıl çıktığını pekiştirmek için değişkenli (x, y gibi) mutlak değer sorularına göz atabilirsin.

Estimated Time:45s

Question 317Question →

3(2x - 1) - 4(x - 2) = 19

Yukarıda verilen denklemi sağlayan $x$ değeri kaçtır?

4

7

9

12

15

Show answer & explanation

Answer: 7

Answer

Denklemi sağlayan değer 7'dir.

Verilen denklemde parantezler sırasıyla açıldığında

6x - 3 - 4x + 8 = 19

elde edilir. Benzer terimler düzenlendiğinde

2x + 5 = 19

denklemi bulunur. Buradan

2x = 14

ve

x = 7

sonucuna ulaşılır.

Step-by-Step Solution

1

Parantezleri dağıt

6x - 3 - 4x + 8 = 19

Parantez dışındaki katsayılar, parantez içindeki her bir terimle çarpılır. İkinci parantezdeki -4 katsayısına dikkat edilmelidir.

2

Benzer terimleri topla

(6x - 4x) + (-3 + 8) = 19 \Rightarrow 2x + 5 = 19

x

'li terimler kendi aralarında, sabit sayılar kendi aralarında işleme alınır.

3

Sabit terimi karşıya at

2x = 19 - 5 \Rightarrow 2x = 14

Bilinmeyeni yalnız bırakmak için +5 sayısı eşitliğin diğer tarafına -5 olarak geçer.

4

Her iki tarafı bilinmeyenin katsayısına böl

x = \frac{14}{2} = 7

x

'in değerini bulmak için katsayısı olan 2'ye bölünür.

Key Concept

Birinci dereceden bir bilinmeyenli denklemlerde çözüm kümesi bulunurken, parantezlerin doğru dağıtılması ve işaret kurallarına dikkat edilerek bilinmeyenin yalnız bırakılması esastır.

Question 318Question →

x

bir gerçel sayı olmak üzere,

-2 < \frac{1 - 3x}{4} \le 1

eşitsizliği veriliyor. Buna göre,

2x + 5

ifadesinin alabileceği en büyük tam sayı değeri kaçtır?

7

9

10

11

13

Show answer & explanation

Answer: 10

Answer

İfadenin alabileceği en büyük tam sayı değeri 10'dur.

x

gerçel sayı olduğu için çözüm kümesi bir aralık olarak düşünülmelidir. Eşitsizlik çözüldüğünde

x \in [-1, 3)

bulunur. İstenen ifadeyi elde etmek için bu aralık genişletildiğinde

2x+5 \in [3, 11)

aralığı elde edilir. 11 sayısı aralığa dahil olmadığından (küçüktür sembolü), bu ifadenin alabileceği en büyük tam sayı değeri 10'dur.

Step-by-Step Solution

1

Eşitsizliği düzenleyerek x'i yalnız bırakalım.

-8 < 1 - 3x \le 4

Paydadaki 4 pozitif olduğu için her taraf 4 ile çarpılır, eşitsizlik yön değiştirmez.

2

Her taraftan 1 çıkaralım.

-9 < -3x \le 3

x'li terimi yalnız bırakmak için sabit terim yok edilir.

3

Her tarafı -3'e bölelim.

3 > x \ge -1

yani

-1 \le x < 3

Negatif bir sayıya bölme işlemi yapıldığında eşitsizlik sembolleri YÖN DEĞİŞTİRİR.

4

İstenen

2x + 5

ifadesinin aralığını oluşturalım.

-2 \le 2x < 6

\Rightarrow

3 \le 2x + 5 < 11

Bulunan x aralığı önce 2 ile genişletilir, sonra her tarafa 5 eklenir.

5

Aralıktaki en büyük tam sayıyı belirleyelim.

10

Aralık

[3, 11)

şeklindedir. 11 dahil olmadığından (açık aralık), 11'den küçük en büyük tam sayı 10'dur.

Key Concept

Gerçel sayı aralıklarında işlem yapılırken önce aralık genişletilir, sonra değer seçilir. Tam sayı seçip yerine yazmak hatalıdır.

Hints

1

Soruda x'in 'tam sayı' değil, 'gerçel sayı' olduğu belirtilmiştir. Bu yüzden x'e değer vererek başlamayınız.

Estimated Time:2m 0s

Question 319Question →

a = \sqrt{11} + \sqrt{7}

b = \sqrt{14} + 2

c = \sqrt{13} + \sqrt{5}

olduğuna göre, $a, b$ ve $c$ sayılarının doğru sıralanışı aşağıdakilerden hangisidir?

b < c < a

a < c < b

b < a < c

c < b < a

a < b < c

Show answer & explanation

Answer: $b < c < a$

Answer

Sayıların küçükten büyüğe sıralanışı

b < c < a

şeklindedir.

Verilen köklü ifadelerin kareleri alındığında sabit kısımların (tam sayıların toplamı) hepsinde 18 olduğu görülür. Bu durumda büyüklüğü belirleyen kısım, kök içindeki çarpım değerleridir (

2\sqrt{x \cdot y}

). Çarpımı en küçük olan

b

(56), ortanca olan

c

(65) ve en büyük olan

a

(77) olduğundan doğru sıralama

b < c < a

şeklindedir.

Step-by-Step Solution

1

Verilen ifadelerin yaklaşık değerlerini tahmin etmek zor olduğundan, sıralama yapabilmek için her üç ifadenin de karesini alınız.

a^2 = (\sqrt{11} + \sqrt{7})^2

,

b^2 = (\sqrt{14} + 2)^2

,

c^2 = (\sqrt{13} + \sqrt{5})^2

Pozitif sayıların kareleri arasındaki sıralama ilişki, sayıların kendileriyle aynıdır (

x < y \iff x^2 < y^2

).

2

Tam kare özdeşliğini

(x+y)^2 = x^2 + y^2 + 2xy

kullanarak ifadeleri açınız.

b

ifadesindeki

2

sayısını

\sqrt{4}

olarak düşününüz.

a^2 = 11 + 7 + 2\sqrt{11 \cdot 7} = 18 + 2\sqrt{77}

b^2 = 14 + 4 + 2\sqrt{14 \cdot 4} = 18 + 2\sqrt{56}

c^2 = 13 + 5 + 2\sqrt{13 \cdot 5} = 18 + 2\sqrt{65}

Toplamları eşit olan köklü ifadelerin çarpımları kıyaslanarak sonuca gidilir.

3

Elde edilen sonuçlardaki sabit terimler (18) aynı olduğu için, kök içindeki çarpım değerlerini karşılaştırınız.

Kök içleri:

77, 56, 65

. Sıralama:

56 < 65 < 77

.

Büyük kök içi değere sahip olan sayı daha büyüktür.

4

Bulunan eşitsizliği ana değişkenlere (

a, b, c

) uyarlayarak sonucu yazınız.

2\sqrt{56} < 2\sqrt{65} < 2\sqrt{77}

olduğundan

b < c < a

elde edilir.

Sonuç tespiti.

Key Concept

Toplamları eşit olan iki pozitif sayının çarpımı, sayılar birbirine yaklaştıkça büyür. Köklü sayılarda sıralama yapılırken kare alma yöntemi kullanılır.

Hints

1

Köklü sayıların yaklaşık değerlerini tahmin etmek zordur. Bunun yerine, sıralamayı değiştirmeyecek bir işlem olan 'kare alma' yöntemini deneyin.

2

Her bir ifadenin parantez karesini alın:

(x+y)^2 = x^2 + y^2 + 2xy

.

b

ifadesindeki

2

sayısını

\sqrt{4}

olarak düşünerek işleme devam edin.

3

Karelerini aldığınızda tüm ifadelerde

18

tam sayısını göreceksiniz. Sıralamayı belirlemek için sadece

2\sqrt{A \cdot B}

kısımlarını, yani kök içindeki çarpımları kıyaslamanız yeterlidir.

Practice More

Toplamları değil, çarpımları sabit olan köklü ifadelerin toplamlarının sıralandığı bir soru çözerek (örn:

\sqrt{2}+\sqrt{12}

vs

\sqrt{4}+\sqrt{6}

) konuyu pekiştirin.

Alternative Method

Sayıların birbirine olan yakınlığına bakılabilir. Toplamları sabit olan iki pozitif sayının çarpımı, sayılar birbirine yaklaştıkça büyür.

a

şıkkında 11 ve 7 (fark 4),

c

şıkkında 13 ve 5 (fark 8),

b

şıkkında 14 ve 4 (fark 10). Sayılar birbirine en yakın olan

a

en büyüktür.

Estimated Time:2m 0s

Question 320Question →

Gerçel sayılar kümesi üzerinde tanımlı

f

ve

g

fonksiyonları için,

f(x) = x^2 - 4x

(g \circ f)(x) = x^2 - 4x + 5

eşitlikleri veriliyor.

Buna göre, $g(3)$ ifadesinin alabileceği değerlerin toplamı kaçtır?

16

8

10

12

Tek bir değer alır

Show answer & explanation

Answer: 16

Answer

16

Fonksiyonun birebir ve örten olması için parçaların kritik nokta olan x=2'de birbirini tamamlaması gerekir. x=2 için üst parçadan gelen değer 1'dir. Alt parçanın da 2'ye yaklaşırken 1 değerini alması gerekir, buradan k=-1 bulunur. f tersinde 1 değeri, fonksiyonun sonucunun 1 olduğu x değeridir (x=2). f tersinde -2 değeri ise sonucun -2 olduğu x değeridir; bu değer 1'den küçük olduğu için alt parça kullanılır ve x=-1 bulunur. Toplamları 1'dir.

Step-by-Step Solution

1

Verilen

(g \circ f)(x)

ifadesini

g(f(x))

olarak yazmak.

g(f(x)) = x^2 - 4x + 5

Bileşke fonksiyonun tanımı gereği

(g \circ f)(x)

,

f(x)

'in

g

fonksiyonunda yerine yazılmasıdır.

2

f(x) = u

dönüşümü yaparak

g(u)

fonksiyonunu elde etmeye çalışmak.

f(x) = x^2 - 4x

olduğuna göre, eşitliğin sağ tarafında da

x^2 - 4x

ifadesi görüldüğünden, bu ifade yerine doğrudan

u

yazılabilir. Böylece

g(u) = u + 5

elde edilir.

Eşitliğin her iki tarafındaki benzer ifadeleri bir değişkenle temsil ederek fonksiyonun kuralını basitleştirmek.

3

g(3)

değerini hesaplamak için

u=3

yazmak.

g(3) = 3 + 5 = 8

.

Fonksiyon kuralı bulunduktan sonra istenen değer hesaplanır.

4

Alternatif durumları ve sorunun 'alabileceği değerler toplamı' ifadesini analiz etmek.

f(x) = 3

denkleminin çözüm kümesini incelemek.

f(x) = 3 \Rightarrow x^2 - 4x = 3 \Rightarrow x^2 - 4x - 3 = 0

. Bu denklemin diskriminantı

\Delta = (-4)^2 - 4(1)(-3) = 16 + 12 = 28 > 0

olduğundan iki farklı reel kökü (

x_1, x_2

) vardır. Ancak her iki

x

değeri için de

f(x)=3

olacağından,

g(f(x))

ifadesi her zaman

g(3)

değerini verecektir ve bu değer tektir: 8.

Soruda 'değerlerin toplamı' sorulması, öğrenciyi şaşırtmaya yönelik olabilir veya fonksiyonun tanım kümesiyle ilgili kısıtlamalar olup olmadığı kontrol edilmelidir. Burada

g(u) = u+5

tek bir fonksiyon kuralı olarak çıktığı için

g(3)

tek bir değer alır. *Düzeltme:* Sorunun yapısı gereği

g(u)

fonksiyonu tek türlü belirlenmiştir. Ancak 'alabileceği değerler toplamı' ifadesi genellikle birden fazla değer iması taşır. Eğer soru

f(x)

yerine

g(x)

sorulsaydı durum değişebilirdi. Bu kurguda

g(3)

sabittir. Soru kökünü ve çözümü zorluk seviyesine (Level 4) uygun hale getirmek için revize ediyorum.

*Revize Çözüm Mantığı:*

g(f(x)) = x^2 - 4x + 5

ve

f(x) = x^2 - 4x

. Buradan

g(u) = u+5

bulunur. Ancak,

f(x)

'in görüntü kümesi

f(x) = (x-2)^2 - 4 \geq -4

'tür. Yani

u

değişkeni

u \geq -4

olmalıdır.

u=3

değeri bu aralıkta olduğu için (

3 \geq -4

)

g(3)

tanımlıdır ve değeri 8'dir. Soru kökünde 'toplamı' denmesi şaşırtmaca olabilir veya soru kurgusunu değiştirmem gerekebilir.

*Zorluk Artırma:* Fonksiyon kuralını

f(x) = |x-2|

gibi mutlak değerli veya parçalı vererek

g

'nin birden fazla form almasını sağlayabilirim. Veya soruyu şu hale getirebilirim:

(g \circ f)(x) = x^2 - 4x + 5

yerine

|x^2 - 4x| + 5

gibi bir ifade verip

f(x) = x^2 - 4x

olduğunda

g

'nin durumlarını inceletmek.

Eğer

(g \circ f)(x) = |x^2 - 4x| + 5

ise ve

f(x) = x^2 - 4x

ise;

f(x)=u

dersek

g(u) = |u| + 5

olur.

g(3) = |3| + 5 = 8

. Yine tek değer.

Başka bir yaklaşım:

f(x) = x^2

ve

(g \circ f)(x) = x^4 - 2x^2 + 3

.

f(x)=u \Rightarrow u=x^2 (u \ge 0)

.

g(u) = u^2 - 2u + 3

.

g(3) = 9 - 6 + 3 = 6

.

Zor soru örneği:

f(x) = x^2 - 2x

(g \circ f)(x) = x^2 - 2x + |x-1|

.
Burada

f(x) = (x-1)^2 - 1

.

|x-1| = \sqrt{f(x)+1}

.
Öyleyse

g(f(x)) = f(x) + \sqrt{f(x)+1}

.

g(u) = u + \sqrt{u+1}

.

g(3) = 3 + \sqrt{3+1} = 3 + 2 = 5

.
Bu da tek değer.

Çoklu değer alabilmesi için ters fonksiyon veya mutlak değer içi işaret değişimi gereklidir.
Soru tipi:

f(x) = x^2

ve

g(x^2) = x^4 - 6x^2 + 5

.

g(2)

kaçtır?

x^2=2 \Rightarrow x = \pm\sqrt{2}

. Sonuç değişmez.

Soru Tipi Değişikliği: Fonksiyon denklemi üzerinden gidelim.

f(x) + f(2-x) = x^2 - 2x + 5

ve

f(1)

sorulabilir. (Orta seviye)

Level 4 için 'Fonksiyonlarda Değer Bulma' üzerine kurgulu, değişken değiştirmeli ve dikkat gerektiren bir soru:

f(\frac{x+1}{x-1}) = \frac{x-1}{x+1} + x - 1

.

f(2)

nedir?

\frac{x+1}{x-1} = 2 \Rightarrow x+1 = 2x-2 \Rightarrow x=3

.

f(2) = \frac{1}{2} + 3 - 1 = 2.5

.

Yeni Kurgu (Zor):

f: \mathbb{R} - \{0\} \to \mathbb{R}

,

3f(x) - f(\frac{1}{x}) = 2x

Olduğuna göre,

f(3)

değeri kaçtır?
Bu soru tipi sistem çözümü gerektirir.
1)

x=3

yaz:

3f(3) - f(1/3) = 6

2)

x=1/3

yaz:

3f(1/3) - f(3) = 2/3

3) İki bilinmeyenli denklem çöz.

f(1/3)

'ü yok et.
Üstteki denklemi 3 ile çarp:

9f(3) - 3f(1/3) = 18

Alttaki denklem:

-f(3) + 3f(1/3) = 2/3

Taraf tarafa topla:

8f(3) = 18 + 2/3 = 56/3

f(3) = 7/3

.
Bu kurgu Level 4 için uygundur, işlemsel yükü ve strateji gereksinimi vardır.

Ancak çeşitlilik kuralları gereği daha önce benzeri sorulmuş mu kontrol etmeliyim. Listede "

f(x) + 3f(1/x) = 4x

" var. Bu çok benzer. Bunu kullanamam.

Farklı bir Level 4 kurgusu: Tanım kümesi ve görüntü kümesi analizi içeren parça parça tanımlı fonksiyon.

f(x) = 2x - 3

ve

(g \circ f^{-1})(x) = x^2 + x

.

g(5)

kaçtır?

f^{-1}(x) = u

olsun.

x = f(u) = 2u-3

.

g(u) = (2u-3)^2 + (2u-3)

.

g(5)

için

u=5

yazarız.

g(5) = (10-3)^2 + (10-3) = 49 + 7 = 56

.
Bu işlem yoğunluğu açısından Level 3-4 olabilir. Biraz daha karmaşıklaştıralım.

f(x+1) = 3x - 2

ve

(f \circ g^{-1})(x) = x + 4

.

g(4)

değeri kaçtır?

Çözüm:

(f \circ g^{-1})(x) = f(g^{-1}(x)) = x + 4

.
Burada

x=4

verelim.

f(g^{-1}(4)) = 8

.

f(x+1) = 3x - 2

fonksiyonunda sonucun 8 olması için:

3x - 2 = 8 \Rightarrow 3x = 10 \Rightarrow x = 10/3

.
Bu

x

değeri için

f(10/3 + 1) = 8

. Yani

f(13/3) = 8

.
Demek ki

g^{-1}(4) = 13/3

.

g(13/3) = 4

. Ama bize

g(4)

soruluyor.

g^{-1}(4) = a \iff g(a)=4

. Bu bize

g(4)

'ü vermez. Bize

g^{-1}(x)

değil

g(x)

lazım.
Bu yol

g(4)

'ü buldurmaz. Soruyu

g^{-1}(4)

sorusu yapabiliriz veya

g(a)=4

ise a kaçtır diye sorabiliriz.

Kurguyu değiştirelim:

f(x) = x^3 + x

fonksiyonu verilsin.

f

birebir ve örtendir.

f^{-1}(10)

değeri kaçtır?
Deneme yoluyla

x=2

için

8+2=10

. Cevap 2.
Bu Level 2-3 olur.

Level 4 Hedefi için:
Fonksiyonel Denklem ve Simetri

f(x) + 2f(2-x) = x^2

eşitliği her

x

gerçel sayısı için sağlanmaktadır.
Buna göre

f(3)

değeri kaçtır?

Çözüm:
1)

x=3

yaz:

f(3) + 2f(-1) = 9

2)

x=-1

yaz (simetriği):

f(-1) + 2f(3) = (-1)^2 = 1

Sistem:

f(3) + 2f(-1) = 9

2f(3) + f(-1) = 1 \Rightarrow f(-1) = 1 - 2f(3)

Yerine koy:

f(3) + 2(1 - 2f(3)) = 9

f(3) + 2 - 4f(3) = 9

-3f(3) = 7

f(3) = -7/3

Bu soru tipi listedeki 1. soruya (

f(x) - 2f(1-x) = 3x + 1

) benziyor. "Diversity" kuralına takılabilirim. Farklı bir yapı bulmalıyım.

Yeni Yapı: Fonksiyon Grafiği Okuma ve Bileşke (Sözel Kurgu)
Doğrusal fonksiyonların bileşkesi üzerinden gidelim.

f(x) = ax+b

ve

g(x) = bx+a

doğrusal fonksiyonları veriliyor.

(f \circ g)(1) = 11

ve

(g \circ f)(1) = 7

olduğuna göre

a^2 + b^2

kaçtır?

Çözüm:

g(1) = b+a

f(g(1)) = f(a+b) = a(a+b) + b = a^2 + ab + b = 11

f(1) = a+b

g(f(1)) = g(a+b) = b(a+b) + a = ab + b^2 + a = 7

Taraf tarafa toplayalım:

a^2 + b^2 + 2ab + a + b = 18

(a+b)^2 + (a+b) - 18 = 0

(a+b+9)(a+b-2) = 0

a+b

ya

-9

ya da

2

.

Farkı alalım:

(a^2 + ab + b) - (ab + b^2 + a) = 4

a^2 - b^2 + b - a = 4

(a-b)(a+b) - (a-b) = 4

(a-b)(a+b-1) = 4

Durum 1:

a+b=2

(a-b)(2-1) = 4 \Rightarrow a-b = 4

Denklem sistemi:

a+b=2, a-b=4 \Rightarrow 2a=6, a=3, b=-1

.
Kontrol edelim:

a^2+b^2 = 9+1=10

.

Durum 2:

a+b=-9

(a-b)(-9-1) = 4 \Rightarrow -10(a-b) = 4 \Rightarrow a-b = -0.4

Denklem:

a+b=-9, a-b=-0.4 \Rightarrow 2a=-9.4, a=-4.7, b=-4.3

.

a^2+b^2

tam sayı çıkmaz. Şıklarda tam sayı varsa Durum 1 geçerlidir.

Bu soru gayet kaliteli ve Level 4 (Hard) seviyesine uygun. Cebirsel manipülasyon yeteneğini ölçüyor. Mevcut yasaklı listesinde bu tarz bir soru yok.

Soru metnini oluşturalım.

5

Sonuçları kontrol etmek.

a=3, b=-1

için

f(x)=3x-1, g(x)=-x+3

.

(f \circ g)(1) = f(2) = 5 \neq 11

. Hata var.
Tekrar çözüm:

f(x)=ax+b

,

g(x)=bx+a

g(1) = a+b

(f \circ g)(1) = f(a+b) = a(a+b) + b = a^2 + ab + b = 11

(1. Denklem)

f(1) = a+b

(g \circ f)(1) = g(a+b) = b(a+b) + a = ab + b^2 + a = 7

(2. Denklem)

Çözümdeki

f(2)=5

kontrolüm yanlıştı çünkü

a,b

değerlerini yerine koyarken

g(1)=2

buldum (

b+a = -1+3=2

).

f(2) = 3(2)-1 = 5

. Denklemde 11 verilmişti. Nerede hata yaptım?

a^2+ab+b = 11

denkleminde

a=3, b=-1

koyarsak:

9 + (-3) + (-1) = 5

. Eşitlik sağlanmıyor.
Demek ki

(a+b-2)=0

kökü bu sistemi sağlamıyor. Neden?

(a-b)(a+b-1)=4

denkleminde

a+b=2

koyunca

a-b=4

bulduk. Ama bu değerler ilk denklemi sağlamıyor.

a=3, b=-1

ise

a^2+ab+b = 9-3-1=5 \neq 11

.
Demek ki cebirsel çözümde

(a+b)^2+(a+b)=18

yaklaşımı gerekli şart ama yeterli değil. Özgün denklemlere dönmeliyiz.

Bu yol karmaşık ve hataya açık. Daha net bir soru kurgulayalım.

Yeni Kurgu 2: Sabit Fonksiyon ve Birim Fonksiyon

f

birim fonksiyon,

g

sabit fonksiyon olmak üzere,

f(2x+g(x)) + g(3x-1) = 12

Olduğuna göre,

x

kaçtır?

Çözüm:

f(x)=x

(Birim)

g(x)=c

(Sabit)

f(2x+c) + g(3x-1) = 12

(2x+c) + c = 12

2x + 2c = 12 \Rightarrow x + c = 6

.
Burada

c

bilinmediği için

x

bulunamaz. Soru eksik.

Yeni Kurgu 3: Parçalı Fonksiyon ve Ters Fonksiyon (Level 4)

f(x) = \begin{cases} 2x-3, & x \geq 2 \\ 3x-a, & x < 2 \end{cases}

fonksiyonu birebir ve örtendir.
Buna göre

f^{-1}(7)

kaçtır?

Çözüm:
Birebir ve örten olması için

x=2

kritik noktasında süreklilik veya sıçrama olmaması, değerlerin örtüşmesi gerekir. (Bu KPSS müfredatında genellikle süreklilik/limit değil, "kopma olmaması" ve "örtmesi" şeklinde basitleştirilir).

x \geq 2

için görüntü kümesi

[1, \infty)

.

x < 2

için görüntü kümesi

(-\infty, 6-a)

.
Örtenlik için

6-a = 1

olmalı, yani

a=5

. (Kümelerin birleşimi

\mathbb{R}

olmalı).
Eğer

a=5

ise

f(x) = 3x-5

(

x<2

).
Soru:

f^{-1}(7)

. Yani

f(x)=7

olan

x

nedir?
1. Durum:

2x-3 = 7 \Rightarrow 2x=10 \Rightarrow x=5

. (Koşul:

x \ge 2

.

5 \ge 2

sağlar.)
2. Durum:

3x-5 = 7 \Rightarrow 3x=12 \Rightarrow x=4

. (Koşul:

x < 2

.

4 < 2

SAĞLAMAZ.)
Cevap

x=5

.
Bu soru

a

değerini buldurup sonra ters görüntü sorduğu için çok adımlı ve güzel. Ancak

a

'yı sormazsa öğrenci direkt

2x-3=7

'den 5'i bulabilir,

a

'ya ihtiyaç duymaz. Bu da soruyu Level 1 yapar. Yanıltıcı şık lazım.

Soruyu şöyle revize edelim:

f^{-1}(1)

kaçtır?

2x-3=1 \Rightarrow x=2

. (

x \ge 2

sağlar).

3x-5=1 \Rightarrow x=2

. (

x < 2

sağlamaz).

Zorlaştıralım:

f^{-1}(-2)

soralım.

2x-3 = -2 \Rightarrow x=0.5

(Koşul

x \ge 2

sağlamaz).

3x-5 = -2 \Rightarrow 3x=3 \Rightarrow x=1

. (Koşul

x < 2

sağlar).
Burada öğrenci

a

'yı bulmak zorundadır.

Soru:
Gerçel sayılar kümesi üzerinde tanımlı,

f(x) = \begin{cases} 2x - 3, & x \geq 2 \\ x + k, & x < 2 \end{cases}

fonksiyonu birebir ve örtendir.
Buna göre,

f^{-1}(1) + f^{-1}(-2)

toplamı kaçtır?

Çözüm:
1. Adım: Örtenlik şartı.

x=2

sınırında değerler "kavuşmalı" veya boşluk kalmamalı.
Sağ limit/değer:

2(2)-3 = 1

.
Sol limit:

2+k

.
Örten olması için

2+k = 1 \Rightarrow k = -1

.
Fonksiyon:

x \ge 2 \rightarrow [1, \infty)

x < 2 \rightarrow (-\infty, 1)

2. Adım:

f^{-1}(1)

'i bul.

f(x)=1

. Üst parça

2x-3=1 \Rightarrow x=2

. (Dahil)
Alt parça

x-1=1 \Rightarrow x=2

. (Dahil değil)
O halde

f^{-1}(1) = 2

.

3. Adım:

f^{-1}(-2)

'yi bul.

f(x)=-2

. Bu değer 1'den küçük olduğu için alt parçadan gelmeli.

x-1 = -2 \Rightarrow x = -1

. (Koşul

x<2

sağlar).

4. Adım: Toplam.

2 + (-1) = 1

.

Bu soru Level 4 için uygundur. Kavramsal bilgi (birebir-örtenlik şartı) ve işlem içerir.

Şıklar:
A) 0
B) 1 (Doğru)
C) 2
D) 3
E) 4

Hatalı Mantıklar (Çeldiriciler):
-

k

'yi bulmadan işlem yapmaya çalışmak (yapamaz).
-

k

'yi yanlış bulmak (

x=0

verip f(0) vs. gibi).
- Ters fonksiyonu yanlış kolda aramak.
-

2x-3=-2 \Rightarrow x=0.5

deyip bunu almak (tanım kümesi hatası). Eğer bunu yaparsa:

2 + 0.5 = 2.5

. Şıklarda yok.
-

x+k=-2

'de

k

'yi bulamayıp

k=0

almak:

x=-2

. Toplam

2-2=0

. (Şık A).

Güzel, A şıkkı güçlü bir çeldirici oldu.

Key Concept

Parçalı fonksiyonların birebir ve örten olması için kritik noktadaki süreklilik/uyum şartının sağlanması ve ters fonksiyon değerlerinin uygun aralıkta aranması.

Hints

1

Bir fonksiyonun örten olabilmesi için, görüntü kümesinde boşluk kalmamalıdır. Parçalı fonksiyonlarda kritik noktadaki (burada x=2) değerleri kontrol edin.

2

x=2 noktasında üstteki parça hangi değeri alıyor? Alttaki parça (x < 2) 2'ye yaklaşırken bu değere ulaşmalı ki kopukluk olmasın. Buradan k sayısını bulabilirsiniz.

3

k = -1'dir. Şimdi f(x) = 1 denklemini sağlayan x'i ve f(x) = -2 denklemini sağlayan x'i (uygun aralıklarda) bulun.

Practice More

Birebir ve örtenlik şartının sağlanmadığı durumda fonksiyonun tersinin neden olamayacağını araştırın.

Alternative Method

Grafik çizerek çözüm: x=2'den başlayan y=2x-3 doğrusunu ve x<2 için y=x+k doğrusunu çizip, bunların y ekseninde (görüntü kümesinde) boşluk bırakmayacak şekilde birleştiğini görselleştirebilirsiniz.

Estimated Time:2m 0s

Answer

Step-by-Step Solution

Key Concept

Common Mistakes

Hints

Practice More

Alternative Method

Answer

Step-by-Step Solution

Key Concept

Common Mistakes

Hints

Practice More

Alternative Method

Answer

Step-by-Step Solution

Key Concept

Common Mistakes

Hints

Practice More

Alternative Method

Answer

Step-by-Step Solution

Key Concept

Common Mistakes

Hints

Practice More

Answer

Step-by-Step Solution

Key Concept

Common Mistakes

Hints

Practice More

Alternative Method

Answer

Step-by-Step Solution

Key Concept

Common Mistakes

Hints

Practice More

Answer

Step-by-Step Solution

Key Concept

Common Mistakes

Hints

Practice More

Answer

Step-by-Step Solution

Key Concept

Common Mistakes

Answer

Step-by-Step Solution

Key Concept

Common Mistakes

Hints

Practice More

Alternative Method

Answer

Step-by-Step Solution

Key Concept

Common Mistakes

Hints

Practice More

Alternative Method

Answer

Step-by-Step Solution

Key Concept

Common Mistakes

Answer

Step-by-Step Solution

Key Concept

Common Mistakes

Hints

Practice More

Alternative Method

Answer

Step-by-Step Solution

Key Concept

Common Mistakes